METODE NUMERIK ROSENBERG Mata Kuliah : Metode Numerik Dosen Pengampu : Rukmono Budi Utomo, M.Sc
Disusun Oleh : Rizka Apriyanti 6 A1 1384202080
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG Jl. Perintis kemerdekaan I/33 Cikokol, Tangerang Tahun Ajaran 2015/2016
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia yang telah diberikanNya, sehingga saya dapat menyelesaikan Makalah Metode Numerik ini dengan baik. Makalah ini saya sajikan dalam bentuk yang sederhana. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas UAS mata kuliah Metode Numerik di Universitas Muhammadiyah Tangerang. Selain itu saya juga berharap makalah ini mampu memberikan kontribusi dalam menunjang pengetahuan para mahasiswa dan pihak lain pada umumnya. Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu saran dan kritik yang membangun sangat saya harapkan demi kesempurnaan di masa yang akan datang.
Tangerang, 07 Juni 2016
Rizka Apriyanti
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...................................................................................... 2 DAFTAR ISI .................................................................................................... 3 BAB I. PENDAHULUAN ................................................................................ 4 A. Latar Belakang ....................................................................................... 4 B. Rumusan Masalah .................................................................................. 4 C. Tujuan .................................................................................................... 4 D. Manfaat .................................................................................................. 5 BAB II. PEMBAHASAN ................................................................................. 6 A. Pengertian Metode Numerik .................................................................. 6 B. Pengertian Metode Numerik Roosenberg ............................................... 7 C. Algoritma Metode Numerik Roosenberg ................................................ 7 D. Contoh Penyelesaian Soal dengan Metode Numerik Roosenberg ........... 8 E. Contoh Pembuktian dengan Metode Analitik ........................................ 12 BAB III. PENUTUP ........................................................................................ 13 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 14
3
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (tambah, kurang, kali dan bagi). Metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011). Metode numerik terbagi kepada beberapa macam metode dan salah satunnya adalah metode yang akan kita bahas dalam makalah ini yaitu Metode Numerik Roosenberg. Alasan penggunaan metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. bahkan dalam prinsip matematika, suatu persoalan matematika yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin digunakan dengan metodematematis (analitik) maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai alternative penyelesaian persoalan tersebut. B. Rumusan Masalah a. Apa pengertian dari Metode Numerik ? b. Apa pengertian dari Metode Numerik Roosenberg ? c. Bagaimanakah Algoritma dari Metode Numerik Roosenberg ? d. Bagaimana Contoh Soal dan Penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Numerik Roosenberg ? e. Bagaimanakah pembuktian dengan cara analitik ? C. Tujuan a. Untuk mengetahui Pengertian dari Metode Numerik b. Untuk mengetahui Pengertian dari Metode Numerik Roosenberg 4
c. Untuk mengetahui Algoritma dari Metode Numerik Roosenberg d. Untuk mengetahui Contoh Soal dan Penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Numerik Roosenberg ? e. Untuk mengetahui contoh pembuktian dengan cara analitik D. Tujuan dan Manfaat Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas UAS mata kuliah Metode Numerik di semester 6, serta berbagi pengetahuan ke mahasiswa lainnya mengenai materi yang akan dibahas yaitu Metode Numerik Roosenberg. Manfaat yang dapat di petik dari tujuan tersebut yaitu diharapkan dapat menambah wawasan sebagai bekal menjadi seorang pendidik bagi pembaca dan khususnya untuk mahasiswa-mahasiswi Universitas Muhammadiyah Tangerang.
