FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
Bab III Integral Fungsi Kompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f(z) = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat diferensial integratornya terdiri dari dua variabel x dan y : dz = dx + idy
(3.1)
sehingga integralnya :
∫ f ( z)dz = ∫ (u+iv)(dx + idy) =
∫ (u dx - v dy) + i (v dx + u dy)
(3.2)
Seharusnya integral (3.2) tergantung pada lintasan yang dilewati selama proses integrasinya, karena lintasan itu akan menentukan hubungan antara variabel x dan y. Tetapi hal ini akan menimbulkan kontradiksi dengan integral di ruas kiri yang sudah tentu bersifat unik. Oleh sebab itu integral fungsi kompleks harus tidak tergantung lintasan, hal ini dapat terjadi karena di antara u dan v terdapat hubungan sebagai harmonik konjugat satu sama lain menurut persamaan Cauchy-Riemann (2.4). Integrasi dalam variabel z dilakukan dengan cara yang sama seperti integral real, di sini integral berarti anti-derivatif : f ( z) =
dF ( z ) dz
⇔
F ( z ) = ∫ f ( z )dz
(3.3)
Tugas 3-1 B
Cobalah mengintegralkan :
∫ z * dz
dari titik A = 0 ke B = 1+i di bidang
A
Argand melalui berbagai macam lintasan. Apa kesimpulan anda?
19
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
Sifat-sifat integral kompleks hampir sama dengan sifat-sifat integral real. Hanya ada satu sifat tambahan yang penting, yaitu : bila f(z) fungsi terbatas (bounded) sehingga |f(z)| ≤ M, dengan M bilangan positif berhingga, maka :
∫ f ( z)dz ≤ ∫ | f ( z)|| dz| ≤ ML C
(3.4)
C
dimana L adalah panjang kurva integrasi C. Teorema Cauchy - Goursat Bila f(z) analitik pada kontur tertutup C sembarang dan di dalam daerah ℜ yang dibatasinya, maka :
∫ f(z) dz = 0
(3.5)
C
Dengan kata lain integral fungsi kompleks tidak tergantung lintasan yang dilewatinya. Bukti pernyataan ini dapat diruntut sebagai berikut : Untuk vektor dua dimensi (F = Fx i$ + Fy $j ), teorema Stokes pada integral vektor akan menghasilkan teorema Green berikut :
∫ Fx dx + Fy dy =
C
∫∫ ( ℜ
∂Fy ∂x
−
∂Fx )dxdy ∂y
(3.6)
dimana ℜ adalah daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Apabila teorema ini kemudian diterapkan pada integrasi kompleks :
∫ f ( z)dz = ∫ (u+iv)(dx + idy) C
C
=
∫
(u dx - v dy) + i (v dx + u dy)
C
=
∂v ∂u ∂u ∂v ∫∫ − ∂x − ∂y + i ∂x − ∂y dx dy = 0 ℜ
karena menurut persamaan Cauchy-Riemann, seluruh integrannya sama dengan nol. Teorema Anulus Sebuah anulus adalah daerah cincin, termasuk daerah terhubung rangkap, terdiri dari dua kurva tertutup, C dan K. Bila arah kontur dibalik, hasil integral akan menjadi
20
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
negatifnya. Untuk kurva tertutup arah positif adalah arah yang menyebabkan daerah integrasi berada di sebelah kiri lintasan integrasi. Itulah sebabnya arah lintasan integrasi haruslah ditentukan pada integral kontur fungsi kompleks. Integrasi menyusuri kurva batas daerah anulus ini dapat dipecah menjadi 4 integral dengan kontur masing-masing C′, Γ1, Γ2, dan -K′ (+K′ didefinisikan searah dengan C′). Kontur C′ adalah kontur C setelah terbelah oleh celah lintasan Γ1 dan Γ2 yang masuk dan keluar di antara C dan K. Demikian pula kontur K′ adalah kontur K sesudah diberi celah tersebut di atas. Celah harus dibuat sedemikian kecil agar C′→ C dan K′ → K.
∫ f ( z)dz = ( ∫ + ∫ + ∫ + ∫ ) f ( z)dz C′
C
−K′
Γ2
Jika diamati jelaslah bahwa Γ1 = - Γ2 se-
Γ1 Γ2
Γ1
hingga kedua integralnya saling mengha-
K′
pus. Untuk f(z) yang bersifat analitik di daerah anulus ini berlaku teorema CauchyC′
Goursat :
∫ f ( z)dz = ( ∫ + ∫ ) f ( z )dz = 0 C
C′
− K′
yang akhirnya menghasilkan teorema anulus, yaitu dengan mengingat bahwa
∫=− ∫
− K′
K′
C′→ C dan K′ → K :
∫ f ( z)dz = ∫ f ( z )dz C
(3.7)
K
Tugas 3-2 Diskusikan apa yang dimaksud dengan daerah yang terhubung sederhana (simple-connected) dan daerah terhubung rangkap (multiple-connected)!
