PAM 252 Metode Numerik Bab 6 Pengintegralan Numerik

Pendahuluan Rumus Newton-Cotes Aturan Komposit Integral Romberg dan Metode Gauss-Legendre

PAM 252 Metode Numerik Bab 6 Pengintegralan Numerik Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

Semester Genap 2013/2014

1

Mahdhivan Syafwan

Metode Numerik: Pengintegralan Numerik


Motivasi Pendahuluan Kuadratur

Motivasi Bagaimana memperoleh nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik? Contoh: Z x t3 φ(x) = dt =? t 0 e −1 Integral numerik juga digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Contoh: d y (t) = f (t). Selesaikan dt

Bagaimana menghitung luas daerah (atau volume) pada berbagai masalah teknik, fisika, dll? ··· 2

Mahdhivan Syafwan




Ilustrasi aplikasi integral numerik pada masalah teknik

3

Mahdhivan Syafwan




Definisi kuadratur Definisi Misalkan a = x0 < x1 < · · · < xM = b. Rumus berbentuk Q[f ]

=

M X

wj f (xj )

j=0

= w0 f (x0 ) + w1 f (x1 ) + · · · + wM f (xM ), dengan sifat bahwa Z

b

f (x)dx = Q[f ] + E [f ],

a

disebut pengintegralan numerik atau rumus kuadratur. Suku E [f ] disebut galat pemotongan untuk integral. Nilai {xj }M j=0 disebut titik kuadratur dan {wj }M disebut bobot. j=0 4

Mahdhivan Syafwan




Definisi derajat keakuratan Definisi Derajat keakuratan suatu rumus kuadratur adalah bilangan bulat positif n sedemikian sehingga E [pi ] = 0 untuk semua polinom pi (x) berderajat i ≤ n, tetapi E [pn+1 ] 6= 0 untuk beberapa polinom pn+1 (x) berderajat n + 1. Pandang polinom sebarang pi (x) berderajat i . Jika i ≤ n, (n+1) (n+1) (x) = 0 dan pn+1 = an+1 (n + 1)! untuk setiap x. maka pi Jadi bentuk umum dari suku galat pemotongan adalah E [f ] = Kf (n+1) (c), dimana K adalah konstanta yang dipilih secara sesuai dan n adalah derajat keakuratan. 5

Mahdhivan Syafwan




Penurunan rumus kuadratur Rumus kuadratur biasanya diturunkan berdasarkan interpolasi polinom. Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa terdapat polinom tunggal pM (x) berderajat ≤ M yang melalui M + 1 titik {(xi , yi )}M i =0 . Jika polinom ini digunakan untuk mengaproksimasi f (x) dalam selang [a, b], maka Z

a

b

f (x)dx ≈

Z

b

pM (x)dx. a

Rumus terakhir disebut rumus Newton-Cotes. Jika titik x0 = a dan xM = b digunakan, maka rumus tersebut dinamakan rumus Newton-Cotes tertutup. 6

Mahdhivan Syafwan



Teorema Aturan Trapesium Aturan Simpson Keakuratan, Galat, dan Contoh

Teorema rumus Newton-Cotes tertutup Teorema Misalkan xi = x0 + ih adalah titik-titik partisi yang berjarak sama dan fi = f (xi ). Empat rumus Newton-Cotes tertutup pertama adalah Z x1 h (1) f (x)dx ≈ (f0 + f1 ), [trapesium] 2 x0 Z x2 h f (x)dx ≈ (f0 + 4f1 + f2 ), [Simpson] (2) 3 x0 Z x3 3h (3) f (x)dx ≈ (f0 + 3f1 + 3f2 + f3 ), [Simpson 3/8] 8 x0 Z x4 2h f (x)dx ≈ (7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4 ). [Boole] (4) 45 x0

7

Mahdhivan Syafwan




Teorema rumus Newton-Cotes tertutup - bukti Perhatikan bahwa fungsi f (x) dapat diaproksimasi oleh polinom Lagrange pM (x) dengan titik-titik interpolasi x0 , x1 , ..., xM , yaitu f (x) ≈ pM (x) =

M X

fi Li (x),

i =0

dimana fi = f (xi ) dan Li (x) = · · · . Jadi Z

xM

x0

f (x)dx ≈

Z

xM x0

pM (x)dx = · · · =

M Z X i =0

xM

x0

Li (x)dx fi =

M X i =0

Pada slide berikut akan dibuktikan aturan trapesium (untuk kasus M = 1) dan aturan Simpson (untuk M = 2). 8

Mahdhivan Syafwan


wi fi .



