BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK

Metode Numerik untuk Teknik Mesin

2012

BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK Metode numerik merupakan metode pemrosesan dari data numerik (diskret) menjadi hasil numerik, dimana metode ini mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan dan kasus dengan geometri yang komplek yang biasa dijumpai di kasus rekayasa dan seringkali sulit untuk diselesaikan dengan cara analitis. Analisa numerik dapat diartikan sebagai analisa mempergunakan algoritma dari metode numerik. Analisa numerik memunculkan dua sisi yang menarik yaitu dapat menjadi :  IPTEK (science) : Bagian dari matematika dimana algoritma yang dipakai dikembangkan dari persamaan-persamaan matematika tertentu.  Seni (art) : Berkaitan dengan penentuan cara terbaik untuk menyelesaikan suatu persoalan matematika. Penyelesaian persoalan matematika dapat diselesaikan dengan cara analitis (eksak), grafis dan numerik. Metode analitis mempunyai keunggulan dalam hasilnya yang eksak, tetapi biasanya terbatas untuk kemudahan penyelesaian pada masalah yang dengan asumsi linear dan pada kasus geometri yang sederhana. Metode grafis bertujuan untuk menggambarkan perilaku system dalam bentuk gambar atau nomograf dengan keterbatasan hanya mampu maksimal menguraikan masalah dengan menggunakan gambar tiga dimensi. Jenis persoalan Matematika yang akan diselesaikan dengan cara numerik dapat digolongkan sebagai berikut: 1. Akar-akar persamaan 2. Persamaan aljabar linear serentak 3. Interpolasi 4. Pencocokan kurva (curve fitting) 5. Persamaan differensial biasa 6. Persamaan differensial parsial 7. Integrasi Numerik Penyelesaian suatu persoalan matematika dengan metode numerik umumnya dapat diselesaikan dengan lebih dari satu metode sehingga harus dipilih metode terbaik yang dapat menghasilkan penyelesaian yang efisien dan efektif serta tidak menghasilkan error yang besar. Cara memilih metode terbaik : 1. Mengetahui jenis-jenis metode yang ada 2. Mengetahui bagaimana metode-metode tersebut bekerja.

1


2012

3. Mengetahui kelemahan dan kelebihan metode-metode. 4. Mempunyai faktor intuisi dan pengalaman dalam menerapkan metode-metode di atas. Dengan mempelajari metode numerik akan memberikan sarana langsung dalam belajar pemrograman komputer. Dengan perkembangan hardware dan software saat ini sangat mendukung ketrampilan dalam memanfaatkan komputer sebagai alat bantu dalam menyelesaikan kasus rekayasa di bidang teknik mesin. Dengan memahami dan terbiasa dengan metode numerik akan memberikan kemampuan lebih untuk merancang program sendiri tanpa harus membeli program paket yang mahal. Beberapa bahasa program yang umum digunakan adalah FORTRAN, PASCAL, DELPHI, VISUAL BASIC, C++ dan banyak bahasa program lainnya. Ciri-ciri pemrograman terstruktur harus mempunyai kriteria yaitu :  Benar  Mudah Difahami  Mudah Dimodifikasi Salah satu yang menjadi kelemahan metode numerik adalah munculnya galat atau error dikarenakan metode ini melibatkan suatu pendekatan/aproksimasi hasil dari metode analitis. Galat yang umum dijumpai meliputi : 1. Galat Sintaksis  Melanggar kaidah bahasa pemrograman 2. Galat waktu running  Terjadi selama eksekusi program 3. Galat logika  Kesalahan logika program 4. Galat pembulatan  Komputer hanya mampu mempertahankan sejumlah angka tetap angka benar selama perhitungan. Galat pembulatan merupakan galat yang paling sering dijumpai terutama dalam perhitungan metode numerik secara manual untuk latihan, quiz maupun ujian kuliah. Contoh pada bilangan-bilangan seperti  dan 5 tidak dapat diekspresikan sebagai sejumlah tetap angka benar. Untuk itu yang harus diperhatikan dalam latihan metode numerik adalah penggunaan yang konsisten jumlah angka di belakang koma selama perhitungan. Kontrol kualitas program numerik mencakup pekerjaan dalam : 1. DEBUGGING  Perbaikan galat yang diketahui 2. PENGUJIAN  Mendeteksi galat yang tidak diketahui

2


2012

Berikut disajikan flowchart tahapan-tahapan dalam merancang dan mengembangkan program yang berbasis metode numerik.

RANCANG BANGUN ALGORITMA  Pengembangan yang mendasari logika program

KOMPOSISI PROGRAM  Penulisan program dalam bahasa komputer

PENCARIAN DAN PENGUJIAN

 Pemastian bahwa program bebas Galat dan andal

DOKUMENTASI  Membuat program mudah digunakan dan dipahami

PENYIMPANAN DAN PERAWATAN  Menyimpan program dan memperbaikinya sesuai pengalaman dan kebutuhan pasar

3


2012

BAB II. AKAR-AKAR PERSAMAAN Penyelesaian kasus akar-akar persamaan dapat digolongkan menjadi dua metode yaitu : 1. Metode pengurung (Bracketing Methods)  Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar dan kemudian secara bersistem mengurangi lebar kurungan. Contoh : Bisection, Regula Falsi. 2. Metode terbuka (Open Methods)  Iterasi coba-coba yang sistematis. Contoh : Newton Raphson, Secant. 2.1.

Metode Bagi Dua (Bisection Methods)

Perumusan mencari akar : Evaluasi :

xmid =

f (xmid) = 0

x n1  x n 2



|f (xmid)|  

y = f(x)

y

f(x2)

f(xmid) x1

x x2

xmid

f(x1)

Misal : Tentukan nilai nol dari suatu fungsi y = x3 - 7 x + 1 Pertama tentukan nilai awal untuk x1 dan x2 sehingga didapatkan f (x1) dan f (x2) yang berbeda tanda, yang berarti titik penyelesaian ada di sekitar itu. Buat tabel untuk mempermudah pembacaan prosesnya. No x1 x2 f(x1) f(x2) xmid 1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,55

f(xmid) -0,269

f(x1) dan f(xmid) sama tanda  x1 = xmid 2

2,55

2,6

-0,269

0,376

2,575

0,049

4


2012


2,55

2,575

-0,269

0,049

2,562

-0,117


2,562

2,575

-0,117

0,049

2,568

-0,041


2,568

2,575

-0,041

0,049

2,572

0,010


2,568

2,572

-0,041

0,010

2,570

-0,015


2,570

2,572

-0,041

0,010

2,571

-0,003

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571. Algoritma Metode Biseksi START Cari posisi akar f(xn) dan f(xn+1) beda tanda

Hitung xmid =

x n1  x n , f (xmid) 2

f(xn), f(xmid) sama tanda ? Tidak

Tidak

xn+1 = xmid f (xn+1) = f (xmid) f (xn), f (xmid) sama tanda |f (xmid)|   Ya STOP

Ya

A pxn = xmid f (x an) = f (xmid) k a h

A p a k a h

|f (xmid)|  

5


2012

2.2. Metode Posisi Palsu (False Position Methods)  

Berdasar interpolasi linear antara 2 harga mempunyai tanda berbeda  f(x1) . f(x2) < 0 Konvergensi yang dihasilkan cepat.

f(x)

yang

y y = f(x) f(x2)

x1

x3

x4

x x2

f(x1) f(x1) dan f(x2) berbeda tanda berarti ada akar antara x 1 dan x2. Perumusan mencari akar :

 x n1  x n  x* = xn – f(xn)    f (x n1 )  f (x n )  Evaluasi suatu akar : | f(x*) |   Algoritma Metode Posisi Palsu = Algoritma Metode Biseksi hanya x  xn tinggal mengganti rumusan xmid = n1 menjadi x* = xn – f(xn) 2  x n1  x n     f (x n1 )  f (x n )  No 1

x1 2,5

x2 2,6

f(x1) -0,875

f(x2) 0,376

x* 2,57

f(x*) -0,015


2,57

2,6

-0,015

0,376

2,571

0,003

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571. Terlihat dengan metode ini hanya dibutuhkan 2 iterasi sehingga konvergensi lebih cepat dibandingkan dengan metode biseksi.

6


2012

2.3. Metode Newton    

Tidak perlu mencari 2 harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda. Konvergensi yang dihasilkan cepat. Perlu menghitung turunan fungsi f’(x). Kelemahan : - tidak selalu menemukan akar (divergen). - kemungkinan mencari f’(x) sukar. - Penetapan harga awal sulit.

Dari deret Taylor : f(xn + h) = f(xn) + h f’(xn) +

h2 f’’(x) + ….. 2

diabaikan

Jika xn + h adalah akar  f(xn + h) = 0 f (xn ) 0 = f(xn) + h f’(xn)  h = f' (xn ) Perumusan mencari akar : xn+1 = xn + h = xn -

f (xn ) f' (xn )

Algoritma Metode Newton START

START

Pilih Xn yang cocok

Cari xn+1, f (xn+1) f (xn ) xn + 1 = xn f' (xn )

|f (xn + 1)|   Ya STOP

Tidak xn = xn+1

A p a k a h

|f (xn + 1)|  

7


2012

2.4. Metode Secant   

Tidak perlu mencari 2 fungsi dengan tanda berbeda. Kombinasi Metode Newton dan Metode Posisi Palsu. Tanpa mencari turunan fungsi f’(x).

y = f(x)

y

x0

x1

x3

x2

x

E B C

A



D

 x0 dan x1 dipilih  x 2 = x1 +   Segitiga ABC  segitiga DEA  x1  x0  - f (x1 ) - f (x0 )  f (x1) =   = - f(x1)   x1 - x0   f (x1)  f (x0 )   x1  x0  maka : x2 = x1 - f(x1)    f (x1)  f (x0 ) 

 x n  x n1  xn+1 = xn – f(xn)    f (x n )  f (x n1 ) 

Perumusan :

Algoritma Metode Secant = Algoritma Metode Newton, hanya tinggal mengganti rumusannya. Penggantian nilai dilakukan menurut urutan yang ketat, dengan nilai baru xn+1 menggantikan xn dan nilai xn menggantikan xn-1. Sehingga kadang dua nilai tersebut dapat pada posisi yang sama  kemungkinan divergen. SUMMARY

Metode pengurung Metode terbuka

   

JENIS Bisection Regula Falsi Newton-Raphson Secant

KELEBIHAN - Selalu Konvergen -Laju konvergen cepat - Cukup satu terkaan awal

KEKURANGAN -Laju konvergen lambat - Turunan harus dicari secara analitis - Bisa divergen