5
BAB II PEMBAHASAN
A. Pengertian Metode Numerik Menurut bahasa, Metode adalah cara yang sistematis untuk menyelesaikan persoalan guna mencapai tujuan yang ditentukan. Sedangkan, Numerik adalah yang berhubungan dengan angka. Jadi, Metode Numerik adalah teknik atau cara sistematis untuk menyelesaikan persoalan matematika dengan operasi angka. Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa seperti tambah, kurang, kali dan bagi. Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi, Metode Numerik secara harfiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Beberapa definisi metode numerik dikemukakan oleh ahli matematika, diantaranya : Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991). Menurut Susila (1994) ; Ibraheem dan Hisyam (2003) Metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011). a. Prinsip-Prinsip Metode Numerik : • Metode Numerik merupaan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah yang dapat dipertanggung jawabkan secara analitik. • Pendekatannya merupakan analisis matematis. • Metode Numerik terdiri atas algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. • Karena berasal dari algoritma pendekatan, maka Metode Numerik ini akan memakai iterasi (pengulangan).
6
• Nilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui seberapa baik metode yang digunakan. b. Penggunaan Metode Numerik : Penggunaan metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu : a. Menyelesaikan persamaan non linear b. Menyelesaikan persamaan simultan c. Menyelesaikan differensial dan integral d. Menyelesaikan persamaan differensial e. Interpolasi dan Regresi f. Masalah multivariabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat B. Pengertian Metode Numerik Rosenberg Metode Numerik Roosenberg diusulkan oleh Rosenbrock pada tahun 1960. Ia menekan sejumlah kesamaan dengan pencarian garis dan juga mencari beberapa arah tegak lurus dalam ruang. Metode numerik Rosenberg ini merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai x¯1 = {x1 , x2 } ∈ R2 yang meminimumkan atau memaksimumkan fungsi Z = f (¯ x). Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga dapat menggunakan metode Aksial, Steepest Descant, Hooke and Jeeves, Arah Konjugasi atau Newton 2. Namun, tentu saja setiap metode numerik masing-masing memiliki algoritma yang berbeda dengan kecepatan tingkat efektifitas pencarian yang berbeda serta tingkat kesalahan yang berbeda pula. Dalam metode numerik Rosenberg ini kita dapat menggunakan direction 1 dan direction 2 yang sama dengan metode numerik lainnya. Akan tetapi, untuk direction ke-3 dan seterusnya kita tidak kembali ke direction 1 melainkan perlu dicari dengan menggunakan rumus d3 seperti yang akan dipaparkan pada point berikut. C. Algoritma Metode Numerik Roosenberg Algoritma Metode Numerik Roosenberg adalah sebagai berikut : 1. Ditentukan fungsi Z = f (¯ x) = f (x1 ,x2 ) dan akan dicari nilai yang memini7