Aturan trapesium - bukti Perhatikan bahwa interpolasi Lagrange untuk polinom derajat 1 diberikan oleh p1 (x) = f0

x − x0 x − x1 + f1 , x0 − x1 x1 − x0

yang merupakan persamaan garis. Karena f (x) ≈ p1 (x), maka Z x1 Z x1 Z f (x)dx ≈ p1 (x)dx = x0

9

x0

x1

x0

f0

x − x1 x − x0 + f1 x0 − x1 x1 − x0

= ··· h = (f0 + f1 ). 2

Mahdhivan Syafwan


dx



Aturan trapesium - ilustrasi

Z

x1

x0

10

f (x)dx ≈

Mahdhivan Syafwan

h (f0 + f1 ). 2 Metode Numerik: Pengintegralan Numerik



Aturan Simpson - bukti Perkenalkan peubah baru x = x0 + ht sehingga dx = hdt. Titik-titik partisi yang berjarak sama, yaitu xi = x0 + ih, mengakibatkan xi − xj = (i − j)h dan x − xi = (t − i )h. Karena f (x) ≈ p2 (x), maka Z x2 Z x2 p2 (x)dx f (x)dx ≈ x0 x0 Z x2 ··· ··· · · · f0 = dx + f1 + f2 ··· ··· ··· x0 = ··· h = (f0 + 4f1 + f2 ). 3 11

Mahdhivan Syafwan




Aturan Simpson - ilustrasi

Z

x2

x0

12

f (x)dx ≈

Mahdhivan Syafwan

h (f0 + 4f1 + f2 ). 3 Metode Numerik: Pengintegralan Numerik



Keakuratan dan galat Teorema Aturan trapesium mempunyai derajat keakuratan n = 1 dan h3 ′′ galat − 12 f (c). Aturan Simpson mempunyai derajat keakuratan n = 2 dan h5 (4) f (c). galat − 90

Bukti.

13

Mahdhivan Syafwan




Contoh Gunakan aturan trapesium dan aturan Simpson untuk mengaproksimasi integral dari f (x) = 1 + e −x sin(4x) pada selang [a, b] = [0, 1]. Jawab: Untuk aturan trapesium, h = 1 dan

R1

0 f (x)dx ≈ · · · = 0, 86079. R1 Untuk aturan Simpson, h = 1/2 dan 0 f (x)dx ≈ · · · = 1, 32128.

Perhatikan bahwa nilai eksak dari integral tersebut adalah Z

0

1

f (x)dx = · · · = 1, 30825...

Jadi dapat disimpulkan bahwa ... Untuk membuat perbandingan yang ’adil’, kita mesti menggunakan titik-titik fungsi yang sama banyak pada setiap metode. Hal ini akan dijelaskan pada pembahasan berikutnya tentang aturan komposit. 14

Mahdhivan Syafwan



Pendahuluan Trapesium Komposit Simpson Komposit Analisis Galat

Aturan komposit? menggunakan serangkaian polinom untuk menghampiri kurva y = f (x) sepanjang [a, b].