8


2012

TUGAS : Selesaikan dengan cara manual dan Buat program komputer dengan menggunakan metode di atas dan Uji hasil program dengan menyelesaikan fungsi sebagai berikut : y = x4 + 3 x3 + 2 x2 + 5 x Berikut listing program dengan menggunakan metode posisi palsu. program posisi_palsu; uses crt; var j,k,l,m,n,maxit,x1,x2,nb,na,xa,gmax : real; function f( a,b,c,d,e,x :real):real; begin f:=a*sqr(sqr(x))+b*x*sqr(x)+c*sqr(x)+d*x+e; end; {prosedur pengisian data} procedure data; begin clrscr; writeln('Menghitung akar persamaan '); writeln('f(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E '); writeln('dengan metode Posisi Palsu '); writeln; writeln; write('Masukan nilai A = '); readln(j); write('Masukan nilai B = '); readln(k); write('Masukan nilai C = '); readln(l); write('Masukan nilai D = '); readln(m); write('Masukan nilai E = '); readln(n); writeln; write('Batas Error = '); readln(gmax); write('Jumlah Iterasi Maks. = '); readln(maxit); write('Nilai bawah = '); readln(nb); write('Nilai atas = '); readln(na); clrscr; end; {prosedur perhitungan posisi palsu} procedure pospalsu; var iterasi : integer; galat,uji : real; x:real; begin writeln;

9


2012

writeln(' =========================================='); write(' Iterasi ke-');write(' '); write('Hasil');writeln; write(' =========================================='); x1:=nb; x2:=na; iterasi:=0; xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)-f(j,k,l,m,n,x1))); repeat iterasi:=iterasi+1; uji:=f(j,k,l,m,n,x1)*f(j,k,l,m,n,xa); if uji= 0 then xa:=0 else if uji < 0 then begin x1:=nb; x2:=xa; xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)f(j,k,l,m,n,x1))); writeln;write(' '); write(iterasi); write(' ',xa:3:5); end else if uji>0 then begin x1:=xa; x2:=na; xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)f(j,k,l,m,n,x1))); writeln;write(' '); write(iterasi);write(' ',xa:3:5); end; until (abs(f(j,k,l,m,n,xa))<=gmax) or (iterasi=maxit); writeln; writeln(' =========================================='); writeln; writeln('Persamaan : ',j:2:2,'X^4 + (',k:2:2,')X^3 + (',l:2:2,')X^2 + (',m:2:2,')X + (',n:2:2,')'); writeln('Jumlah Iterasi = ',iterasi,' Batas Error = ',gmax:3:5); writeln('Batas Bawah = ',nb:3:2,' Batas Atas = ',na:3:2);writeln; write('Salah satu akarnya adalah = ',xa:3:5); end; {prosedur / program utama} begin data; pospalsu; readln; end.

10


2012

HASIL RUNNING PROGRAM Menghitung akar persamaan f(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E dengan metode Posisi Palsu Masukan Masukan Masukan Masukan Masukan

nilai nilai nilai nilai nilai

A=1 B=3 C=2 D=5 E=0

Batas Error = 0.01 Jumlah Iterasi Maks. = 100 Nilai bawah = -3.5 Nilai atas = -1.5 ========================================= Iterasi keHasil ========================================== 1 -2.34464 2 -2.62648 3 -2.78083 4 -2.85257 5 -2.88317 6 -2.89572 7 -2.90078 8 -2.90281 9 -2.90362 10 -2.90395 ========================================== Persamaan : (1.00)X^4 + (3.00)X^3 + (2.00)X^2 + (5.00)X + (0.00) Jumlah Iterasi = 10 Batas Error = 0.01000 Batas Bawah = -3.50 Batas Atas = -1.50 Salah satu akarnya adalah = -2.90395

11


2012

BAB III. PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SERENTAK Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak : a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ..... + a2n xn = b2 . . an1 x1 + an2 x2 +

..... + ann xn = bn

a1 1 a  21  .  a  n1

b   1 b2  .........   .  .         . an2 ......... ann     .  x  b    n  n

a1 2 a2 2

.........

x  a1 n  1  x a2 n  2 

dimana a adalah koefisien-koefisien konstanta, b adalah konstantakonstanta dan n adalah banyaknya persamaan. Penyelesaian persamaan linear serentak dapat dilakukan cara : 1. Eliminasi  Eliminasi Gauss, Gauss Jordan. 2. Iterasi  Iterasi Jacobi, Gauss siedel. 3. Dekomposisi  Dekomposisi lower-upper (LU), Cholesky. 3.1. Eliminasi Gauss  Eliminasi bilangan unknown dengan menggabungkan persamaanpersamaan. Strategi : mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu bilangan unknown akan tereliminasi bilamana dua persamaan digabungkan. Kebutuhan : pemahaman Operasi Matrik Skema langkah eliminasi Gauss  a11 a12 a13   x1   b1  a      21 a22 a23   x 2   b2     a31 a32 a33    x 3  b3 

…… (E1) …… (E2) …… (E3)

Forward Elimination

a11 0   0

a12 a'22 0

a13 a'23

  x1   b1    x    b'   2   2     a' '33    x3  b' '3 

Upper Triangular System

Back Substitution x3 x2

= b’’3 / a’’33

= (b’2 - a’23 x3) / a’22

x1 = (b1 - a12 x2 - a13 x3) / a11

12


2012

 Langkah eliminasi maju : 1. Eliminasikan x1 dari (E2) dan (E3), asumsi a11  0

a2 1 a'3 2 ; m31 = a1 1 a'2 2

 m21 =

 kurangkan (m21 x (E1)) pada (E2) dan kurangkan (m31 x (E1)) pada (E3), sehingga : a11 x1

+ a12 x2 + a13 x3

= b1

a’22 x2 + a’23 x3

= b’2

a’32 x2 + a’33 x3

= b’3

NB : tanda petik satu berarti persamaan telah dimodifikasi satu kali. 2. Eliminasikan x2 dari (E3), asumsi a22  0  m32 = a'3 2

a'2 2

 kurangkan (m32 x (E2)) pada (E3), sehingga : a11 x1

+ a12 x2 + a13 x3 = b1 a’22 x2 + a’23 x3 = b’2 a’’33 x3 = b’’3

NB :

tanda petik dua berarti persamaan telah dimodifikasi dua kali.

 Langkah substitusi mundur : x3 =

b’’3 / a’’33

Sehingga dapat dirumuskan :

(n - 1) xn = b n - 1) a(n nn

Untuk menghitung x sisanya : x2 = (b’2 - a’23 x3) / a’22 x1 =

(b1 - a12 x2 - a13 x3) / a11

Sehingga dapat dirumuskan :

xi =

- 1) b(i  i

n

 j  i1 - 1) a(i ii

- 1) a(i xj ii

dengan i = n – 1, n – 2 , …. , 1 NB :

Persamaan (E1) disebut Pivot Equation, a11 disebut koefisien Pivot dan operasi perkalian baris pertama dengan a21/a11 disebut sebagai Normalisasi.

13


2012

Untuk kemudahan dapat dipakai matrik dalam bentuk kombinasi yang disebut dengan Augmented Matrix (matrik yang diperbesar). a  11 a2 1  a  3 1

a1 2 a1 3 b1   a2 2 a2 3 b2   a3 2 a3 3 b3 

Masalah  harus menghindari pembagian dengan nol, sehingga muncul sebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss Naif. Teknik untuk memperbaiki penyelesaian Eliminasi Gauss : 1. Pivoting  Sebelum tiap baris dinormalkan, maka dilakukan penentuan koefisien terbesar yang tersedia. Kemudian baris-baris tersebut dipertukarkan sehingga elemen terbesar tersebut merupakan elemen pivot. 2. Scaling  berguna dalam peminimalan galat pembulatan untuk kasus dimana beberapa persamaan mempunyai koefisien-koefisien yang jauh lebih besar dari lainnya. Contoh soal : Selesaikan persamaan simultan berikut ini. 27 x1 + 6 x2 – x3 = 85 ….. (1a) 6 x1 + 15 x2 + 2 x3 = 72 ….. (1b) x1 + x2 + 54 x3 = 110 ….. (1c) Penyelesaian : Gunakan matrik dalam bentuk Augmented Matrix (matrik yang diperbesar). 27 6 - 1 85   6 15 2 72  E - 6/27 E 1   2  1 1 54 110 E3 - 1/27 E1

E3 – 0,778/13,667 E2

6 -1 85  27  0 13,667 2,222 53,111     0 0,778 54,037 106,852

6 -1 85  27  0 13,667 2,222 53,111     0 0 53,911 103,829

dengan menggunakan substitusi mundur akan diperoleh x 1, x2, dan x3.  x3 = 103,829 / 53,911 = 1,926

14


 13,667 x2 + 2,222 x3 = 53,111  27 x1 + 6 x2 - x3 = 85

2012

 x2 = 3,573

 x1 = 2,425

3.2. Eliminasi Gauss-Jordan  Merupakan Variasi dari Eliminasi Gauss dengan kebutuhan untuk menghitung matrik invers. Strategi : Langkah eliminasi menghasilkan matrik satuan, sehingga tidak diperlukan proses substitusi mundur. Skema langkah eliminasi Gauss-Jordan a a1 2 a1 3 b1   11  a2 1 a2 2 a2 3 b2    a3 1 a3 2 a3 3 b3 

…… (E1) …… (E2) …… (E3)

Elimination

 1  0  0 

* 0 0 b1   1 0 b* 2

 0 1 b*  3

NO Back M Substitution a



t r i k

x1 = b*1 x2 = b*2 x3 = b*3

S Gauss : Selesaikan soal yang sama pada metode Eliminasi 27 6 - 1 85  1/27 E1  6 15 2 72     1 1 54 110

E2 – 6 E1 E3 – E1

1/13,667 E2

a t 3,148 1 0,222 - 0,337 6 u 15 2 72   a54 1 1 110  n

1 0,222 - 0,337 3,148  0 13,667 2,222 53,111    0 0,778 54,037 106,852 1 0,222 - 0,337 3,148  0 1 0,163 3,886   0 0,778 54,037 106,852

15


E1 – 0,222 E2 1 0 - 0,073 2,285  0 1 0,163 3,886   E3 – 0,778 E2 0 0 53,911 103,828 1/53,911 E3 E1 –(- 0,073 E3) E2 – 0,163 E3

1 0 0 2,426 0 1 0 3,572   0 0 1 1,926

2012

1 0 - 0,073 2,285 0 1 0,163 3,886   0 0 1 1,926

x1 = 2,426 x2 = 3,572 x3 = 1,926

3.3. Iterasi Gauss-Siedel Bentuk umum persamaan linear serentak : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ................... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ................... + a2n xn = b2 . . . an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + .................. + ann xn = bn Dapat diubah bentuknya menjadi : 1 x1 = ( b1 - a12 x2 + a13 x3 - .................... - a1n xn) a11

1 ( b2 - a21 x1 + a23 x3 - .................... - a2n xn) a 22 1 x3 = ( b3 - a31 x1 + a32 x2 - .................... - a3n xn) a 33 1 xn = ( bn - an1 x1 - an2 x2 - .................... - an(n-1) x(n-1)) ann x2 =

Langkah-langkah Iterasi Gauss-Siedel 1. Asumsikan x2 = x3 = ….. = xn = 0, sehingga dapat diperoleh : b x1 = 1 a11 2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan 2 untuk mendapatkan harga x2 (dimana x3 = … = xn = 0), maka akan diperoleh : 1 x2 = ( b2 - a21 x1 ) a 22 3. Langkah 1 dan 2 dilakukan terus sampai diperoleh nilai x n dan selesailah proses iterasi yang pertama. Kemudian hasil proses tersebut dimasukkan kembali pada persamaan untuk mendapatkan harga “unknown” dari x1, x2, x3. ….. xn pada proses iterasi kedua, ketiga dan seterusnya.