21
,
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
Jadi di dalam daerah analitiknya, kontur tertutup integral kompleks boleh mengecil tanpa mengubah nilai integral itu sendiri. Teorema ini dapat diperluas pengertiannya jika anulusnya memiliki banyak lubang, katakanlah lubang K1, K2, ... , Kn, persamaan (3.7) menjadi :
∫ f ( z)dz = ∫ f ( z)dz + ∫ f ( z)dz +.......+ ∫ f ( z)dz C
K1
K2
(3.8)
Kn
Integral Cauchy Jika integran f(z) tidak analitik di dalam C, tetapi memiliki kutub di titik z = a, artinya f(a) meledak tak hingga besar di situ, maka fungsi ini dapat ditulis dalam bentuk : f ( z) =
g ( z)
(3.9)
(z − a) n
dengan fungsi pembilang g(z) analitik dalam C. Jika n = 1, kutub a disebut kutub sederhana, untuk harga n lainnya disebut kutub orde n. Integralnya : g(z)
∫ z − a dz = 2π i g(a)
(3.10)
C
Hal ini dapat dibuktikan dengan menuliskan bilangan kompleks pada penyebut dalam bentuk polar eksponen :
z=a •
r
z - a = r eiθ
K
kemudian integrasi dilakukan sepanjang lingkaran kecil K beruji infinitesimal r→0
C
yang berpusat di z = a sesuai dengan teorema anulus : g(z)
g(z)
∫ z − a dz = lim ∫ reiθ
C
r →0
= i g(a)
d(re iθ )
K
∫ dθ K
= 2π i g(a) mengingat z→a untuk r→0, dan g(z) analitik di sekitar z = a.
22
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
Integral Cauchy ini dapat diperluas pengertian dan ruang lingkupnya dengan menurunkan ruas kiri dan kanannya terhadap a secara berturut-turut : g(z)
∫ (z − a)n +1 dz =
C
2πi (n) g (a) n!
(3.11)
dimana g(n)(a) adalah turunan g(z) orde n di z = a. Titik z = a merupakan kutub berorde satu di persamaan (3.10) dan berorde n di persamaan (3.11). Jika f(z) analitik di dalam dan pada lingkaran C beruji r dan berpusat di z = a, maka berdasarkan sifat integral kompleks (3.4), persamaan (3.11) menghasilkan : |f
( n)
(a )| ≤
M . n! rn
(3.12)
yang dikenal dengan sebutan ketaksamaan Cauchy. Pada integral Cauchy (3.10) titik kutub z = a berada di dalam kontur C. Jika z = a berada di luar kontur permasalahannya berubah menjadi persamaan (3.5), karena sekarang integran merupakan fungsi analitik di dalam C. Bagaimana jika z = a kebetulan tepat dilalui oleh kontur C ? Dalam kasus ini teorema anulus akan menghasilkan nilai yang besarnya hanya separo dari persamaan (3.10). Apabila z = a berada di titik patah kontur C, misalnya pada sudut α suatu bentuk bidang, maka nilai yang dihasilkan menjadi α/2π kali hasil persamaan (3.10). Seluruh penjelasan pada paragraf ini hanya berlaku untuk kutub sederhana (berorde satu), yakni yang berada di persamaan (3.10), dan tidak berlaku untuk kutub berorde banyak seperti pada persamaan (3.11). Sebagai rangkuman integrasi fungsi kompleks dengan kontur tertutup dapat dilihat diagram alir berikut ini : Tak berkutub (Analitik) Tentukan letak kutub integrannya
Teorema Cauchy-Goursat Tdk
Ya
23
∫= 0
C
Kutub berada di dalam C?
Integral Cauchy
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
SOAL
1. Hitunglah
∫z C
dz untuk kontur C : +1
4
a. |z-1| = 0,5 b. |z-1| = 1,5 c. bujursangkar dengan sudut-sudut z = 0, 1, 1+i, i
2. Hitunglah
7z − 2
∫ (z + 1)(z − 2 )
2
dz untuk kontur C :
C
a. |z| = 1,5 b. |z+1| = 4
3. Hitunglah : a.
1+ z
∫ 1 − cos z
dz
untuk kontur C : |z| = 1
C
b.
∫ C
c.
ez dz z2 + a2
∫ 3z C
d.
z +1 dz + 2z 2
4
∫ z(z C
dz + 1) 2
2
untuk kontur C : |z| = 2a
untuk kontur C : |z| = 1
untuk kontur C : |z+1| = 1½
2z 2 + 5 e. ∫ 2 dz z ( z + 2) 3 ( z 2 + 4) C f.
∫ C
e zt dz z ( z 2 + 1)
untuk kontur C : |z-2i| = 6
untuk kontur C : bujursangkar dengan sudut-sudut di (1 ± i) dan (-1 ± i).
4. Mengingat
∫
dz = ln z , diskusikan hasil z
dz untuk kontur C sembarang! Sesuaikah z C
∫
dengan hasil penerapan integral Cauchy?
5. Buktikan teorema argumen :
24
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
Jika f(z) analitik di dalam dan pada kontur tertutup C, kecuali di titik kutub z = a yang berorde p, dan di dalam C ini f(z) hanya memiliki harga nol (akar) di z = b dengan orde n, maka berlaku integrasi berikut : 1 f ′( z) dz = n − p ∫ 2π i C f ( z ) dimana f(z) adalah turunan df(z)/dz.
25
