Integral Kompleks (Bagian Kesatu)

Fungsi Bernilai Kompleks

Lintasan atau Kontur

Integral Kompleks (Bagian Kesatu) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:[email protected], [email protected]

(Pertemuan Minggu XI)

Integral Kontur



Outline

1


2


3

Integral Kontur

Integral Kontur



Integral Kontur

Fungsi bernilai kompleks

Terlebih dahulu akan diperkenalkan derivatif dan integral tertentu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada suatu daerah definisi di dalam sistem bilangan real <. Diberikan fungsi bernilai kompleks w(t) = u(t) + iv (t) dengan t variabel real. Turunan w, ditulis w 0 (t) atau

dw(t) dt

didefinisikan sebagai

w 0 (t) = u 0 (t) + iv 0 (t) asalkan u 0 (t) dan v 0 (t) ada untuk setiap t.



Integral Kontur


Dari definisi tersebut, dapat diturunkan sifat-sifat derivatif fungsi bernilai kompleks. Theorem Jika

dw1 (t) dt

dan

dw2 (t) dt

ada, maka

d(w1 (t)+w2 (t)) dt

dan

d(w1 (t) + w2 (t)) dw1 (t) dw2 (t) = + dt dt dt




Theorem Diberikan fungsi bernilai kompleks w(t) = u(t) + iv (t). Jika w 0 (t) ada, maka untuk sebarang z0 ∈ C, d(z0dtw(t)) ada dan d(z0 w(t)) dw(t) = z0 . dt dt Theorem Untuk sebarang z0 ∈ C,

d(ez0 t ) dt

ada dan

d(ez0 t ) = z0 ez0 t . dt

Integral Kontur



Integral Kontur

Fungsi bernilai kompleks Perlu diperhatikan, meskipun turunan fungsi bernilai kompleks diturunkan dari definisi fungsi bernilai real, namun ternyata tidak semua sifat yang berlaku untuk turunan fungsi bernilai real bisa dibawa ke fungsi bernilai kompleks. Sebagai contoh, diperhatikan fungsi w(t) = eit ,

0 ≤ t ≤ 2π

(1)

Fungsi tersebut kontinu pada [0, 2π], mempunyai turunan w 0 (t) = ieit pada (0, 2π), dan w(0) = w(2π). Akan tetapi w 0 (t) 6= 0 untuk semua 0 < t < 2π. Jadi, di sini tidak berlaku Teorema Nilai Rata-rata, khususnya Teorema Rolle.



Integral Kontur

Fungsi bernilai kompleks Diberikan w(t) = u(t) + iv (t), t ∈ [a, b]. Integral tak tentu dari w(t) pada [a, b] adalah fungsi W (t) yang terdefinisi pada [a, b] sehingga W 0 (t) = w(t) untuk setiap t ∈ [a, b]. Mudah ditunjukkan bahwa apabila W (t) dan H(t) keduanya merupakan integral tak tentu dari w(t) pada [a, b], maka W (t) − H(t) merupakan fungsi konstan pada [a, b]. Jadi, sebagaimana berlaku pada fungsi bernilai real, jika U(t) dan V (t) masing-masing adalah suatu antiderivatif (integral tak tentu) dari u(t) dan v (t) pada [a, b], maka inetgral tak tentu dari w(t) pada [a, b] adalah Z W (t) = w(t) = U(t) + iV (t) + K , (2) dengan K sebarang konstanta kompleks.



Integral Kontur


Untuk sebarang fungsi w(t), t ∈ [ab], integral tertentu w pada [a, b] didefinisikan sebagai Z

b

Z w(t)dt =

a

b

Z u(t)dt + i

a

b

v (t)dt

(3)

a

asalkan integral di ruas kanan keduanya ada. Jadi, Z

b

Re{

Z

b

w(t)dt} = a

Z Im{

b

Z w(t)dt} =

a

Re(w(t))dt dan

(4)

Im(w(t))dt

(5)

a

a

b



Integral Kontur

Fungsi bernilai kompleks Selanjutnya mudah ditunjukkan sifat-sifat integral tertentu sebagaimana diberikan dalam teorema berikut. Theorem Rb Rb Jika a w(t)dt dan a h(t)dt keduanya ada dan c ∈ C sebarang konstanta kompleks, maka Rb Rb (w(t) + h(t))dt = a w(t)dt + a h(t)dt, Rb Rb (ii) a cw(t)dt = c a w(t)dt, dan Rb Rb Rc (iii) a w(t)dt = a w(t)dt + c w(t)dt untuk setiap a < c < b. (i)

Rb a

Seperti halnya di dalam kalkulus, untuk integral fungsi bernilai kompleks juga berlaku teorema fundamental integral.