16


2012

4. Proses iterasi berakhir bila hasil dari iterasi terakhir sama dengan atau hampir sama dengan iterasi sebelumnya. Ini merupakan kelemahan metode iterasi gauss-siedel yaitu proses akhir iterasi menjadi meragukan. Contoh soal : Selesaikan persamaan simultan berikut : 27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a) 6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b) x + y + 54 z = 110 ….. (1c) Penyelesaian : Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi : 1 x= ( 85 - 6 y + z ) …… (2a) 27 1 y= ( 72 - 6 x - 2 z ) …… (2a) 15 1 z= ( 110 - x - y ) …… (2a) 54  Iterasi pertama 1. Asumsikan y = z = 0, sehingga dari persamaan (2a) akan diperoleh 85 : x1 = = 3,15 27 2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan (2b) untuk mendapatkan harga y1 (asumsi z = 0) 1 y1 = ( 72 - 6 (3,15) ) = 3,54 15 3. Masukkan hasil “x1” dan “y1” ke dalam persamaan (2c) 1 z1 = ( 110 – 3,15 – 3,54) = 1,91 54  Iterasi kedua 1 x2 = ( 85 - 6 (3,54) + 1,91 ) = 2,43 27 1 y2 = ( 72 - 6 (2,43) – 2 (1,91) ) = 3,57 15 1 z2 = ( 110 – 2,43 – 3,57) = 1,926 54  Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagai berikut : Iterasi ke 1 2 3 4 5

x 3,15 2,43 2,423 2,425 2,425

y 3,54 3,57 3,574 3,573 3,573

z 1,91 1,926 1,926 1,926 1,926

Jadi hasil penyelesaiannya adalah : x =2,425 ; y=3,573 ; z = 1,926

17


2012

3.4. Iterasi Jacobi  Melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan : n a b ij xi(n+1) = i xj (n) ; j  i aii j 1 aii



Keuntungan metode ini adalah langkah penyelesaiannya yang sederhana, sedangkan kelemahannya adalah : 1. Proses iterasinya lambat. Terutama untuk persamaan linear serentak dengan ordo tinggi. 2. Hanya dapat digunakan menyelesaikan persamaan linear serentak yang memenuhi syarat berikut :

aii >

n

a

ij

; j  i dan i = 1, 2, ….., N

j 1

Contoh soal : Selesaikan persamaan simultan berikut : 27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a) 6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b) x + y + 54 z = 110 ….. (1c) Penyelesaian : Persamaan di atas dIbentuk menjadi : 1 x(1) = ( 85 - 6 y(0) + z(0) ) …… (2a) 27 1 y(1) = ( 72 - 6 x(0) - 2 z(0) ) …… (2b) 15 1 z(1) = ( 110 - x(0) - y(0) ) …… (2c) 54  Iterasi pertama Asumsikan x(0) = y(0) = z(0) = 0, sehingga dari persamaan (2a, 2b dan 2c) akan diperoleh : 85 x(1) = = 3,148 27 72 y(1) = = 4,800 15 110 z(1) = = 2,037 54  Iterasi kedua 1 x(2) = ( 85 - 6 (4,8) + 2,037 ) = 2,157 27 1 y(2) = ( 72 - 6 (3,148) – 2 (2,037) ) = 3,269 15 1 z(2) = ( 110 – 3,148 – 4,8) = 1,890 54

18


2012

 Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagai berikut : Iterasi ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X 3,148 2,157 2,492 2,401 2,432 2,423 2,426 2,425 2,426 2,425 2,425

Y 4,800 3,269 3,685 3,545 3,583 3,570 3,574 3,573 3,573 3,573 3,573

z 2,037 1,890 1,937 1,923 1,927 1,926 1,926 1,926 1,926 1,926 1,926

Jadi hasil penyelesaiannya adalah : x = 2,425 ; y = 3,573 dan z = 1,926 3.5. Dekomposisi LU  Dengan cara membentuk matrik segitiga atas (Upper) dan matrik segitiga bawah (Lower) dari matrik koefisien A serta membentuk vektor matrik dari matrik hasil dengan aturan tertentu. Kelebihannya adalah sangat efektif untuk menyelesaikan persamaan linear serentak ordo tinggi, dengan hasil yang sangat mendekati nilai eksaknya. Tentu saja konsekuensinya metode ini memerlukan cara yang cukup kompleks. [A] {X} = {B} Dekomposisi [U] [L] [L] {D} = {B} {D} [U] {X} =

Maju Pensubtitusian

{D}

Mundur {X}

19


2012

Langkah-langkah Dekomposisi LU 1. Membentuk matrik koefisien [A], matrik variabel {X} dan matrik hasil {B} dari persamaan simultan. [A] {X} = {B} 2. Mencari matrik segitiga bawah [L] dan matrik segitiga atas [U] dari matrik koefisien [A] dengan aturan berikut : li1 = ai1 ; i = 1,2, … , n a1 j a1 j u1j = = ; j = 2,3, … , n a11 l11 - untuk j = 2,3, … , n-1 lij = aij -

j 1



l ik .u kj k 1 j 1

a jk  ujk =

l

; i = j, j+1, … , n

ji .u ik

i 1

; k =j+1, j+2, … ,n ; lnn = ann -

l jj

n1

l

nk .u kn

k 1

3. Mencari matrik {B’} dengan aturan berikut :

b1 b’1 = l11 4. Membentuk diperoleh : xn = b’n

bi  ;

b’i =

Augmented dan

i 1

l

ij .b' j

j 1

l ii Matrix

xj = b’j -

untuk i = 2, 3, … , n {UB’}

n

u

jk

dan

penyelesaiannya

xk

k  j 1

Berikut disajikan contoh listing program VISUAL BASIC untuk menghitung persamaan linear serentak kasus di atas dengan metode Iterasi Jacobi. LISTING PROGRAM Begin VB.Form Form1 Caption = "MENGHITUNG INTERASI JACOBI" ClientHeight = 6030 ClientLeft = 60 ClientTop = 345 ClientWidth = 9510 LinkTopic = "Form1" ScaleHeight = 6030 ScaleWidth = 9510 StartUpPosition = 2 'CenterScreen Begin VB.CommandButton Command3 Caption = "Masukkan Variabel" BeginProperty Font

20


2012

Name = "Nadall" Size = 12 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty Height = 495 Left = 3840 TabIndex = 38 Top = 5400 Width = 1215 End Begin VB.CommandButton Command1 Caption = "Hitung Interasi" BeginProperty Font Name = "Nadall" Size = 11.25 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty Height = 495 Left = 720 TabIndex = 31 Top = 3000 Width = 1695 End Begin VB.Frame Frame1 Caption = "Masukkan Angka" BeginProperty Font Name = "Palatino Linotype" Size = 12 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty Height = 2415 Left = 720 TabIndex = 0 Top = 240 Width = 6495 Begin VB.TextBox Text4

21


2012

Height = 375 Index = 2 Left = 5160 TabIndex = 12 Top = 1800 Width = 975 End Begin VB.TextBox Text3 Height = 375 Index = 2 Left = 3480 TabIndex = 11 Top = 1800 Width = 495 End Begin VB.TextBox Text2 Height = 375 Index = 2 Left = 1920 TabIndex = 10 Top = 1800 Width = 495 End Begin VB.TextBox Text1 Height = 375 Index = 2 Left = 360 TabIndex = 9 Top = 1800 Width = 495 End Begin VB.TextBox Text4 Height = 375 Index = 1 Left = 5160 TabIndex = 8 Top = 1080 Width = 975 End Begin VB.TextBox Text3 Height = 375 Index = 1 Left = 3480 TabIndex = 7 Top = 1080 Width = 495 End Begin VB.TextBox Text2

22


2012

Height = 375 Index = 1 Left = 1920 TabIndex = 6 Top = 1080 Width = 495 End Begin VB.TextBox Text1 Height = 375 Index = 1 Left = 360 TabIndex = 5 Top = 1080 Width = 495 End Begin VB.TextBox Text4 Height = 375 Index = 0 Left = 5160 TabIndex = 4 Top = 360 Width = 975 End Begin VB.TextBox Text3 Height = 375 Index = 0 Left = 3480 TabIndex = 3 Top = 360 Width = 495 End Begin VB.TextBox Text2 Height = 375 Index = 0 Left = 1920 TabIndex = 2 Top = 360 Width = 495 End Begin VB.TextBox Text1 Height = 375 Index = 0 Left = 360 TabIndex = 1 Top = 360 Width = 495 End Begin VB.Label Label6

23


2012

Caption = "+" Height = 375 Index = 2 Left = 3000 TabIndex = 30 Top = 1920 Width = 375 End Begin VB.Label Label5 Caption = "+" Height = 375 Index = 2 Left = 1440 TabIndex = 29 Top = 1920 Width = 375 End Begin VB.Label Label3 Caption = "Z" Height = 375 Index = 2 Left = 4080 TabIndex = 27 Top = 1920 Width = 615 End Begin VB.Label Label2 Caption = "Y" Height = 375 Index = 2 Left = 2640 TabIndex = 26 Top = 1920 Width = 495 End Begin VB.Label Label1 Caption = "X" Height = 375 Index = 2 Left = 1080 TabIndex = 25 Top = 1920 Width = 495 End Begin VB.Label Label6 Caption = "+" Height = 375 Index = 1

