Definisi Metode Numerik Seringkali kita menjumpai suatu model matematis yang berbentuk persamaan, baik itu linier ataupun non-linier, sistem persamaan linier ataupun sistem persamaan non-linier, differensial, integral maupun persamaan differensial biasa. Selanjutnya, ditunjukkan atau
bagaimana
mencari
penyelesaian
dari
model
matematis
tersebut. Penyelesaian tersebut dapat berupa penyelesaian secara analitis atau bukan analitis. Khusus penyelesaian secara analitis ini, model matematis tersebut diselesaikan
menggunakan
teori
atau
metode
dan
analisa
matematika yang telah ada sedemikian hingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian eksak. Sedangkan untuk penyelesaian bukan secara
analitis,
diperoleh
penyelesaian
dengan
dikembangkan
untuk
dari
menggunakan menangani
model
matematis
metode model
tersebut
pendekatan matematis
yang
tersebut
sedemikian hingga penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Sehingga, penyelesaian tersebut bukan penyelesaian eksak. Metode pendekatan tersebut selanjutnya disebut Metode
Numerik. Seiring dengan pesatnya perkembangan komputer digital, metode
numerik
banyak
digunakan
untuk
menyelesaikan
permasalahan-permasalahan riil, yang mana penyelesaian eksak sangat sulit untuk diperoleh. 1
Bilangan Pendekatan & Angka yang Berarti Manusia pada umumnya menyajikan bilangan dalam bentuk decimal
(basis
10)
atau
menggunakan
binary
(basis
2)
atau
hexadecimal (basis 16) atau juga basis 8. Pada operasi aritmatika, misalnya pembagian, seringkali menghasilkan bilangan decimal tak hingga
seperti
2/3.
Dalam
perhitungan
pendekatan,
bilangan
dibedakan antara bilangan yang mutlak eksak dan bilangan yang menyatakan nilai pendekatan. Bilangan seperti, 2, 1/3, 100, π, dan e adalah bilangan eksak.
2,
Bilangan-bilangan 3.1416, 1.4142
dan 2.7183 adalah bilangan pendekatan dari π,
2,
dan e.
Angka yang berarti adalah angka yang dapat digunakan dengan pasti atau dari digit 1, 2, 3, . . ., 9. Dan 0 juga suatu angka yang berarti kecuali jika 0 digunakan untuk menentukan letak titik desimal atau untuk mengisi tempat-tempat dari digit yang tidak diketahui atau dibuang.
Contoh 1 : Bilangan 0.001845 maka angka yang berarti adalah 1, 8, 4, dan 5, sedangkan nol hanya untuk menentukan tempat titik decimal (bukan angka berarti).
Contoh 2 : Pada bilangan seperti 45200 yang dapat ditulis 4.52 x 104 atau 4.520 x 104 atau 4.5200 x 104, maka faktor sebelah kiri yang menentukan banyaknya angka yang berarti yaitu 4 atau 2 atau 5. 2
Kesalahan Dalam suatu perhitungan dengan menggunakan metode numerik, seringkali digunakan komputer digital. Sehingga, sangat jarang sekali
perhitungan
menghasilkan
tersebut
penyelesaian
diselesaikan
eksak.
Secara
sedemikian umum,
pada
hingga suatu
perhitungan numerik, suatu bilangan dinyatakan dalam bentuk desimal. Ini berarti bahwa apabila diambil contoh bilangan 8 maka bilangan tersebut cenderung dinyatakan dengan 7,999..9 atau 8,000…1. Karena itu, dalam semua perhitungan numerik yang menggunakan
komputer
digital
selalu
mengandung
kesalahan
meskipun itu sangat kecil sekali. Hal ini yang menjadi perhatian apabila
menyelesaikan
suatu
permasalahan
perhitungan
dengan
metode numerik menggunakan komputer digital. Dan yang penting adalah sampai batas mana kesalahan tersebut dapat diterima, khususnya pada masalah teknik. Terdapat
beberapa
jenis
error
yang
biasa
terjadi
dalam
perhitungan numerik, yaitu absolute error, relative error, Round-
off error, truncation error dan propogated error.
