Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM
07 Februari 2017
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
1/8
Pemeran-pemeran utama
R
1 x dx
= ln |x | + C.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
2/8
Pemeran-pemeran utama
R
1 x dx
= ln |x | + C. R Contoh: 2x1+3 dx ?
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
2/8
Pemeran-pemeran utama
R
1 x dx
= ln |x | + C. R Contoh: 2x1+3 dx ? Integral substitusi.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
2/8
Pemeran-pemeran utama
R
1 x dx
= ln |x | + C. R Contoh: 2x1+3 dx ? Integral substitusi. R 1 dx ? Contoh: 4+x2x++ x2
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
2/8
Pemeran-pemeran utama
R
1 x dx
= ln |x | + C. R Contoh: 2x1+3 dx ? Integral substitusi. R 1 dx ? Contoh: 4+x2x++ x2 R 1 dx = arctan x + C. 1+x 2
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
2/8
Pemeran-pemeran utama
R
1 x dx
= ln |x | + C. R Contoh: 2x1+3 dx ? Integral substitusi. R 1 dx ? Contoh: 4+x2x++ x2 R 1 dx = arctan x + C. 1+x 2 R Contoh: 4+2x1 +x 2 dx ? (Hint: lengkapkan kuadrat).
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
2/8
Mari mengingat Polinom atau suku banyak: P (x ) = pn x n + pn−1 x n−1 + · · · + p1 x + p0 dengan n disebut derajat/degree dari P.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
3/8
Mari mengingat Polinom atau suku banyak: P (x ) = pn x n + pn−1 x n−1 + · · · + p1 x + p0 dengan n disebut derajat/degree dari P. Setiap polinom dapat difaktorkan menjadi P (x ) = A(x − a1 )k1 · · · (x − ar )kr
(x 2 + b1 x + c1 )`1 · · · (x 2 + bm x + cm )`m dengan A adalah suatu konstanta, x − a1 , . . . , x − ar semuanya berbeda begitupun juga dengan x 2 + b1 x + c1 , . . . , x 2 + bm x + cm . NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
3/8
Fungsi pecah rasional Fungsi f disebut fungsi pecah rasional jika dapat dituliskan sebagai f (x ) =
pn x n + pn−1 x n−1 + · · · + p1 x + p0 P (x ) = . Q (x ) qd x d + qd −1 x d −1 + · · · + q1 x + q0
dengan P dan Q adalah polinom berderajat berturut-turut n dan d.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
4/8
Fungsi pecah rasional Fungsi f disebut fungsi pecah rasional jika dapat dituliskan sebagai f (x ) =
pn x n + pn−1 x n−1 + · · · + p1 x + p0 P (x ) = . Q (x ) qd x d + qd −1 x d −1 + · · · + q1 x + q0
dengan P dan Q adalah polinom berderajat berturut-turut n dan d. Jika n < d maka f disebut fungsi pecah rasional wajar (proper rational function).
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
4/8
Fungsi pecah rasional Fungsi f disebut fungsi pecah rasional jika dapat dituliskan sebagai f (x ) =
pn x n + pn−1 x n−1 + · · · + p1 x + p0 P (x ) = . Q (x ) qd x d + qd −1 x d −1 + · · · + q1 x + q0
dengan P dan Q adalah polinom berderajat berturut-turut n dan d. Jika n < d maka f disebut fungsi pecah rasional wajar (proper rational function). Jika n > d maka dapat diubah menjadi P (x ) R (x ) = S (x ) + Q (x ) Q (x ) NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
4/8
Contoh Perhatikan fungsi pecah rasional f (x ) = oleh penyebut dari f adalah
x 3 −2x +2 . x 2 −1
Hasil bagi pembilang
x +1 = S (x ) x2 − 1 x3 −2x +2 3 2 x −x x2 −2x 2 x −x −x +2 = R (x ) sehingga fungsi f dapat ditulis dengan f (x ) = NS (FMIPA UGM)
x 3 − 2x + 2 −x + 2 = x +1+ 2 . x2 − 1 x −1 Teknik pengintegralan
07/02/2017
5/8
Ekspansi penyebut (kasus simpel) Jika semua akar dari Q (x ) merupakan bilangan-bilangan real yang berbeda maka, penyebut dapat difaktorkan menjadi d faktor linier P (x ) P (x ) = . Q (x ) (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − ad )
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
6/8
Ekspansi penyebut (kasus simpel) Jika semua akar dari Q (x ) merupakan bilangan-bilangan real yang berbeda maka, penyebut dapat difaktorkan menjadi d faktor linier P (x ) P (x ) = . Q (x ) (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − ad ) Untuk mengintegralkan fungsi ini, akan dicari A1 , A2 , . . . , Ad sehingga P (x ) A1 A2 Ad = + +···+ . Q (x ) x − a1 x − a2 x − ad
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
(#)
07/02/2017
6/8
Ekspansi penyebut (kasus simpel) Jika semua akar dari Q (x ) merupakan bilangan-bilangan real yang berbeda maka, penyebut dapat difaktorkan menjadi d faktor linier P (x ) P (x ) = . Q (x ) (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − ad ) Untuk mengintegralkan fungsi ini, akan dicari A1 , A2 , . . . , Ad sehingga P (x ) A1 A2 Ad = + +···+ . Q (x ) x − a1 x − a2 x − ad
(#)
Sehingga Z
P (x ) dx = A1 ln |x − a1 | + A2 ln |x − a2 | + · · · + Ad ln |x − ad | + C. Q (x )
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
6/8
Menghitung A1 , A2 , . . . , Ad Penyamaan koefisien: Kalikan kedua ruas dari (#) dengan Q (x ) = (x − a1 ) · · · (x − ad ) sehingga diperoleh polinom berderajat d pada kedua ruas. Dengan menyamakan koefisien dari kedua polinom ini diperoleh sistem persamaan linier d variable untuk A1 , . . . , Ad .
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
07/02/2017
7/8
Menghitung A1 , A2 , . . . , Ad Penyamaan koefisien: Kalikan kedua ruas dari (#) dengan Q (x ) = (x − a1 ) · · · (x − ad ) sehingga diperoleh polinom berderajat d pada kedua ruas. Dengan menyamakan koefisien dari kedua polinom ini diperoleh sistem persamaan linier d variable untuk A1 , . . . , Ad . Heaviside trick: Dengan mengalikan (#) by x − ai dan memasukkan x = ai diperoleh P (x )(x − ai ) Ai = Q (x ) x = ai
= NS (FMIPA UGM)
P ( ai ) . (ai − a1 ) · · · (ai − ai −1 )(ai − ai +1 ) · · · (ai − ad ) Teknik pengintegralan
07/02/2017
7/8
Contoh
Hitung Z
NS (FMIPA UGM)
x 3 − 2x + 2 dx. x2 − 1
Teknik pengintegralan
07/02/2017
8/8