24


2012

Left = 3000 TabIndex = 24 Top = 1200 Width = 375 End Begin VB.Label Label5 Caption = "+" Height = 375 Index = 1 Left = 1440 TabIndex = 23 Top = 1200 Width = 375 End Begin VB.Label Label4 Caption = "=" Height = 375 Index = 1 Left = 4680 TabIndex = 22 Top = 1200 Width = 495 End Begin VB.Label Label3 Caption = "Z" Height = 375 Index = 1 Left = 4080 TabIndex = 21 Top = 1200 Width = 615 End Begin VB.Label Label2 Caption = "Y" Height = 375 Index = 1 Left = 2640 TabIndex = 20 Top = 1200 Width = 495 End Begin VB.Label Label1 Caption = "X" Height = 375 Index = 1 Left = 1080 TabIndex = 19 Top = 1200

25


2012

Width = 495 End Begin VB.Label Label6 Caption = "+" Height = 375 Index = 0 Left = 3000 TabIndex = 18 Top = 480 Width = 375 End Begin VB.Label Label5 Caption = "+" Height = 375 Index = 0 Left = 1440 TabIndex = 17 Top = 480 Width = 375 End Begin VB.Label Label4 Caption = "=" Height = 375 Index = 0 Left = 4680 TabIndex = 16 Top = 480 Width = 495 End Begin VB.Label Label3 Caption = "Z" Height = 375 Index = 0 Left = 4080 TabIndex = 15 Top = 480 Width = 615 End Begin VB.Label Label2 Caption = "Y" Height = 375 Index = 0 Left = 2640 TabIndex = 14 Top = 480 Width = 495 End Begin VB.Label Label1

26


2012

Caption = "X" Height = 375 Index = 0 Left = 1080 TabIndex = 13 Top = 480 Width = 495 End Begin VB.Label Label4 Caption = "=" Height = 375 Index = 2 Left = 4680 TabIndex = 28 Top = 1920 Width = 495 End End Begin VB.Frame Frame2 Caption = "View Persamaan dan Hasil Interasi" BeginProperty Font Name = "Palatino Linotype" Size = 12 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty Height = 5775 Left = 120 TabIndex = 32 Top = 120 Width = 9255 Begin VB.CommandButton Command2 Caption = "CLear" BeginProperty Font Name = "Nadall" Size = 12 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty Height = 375 Left = 7080 TabIndex = 37

27


2012

Top = 5280 Width = 1815 End Begin VB.ListBox List1 Height = 2205 Left = 240 TabIndex = 33 Top = 3000 Width = 8655 End Begin VB.Label Label9 Alignment = 2 'Center BorderStyle = 1 'Fixed Single BeginProperty Font Name = "Arial" Size = 14.25 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty Height = 735 Left = 240 TabIndex = 36 Top = 2160 Width = 8655 End Begin VB.Label Label8 Alignment = 2 'Center BorderStyle = 1 'Fixed Single BeginProperty Font Name = "Arial" Size = 14.25 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty Height = 735 Left = 240 TabIndex = 35 Top = 1320 Width = 8655 End Begin VB.Label Label7 Alignment = 2 'Center

28


2012

BorderStyle = 1 'Fixed Single BeginProperty Font Name = "Arial" Size = 14.25 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty Height = 735 Left = 240 TabIndex = 34 Top = 480 Width = 8655 End End End Attribute VB_Name = "Form1" Attribute VB_GlobalNameSpace = False Attribute VB_Creatable = False Attribute VB_PredeclaredId = True Attribute VB_Exposed = False Dim x(1000) As Single Dim y(1000) As Single Dim z(1000) As Single Dim a(2) As Single Dim b(2) As Single Dim c(2) As Single Dim d(2) As Single Private Sub Command1_Click() On Error Resume Next Frame2.Visible = True Frame1.Visible = False Command1.Visible = False Label7.Caption = Text1(0).Text & "X" & "+" & Text2(0).Text & "Y" & "+" & Text3(0).Text & "Z" & "=" & Text4(0).Text Label8.Caption = Text1(1).Text & "X" & "+" & Text2(1).Text & "Y" & "+" & Text3(1).Text & "Z" & "=" & Text4(1).Text Label9.Caption = Text1(2).Text & "X" & "+" & Text2(2).Text & "Y" & "+" & Text3(2).Text & "Z" & "=" & Text4(2).Text If Text1(0).Text = "" And Text1(1).Text = "" And Text1(2).Text = "" And Text2(0).Text = "" And Text2(1).Text = "" And Text2(2).Text = "" And Text3(0).Text = "" And Text3(1).Text = "" And Text3(2).Text = "" Then option15 = MsgBox("ANDA BELUM MEMASUKKAN NILAI VARIABEL", vbOKOnly, "WARNING")

29


2012

Frame2.Visible = False Command3.Visible = True End If For I = 0 To 2 a(I) = Text1(I).Text b(I) = Text2(I).Text c(I) = Text3(I).Text d(I) = Text4(I).Text Next I x(0) = 0 y(0) = 0 z(0) = 0 jumlah = 0 For I = 1 To 100000 jumlah = jumlah + 1 x(I) = (d(0) - (b(0) * y(I - 1) + c(0) * z(I - 1))) / a(0) y(I) = (d(1) - (a(1) * x(I) + c(1) * z(I - 1))) / b(1) z(I) = (d(2) - (a(2) * x(I) + b(2) * y(I))) / c(2) If x(I) = x(I - 1) And y(I) = y(I - 1) And z(I) = z(I - 1) Then GoTo 2 End If Next I 2 List1.Clear For I = 1 To jumlah List1.AddItem I & vbTab & vbTab & x(I) & vbTab & vbTab & y(I) & vbTab & vbTab & z(I) Next I End Sub Private Sub Command2_Click() Label7.Caption = "" Label8.Caption = "" Label9.Caption = "" Frame2.Visible = False Frame1.Visible = True Command1.Visible = True End Sub Private Sub Command3_Click() Frame1.Visible = True Command1.Visible = True Command3.Visible = False End Sub Private Sub Form_Load() Frame2.Visible = False Command3.Visible = False End Sub

30


2012

TAMPILAN HASIL PROGRAM

31


2012

BAB IV. INTERPOLASI Umumnya data engineering banyak yang berupa tabulasi. Penampilan data seperti itu dikarenakan pada kenyataannya data yang bisa diperoleh adalah bersifat “discrete” atau juga karena keterbatasan dalam pengukuran sehingga hanya sebagian data yang dapat disimpan atau dicatat. Contoh data yang discrete x

y

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

10.1 12.5 14.2 17.8 19.3

Menginterpretasikan manipulasi data discrete dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu : 1. Numerical Interpolation. 2. Curve Fitting. 3. Numerical Differentiation. 4. Numerical Integration. INTERPOLATION 4.1 Linear Interpolation Yaitu interpolasi paling sederhana, hubungan berupa garis antara dua titik data.

y

menganggap

Persamaan garis lurus yang menghubungkan dua titik data tersebut : y  yn y  yn = n1 x n1 - x n x - xn

y = f(x) yn+1

dengan

Garis Lurus

y = yn +

yn

y n1  y n (x – xn) x n1 - x n

x xn

xn+1

Untuk contoh data di atas misalnya ingin dicari untuk x = 0,25

32


y = 10,1 +

2012

12,5  10,1 (0,25 – 0,2) = 11,3 0,3 - 0,2

4.2 Lagrange Interpolation Membuat hubungan titik dalam tabulasi berupa suatu polinomial dimana masing-masing titik berupa simpul-simpul yang harus dipenuhi polinomial. Tabulasi berupa titik-titik xi, yi dimana i = 0,1, …. , n dimana terdapat n+1 data, akan dipresentasikan y(x) = f(x) pada interval x 0  x  xn Polinomial interpolasi mempunyai bentuk : Pn(x) = y0 b0(x) + y1 b1(x) + y2 b2(x) + …… + yn bn(x) dengan bj(x) = suatu polinomial derajat “n”. Polinomial bj(x) dapat dicari dengan menggunakan persamaan constraint.

n+1

Persamaan constraint dapat dibuat sebagai berikut : Pn(xi) = yi ; i = 0,1,2, … ,n Sehingga : Pn(x0) = y0  y0 b0(x0) + y1 b1(x0) + ..… + yn bn(x0) = y0 Pn(x1) = y1  y0 b0(x1) + y1 b1(x1) + ..… + yn bn(x1) = y1 . . Pn(xn) = yn  y0 b0(xn) + y1 b1(xn) + ..… + yn bn(xn) = yn Untuk mempermudah dipilih:

penyelesaian

persamaan

constraint,

maka

1 ; i=j

bj(xi) =

0 ; ij Pilihan tersebut memenuhi persamaan constraint. Bentuk persamaan polinomial bj(x) adalah sebagai berikut : bj(x) = Cj (x - x0) (x - x1) (x - x2) …. (x - xj-1) (x - xj+1) … (x - xn) Sesuai pilihan di atas yang cocok dengan constraint yaitu : b j(xj) = 1 Maka konstanta Cj dapat dicari dengan rumusan berikut : 1 Cj = (x j  x 0 )(x j  x1 )....(x j  x j 1 )(x j  x j 1 )...(x j  x n ) Dengan demikian semua b0(x) = C0 (x - x1) b1(x) = C1 (x - x0) b2(x) = C2 (x - x0) . . bn(x) = Cn (x - x0)

polinomial bj(x) diperoleh : (x - x2) ……. (x - xn) (x - x2) (x - x3) ……. (x - xn) (x - x1) (x - x3) ……. (x - xn) (x - x1) ……. (x - xn-1)

33


2012

1 (x 0  x1 )(x 0  x 2 )(x 0  x 3 )....(x 0  x n ) 1 C1 = (x1  x0 )(x1  x2 )(x1  x3 )....(x1  xn ) 1 C2 = (x 2  x 0 )(x 2  x1 )(x 2  x 3 )....(x 2  x n ) . 1 Cn = (xn  x0 )(xn  x1)(xn  x2 )....(xn  xn1)

dimana :

C0 =

Jadi polinomial bj(x) dapat ditulis secara lengkap :

(x  x1)(x  x2 )....(x  xn ) (x0  x1)(x0  x2 )....(x0  xn ) (x  x0 )(x  x2 )....(x  xn ) b1(x) = (x1  x0 )(x1  x2 )....(x1  xn ) b0(x) =

b2(x) = . . bn(x) =

(x  x 0 )(x  x1 )(x  x 3 )....(x  x n ) (x 2  x 0 )(x 2  x1 )(x 2  x 3 )....(x 2  x n )