mumkan atau memaksimumkan nilai Z = f (x1 ,x2 ) tersebut 2. Tentukan sebarang titik awal x¯1 = {x1 , x2 } ∈ R2 (yang mengapit nilai (x1 , x2 ) yang sebenarnya) 3. Tentukan ε > 0 suatu konstanta positif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi 4. Tentukan arah pencarian direction d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1) 5. Menentukan λk dengan cara λk = min Z (x¯k + λk dk ) 6. Menentukan x¯k+1 dengan cara x¯k+1 = x¯k + λk dk 7. Menentukan d3 dengan rumus d2k+1 = kbbkk k , dengan bk = λk dk + λk+1 dk+1 8. Iterasi berhenti ketika k x¯k − x¯k+1 k< ε 9. Lakukan pengecekan dengan cara analitik atau dengan cara menentukan turunan pertama dari tiap variabel dan disamadengankan nol untuk memperoleh titik kritisnya D. Contoh Penyelesaian Soal dengan Metode Numerik Roosenberg Soal : Diberikan fungsi Z = f (x1 , x2 ) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 dengan ε = 0, 1 dan x¯1 = {1, 3}. Tentukan nilai x¯1 = {x1 , x2 } yang meminimumkan fungsi tersebut! Penyelesaian : Diketahui : Z = f (x1 , x2 ) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 ε = 0, 1 x¯1 = {1, 3} d1 = 1, 0 d2 = 0, 1 d3 = kbb11 k • ITERASI 1 : λ1 λ1 λ1 λ1
= = = =
min Z(¯ x1 + λ1 d1 ) min Z((1, 3) + λ1 (1, 0)) min Z((1, 3) + (λ1 ,0)) min Z (1 + λ1 ,3)
Z(x1 , x2 ) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 Z(1 + λ1 , 3) = (1 + λ1 )2 − 3(1 + λ1 ) + 2(3)2 − 8(3) Z(1 + λ1 , 3) = 12 + 2λ1 + λ21 − 3 − 3λ1 + 18 − 24 Z(1 + λ1 , 3) = λ21 − λ1 − 8
8
Z0 = 0 2λ1 − 1 = 0 2λ1 = 1 λ1 = 21 mencari x¯2 : x¯2 = x¯1 + λ1 d1 x¯2 = (1, 3) + 12 (1, 0) x¯2 = (1, 3) + ( 12 , 0) x¯2 = ( 23 , 3) Pengecekan: k x¯k − x¯k−1 k< ε k ( 32 , 3) − (1, 3) k< ε q
( 32 − 1)2 + (3 − 3)2
q
1 4
=
1 2
= 0, 5 > ε
Karena k x¯k - x¯k−1 k > ε maka iterasi dilanjutkan • ITERASI 2 : λ2 λ2 λ2 λ2
= = = =
min Z(¯ x2 + λ2 d2 ) min Z(( 32 , 3) + λ2 (0, 1)) min Z(( 23 , 3) + (0, λ2 )) min Z ( 32 , 3 + λ2 )
Z(x1 , x2 ) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 Z( 23 , 3 + λ2 ) = ( 32 )2 − 3( 32 ) + 2(3 + λ2 )2 − 8(3 + λ2 ) Z( 23 , 3 + λ2 ) = 49 − 92 + 18 + 12λ2 + 2λ22 − 24 − 8λ2 Z( 32 , 3 + λ2 ) = 2λ22 + 4λ2 − 33 4 Z0 = 0 4λ2 + 4 = 0 4λ2 = −4 λ2 = −1 mencari x¯3 : 9
x¯3 = x¯2 + λ2 d2 x¯3 = ( 32 , 3) + (−1)(0, 1) x¯3 = ( 32 , 3) + (0, −1) x¯3 = ( 32 , 2) Pengecekan: k x¯k − x¯k−1 k< ε k ( 32 , 2) − ( 23 , 3) k< ε q
( 32 − 32 )2 + (2 − 3)2 √ 1=1>ε
Karena k x¯k - x¯k−1 k > ε maka iterasi dilanjutkan • ITERASI 3 : mencari d3 : d3 =
b1 kb1 k
menentukan b1 : b1 = λ1 d1 + λ2 d2 b1 = 12 (1, 0) + (−1)(0, 1) b1 = ( 21 , 0) + (0, −1) b1 = ( 21 , −1) menentukan √ k b1 k : k b1 k = qa2 + b2 2 k b1 k = 12 + −12 k b1 k =
q
k b1 k =
5 √4 5 2
k b1 k =
1
q4
Maka, d3 =
+1
b1 kb1 k
=
( 21 ,−1) √ 5 2
=( 12 x √25 , −1x √25 ) = ( √15 , − √25 )
λ3 = min Z(¯ x3 + λ3 d3 ) λ2 = min Z(( 32 , 2) + λ2 ( √15 , − √25 ) λ2 = min Z(( 23 , 2) + ( √15 λ3 , − √25 λ3 )) 10
λ2 = min Z ( 32 +
√1 λ3 , 2 5
−