15

Mahdhivan Syafwan




Aturan trapesium komposit Teorema (Trapesium Komposit) Andaikan selang [a, b] dibagi menjadi M selang bagian [xi , xi +1 ] selebar h = (b − a)/M, menggunakan titik partisi yang berjarak sama, yaitu xi = a + ih, i = 0, 1, ..., M. Maka ! Z b M−1 X h f (a) + 2 fi + f (b) . f (x)dx ≈ 2 a i =1

Bukti. Perhatikan bahwa Z b Z f (x)dx = a

f (x)dx +

a

≈ =

= 16

x1

Z

x2

x1

f (x)dx + · · · +

Z

b

f (x)dx xM−1

··· h (f0 + 2f1 + 2f2 + · · · + 2fM−1 + fM ) 2 ! M−1 X h fi + f (b) . f (a) + 2 2 i =1

Mahdhivan Syafwan




Aturan trapesium komposit - contoh R6 √ Aproksimasi 1 2 + sin(2 x)dx dengan menggunakan aturan trapesium komposit dengan (i) 6 titik partisi dan (ii) 11 titik partisi. Jawab:

17

Mahdhivan Syafwan




Aturan Simpson komposit Teorema (Simpson Komposit) Andaikan selang [a, b] dibagi menjadi 2M selang bagian [xi , xi +1 ] berlebar sama, yaitu h = (b − a)/2M, dan menggunakan titik-titik partisi xi = a + ih, i = 0, 1, ..., 2M. Maka ! Z b M M−1 X X h f (a) + 4 f2i −1 + 2 f2i + f (b) . f (x)dx ≈ 3 a i =1

Bukti. Perhatikan bahwa Z b Z x2 Z f (x)dx = f (x)dx + a

a

≈ =

= 18

i =1

x4 x2

f (x)dx + · · · +

Z

b

f (x)dx

x2M−2

··· h (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f4 + · · · + 2f2M−2 + 4f2M−1 + f2M ) 3 ! M−1 M X X h f2i + f (b) . f2i −1 + 2 f (a) + 4 3 i =1 i =1 Mahdhivan Syafwan




Aturan Simpson komposit - contoh R6 √ Aproksimasi 1 2 + sin(2 x)dx dengan menggunakan aturan Simpson komposit dengan (i) 5 titik partisi dan (ii) 11 titik partisi. Jawab:

19

Mahdhivan Syafwan




Analisis galat aturan trapesium Akibat (Galat Aturan Trapesium) Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi M selang bagian [xi , xi +1 ] berlebar sama h = (b − a)/M. Aturan trapesium komposit ! M−1 X h T (f , h) = fi + f (b) f (a) + 2 2 i =1 merupakan aproksimasi terhadap integral Z b f (x)dx = T (f , h) + ET (f , h). a

2

Lebih lanjut, jika f ∈ C [a, b], maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga galat ET (f , h) diberikan oleh ET (f , h) =

−(b − a)f ′′ (c)h2 = O(h2 ). 12

Bukti. [tugas baca!] 20

Mahdhivan Syafwan




Analisis galat aturan Simpson Akibat (Galat Aturan Simpson) Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi 2M selang bagian [xi , xi +1 ] berlebar sama h = (b − a)/2M. Aturan Simpson komposit ! M−1 M X X h S(f , h) = f2i + f (b) f2i −1 + 2 f (a) + 4 3 i =1 i =1 merupakan aproksimasi terhadap integral Z b f (x)dx = S(f , h) + ES (f , h). a

4

Lebih lanjut, jika f ∈ C [a, b], maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga galat ES (f , h) diberikan oleh ES (f , h) =

−(b − a)f (4) (c)h4 = O(h4 ). 180

Bukti. [tugas baca!] 21

Mahdhivan Syafwan




Analisis galat - contoh Tentukan nilai M dan lebar selang h sedemikian sehingga galat E (f , h) dari aturan trapesium dalam mengaproksimasi integral R T7 −9 2 dx/x adalah kurang dari 5 × 10 . Jawab:

22

Mahdhivan Syafwan



Aturan Rekursif Integral Romberg Metode Gauss-Legendre

Aturan trapesium rekursif - definisi

Untuk meningkatkan ketelitian hasil perhitungan aturan trapesium, perbanyak jumlah partisi atau perhalus lebar selang. Agar efisien, hasil perhitungan yang telah dilakukan untuk suatu lebar selang perlu tetap dimanfaatkan untuk perhitungan dengan lebar selang yang lebih halus. Cara perhitungan seperti ini disebut aturan trapesium rekursif/berturutan.