(x  x0 )(x  x1)(x  x2 )....(x  xn1) (xn  x0 )(xn  x1)(xn  x2 )....(xn  xn1)

Sehingga persamaan polinomial dari lagrange interpolation dapat dirumuskan sebagai berikut : Pn(x) =

n

(x  x0 )(x  x1)....(x  x j 1)(x  x j 1)...(x  xn )

j0

(x j  x0 )(x j  x1)....(x j  x j 1)(x j  x j 1)...(x j  xn )

 yj

Atau jika : Ln(x) = (x  x 0 )(x  x1)....(x  x j 1)(x  x j 1)...(x  x n ) Maka :

Pn(x) =

n

y j 0

j

L j (x) L j (x j )

= y(x) = f(x)

Contoh Soal : Hitung harga y(1.5) pada data yang disajikan pada tabel berikut ini. x 1 2 3 4

y 0.1 0.2 0.4 0.8

34


y(1,5) = y0

(1,5  x1 )(1,5  x 2 )(1,5  x 3 ) (1  x1 )(1  x 2 )(1  x 3 )

+ y1

(1,5  x 0 )(1,5  x 2 )(1,5  x 3 ) (2  x 0 )(2  x 2 )(2  x 3 )

+ y2

(1,5  x 0 )(1,5  x1 )(1,5  x 3 ) (3  x 0 )(3  x1 )(3  x 3 )

2012

(1,5  x 0 )(1,5  x1 )(1,5  x 2 ) (4 - x 0 )(4  x1 )(4  x 2 ) y(1,5) = 0.0313 + 0.1875 – 0.1250 + 0.0500 = 0.1438 + y3

4.3 Newton-Gregory Interpolation Berdasarkan formulasi Beda hingga, dimana dibuat suatu polinomial dengan titik-titik data sebagai titik simpul. Bentuk interpolasi polinomialnya adalah : Pn(x) = C0 + C1 (x - x0) + C2 (x - x0) (x - x1) + …. + Cn (x - x0) (x - x1) … (x - xn-1) dimana : C0, C1, … , Cn suatu konstanta Cj ; j = 0, 1, … , n dapat dicari dengan memakai persamaan constraint berikut : Pn(x) = yi ; i = 0, 1, 2, … , n Yang akan menghasilkan persamaan berikut : P0(x0) = f(x0) = y0 P1(x1) = f(x1) = y1

 C0 = y0  C0 + C1(x1 - x0) = y1  C0 + C1(x1 - x0) + C2 (x2 - x0)(x2 - x1) = y1  C0 + C1(xn - x0)+ … + Cn (xn - x0)(xn - x1) …(xn - xn-1)= yn

Dari persamaan linear simultan tersebut dapat dihitung C j ; j = 0, 1, 2, … ,n. Dan seterusnya Pn(x) = f(x) = y(x) dapat dicari dan harga y untuk setiap harga x dapat dihitung. Harga Cj dapat dirumuskan sebagai berikut : C0 = y0 y  C0 C1 = 1 x1  x 0 C2 =

y 2  C 0  C1 (x 2  x 0 ) (x 2  x 0 )(x 2  x1 )

y 3  C 0  C1 (x 3  x 0 )  C 2 (x 3  x 0 )(x 3  x1 ) dst. (x 3  x 0 )(x 3  x1 )(x 3  x 2 ) Metode ini menjadi lebih mudah jika inkremen dari x tetap. xi+1 = xi = h atau xi = x0 + ih ; i =1,2,… , n C3 =

35


2012

Persamaan constraint di atas menjadi : y0 = C0 y1 = C0 + C1 h y2 = C0 + C1 (2h) + C2 (2h2) y3 = C0 + C1 (3h) + C2 (6h2) + C3 (6h3) . . yi = C0 + C1 (ih) + C2 (ih)((i-1)h) + C3 (ih)((i-1)h)((i-2)h) … + Ci (i !)hi Kalau persamaan ini diselesaikan akan didapatkan : C0 = y0 y  y0 y  C0 y 0 C1 = 1 = 1 = h h h (y1  C 0 ) 1 1 C2 = [ y2 - C0 – 2h C1 ] = [ y2 - y0 – 2h ] 2 2 h 2h 2h 1 1 = [ (y2 - y1) – (y1 - y0) ] = [ (y2) ] 2 2h 2h 2 2 y = 2h 2 Secara umum harga Cj dapat dirumuskan : j y Cj = ( j ! )h j Untuk menghitung Cj secara lebih mudah dapat digunakan tabel sebagai berikut : xi x0

yi y0

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

x5

y5

.

.

yi = yi+1 - yi y0 y1 y2 y3 y4 . .

2yi = yi+1 - yi 2y0 2

 y1 2

 y2 2y3 . . .

3yi =  yi+1 - 2yi 2

3y0 3y1 3

 y2 . . . .

4yi =  yi+1 - 3yi 3

5yi =  yi+1 - 4yi 4

4y0

5y0

4

 y1

. . . . . .

. . . . .

Dari tabel tersebut Cj dapat dihitung dengan rumus Cj =

j y ( j ! )h j

36


2012

Makin banyak tingkat Cj yang dipakai dalam menghitung harga y maka makin teliti interpolasinya. y(x) = C0 + C1(x - x0) + C2 (x - x0)(x - x1) akan lebih kurang “teliti” dari y(x) yang dihitung dengan : y(x) = C0 + C1(x - x0) + C2 (x - x0)(x - x1) + C3(x - x0)(x - x1)(x - x2) dan seterusnya. Coba selesaikan soal yang sama pada kasus di Interpolasi Lagrange. Hitung y untuk x = 1.5 dengan interpolasi Newton-Gregory. Berikut adalah tabel beda hingga untuk kasus di atas. xi 1 2

yi 0.1 0.2

yi 0.1

2yi 0.1

0.2 3

0.4

4

0.8

3yi

0.1 0.2

0.4  Jika dipakai “first order difference” saja, maka : y 0 y(1.5)= y0 + (1.5–x0) h 0 .1 = 0.1 + (1.5 – 1) 1 = 0.1 + 0.05 = 0.15  Jika dipakai “first-second order difference” maka : y 0 2 y y(1.5)= y0 + (1.5–x0)+ 2 (1.5–x0)(1.5–x1) h 2h 0 .1 0 .1 = 0.1 + (1.5 – 1)+ (1.5 – 1)(1.5 – 2) 1 2 = 0.1 + 0.05 - 0.0125 = 0.1375  Dipakai “first-second-third order difference” maka : y 0 2 y y(1.5)= y0 + (1.5–x0)+ 2 (1.5–x0)(1.5–x1) h 2h 3  y + (1.5–x0)(1.5–x1)(1.5 – x2) 6h3 0 .1 0 .1 = 0.1 + (1.5 – 1)+ (1.5 – 1)(1.5 – 2) 1 2 0 .1 + (1.5 – 1)(1.5 – 2)(1.5 – 3) 6 = 0.1 + 0.05 - 0.0125 + 0.0062 = 0.1437

37


2012

BAB V. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) 5.1. Curve Linear

y y = f(x)

Persamaan untuk kurva dirumuskan :

b

pendekatan linear dapat

f(x) = a + bx

1 a

y2

y1

x Metode kuadrat terkecil Jumlah kuadrat terkecil (D2) D2 =

n

 Ei = i 1

2

n

 yi  f(x i )2 i 1

=

n

 y i  a  bxi 2 i 1

A dan b dicari dengan meminimumkan harga D2. 

D 2 =0 a



 n    y i  a  bx i 2  = 0    i 1 

 a -2

n

 y i  a  bxi  = 0 i 1

 yI -  a -  b xi = 0  yI - n a -  b x i = 0 n a =  yI - b  xi

 yi  xi -b = y b x n n

a=



D 2 =0 b



 a -2

…… (1)

 n    y i  a  bx i 2  = 0    i 1  n

 y i  a  bxi  xi = 0 i 1

 xi yi -  a xi -  b xi2 = 0  a xi +  b xi2 =  xi yi

38


2012

 xi   y i 2 -b   xi +  b xi =  xi y i n   n

 xi  yi - b  x i  + n b  xi2 = n  xi yi 2

b { n  xi2 -  x i  } = n  xi yI -  xi  yi 2

b=

n  x i yi   x i  yi n  x i   x i  2

2

……… (2)

Untuk melihat derajat kesesuaian dari curve fitting dengan cara melihat harga  (Koefisien Korerlasi). =

2

Dt  D 2 Dt

(berharga 0 s/d 1)

2

dengan Dt2 =

 y i  y n

2

i 1

5.2. Curve Non-Linear a.

y = a ebx Proses Linearisasi  ln y = ln a + b x ln e = ln a + b x Y = A +bx

y

Y = A + bx y=ae

bx

ln y b 1

x

x xi x1 x2 . . xn xi

yi y1 y2 . . yn yi

Yi = ln yi ln y1 ln y2 . . ln yn yi

x i Yi x1 y1 x2 y2 . . xn yn  xi yi

xi2 x12 x22 . . xn2  xi 2

39


b=

2012

n  x i Yi   x i  Yi

n  x i   x i   xi  Yi A= -b = Y b x  n n 2

b. y = a xb Proses Linearisasi 

2

A = ln a

 a = eA

log y = log a + b log x Y = A +bX

y

Y = A + bX y=ax

b

log y b 1

x

x xi x1 x2 . . xn xi

yi y1 y2 . . yn yi b=

Xi = log xi log x1 log x2 . . log xn Xi

Yi = log yi log y1 log y2 . . log yn YI

X i Yi X 1 Y1 X 2 Y2 . . X n Yn  X i Yi

Xi2 X12 X22 . . Xn2  xi 2

n  Xi Yi   Xi  Yi

n  Xi   Xi   Yi  Xi A= -b = Y b X n n A = log a  a = log-1 A 2

2

c. Polinomial  y = a0 + a1 x + a2 x2+ ….. + ar xr Jumlah kuadrat dari kesalahan adalah : D2 =

 yi  a0  a1x i  a2 x i 2  ....  ar x i r  n

2

i 1

Dengan cara yang sama meminimumkan harga D2.

konstanta

a

dapat

dicari

dengan

40




D 2 =0 a0 2



D =0 a1 2



D =0 a2

 -2  -2  -2

D 2 =0 ar

 yi  a0  a1x i  a2 x i 2  ....  ar x i r = 0 n

i 1 n

 x i yi  a0  a1x i  a2 x i 2  ....  ar x i r = 0 i 1 n

 x i 2 y i  a0  a1x i  a2 x i 2  ....  ar x i r  = 0 i 1

. . 