3
(1). Absolute Error dan Relatif Error Kesalahan mutlak dari suatu bilangan adalah nilai mutlak dari selisih antara nilai sebenarnya dengan suatu nilai pendekatan pada nilai sebenarnya.
Ea = x − x * Kesalahan relative adalah perbandingan antara kesalahan mutlak dengan nilai sebenarnya.
x − x* Er = x Sedangkan
untuk
prosentase
kesalahan
adalah
besarnya
relative error dikalikan dengan 100%.
x − x* Ep = x100% x (2). Round-Off Error (Error Pembulatan) Error
pembulatan
terjadi
karena
computer
hanya
mempertahankan sejumlah angka tetap yang berarti selama proses perhitungan. Bilangan-bilangan seperti π, e,
7 tidak
dapat diekspresikan oleh sejumlah angka tetap yang berarti. Oleh karena itu, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan secara eksak oleh computer.
4
Error
pembulatan
pembulatan
suatu
adalah
error
yang
terjadi
akibat
bilangan
sampai
pada
beberapa
digit
tertentu.
Contoh : 1. Misalkan sebuah mesin hitung hanya mampu menampilkan bilangan sampai 10 angka di belakang koma. Untuk bilangan
1.234769123197,
akan
dibulatkan
menjadi
1.2347691232.Dan error yang didapat : Ea = 0.000000000003. 2. Misalkan nilai π =3.1415926535 Cara pemenggalan : π =3.141592 dengan Error yang didapat : Ea = 0.00000065 Cara pembulatan : π =3.141593 dengan Error yang didapat : Ea = 0.00000035 Ternyata round-off error cara pembulatan lebih baik dari pemenggalan.
(3). Truncation Error (Error Pemotongan) Truncation
error
merupakan
error
yang
terjadi
karena
pemotongan dari suatu deret tak hingga menjadi deret berhingga. Pendekatan yang sering dipakai pada penyelesaian numeric
adalah
permasalahan
deret
biasanya
Taylor. perhatian
Untuk hanya
menyederhanakan ditujukan
pada 5
beberapa suku dari deret Taylor tersebut, sedangkan suku lainnya diabaikan. Pengabaian suku inilah yang menyebabkan
truncation error. Contoh :
Selanjutnya, seandainya dihitung exp(1/3). Apabila exp(1/3) dinyatakan
dengan
exp(0.3333) maka akan muncul suatu
kesalahan, yaitu :
dimana x1 adalah kesalahan yang berkembang ( Propagated error ). Apabila deret (1) tersebut dipotong setelah suku yang ke –5 , maka diperoleh kesalahan pemotongan x2 , yaitu :
Selanjutnya,
dan
ini
menimbulkan
kesalahan
akibat
pembulatan
yaitu -0.0000296304 sehingga kesalahan totalnya adalah 0.0001124250. 6
(4). Propagated Error (Error Perambatan) Propagated error merupakan error yang terjadi pada suatu algoritma yang agak rumit karena adanya operasi matematik. Misalnya penjumlahan dua bilangan positif, sebelum dilakukan penjumlahan kita rubah bilangan menjadi bilangan floatingpoint dengan cara pemenggalan atau pembulatan.
x1 = fl ( x1 )
x 2 = fl ( x 2 )
pada saat kita melakukan operasi matematika
x1 + x 2
⇒
x1 ⊕ x 2 ⇒
jumlah bilangan floating-point jumlah hasil pemenggalan atau pembulatan
Error absolute dari nilai eksak :
(x
Ea = Error
perambatan
floating-point :
1
+ x 2 ) − ( x1 ⊕ x 2 )
sebagai
akibat
konversi
ke
bilangan
Ep = ( x1 + x 2 ) − ( x1 + x 2 )
= (x 1 − x 1 ) + ( x 2 − x 2 ) Dan akibat pembulatan muncul round-off error :
(x
1
+ x 2 ) − ( x1 ⊕ x 2 )
7
8