Contoh

Example R1

(2t − 3it 2 )dt. R Penyelesaian: Karena (2t − 3it 2 )dt = t 2 − it 3 + K , maka Tentukan

0

Z 0

1

(2t − 3it 2 )dt = [t 2 − it 3 ]10 = 1 − i.

Integral Kontur



Integral Kontur


Theorem Jika w(t) terintegral pada [a, b], maka |w(t)| terintegral pada [a, b] dan Z |

b

Z w(t)dt| ≤

a

b

|w(t)|dt

(6)

a

Integral tak wajar fungsi bernilai kompleks didefinisikan sejalan dengan definisi integral tak wajar fungsi bernilai real sebagaimana telah diberikan pada mata kuliah kalkulus.



Integral Kontur

Lintasan atau Kontur Seperti telah diketahui, integral fungsi bernilai real dengan variabel real didefinisikan pada suatu interval di mana fungsi tersebut terdefinisi. Hal itu tak bisa dilakukan untuk fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks, mengingat di dalam C tidak dikenal adanya urutan sebagaimana di R. Mengingat hal itu, integral fungsi kompleks dengan variabel kompleks akan didefinisikan pada suatu kurva di dalam bidang datar. Pada bagian ini, akan dibicarakan keluarga kurva-kurva di dalam bidang datar yang nantinya akan digunakan untuk mendefinisikan integral fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks.



Integral Kontur

Lintasan atau Kontur Diberikan fungsi-fungsi kontinu g dan h yang terdefinisi pada [a, b]. Himpunan semua titik z = (x, y ) di dalam bidang kompleks sehingga x = g(t)

dan

y = h(t),

t ∈ [a, b]

disebut arc atau kurva. Secara umum, suatu kurva atau arc C dapat pula dirumuskan sebagai z = z(t) = x(t) + iy (t),

a≤t ≤b

dengan x dan y masing-masing fungsi kontinu pada [a, b].



Integral Kontur


Kurva C disebut kurva sederhana jika C tidak memotong dirinya sendiri, yaitu apabila z(t1 ) 6= z(t2 ) untuk setiap t1 6= t2 . Jika kurva C sederhana kecuali pada kedua ujungnya (z(a) = z(b)), maka C dinamakan kurva tertutup sederhana atau kurva Jordan.



Contoh

Example Poligonal z=

  t 

1 + it

,0 ≤ t ≤ 1 ,0 ≤ t ≤ 1

adalah kurva sederhana. Example Lingkaran z = 2eit , 0 ≤ θ ≤ 2π adalah kurva tertutup sederhana.

Integral Kontur



Integral Kontur

Lintasan atau Kontur Diberikan kurva z = x(t) + iy (t), a ≤ t ≤ b dengan x 0 (t) dan y 0 (t) keduanya ada pada [a, b]. Kurva z = x(t) + iy (t), a ≤ t ≤ b sehingga x 0 (t) dan y 0 (t) keduanya ada pada [a, b] disebut kurva diferensiabel. Turunan dari z(t) adalah z 0 (t) = x 0 (t) + y 0 (t) Selanjutnya, karena x 0 (t) dan y 0 (t) terintegral pada [a, b], maka demikian pula dengan |z 0 (t)| dan Z a

b

|z 0 (t)|dt =

Z

b

q (x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 ,

(7)

a

yaitu panjang kurva z sebagaimana diberikan di kalkulus.



Integral Kontur


Suatu kurva z = z(t), a ≤ t ≤ b, dikatakan mulus (smooth) jika z 0 (t) ada untuk setiap t ∈ [a, b] dan bernilai tidak nol pada (a, b). Sejumlah berhingga kurva mulus sehingga ujung suatu kurva bertautan dengan ujung kurva berikutnya disebut kontur (contour). Suatu kontur C disebut kontur tertutup sederhana jika titik awal dan titik akhir C sama atau berimpit.