2012

 -2

 x i r yi  a0  a1x i  a2 x i 2  ....  ar x i r  = 0 n

i 1

Atau dapat ditulis dalam bentuk matrik berikut :

 n    xi  x 2  i  .   .   x i r

2

 xi 2  xi

 xi 3  xi

 xi . .

 xi . .

 xi

3

r 1

 xi

4

r 2

r . .  x i  a0    y i     r 1   . .  x i   a1    x i y i  2 r 2 . .  x i  a2   x i y i       . . .  .   .   . . .  .   .     r  r n . .  x i   ar    x i y i 

Penyelesaian persamaan ini akan didapat a0, a1, a2, ….. ar 5.3. Curve Multi Linear / Non-Linear Hubungan antara variabel terikat dengan lebih dari satu veriabel bebas secara linier dapat dirumuskan sebagai berikut : y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + ........ + bk xk dimana: y = variabel terikat x1 s/d xk = variabel bebas D2 = D2 =

n

 Observ ed Response  Predicted

Response

2

i 1 n

 yi  b0  b1x1i  b2 x 2i  b3 x 3i  ........  bk x ki 2 i 1

Dengan Metode Kuadrat Terkecil, nilai D2 diturunkan terhadap konstanta bo s/d bk dan diminimumkan (disamakan dengan nol), sehingga dapat dicari nilai dari konstanta bo s/d bk.

41

Metode Numerik untuk Teknik Mesin Dirumuskan dalam bentuk matrik  x1i  x 2i  x 3i ...  n  2  x1i  x1i x 2i  x1i x 3i ...   x1i  x 2i  x1i x 2i  x 2i 2  x 2i x 3i ...  2 ...  x 3i  x1i x 3i  x 2i x 3i  x 3i  . . . . .  . . . .  .   x ki  x1i x ki  x 2i x ki  x 3i x ki ...

2012

:

 x ki  b 0    x1i x ki   b1     x 2i x ki  b 2      x 3i x ki  b 4  =   .  .    .   .  2  x ki  b k 

  yi      x1i y i   x 2 i y i     x 3 i y i   .     .    x ki y i 

Contoh kasus di bidang mesin : Rumuskan persamaan empirik Parameter Pemotongan Proses Pembubutan Terhadap Gaya Pemotongan Material ST 42 Besarnya gaya pemotongan merupakan informasi yang diperlukan dalam perencanaan mesin perkakas, karena itu merupakan titik tolak setiap hitungan dan analisa mesin perkakas. Gaya pemotongan yang bereaksi pada pahat dan benda kerja, yang selanjutnya diteruskan pada bagian-bagian tertentu mesin perkakas, akan mengakibatkan lenturan. Meskipun lenturan itu kecil tapi mungkin sudah cukup untuk menjadi penyebab kesalahan geometri produk maupun sebagai sumber getaran yang dapat memperpendek umur pahat. Gaya pemotongan teoritis telah dapat dirumuskan, tetapi karena adanya penyederhanaan dan anggapan yang mendasari penurunan rumus tersebut, maka tidak dapat dipakai dalam perencanaan proses pemesinan sesungguhnya. Sehingga masih dibutuhkan suatu bentuk rumus empirik yang menggambarkan hubungan antara gaya pemotongan dengan variabel-variabel dalam proses pemesinan. Dengan menetapkan dan mengubah beberapa variabel proses pemesinan (di eksperimen ini dilakukan pada variabel a dan f) maka dapat dicari suatu korelasi berupa rumusan empirik variabel proses a dan f terhadap gaya pemotongan . Variabel yang diukur terdiri dari : 1. Variabel Bebas (Independent Variable) a) Kedalaman potong (a1 = 0,5 ; a2 = 0,1 ; a3 = 1,0 ) b) Kecepatan pemakanan (f1 = 0,05 ; f2 = 0,16 ; f3 = 0,20) 2. Variabel Terikat (Dependent Variable) a) Variabel Utama, sebagai variabel yang menjadi pembahasan utama yaitu:  gaya pemotongan (Fv) (N) b) Data pendukung  Diameter sebelum dan sesudah pemotongan (mm)  Putaran spindel tanpa beban dan dengan beban (rpm)  Waktu pemotongan sebenarnya (detik) 3. Parameter yang dikonstankan pada eksperimen ini adalah : a) Jenis material kerja (ST 42) dan pahat (Karbida). b) Panjang pemotongan (L) = 30 mm.

42


2012

c) Putaran spindel (n) = 494 rpm. d) Posisi pemotongan Orthogonal (kr =90o). Hasil eksperimen berupa besar Gaya Pemotongan (Fv) yang terjadi terhadap perubahan parameter a dan f dapat dilihat pada tabel berikut: f (mm/put) a (mm) 0.05 0.16 0.2 83.768 202.295 215.205 0.5 82.542 192.469 239.084 16.402 60.704 85.404 0.1 18.968 110.964 83.140 151.598 380.966 270.679 1 124.435 370.195 444.666 Model curve fitting yang dipilih adalah : Fv = c1 ab1 fb2  Model non-linear dilinierisasi menjadi model linear dengan cara di-log-kan sebagai berikut: Log Fv = log c1 + b1 log a + b2 log f Y = b0 + b1 X1 + b2 X2 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Fv

a

83.768 82.542 16.402 18.968 151.598 124.435 202.295 192.469 60.704 110.964 380.966 370.195 215.205 239.084 85.404 83.14 270.679 444.666

0.5 0.5 0.1 0.1 1 1 0.5 0.5 0.1 0.1 1 1 0.5 0.5 0.1 0.1 1 1

f 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.16 0.16 0.16 0.16 0.16 0.16 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Y = Log Fv 1.923 1.917 1.215 1.278 2.181 2.095 2.306 2.284 1.783 2.045 2.581 2.568 2.333 2.379 1.931 1.920 2.432 2.648

X1 = Log a -0.301 -0.301 -1.000 -1.000 0.000 0.000 -0.301 -0.301 -1.000 -1.000 0.000 0.000 -0.301 -0.301 -1.000 -1.000 0.000 0.000

X2 = Log f -1.301 -1.301 -1.301 -1.301 -1.301 -1.301 -0.796 -0.796 -0.796 -0.796 -0.796 -0.796 -0.699 -0.699 -0.699 -0.699 -0.699 -0.699

37.820

-7.806

-16.775



Dari tabel di atas 18 b0 -7.806 b0 -16.775 b0

X12

X22

X1X2

X1Y

X2Y

0.091 0.091 1.000 1.000 0.000 0.000 0.091 0.091 1.000 1.000 0.000 0.000 0.091 0.091 1.000 1.000 0.000 0.000

1.693 1.693 1.693 1.693 1.693 1.693 0.633 0.633 0.633 0.633 0.633 0.633 0.489 0.489 0.489 0.489 0.489 0.489

0.392 0.392 1.301 1.301 0.000 0.000 0.240 0.240 0.769 0.769 0.000 0.000 0.210 0.210 0.699 0.699 0.000 0.000

-0.579 -0.577 -1.215 -1.278 0.000 0.000 -0.694 -0.688 -1.783 -2.045 0.000 0.000 -0.702 -0.716 -1.931 -1.920 0.000 0.000

-2.502 -2.494 -1.581 -1.663 -2.837 -2.726 -1.835 -1.818 -1.419 -1.628 -2.054 -2.044 -1.631 -1.663 -1.350 -1.342 -1.700 -1.851

6.544

16.888

7.275

-14.129

-34.136

akan didapatkan persamaan berikut ini: + -7.806 b1 + -16.775 b2 = 37.820 + 6.544 b1 + 7.275 b2 = -14.129 + 7.275 b1 + 16.888 b2 = -34.136

43


2012

Dengan prosedur numerik Gauss-Siedel didapatkan : b0 = 3.2375 b1 = 0.7193 b2 = 0.8847 Y = b0 + b1 X1 + b2 X2 = 3.2375 + 0.7193 X1 + 0.8847 X2 Karena model tersebut dilinearisasikan maka harus dikembalikan ke model non linearnya yaitu meng-anti log-kan b0-nya. sehingga c1 = Log-1 3.2375 = 1727.825 Maka :

Fv = 1727,825 . a

0,7193

. f

0,8847

44


2012

BAB VI. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA Persamaan differensial biasa dengan ordo n, merupakan persamaan dengan satu perubah (variabel) yang dapat dituliskan dalam bentuk : dy d 2 y d ny F(x, y, , , ...... , )=0 dx dx 2 dx n dengan y = f (x) Penyelesaian persamaan differensial ordo satu dapat lebih dari satu, sehingga untuk mencari penyelesaian yang unik atau khusus memerlukan informasi tambahan berupa syarat batas. Metode untuk penyelesaian Persamaan differensial biasa : 1. EULER’S METHOD  Deret taylor orde 1  Sangat sensitif terhadap besarnya “h” yn = yn-1 + h . f ( xn-1,yn-1 ) ; n = 1,2, 3, …… x n  x0 h= n dengan : xn = nilai x yang ditanya nilai fungsinya. x0 = nilai x awal. n = bilangan bulat 2. MODIFIED EULER’S METHOD  Mengurangi kesalahan akibat pemilihan “h” h (k ) yn(k+1) = yn-1 + . f (x n-1 , yn-1 )  f (x n , y n ) 2 Dengan : yn(k) = yn-1 + h. f ( xn-1, yn-1) k = 0,1,2,… dan n = 1,2, 3, ……





3. RUNGE-KUTTA METHOD  Deret taylor orde 4  Lebih teliti h y n1  y n  k1  2k 2  2k3  k 4  6 dimana : k1 = f (xn, yn) k2 = f (xn+ 0,5h, yn+ 0,5 h . k1) k3 = f (xn+ 0,5h, yn+ 0,5 h . k2) k4 = f (xn + h, yn+ h . k3) Contoh :

dy = 3x2 + 5x + y ; y(1) = 1 dx Cari nilai y (1,2) dengan Metode Euler, Modified Euler dan Runge Kutta (pakai h = 0,1).