23

Mahdhivan Syafwan




Aturan trapesium rekursif - konstruksi (1) Misalkan ingin dihitung Z

b

f (x)dx.

a

Buat lebar selang h0 = b − a dan titik partisi x0 = a dan x1 = b, sehingga aturan trapesium memberikan h0 T (f , h0 ) = (f0 + f1 ), 2 dimana f0 = f (x0 ) dan f1 = f (x1 ). Perhalus selang menjadi h1 = h0 /2 = (b − a)/2, sehingga titik-titik partisi menjadi x0 = a, x1 , dan x2 = b [x1 adalah ...]. Aturan trapesium untuk tahap ini diberikan oleh T (f , h0 ) h1 (f0 + 2f1 + f2 ) = · · · = + h1 f1 , 2 2 dimana f0 = f (x0 ), f1 = f (x1 ), dan f2 = f (x2 ). T (f , h1 ) =

24

Mahdhivan Syafwan




Aturan trapesium rekursif - konstruksi (2) Perhalus selang menjadi h2 = h1 /2 = · · · = (b − a)/22 , sehingga titik-titik partisi menjadi x0 = a, x1 , x2 , x3 , dan x4 = b [x1 , x2 , x3 adalah ...]. Aturan trapesium untuk tahap ini diberikan oleh h2 T (f , h1 ) (f0 +2f1 +2f2 +2f3 +f4 ) = · · · = +h2 (f1 +f3 ). 2 2 dimana fi = f (xi ), i = 0, 1, ..., 4. T (f , h2 ) =

Proses di atas dilanjutkan sehingga pada penghalusan ke-j, lebar selang menjadi hj = hj−1 /2 = · · · = (b − a)/2j dan titik-titik partisi menjadi x0 = a, x1 , x2 , . . . , x2M = b dengan 2M = 2j . Aturan trapesium untuk tahap ini adalah hj (f0 + 2f1 + 2f2 + · · · + 2f2M−1 + f2M ) T (f , hj ) = 2 = ··· M X T (f , hj−1 ) = + hj f2k−1 . 2 k=1

25

Mahdhivan Syafwan




Kaitan antara aturan Simpson dan trapesium rekursif Rb Untuk lebar selang hj dan hj−1 , integral a f (x)dx dapat diaproksimasi berturut-turut oleh aturan trapesium Z b hj (f0 + 2f1 + 2f2 + · · · + 2f2M−1 + f2M ) , f (x)dx ≈ T (f , hj ) = 2 a Z b hj−1 f (x)dx ≈ T (f , hj−1 ) = (f0 + 2f2 + 2f4 + · · · + 2f2M−2 + f2M ) . 2 a Dari kedua persamaan di atas diperoleh [tunjukkan!] Z b 3 f (x)dx ≈ 4T (f , hj ) − T (f , hj−1 ) a

=

hj (f0 + 4f1 + 2f2 + · · · + 2f2M−2 + 4f2M−1 + f2M ) .

Dengan membagi 3, bentuk rumusan pada baris di bawah adalah bentuk Simpson dengan lebar selang hj , sehingga secara umum diperoleh S(f , hj ) = 26

4T (f , hj ) − T (f , hj−1 ) . 3

Mahdhivan Syafwan




Kaitan antara aturan Boole dan Simpson rekursif, dst...

Rumusan aturan Boole dan Simpson rekursif memenuhi hubungan berikut [tunjukkan!]: B(f , hj ) =

16S(f , hj ) − S(f , hj−1 ) . 15

Rangkaian perhitungan integral dengan menggunakan aturan trapesium, Simpson, dan Boole rekursif, yaitu T (f , hj ), S(f , hj ) dan B(f , hj ), dapat diteruskan dalam bentuk rumusan yang lebih umum. Hal ini dikenal sebagai integral Romberg.

