Metode Numerik Dichotomus

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus Contoh Soal

Metode Numerik Dichotomus Rukmono Budi Utomo Prodi S1 Pendidikan Matematika UMT

April 4, 2016

Rukmono Budi Utomo

Metode Numerik Dichotomus




Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Rukmono Budi Utomo



Metode Numerik Dichotomus Metode Numerik Dichotomus adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x yang meminimumkan suatu fungsi dari f (x). I

Metode Numerik ini analogi nya sama seperti metode numerik lainnya seperti GR, Fibonacci dan biseksi, namun tentu saja memiliki karakteristik tersendiri

Rukmono Budi Utomo



Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut I

Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut

Rukmono Budi Utomo





I

Tetapkan konstanta > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan

Rukmono Budi Utomo





I


I

Tetapkan interval awal [a1 , b1 ] . Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di atas

Rukmono Budi Utomo





I


I


I

Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 12 )n ≤

Rukmono Budi Utomo

l b−a





I


I


I

Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 12 )n ≤

Rukmono Budi Utomo

l b−a



lanjutan I

Penentuan λk dan µk dilakukan dengan cara: λk =

ak +bk 2

− dan µk =

Rukmono Budi Utomo

ak +bk 2

+



lanjutan I


I

ak +bk 2

− dan µk =

ak +bk 2

+

Kondisi 1 Jika F (λk ) < F (µk ), pilih ak+1 = ak dan bk+1 = µk Kondisi 2 Jika F (λk ) > F (µk ), pilih ak+1 = λk dan bk+1 = bk

Rukmono Budi Utomo



lanjutan I


ak +bk 2

− dan µk =

ak +bk 2

+

I

Kondisi 1 Jika F (λk ) < F (µk ), pilih ak+1 = ak dan bk+1 = µk Kondisi 2 Jika F (λk ) > F (µk ), pilih ak+1 = λk dan bk+1 = bk

I

Iterasi berhenti ketika bk − ak < l

Rukmono Budi Utomo



Contoh Soal Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3 dengan selang awal [0, 2], = 0.01 dan l = 0.1 Solusi I

Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan l 1 = 20 , didapatkan n = 5 ( 12 )n ≤ b−a

Rukmono Budi Utomo





I

λ1 = 0+2 2 − 0.01 dan µ1 = dan µ1 = 1.01

Rukmono Budi Utomo

0+2 2

+ 0.01 , didapatkan λ1 = 0.99





I

λ1 = 0+2 2 − 0.01 dan µ1 = dan µ1 = 1.01

I

F (λ1 ) = 0.0102 > F (λ2 ) = −0.0098, dengan demikian a2 = 0.99 dan b2 = 2

Rukmono Budi Utomo

0+2 2

+ 0.01 , didapatkan λ1 = 0.99





I

λ1 = 0+2 2 − 0.01 dan µ1 = dan µ1 = 1.01

I

F (λ1 ) = 0.0102 > F (λ2 ) = −0.0098, dengan demikian a2 = 0.99 dan b2 = 2

I

b1 − a1 = 2 > 0.1 = l, iterasi dilanjutkan sampai terpenuhinya kondisi bk − ak < l

Rukmono Budi Utomo

0+2 2

+ 0.01 , didapatkan λ1 = 0.99



lanjutan Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini: ak 0 0.99 0.99 ... ... 1.2375

bk 2 2 1.505 ... ... 1.319375

λk 0.99 1.485 1.2375 ... ... ...

Rukmono Budi Utomo

µk 1.01 1.505 1.2575 ... ... ...

F (λk ) 0.0102 -0.01455 -0.1247 ... ... ...


F (µk ) -0.0098 0.00505 -0.1249 ... ... ...


lanjutan Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini: ak 0 0.99 0.99 ... ... 1.2375

bk 2 2 1.505 ... ... 1.319375

λk 0.99 1.485 1.2375 ... ... ...

µk 1.01 1.505 1.2575 ... ... ...

F (λk ) 0.0102 -0.01455 -0.1247 ... ... ...

F (µk ) -0.0098 0.00505 -0.1249 ... ... ...

Terlihat bahwa pada iterasi ke 6, bk − ak < 0.1 = l dengan demikian iterasi berhenti dan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3 ada pada selang [1.2375, 1.319375] dengan hampiran solusi x ∗ = 1.2784375 dan nilai F (x ∗ ) = −0.123383

Rukmono Budi Utomo



lanjutan Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3 adalah x = 1.25 dengan F (x ∗ ) = −0.125. Eror kesalahan nilai hampiran numerik adalah = |1.2784375 − 1.25| = 0.0284375 dengan eror nilai F (x ∗ ) terhadap F (x) adalah 0.001617

Rukmono Budi Utomo



lanjutan Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang meminimumkan fungsi F (x) = 2x 2 − 5x + 3 adalah x = 1.25 dengan F (x ∗ ) = −0.125. Eror kesalahan nilai hampiran numerik adalah = |1.2784375 − 1.25| = 0.0284375 dengan eror nilai F (x ∗ ) terhadap F (x) adalah 0.001617 Tugas Tentukan nilai x yang meminimumkan F (x) = X 3 − 3X 2 dengan selang awal [0, 4] , = l = 0 + JumlahanNim. Kumpulkan Minggu depan.

Rukmono Budi Utomo


Metode Numerik Dichotomus

Recommend Documents