45


2012

6.1. Euler’s Method Dipilih h = 0.1 x  x 0 1,2  1 x  x0 h= n n= n = =2 n 0.1 h Dari data kondisi batas didapatkan x0 = 1 dan y0 = 1 Iterasi Pertama (n = 1) y1 = y(1,1) = y0 + h. f (x0, y0) = y0 + h (3 x02 + 5 . x0 + y0) = 1 + (0,1) (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 1,9 Iterasi Kedua (n = 2) y2 = y(1,2) = y1 + h. f (x1, y1) = y1 + h (3 x12 + 5 . x1 + y1) = 1,9 + (0,1) (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 1,9) = 3,003 Jadi penyelesaian kasus tersebut : y(1,2) = 3,003 6.2. Modified Euler’s Method  Dengan rumusan Euler’s Method y1(0) = y0 + h. f ( x0, y0) = y0 + h (3 x02 + 5 . x0 + y0) = 1 + (0,1) (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 1,9 Proses iterasi dilakukan pada rumusan Modified Euler’s. Iterasi Pertama (x1 = 1,1 dan k = 0) : h (0) y1(1) = y0 + . f (x 0 , y 0 )  f (x1 , y1 ) 2 h 2 2 (0) (3x 0  5x 0  y0 )  (3x1  5x1  y1 ) = y0 + 2 0,1 (3 . 12  5.1  1)  (3.1,12  5.1,1  1,9) = 1+ 2 = 2,0015

 





 

Iterasi Kedua (x1 = 1,1 dan k = 1) : h (1) y1(2) = y0 + . f (x 0 , y 0 )  f (x1 , y1 ) 2 h 2 2 (1) (3x 0  5x 0  y0 )  (3x1  5x1  y1 ) = y0 + 2 0,1 (3 . 12  5.1  1)  (3.1,12  5.1,1  2,0015) = 1+ 2 = 2,0066

 







 46


2012

Iterasi Ketiga (x1 = 1,1 dan k = 2) : h (2) y1(3) = y0 + . f (x 0 , y 0 )  f (x1 , y1 ) 2 h 2 2 (2) (3x 0  5x 0  y0 )  (3x1  5x1  y1 ) = y0 + 2 0,1 (3 . 12  5.1  1)  (3.1,12  5.1.1  2,0066) = 1+ 2 = 2,0068

 









Iterasi Keempat (x1 = 1,1 dan k = 3) : h (3) y1(4) = y0 + . f (x 0 , y 0 )  f (x1 , y1 ) 2 h 2 2 (3) (3x 0  5x 0  y0 )  (3x1  5x1  y1 ) = y0 + 2 0,1 (3 . 12  5.1  1)  (3.1,1  5.1,1  2,0068) = 1+ 2 = 2,0068

 









Karena hasil iterasi keempat dan iterasi ketiga (iterasi sebelumnya) sama maka proses iterasi dihentikan dengan hasil harga y 1 = 2,0068  y2(0) = y1 + h. f ( x1, y1) = y1 + h (3 x12 + 5 . x1 + y1) = 2,0068 + (0,1) (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 2,0068) = 3,1205 Iterasi Pertama (x2 = 1,2 dan k = 0) : h (0) y2(1) = y1 + . f (x1 , y1 )  f (x 2 , y 2 ) 2 h 2 2 (0) (3x1  5x1  y1 )  (3x 2  5x 2  y2 ) = y1 + 2 0,1 (3 . 1,12  5.1,1  2,0068)  (3.1,22  5.1,2  3,1205) =2,0068+ 2 = 3,2357

 









Iterasi Kedua (x2 = 1,2 dan k = 1) : h (1) y2(2) = y1 + . f (x1 , y1 )  f (x 2 , y 2 ) 2 h 2 2 (1) (3x1  5x1  y1 )  (3x 2  5x 2  y2 ) = y1 + 2 0,1 (3 . 1,12  5.1,1  2,0068)  (3.1,22  5.1,2  3,2357) =2,0068+ 2 = 3,2414

 









47


2012

Iterasi Ketiga (x2 = 0,1 dan k = 2) : h (2) y2(3) = y1 + . f (x1 , y1 )  f (x 2 , y 2 ) 2 h 2 2 (2) (3x1  5x1  y1 )  (3x 2  5x 2  y2 ) = y1 + 2 0,1 (3 . 1,12  5.1,1  2,0068)  (3.1,22  5.1,2  3,2414) =2,0068+ 2 = 3,2417

 









Iterasi Keempat (x2 = 0,1 dan k = 3) : h (3) y1(4) = y0 + . f (x1 , y1 )  f (x 2 , y 2 ) 2 h 2 2 (3) (3x1  5x1  y1 )  (3x 2  5x 2  y2 ) = y1 + 2 0,1 (3 . 1,12  5.1,1  2,0068)  (3.1,22  5.1,2  3,2417) =2,0068+ 2 = 3,2417

 









Hasil iterasi keempat dan iterasi sebelumnya yaitu iterasi ketiga sama maka proses iterasi dihentikan dengan hasil harga y 2 = 3,2417 Jadi penyelesaian kasus tersebut : y(1,2) = 3,2417 6.3. Runge-Kutta Method Dipilih h = 0,1  Iterasi Pertama ( y1 = y(1,1) ) x0 = 1 ; y0 = 1 k1 = f (x0, y0) = (3 x02 + 5 . x0 + y0) = (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 9 k2 = f (x0+ 0,5h, y0+ 0,5 h . k1) = 3 (x0+ 0,5h)2 + 5 . (x0+ 0,5h) + (y0+ 0,5 h . k1) = 3 (1+ 0,5 . 0,1)2 + 5 . (1+ 0,5 . 0,1) + (1+ 0,5 . 0,1 . 9) = 10,0075 k3 = f (x0+ 0,5h, y0+ 0,5 h . k2) = 3 (x0+ 0,5h)2 + 5 . (x0+ 0,5h) + (y0+ 0,5 h . k2) = 3 (1+ 0,5 . 0,1)2 + 5 . (1+ 0,5 . 0,1) + (1+ 0,5 . 0,1 . 10,0075) = 10,0579 k4 = f (x0 + h, y0+ h . k3) = 3 (x0+ h)2 + 5 . (x0+ h) + (y0+ h . k3) = 3 (1+ 0,1)2 + 5 . (1+ 0,1) + (1+ 0,1 . 10,0579) = 11,1358 h k1  2k2  2k3  k 4  y1  y 0  6

48


2012

0,1 (9+ (2 . 10,0075) + (2 . 10,0579) + 11,1358) 6 = 2,0044

=1+

 Iterasi kedua ( y2 = y(1,2) ) x1 = 1,1 ; y1 = 2,0044 k1 = f (x1, y1) =(3 x12 + 5 . x1 + y1) = (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 2,0044) = 11,1344 k2 = f (x1+ 0,5h, y1+ 0,5 h . k1) = 3 (x1+ 0,5h)2 + 5 . (x1+ 0,5h) + (y1+ 0,5 h . k1) = 3 (1,1+0,5.0,1)2 + 5.(1,1+0,5.0,1) + (2,0044+0,5.0,1.11,1344) = 12,2787 k3 = f (x1 + 0,5h, y1 + 0,5 h . k2) = 3 (x1+ 0,5h)2 + 5 . (x1+ 0,5h) + (y1+ 0,5 h . k2) = 3 (1,1+0,5.0,1)2 + 5.(1,1+0,5.0,1) + (2,0044+0,5.0,1.12,2787) = 12,3359 k4 = f (x1 + h, y1+ h . k3) = 3 (x1+ h)2 + 5 . (x1+ h) + (y1+ h . k3) = 3 (1,1+ 0,1)2 + 5 . (1,1+ 0,1) + (2,0044+ 0,1 . 12,3359) = 13,5580 h k1  2k2  2k3  k 4  y 2  y1  6 = 2,0044 +

0,1 (11,1344+(2. 12,2787)+(2. 12,3359)+13,5580) 6

= 3,2356

49


2012

BAB VII. PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Formulasi matematik dari kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat dipresentasikan dalam bentuk persamaan differensial parsial. Persamaan tersebut merupakan laju perubahan terhadap dua atau lebih variable bebas yang biasanya adalah waktu dan jarak (ruang). Persamaan differensial dapat dibedakan menjadi tiga jenis yaitu : A. Persamaan Differensial Parabolik  Biasanya merupakan persamaan yang tergantung pada waktu (tidak permanen) dan penyelesaiannya memerlukan kondisi awal dan batas. Persamaan parabolik paling sederhana adalah perambatan panas.

T  K  2 T t x 2 Penyelesaian dari persamaan di atas adalah mencari temperatur T untuk nilai x pada setiap waktu t. B. Persamaan Differensial Eliptik  Biasanya berhubungan dengan masalah kesetimbangan atau kondisi permanen (tidak tergantung waktu) dan penyelesaiannya memerlukan kondisi batas di sekeliling daerah tinjauan. Seperti aliran air tanah di bawah bendungan dan karena adanya pemompaan, defleksi plat akibat pembebanan, dsb.

 2  2  0 x 2 y 2 C. Persamaan Differensial Hiperbolik  Biasanya berhubungan dengan getaran atau permasalahan dimana terjadi diskontinue dalam waktu, seperti gelombang kejut yang terjadi discontinue dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa.

 2U  C2  2U t2 x 2

50


2012

7.1. Penyelesaian Persamaan Parabolik dengan Skema Eksplisit

T  K  2 T t x 2 dengan : K t x

……………. (7.1)

T = temperatur koefisien konduktivitas waktu jarak

= = =

Pada skema eksplisit, variabel pada waktu n+1 dihitung berdasarkan variabel pada waktu n yang sudah diketahui. Dengan menggunakan skema seperti di bawah ini, fungsi f(x,t) dan turunannya dalam ruang dan waktu didekati oleh bentuk berikut :

n n +1

i-1

i

i+1

f (x, t) = fi n n 1

f  fi f(x , t) = i t t

f 2 (x , t) t 2

n

n

=

n

fin1  2fi  fi 1 t 2

Dari skema di atas, persamaan (7.1) dapat ditulis dalam bentuk berikut :

Ti

n 1

n

n

n

Tn  2Ti  Ti 1  Ti = Ki i 1 t x 2

atau

Ti

n 1

n

= Ti  Ki

t x

2

T

n n i 1  2Ti

n

 Ti 1



………… (7.2)

51


2012

Stabilitas Skema Eksplisit Dalam

skema n1 i 1 ,

eksplisit, n1 i

Ti

n

tergantung

pada

tiga

titik

n1 i 1 .

sebelumnya yaitu: T Keadaan ini dapat menyebabkan T dan T ketidakstabilan dari skema tersebut, yang berupa terjadinya amplifikasi hasil hitungan dari kondisi awal. Agar stabil dibutuhkan suatu syarat yaitu : t 0 <  < 1/2 dengan  = x 2 Contoh:

L=1m

Dimana :

=

t x

2

=

0,001 0,12

k x t

= = =

1 0,1 0,001

= 0,1 < 0,5 (stabil)

