Metode Numerik. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik. By : Muhtadin

Metode Numerik

Muhtadin, ST. MT.

Metode Numerik. By : Muhtadin

Agenda • Intro – Rencana Pembelajaran – Ketentuan Penilaian • Deret Taylor & McLaurin • Analisis Galat


2

Metode Numerik & Teknik Komputasi - Intro


3

Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memiliki pengetahuan dan mampu menggunakan pendekatan numerik dan berbagai algoritma untuk menyelesaikan mengenai berbagai macam persoalan dalam bidang rekayasa.

Kompetensi :  Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan metode-metode numerik untuk menyelesaikan persoalan yang sulit diselesaikan dengan cara analitik.  Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan algoritmaalgoritma dalam menyelesaikan persoalan sorting, searching, dan optimasi.


4

Pokok Bahasan  Deret Taylor, algoritma rekursi, analisis galat dan kompleksitas komputasi.  Mencari solusi untuk persamaan linier dan non linier.  Pencocokan kurva dengan metode regresi dan interpolasi.  Turunan dan integrasi numerik.  Penyelesaian persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial.  Optimasi numerik.


5

Pustaka Utama : 1.

Munir R., “Metode Numerik”, Informatika Bandung, 2005

Prasyarat : Pemrograman Komputer dan Kalkulus I.


6

Perlu belajar metode numerik ? • Persoalan / permasalahan dalam bidang science hampir selalu melibatkan “MODEL MATEMATIKA“ • Kebanyakan dari Model tersebut sangat kompleks – Sulit untuk dipecahkan – Sangat sulit atau bahkan tidak mungkin menggunakan metode analitis untuk menghasilkan “Hasil Exact“. • Metode Analitis adalah metode untuk memecahkan model matematis menggunakan aljabar umum


7

Metode Numerik menggunakan Komputer • Metode numerik: operasi aritmatis, mudah namun memerlukan proses panjang – Menyebabkan perhitungan yang lambat dan rawan terhadap human errors. • Perlu menggunakan Mesin Komputer. • Bahasa pemrograman tingkat tinggi : PASCAL, C, Python,etc. Aplikasi komersial : MATLAB, MAPLE, etc.


8

ANALYTIC VS NUMERIC


9


10

Bungee-Jumping • Sesuai Hukum kedua Newton • Model Matematika :


11

Bungee-Jumping Analytic • Seseorang mencoba Bungee-Jumping dengan berat 68.1 Kg. Hitunglah kecepatan untuk 12 detik pertama, dengan koefisien hambatan 0.25 kg/m


12

Bungee-Jumping Analytic


13

Bungee-Jumping Numeric


14

Bungee-Jumping Numeric • Seseorang mencoba Bungee-Jumping dengan berat 68.1 Kg. Hitunglah kecepatan untuk 12 detik pertama, dengan koefisien hambatan 0.25 kg/m. Hitung kecepatan setiap selang 2 detik t=2

t=4


15

Bungee-Jumping Numeric


16

Accuracy vs Precision • Akurasi mengacu pada seberapa dekat nilai dihitung dan diukur sesuai dengan nilai sebenarnya • Presisi mengacu pada seberapa dekat nilai-nilai dihitung atau diukur secara individu sesuai dengan satu dan lainnya


17

Teorema Pendekatan  Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran / pendekatan – Biasanya dalam bentuk polinomial

 Perhitungan dengan menggunakan fungsi yang sesungguhnya akan didapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati)  Perhitungan dengan menggunakan fungsi hampiran / pendekatan akan didapatkan hasil solusi hampiran (solusi pendekatan)  Hubungan antara nilai eksak dengan nilai hampiran dapat diberikan dalam bentuk kesalahan absolut dan kesalahan relatif – Kesalahan Absolut : Ee = p – p* – Kesalahan Relatif : ε = (Ea / p) x 100% • Untuk kasus-kasus yang tidak diketahui nilai eksaknya, biasanya iterasi dihentikan ketika memenuhi syarat : dimana : Metode Numerik. By : Muhtadin

Contoh Soal  Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif : Jawab :  Kesalahan absolut : – Jembatan = 1 cm. – Pensil = 1 cm.

