Metode Numerik & Lab. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

Metode Numerik & Lab

Muhtadin, ST. MT.

Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

Agenda • Intro – Rencana Pembelajaran – Ketentuan Penilaian • Deret Taylor & McLaurin • Analisis Galat


2

Metode Numerik & Lab - Intro


3

Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memiliki pengetahuan dan mampu menggunakan pendekatan numerik dan berbagai algoritma untuk menyelesaikan mengenai berbagai macam persoalan dalam bidang rekayasa.

Kompetensi :  Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan metode-metode numerik untuk menyelesaikan persoalan yang sulit diselesaikan dengan cara analitik.


4

Pokok Bahasan  Deret Taylor, algoritma rekursi, analisis galat dan kompleksitas komputasi.  Mencari solusi untuk persamaan linier dan non linier.  Pencocokan kurva dengan metode regresi dan interpolasi.  Turunan dan integrasi numerik.  Penyelesaian persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial.  Optimasi numerik.


5

Pustaka Utama : 1. 2.

Munir R., “Metode Numerik”, Informatika Bandung, 2005 Cormen T., Leiserson C., Rivest R., Stein C., “Introduction to Algorithms”, 2nd Edition, Mc Graw Hill international Edition, 2004.

Prasyarat : Pemrograman Komputer dan Kalkulus I.


6

Perlu belajar metode numerik ? • Persoalan / permasalahan dalam bidang science hampir selalu melibatkan “MODEL MATEMATIKA“ • Kebanyakan dari Model tersebut sangat kompleks – Sulit untuk dipecahkan – Sangat sulit atau bahkan tidak mungkin menggunakan metode analitis untuk menghasilkan “Hasil Exact“. • Metode Analitis adalah metode untuk memecahkan model matematis menggunakan aljabar umum


7

Contoh

2

3

4

x x x e  1  x     .... 2! 3! 4! x

1.2  3b  12c  12d  4.8e  5.5 f  100g  18 0.9a  3b  c  16d  8e  7 f  32 g  4 1.1a  2b  3c  4.5d  8e  67 f  23g  12 4.4a  3.2b  6.4c  2.1d  6.6e  7.1 f  9 g  11 3.1a  5b  6c  9d  18e  22 f  9.3 g  15 76a  43b  45c  7.8d  9e  8.1 f  0.7 g  100 3.2a  3.4b  7c  8d  9e  3 f  2 g  7 Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

8

Metode Numerik menggunakan Komputer • Metode numerik: operasi aritmatis, mudah namun memerlukan proses panjang – Menyebabkan perhitungan yang lambat dan rawan terhadap human errors. • Perlu menggunakan Mesin Komputer. • Bahasa pemrograman tingkat tinggi : PASCAL, C, Python,etc. Aplikasi komersial : MATLAB, MAPLE, etc.


9

Teorema Pendekatan  Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran / pendekatan – Biasanya dalam bentuk polinomial

 Perhitungan dengan menggunakan fungsi yang sesungguhnya akan didapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati)  Perhitungan dengan menggunakan fungsi hampiran / pendekatan akan didapatkan hasil solusi hampiran (solusi pendekatan)  Hubungan antara nilai eksak dengan nilai hampiran dapat diberikan dalam bentuk kesalahan absolut dan kesalahan relatif

– Kesalahan Absolut : Ee = p – p* – Kesalahan Relatif : ε = (Ea / p) x 100%


Contoh Soal  Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif : Jawab :  Kesalahan absolut : – Jembatan = 1 cm. – Pensil = 1 cm.

 Kesalahan relatif : – Jembatan = 0.01 % – Pensil = 10 %


11

Deret Taylor & McLaurin


12

Overview – Polynomial – Deret Taylor – Deret MacLaurin


13

Deret Taylor • Metode Numerik: Pendekatan menggunakan polynomial error. Definisi :

Jika f dan semua fungsi turunannya (f’, f’’, f’’’,…) kontinyu pada interval [a, b], maka f(x) dapat diperluas dalam deret Taylor :

( x  x0 ) ( x  x0 ) 2 ( x  x0 ) m ( m ) f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )  f ' ' ( x0 )  ...  f ( x0 )  ... 1! 2! m!

• Jika x0 = 0  Deret MacLaurin.


14

• Pendekatan f(x) = sin(x) menggunakan deret taylor disekitar x0 = 1. Dengan asumsi x – 1 = h; h2 h3 sin( x)  sin(1)  h cos(1)  sin(1)  cos(1)  ... 2 6

• Pendekatan sin(x), ex, cos(x) menggunakan Deret McLaurin. x3 x5 sin( x)  x    ... 3! 5! 2 3 4 x x x ex  1 x     ... 2! 3! 4! x2 x4 x6 cos(x)  1     ... 2! 4! 6!


15

Contoh Deret Taylor • Cari Deret Taylor dari fungsi f(x) = sin(x) dengan titik pusat pada x = 0!


16

• Deret Taylornya

• Polinomial Taylor


17

Contoh Deret Taylor Contoh soal Hitung sin 5 menggunakan deret taylor Jawab : Sin x = Karena 360 = 2rad, maka 1 rad = 180/  = 57,295 Jadi 5= 5 / 57,295 = 0,087266 Masukkan kedalam deret tailor sinus.


18

Contoh Deret Taylor


19

Contoh Deret Taylor • Deret Taylornya :

• Polinomial Taylor


20

Contoh Deret Taylor


21

Deret Taylor yang Terpotong • Kita tidak dapat menentukan semua deret Taylor – Tak berhingga ! • Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga; • Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.


22

Deret Taylor yang Terpotong Untuk menemukan suku ke n order perpotongan deret Taylor

( x  x0 ) 2 f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) 2! n ( x  x ) 0    f ( n ) ( x0 ) n!


23

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong • Temukan deret taylor hingga order 3 dari fungsi berikut ini :

f ( x)  cos(2 x) • Dengan titik pusat pada

x0 


 4

24

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong • Untuk pendekatan hingga order 3 :

f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) ( x  x0 ) 2 ( x  x0 ) 3  f ( x0 )  f ( x0 ) 2! 3! • Oleh karena itu kita perlu untuk menentukan turunan fungsi hingga turunan ketiga dari titik pusat.


25

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong

f ( x)  cos(2 x) f ( x)  2 sin( 2 x)

     f    cos   0 4 2      f    2 sin    2 4 2

f ( x)  4 cos(2 x) f ( x)  8 sin( 2 x)


       f    4 cos   0 4 2      f    8 sin    8 4 2

26

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong f ( x )  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) ( x  x0 ) 2 ( x  x0 ) 3  f ( x0 )  f ( x0 ) 2! 3!     f ( x)  0  2   x   4 

   x  4   0 2!

2

   x  4   8 3!   4



  f ( x)  2 x     x   4  3 4  Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

3

3

27

Quiz • Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 10𝑥 2 + 5, – Dengan menggunakan deret taylor order nol, satu, dua dan tiga; perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1= 5 berdasarkan fungsi pada titik xi =0. – Bandingkan dengan nilai eksak untuk x = 5 – Berapakah nilai relative true error dari nilai hasil perkiraan dengan nilai eksaknya?


28

TERIMA KASIH


29

Metode Numerik & Lab. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

Recommend Documents