Syarat batas : pada t = 0  T = 2x ; 0  x  ½ L dan T = 2(1-x) ; ½ L  x  L pada semua t untuk x = 0  T = 0 Dengan menggunakan persamaan (6.2), hitungan dilakukan dari i = 2 sampai dengan 5 dan dari n = 1 sampai waktu yang dikehendaki (N). Untuk n = 1 dan i bergerak dari i = 2 sampai i = 6, 1 T2 = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2 1

T3 = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4 1

T4 = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6 T51 T61

= 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 1) = 0,8 = 1 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 1 + 0,8) = 0,96

untuk n = 2 dan i bergerak dari i =2 sampai i = 6, T22 = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2

T32 = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4 T42 = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6 T52 = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 0,96) = 0,796 T62 = 0,96 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 0,96 + 0,8) = 0,928

52


2012

Demikian perhitungan terus dilanjutkan s/d waktu yang dikehendaki (N). Tabel hasil skema eksplisit i= x= t=0 t = 0,001 t = 0,002 t = 0,003 . . . t=N

1 0 0 0 0 0 . . . N

2 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 . . . N

3 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 . . . N

4 0.3 0.6 0.6 0.6 0.5996 . . . N

5 0.4 0.8 0.8 0.796 0.7896 . . . N

6 0.5 1 0.96 0.928 0.9016 . . . N

7 0.6 0.8 0.8 0.796 0.7896 . . . N

7.2. Penyelesaian Persamaan Parabolik dengan Skema Implisit Dalam skema eksplisit, ruas kanan dari persamaan ditulis pada waktu n yang nilainya sudah diketahui. Sedangkan pada skema implisit, ruas kanan tersebut ditulis pada waktu n+1 di mana nilainya belum diketahui. Gambar di bawah ini menunjukkan jaringan titik simpul dari skema implisit. Dengan menggunakan skema tersebut, fungsi f(x,t) dan turunannya dalam ruang waktu didekati oleh bentuk berikut ini.

n n+1

i-1

i

i+1

f (x,t)  fin atau  fin1 f(x,t) fin1  fin  t Δt f(x,t) fin11  fin11  x 2  Δx  2f(x,t) x 2



fin11  2  fin1  fin11 Δx 2

53


2012

Dengan menggunakan skema di atas, maka dapat dibentuk persamaan dalam bentuk beda hingga : 1 Tin1  Tin Tn1  2  Tin1  Tin 1  Ki i 1 Δt Δx 2

1 n1 Ki 2  Ki n1 Ki Tin n1 n1 Ti  T  T  T  i  1 i i  1 Δt Δt Δx 2 Δx 2 Δx 2 

Ki

Δx 2

1 Tin1 (

1 2  Ki n1 Ki Tin n1  ) T  T  i i 1 Δt Δt Δx 2 Δx 2

atau Ai .Tin11  Bi .Tin 1  Ci .Tin11  Di

.......... (6.3)

dengan Ai   Bi  (

Ki Δx

; Ci  

2

Ki 1 2 ) Δt Δx 2

; Di 

Ki

Δx 2

Tin Δt

Apabila persamaan (7.3) ditulis untuk setiap titik hitungan dari i = 1 sampai M maka akan terbentuk suatu sisten persamaan linier yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks. Untuk :

i = 1 → A1T 0 + B1T1 + C1T2 = D1 i = 2 → A2T 1 + B2T2 + C2T3 = D2 i = 3 → A3T 2 + B3T3 + C3T4 = D3 i = 4 → A4T 3 + B4T4 + C4T5 = D4 . . i =M → AMTM-1 + BMTM + CMTM+1 = DM

Untuk penyederhanaan penulisan, variabel Tin+1 ditulis Ti (tanpa menulis n+1). Persamaan di atas dalam bentuk matrik menjadi : B 1 C1 0

0

0

.........

0

T1

D1

A2 B2 C2 0

0

.........

0

T2

D2

0 A3 B3 C3 0

.........

0

T3

D3

0

0 A4 B4 C4

.........

0

T4

D4

.

.

.

.

.

.........

0

.

.

.

.

.

.

.........

0

.

.

0

0

0

0

0

. . . . . . AM BM

TM

DM

=

.

54


2012

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode penyelesaian persamaan serentak untuk mendapatkan nilai Ti (i =1........M). Penyelesaian dengan menggunakan skema implisit lebih sulit dibanding dengan skema eksplisit. Kelebihan dari skema implisit adalah skema tersebut stabil tanpa syarat, langkah waktu Δt dapat diambil sembarang (besar) tanpa menimbulkan kesalahan pemotongan dalam batas-batas yang dapat diterima. 7.3. Penyelesaian Persamaan Eliptik Penyelesaian dilakukan dengan mendiskretisasi suatu persamaan differensial parsial eliptik dengan kondisi batas untuk dapat ditransformasikan ke dalam suatu sistem dari N persamaan dengan N bilangan anu. Penyelesaian persamaan eliptik dilakukan dengan langkahlangkah berikut ini. 1. Membuat jaringan titik simpul di dalam seluruh bidang yang ditinjau dan batas-batasnya. 2. Pada setiap titik dalam bidang tersebut dibuat turunanturunannya dalam bentuk beda hingga. 3. Ditulis nilai-nilai fungsi pada semua titik di batas keliling bidang dengan memperhatikan kondisi batas. Dari persamaan bentuk eliptik berikut :

 2  2  0 2 2 x y

Sehingga :

i 1, j  2i, j  i 1, j x 2



i, j 1  2i, j  i, j 1 y 2

0

Untuk x = y, maka persamaan di atas menjadi :

4i, j  i 1, j  i 1, j  i, j 1  i, j 1  0

55


2012

Contoh Soal : Determine the steady state temperature of the following plate using α = 1 and Δx = 1 ft.

y 4 ft Tb = 40°F

Tc = 0°F

Ta = 10°F

3 ft x

Td = 20°F Jawab :

Tb = 40°F

Ta = 10°F

1

3

5

2

4

6

Tc = 0°F

Td = 20°F ☺ Node 1

☺ Node 3

1 1 Ta

1 2

-4 1

Tb

Tb

1 3

1 4

5 6

1 Tc

Td 10 + 40 - 4 T1 + T2 + T3 = 0

Ta

2

1

3 4

-4 1

5

1 6

Tc

Td 40 + T1 - 4 T3 + T4 + T5 = 0

56

Metode Numerik untuk Teknik Mesin ☺ Node 2

2012 ☺ Node 4

Tb 1 1 3 Ta 2 4 1 -4 1

Tb 5

1

6

Tc

Ta

2

3 1

1

10 + 20 + T1 -4 T2 + T4 = 0

6

Tc

1

20 + T2 + T3 -4 T4 + T6 = 0

☺ Node 5

☺ Node 6

Tb

Tb 3

1

Ta 2

-4

5

1 Td

Td

1

4

1

4

1 5 6

-4

1

Ta Tc

1 2

1

3 4

5 1

6

1 Tc -4

1

1

Td

Td

40 + T3 -4 T5 + T6 = 0

20 + T4 + T5 - 4 T6 = 0

Sehingga hasil persamaan-persamaan tersebut dapat dibentuk dalam suatu matrik :

-4 1 1 0 0 0

1 -4 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 -4 1 1 0 1 -4 0 1 1 0 -4 1 0 1 1 -4

.

T1 T2 T3 T4 T5 T6

=

-50 -30 -40 -20 -40 -20

T1 = 23,561 °F T2 = 18,344 °F T3 = 25,901 °F T4 = 19,814 °F T5 = 20,228 °F T6 = 15,010 °F

57


2012

BAB VIII. INTEGRASI NUMERIK Metode Gauss Quadrature merupakan salah satu metode integrasi numerik yang paling dapat diterima dan dipakai secara intensif untuk menyelesaikan integrasi matrik kekakuan di Metode Elemen Hingga pada elemen jenis isoparametrik. Dibandingkan dengan metode Trapezoid yang hanya terbatas pada penggunaan dengan infromasi data yang equispaced, maka metode Gauss Quadrature lebih luas penggunaannya pada penyelesaian fungsi yang non-equispaced dan memiliki keakuratan lebih tinggi. Rumusan Gauss Quadrature mengubah batas integral dari suatu batas (misal a s/d b) menjadi -1 s/d +1. Formula dasarnya adalah merupakan penjumlahan dari perkalian koefisien berat dan harga dari fungsi pada sampling points. b

I=

 f(x)dx =

a

Dengan :

n

 Wk f(x k )

k 1

Wk = Koefisien berat (Weighting Coeff.) xk = sampling (Gauss) point

untuk menentukan Koefisien berat (Weighting Coeff.) dilakukan dengan prosedur memindah batas integral dari a s/d b menjadi -1 s/d +1. Tabel Gauss Quadrature Polinomial Degree 1

Jumlah Point 1

Sampling (Gauss) Point x1 = 0

Koefisien Berat

3

2

x1 = - 0.5773503 x2 = 0.5773503

W1 = 1 W2 = 1

=5

3

x1 = - 0.7745967 x2 = 0 x3 = 0.7745967

W1 = 0.5555556 W1 = 0.8888889 W2 = 0.5555556

W1 = 2

58


2012

Persamaan matrik kekakuan untuk elemen segiempat isoparametrik dapat ditulis sebagai berikut:

[k ]  h  [B]T [C] [B] dX dY  h  [B]T [C] [B] J ds dt A

A* T

= W1W1 [B(s1, t1)] [C] [B(s1, t1)] |J(s1, t1)| + W1W2 [B(s1, t2)]T [C] [B(s1, t2)] |J(s1, t2)| + W2W1 [B(s2, t1)]T [C] [B(s2, t1)] |J(s2, t1)| + W2W2 [B(s2, t2)]T [C] [B(s2, t2)] |J(s2, t2)| Dengan asumsi polynomial degree yang dipakai  3 dan sampling point 2 maka digunakan harga : s1 = t1 = -0,577 s2 = t2 = 0,577 W1 = W2 = 1 Hitung I =

2

2

0

0

  2y  2x dx dy

dengan Gauss Quadrature (point n = 2)

59


2012

DAFTAR PUSTAKA Abd. Munif, (1995), Cara Praktis Penguasaan dan Penggunaan Metode Numerik, Guna Wijaya, Jakarta. Chapra, Steven C., (1991), Metode Numerik, Erlangga, Jakarta. Soehardjo (1985), Analisa Numerik, ITS, Surabaya. Triatmodjo, Bambang, Yogyakarta.

(1995),

Metode

Numerik,

Beta

Offset,

60

BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK

Recommend Documents