Integral Kontur

Integral Kontur

Pada bagian ini akan dibicarakan integral fungsi bernilai kompleks yang terdefinisi untuk variabel kompleks. Integral tersebut didefinisikan di sepanjang suatu kontur C, mulai dari z = z1 sampai z = z2 di bidang kompleks. Jadi, integral yang dimaksud sesungguhnya merupakan integral garis. Nilai integral tergantung tidak hanya pada fungsi f , namun juga pada kontur C.



Integral Kontur

Integral Kontur

Diberikan fungsi kompleks f dan kontur C dari z1 ke z2 di dalam bidang kompleks. R Integral lintasan f pada C ditulis dengan notasi C f (z)dz. Secara umum, nilai integral ini selain bergantung pada f juga bergantung pada lintasan C. Apabila nilai integral tidak bergantung pada C, maka dituliskan Z z 2

f (z)dz z1



Integral Kontur

Diberikan kontur C dengan representasi z = z(t),

a≤t ≤b

yang memanjang dari z1 = z(a) sampai dengan z2 = z(b). Untuk sebarang fungsi f (z) yang kontinu sepotong-sepotong pada C, yaitu apabila f (z) kontinu pada C kecuali di sebanyak berhingga titik pada C, integral kontur f sepanjang kontur C didefinisikan sebagai Z Z b f (z)dz = f (z(t))z 0 (t)dt (8) C

a

Untuk sebarang kontur C dengan representasi z = z(t),

a≤t ≤b

kontur −C didefinisikan sebagai suatu kontur yang memuat titik sebagaimana titik-titik pada C namun dengan arah yang berlawanan, dari z2 sampai z1 .



Integral Kontur

Integral Kontur

Selanjutnya, dapat ditunjukkan beberapa teorema berikut. Theorem Diberikan kontur C dengan representasi z = z(t),

a≤t ≤b

yang memanjang dari z1 = z(a) sampai dengan z2 = z(b). Jika f (z) sebarang fungsi yang kontinu sepotong-sepotong pada C, maka Z Z f (z)dz = − f (z)dz −C

C



Integral Kontur

Integral Kontur

Theorem Diberikan kontur C yang terdiri atas kontur C1 dari z1 sampai z2 dan kontur C2 dari z2 sampai z3 . Kontur C yang demikian biasa ditulis sebagai C = C1 + C2 . Jika f kontinu sepotong-sepotong pada C, maka Z Z Z f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz C

C1

C2



Integral Kontur

Integral Kontur

Theorem Jika f dan g keduanya kontinu sepotong-sepotong pada suatu kontur C dan z0 sebarang konstanta kompleks, maka Z Z Z (f (z) + g(z))dz = f (z)dz + g(z)dz C

dan

C

Z

C

Z z0 f (z)dz = z0

C

f (z)dz C



Integral Kontur

Contoh

Example Jika C adalah kontur yang terdiri atas penggal garis C1 dari z = 0 sampai z = 1 dan penggal C2 dari z = 1 sampai z = i, maka hitunglah Z ((x + 2y ) − 3ixy )dz C



Integral Kontur

Integral Kontur

Theorem Diberikan fungsi kompleks f yang kontinu sepotong-sepotong pada suatu kontur C. Jika terdapat M > 0 sehingga |f (z)| ≤ M untuk setiap z ∈ C, maka Z | f (z)dz| ≤ ML C

dengan L menyatakan panjang kontur atau lintasan C. Bukti: Dengan memperhatikan (7), maka teorema terbukti.



Integral Kontur

Integral Kontur Example Jika C adalah kontur berbentuk setengah lingkaran z = 4eiθ dari z = 4 sampai z = −4, maka tunjukkan bahwa Z 16π z dz| ≤ | z + 1 3 C Bukti: Mudah dimengerti bahwa panjang kontur C adalah L = 4π. Selanjutnya, karena untuk semua z ∈ C berlaku | maka

Z | C

z |z| 4 |≤ = , z +1 |z| − 1 3

z 4 16π dz| ≤ ( )(4π) = . z +1 3 3

Integral Kompleks (Bagian Kesatu)

Recommend Documents