 Kesalahan relatif : – Jembatan = 0.01 % – Pensil = 10 %


19

ERROR ANALYSIS

Error Pembulatan


20

Representasi Angka

• Karena kita memiliki 10 jari tangan dan 10 jari kaki, maka Representasi angka yang familier bagi kita adalah base-10 ( desimal) • Terdiri dari angka 0 s/d 9, dan gabungannya untuk menyatakan angka yang lebih besar • Setiap digit, memiliki nilai yang berbeda tergantung posisinya • Contoh angka : 8642.9 


21

Representasi angka pada Komputer • Menggunakan binary atau base-2 • Contoh 101.12 

• Representasi integer pada komputer, biasanya menggunakan 1 bit sebagai penanda, contoh 173 : Representasi pada komputer 16 bit :


22

Representasi Floating point • Representasi floating point pada base-10

dengan s = significand (mantissa), b = basis, e = exponent (pangkat) Contoh, Representasi base-10 dengan menggunakan 5-digit:

dengan s0 dan s1 adalah penanda, d0 adalah magnitude dari pangkat, d1 dan d2 adalah magnitude dari significant digit


23

Contoh • Contoh 1 : Representasi pada komputasi 5 bit adalah : atau 0.031 maka error pembulatannya adalah :

• Contoh 2 : Representasi adalah :

error pembulatannya :


24

Deret Taylor & McLaurin


25

Overview – Polynomial – Deret Taylor – Deret MacLaurin


26

Deret Taylor • Metode Numerik: Pendekatan menggunakan polynomial error. Definisi : Jika f dan semua fungsi turunannya (f’, f’’, f’’’,…) kontinyu pada interval [a, b], maka f(x) dapat diperluas dalam deret Taylor :

( x  x0 ) ( x  x0 ) 2 ( x  x0 ) m ( m ) f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )  f ' ' ( x0 )  ...  f ( x0 )  ... 1! 2! m!

• Jika x0 = 0  Deret MacLaurin.


27

• Pendekatan f(x) = sin(x) menggunakan deret taylor disekitar x0 = 1. Dengan asumsi x – 1 = h; h2 h3 sin( x)  sin(1)  h cos(1)  sin(1)  cos(1)  ... 2 6

• Pendekatan sin(x), ex, cos(x) menggunakan Deret McLaurin. x3 x5 sin( x)  x    ... 3! 5! 2 3 4 x x x ex  1 x     ... 2! 3! 4! x2 x4 x6 cos(x)  1     ... 2! 4! 6!


28

Contoh Deret Taylor • Cari Deret Taylor dari fungsi f(x) = sin(x) dengan titik pusat pada x = 0!


29

• Deret Taylornya

• Polinomial Taylor


30

Contoh Deret Taylor Contoh soal Hitung sin 5 menggunakan deret taylor Jawab : Sin x = Karena 360 = 2rad, maka 1 rad = 180/  = 57,295 Jadi 5= 5 / 57,295 = 0,087266 Masukkan kedalam deret tailor sinus.


31

Contoh Deret Taylor


32

Contoh Deret Taylor • Deret Taylornya :

• Polinomial Taylor


33

Contoh Deret Taylor


34

Deret Taylor yang Terpotong • Kita tidak dapat menentukan semua deret Taylor – Tak berhingga ! • Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga; • Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.


35

Deret Taylor yang Terpotong Untuk menemukan suku ke n order perpotongan deret Taylor

( x  x0 ) 2 f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) 2! n ( x  x ) 0    f ( n ) ( x0 ) n!


36

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong • Temukan deret taylor hingga order 3 dari fungsi berikut ini :

f ( x)  cos(2 x) • Dengan titik pusat pada

x0 


 4

37

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong • Untuk pendekatan hingga order 3 :

f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) ( x  x0 ) 2 ( x  x0 ) 3  f ( x0 )  f ( x0 ) 2! 3! • Oleh karena itu kita perlu untuk menentukan turunan fungsi hingga turunan ketiga dari titik pusat.


38

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong

f ( x)  cos(2 x) f ( x)  2 sin( 2 x) f ( x)  4 cos(2 x) f ( x)  8 sin( 2 x)


     f    cos   0 4 2      f    2 sin    2 4 2        f    4 cos   0 4 2      f    8 sin    8 4 2

39

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong f ( x )  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) ( x  x0 ) 2 ( x  x0 ) 3  f ( x0 )  f ( x0 ) 2! 3!     f ( x)  0  2   x   4 

   x  4   0 2!

2

   x  4   8 3!   4



  f ( x)  2 x     x   4  3 4  Metode Numerik. By : Muhtadin

3

3

40

Quiz • Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 10𝑥 2 + 5, – Dengan menggunakan deret taylor order nol, satu, dua dan tiga; perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1= 5 berdasarkan fungsi pada titik xi =0. – Bandingkan dengan nilai eksak untuk x = 5 – Berapakah nilai relative true error dari nilai hasil perkiraan dengan nilai eksaknya?


41

TERIMA KASIH


42

Metode Numerik. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik. By : Muhtadin

Recommend Documents