27

Mahdhivan Syafwan




Integral Romberg - pendahuluan Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa Z b f (x)dx = T (f , hj ) + O(h2 ), a

Z

b

f (x)dx

=

S(f , hj ) + O(h4 ),

f (x)dx

=

B(f , hj ) + O(h6 ).

a

Z

b

a

Misalkan suatu hampiran integral menggunakan lebar selang h dan 2h. Kemudian dengan manipulasi aljabar dapat diperoleh perbaikan hampiran dengan galat yang lebih kecil. Secara umum, setiap perbaikan hampiran memperkecil galat dari O(h2N ) ke O(h2N+2 ). Proses ini dinamakan integral Romberg.

Bagaimana perhitungan yang efisien untuk integral Romberg ini? 28

Mahdhivan Syafwan




Integral Romberg - perbaikan Richardson Diberikan dua hampiran R(2h, k − 1) dan R(h, k − 1) untuk suatu besaran Q yang memenuhi Q Q

R(h, k − 1) + c1 h2k + c2 h2k+2 + · · · , R(2h, k − 1) + c1 4k h2k + c2 4k+1 h2k+2 + · · · .

= =

Perbaikan hampiran untuk Q diberikan oleh [tunjukkan!] Q=

4k R(h, k − 1) − R(2h, k − 1) + O(h2k+2 ). 4k − 1

Jika h = hj dan 2h = 2hj = hj−1 , maka bentuk di atas dapat ditulis dalam notasi indeks sebagai berikut: Q=

29

4k R(j, k − 1) − R(j − 1, k − 1) + O(h2k+2 ). 4k − 1 Mahdhivan Syafwan




Integral Romberg - barisan R(j, k) Definisi Definisikan barisan {R(j, k)|j ≥ k}∞ j=0 dari rumus kuadratur untuk f (x) pada [a, b] sebagai berikut: R(j, 0) = T (f , hj ), R(j, 1) = S(f , hj ), R(j, 2) = B(f , hj ),

untuk j ≥ 0,

untuk j ≥ 1,

untuk j ≥ 2,

adalah aturan trapesium, adalah aturan Simpson, adalah aturan Boole.

Barisan berikutnya adalah R(j, 1)

=

R(j, 2)

= .. .

R(j, k) 30

=

4R(j, 0) − R(j − 1, 0) , j ≥ 1, 4−1 42 R(j, 1) − R(j − 1, 1) , j ≥ 2, 42 − 1 4k R(j, k − 1) − R(j − 1, k − 1) , j ≥ k. 4k − 1

Mahdhivan Syafwan




Integral Romberg - tabel

j 0 1 2 3 4 .. .

31

R(j, 0)

R(j, 1)

R(j, 2)

R(j, 3)

R(j, 4)

aturan trapesium

aturan Simpson

aturan Boole

perbaikan ke-3

perbaikan ke-4

R(0, 0) R(1, 0) R(2, 0) R(3, 0) R(4, 0) .. .

R(1, 1) R(2, 1) R(3, 1) R(4, 1) .. .

R(2, 2) R(3, 2) R(4, 2) .. .

R(3, 3) R(4, 3) .. .

R(4, 4) .. .

Mahdhivan Syafwan


···

..

.



Integral Romberg - contoh Gunakan integral Romberg untuk menentukan hampiran dari Z π/2 (x 2 + x + 1) cos(x)dx. 0

[nilai eksaknya: −2 +

π 2

+

π2 4

= 2, 038197427067...]

Jawab:

32

Mahdhivan Syafwan




Integral Romberg - algoritma

33

Mahdhivan Syafwan




Metode Gauss-Legendre - permasalahan Misalkan ingin dihitung luas daerah di bawah kurva y = f (x) pada −1 ≤ x ≤ 1.

Q: Metode apa yang memberikan jawab terbaik jika hanya menggunakan dua perhitungan fungsi?