√2 λ3 ) 5
Z(x1 , x2 ) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 Z( 23 + √15 λ3 , 2− √25 λ3 ) = ( 23 + √15 λ3 )2 −3( 32 + √15 λ3 )+2(2− √25 λ3 )2 −8(2− √25 λ3 ) Z( 32 + √15 λ3 , 2 − √25 λ3 ) = √
16 + 165 5 λ3 Z( 23 + √15 λ3 , 2 −
√2 λ3 ) 5
9 4
√
√
√
+ 3 5 5 λ3 + 15 λ23 − 92 − 3 5 5 λ3 + 8 − 165 5 λ3 + 85 λ23 −
= 59 λ23 −
41 4
Z0 = 0 18 λ =0 5 3 λ3 = 0 mencari x¯4 : x¯4 = x¯3 + λ3 d3 x¯4 = ( 32 , 2) + (0)( √15 , − √25 ) x¯4 = ( 32 , 2) Pengecekan: k x¯k − x¯k−1 k< ε k ( 32 , 2) − ( 23 , 2) k< ε q
( 32 − 32 )2 + (2 − 2)2 √ 0=0<ε
Karena k x¯k - x¯k−1 k < ε maka iterasi berhenti • TABEL ITERASI : Dari perhitungan diatas, maka diperoleh tabel iterasi sebagai berikut : Iterasi I II III
x¯k dj 1,3 1,0 ( 32 , 3) 0,1 ( 32 , 2) ( √15 , − √25 )
λj 1 2
-1 0
x¯j+1 k x¯k − x¯k−1 k< ε ( 32 , 3) 0, 5 > ε 3 ( 2 , 2) 1>ε ( 33 , 2) 0<ε
Jadi diperoleh nilai x¯1 = {x1 , x2 } yang meminimumkan fungsi tersebut adalah x¯ = ( 23 , 2)
11
E. Contoh Pembuktian dengan Metode Analitik Soal : Diberikan fungsi Z = f (x1 , x2 ) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 dengan ε = 0, 1 dan x¯1 = {1, 3}. Tentukan nilai x¯1 = {x1 , x2 } yang meminimumkan fungsi tersebut! Penyelesaian : Z = f (x1 , x2 ) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 • Menentukan turunan x1 dan x2 : ∂f = 2x1 - 3 ∂x1 ∂f = 4x2 - 8 ∂x2 • Mencari titik kritisnya : ∂f =0 ∂x1 2x1 − 3 = 0 2x1 = 3 x1 = 23 ∂f ∂x2
=0 4x2 − 8 = 0 4x2 = 8 x2 = 2 • Pengecekan : ∂2f =2 ∂x2 1
∂2f = ∂x22 2 ∂ f ∂x1 ∂x2
4 =0 2
2
2
f Maka ( ∂∂xf2 ) ( ∂∂xf2 ) - ( ∂x∂1 ∂x )2 = 2(4) - 02 = 8 > 0 2 1
2
Jadi, terbukti bahwa nilai x¯ = ( 32 , 2) meminimumkan fungsi tersebut.
12
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Metode numerik Rosenberg dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan pada metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula bahwa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan metode analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik Rosenberg, kita dapat menyelesaikan permasalahan optimasi yang menggunakan n variabel bebas. Namun contoh dimakalah ini dibatasi hanya sampai 2 variabel. Metode numerik Rosenberg ini memiliki beberapa kesamaan dengan metodemetode numerik lainnya seperti Metode numerik Aksial, Dichotomus, Secant, Hooke and Jeeves, Steepest Descant dan Arah Konjugasi yaitu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi yang menggunakan n variabel bebas. Metode ini hampir sama dengan Metode numerik Hooke and Jeeves. Hanya saja bedanya, dalam metode ini direction ketiganya dan seterusnya memiliki rumus sendiri.
13
DAFTAR PUSTAKA
http://fkip-umt.ac.id/downloads http://viet5pusvitasarry.blogspot.ae/2012/12/definisi-prinsip-dan-pemakaian-or.html https://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/10/13/metode-numerik-01-pengantar-metodenumerik http://dewamahardika.blogspot.ae/2012/11/pengertian-dan-prinsip-metode-numerik.html
14