Bagaimana menentukan nilai x1 dan x2 sehingga luas daerah di bawah garis yang melaluinya mendekati luas daerah di bawah kurva? 34

Mahdhivan Syafwan




Metode Gauss-Legendre - penyelesaian (1) Persamaan garis pada gambar kanan: p(x) = f (x1 ) +

f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ). x2 − x1

Luas trapesium di bawah kurva: A

1 − (−1) (p(−1) + p(1)) 2 = ··· 2x1 2x2 f (x1 ) − f (x2 ). = x2 − x1 x2 − x1 =

Metode koefisien tak-tentu: Z 1 f (x)dx ≈ w1 f (x1 ) + w2 f (x2 ). −1

Akan dicari w1 , x1 , w2 , x2 supaya hampiran di atas menjadi eksak jika f (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 (polinom berderajat ≤ 3). 35

Mahdhivan Syafwan




Metode Gauss-Legendre - penyelesaian (2) Karena integral bersifat aditif, maka cukup disyaratkan bahwa hampiran di atas eksak untuk empat fungsi f (x) = 1, x, x2 , x3 . Empat syarat integral: f (x) = 1 : f (x) = x : f (x) = x 2 : f (x) = x 3 :

Z

1

−1 Z 1

−1 Z 1

−1 1

Z

1dx = 2 = w1 + w2 , xdx = 0 = w1 x1 + w2 x2 , x 2 dx =

2 = w1 x12 + w2 x22 , 3

x 3 dx = 0 = w1 x13 + w2 x23 .

−1

Solusi dari sistem persamaan tak-linier √ √ di atas adalah w1 = w2 = 1, x1 = −1/ 3, x2 = 1/ 3 [buktikan!]. 36

Mahdhivan Syafwan




Aturan Gauss-Legendre dua titik Teorema Jika f (x) kontinu pada [−1, 1], maka Z 1 1 1 +f √ . f (x)dx ≈ G2 (f ) = f − √ 3 3 −1 Derajat keakuratan dari G2 (f ) adalah n = 3. Jika f ∈ C 2 [−1, 1], maka Z 1 1 1 f (x)dx = f − √ +f √ + E2 (f ), 3 3 −1 dimana E2 (f ) =

f (4) (c) . 135

Contoh: Gunakan aturan Gauss-Legendre dua titik untuk mengaproksimasi

R1

1 dx −1 x+2

[hasil eksaknya: ln 3 ≈ 1, 09861]. Bandingkan hasilnya dengan aturan

trapesium T (f , h) dengan h = 2 dan aturan Simpson S(f , h) dengan h = 1. 37

Mahdhivan Syafwan




Aturan Gauss-Legendre N titik Secara umum, bentuk hampiran Gauss-Legendre memakai N titik adalah Z 1 f (x)dx ≈ GN (f ) = wN,1 f (xN,1 ) + wN,2 f (xN,2 ) + · · · + wN,N f (xN,N ). −1

38

Mahdhivan Syafwan




Translasi metode Gauss-Legendre Bagaimana penerapan metode Gauss-Legendre untuk

Rb a

f (t)dt?

Gunakan translasi t ∈ [a, b] → x ∈ [−1, 1] dengan menggunakan hubungan t = α + βx. Dengan memperhatikan t(−1) = a dan t(1) = b, maka diperoleh b−a b−a t = a+b 2 + 2 x [tunjukkan!]. Akibatnya dt = 2 dx. Dengan demikian diperoleh Z b Z 1 a+b b−a b−a f (t)dt = f + x dx. 2 2 2 a −1 Jadi rumus hampiran Gauss-Legendre menjadi Z b N b−a X a+b b−a + xN,k . wN,k f f (t)dt ≈ 2 2 2 a k=1

39

Contoh: Gunakan aturan Gauss-Legendre 3 titik untuk R5 menghampiri 1 1t dt. [hasil eksaknya = ...] Mahdhivan Syafwan


PAM 252 Metode Numerik Bab 6 Pengintegralan Numerik

Recommend Documents