Bilangan dan Fungsi Kompleks

cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011

Bab 5 Bilangan dan Fungsi Kompleks Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kompleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika.

5.1

Bagian Real dan Imajiner

Bilangan kompleks terdiri dari dua bagian yaitu bagian real dan bagian imajiner. Misalnya bilangan kompleks yang dinyatakan dengan 5+3i maka angka 5 merupakan bagian real sedangkan angka 3 disebut bagian imajiner dari √ bilangan kompleks tersebut. Dalam penulisan bilangan kompleks i = −1 atau i2 = −1. Perlu diperhatikan bahwa bagian imajiner suatu bilangan kompleks bukanlah imajiner. Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai pasangan antara bagian real dan bagian imajinernya. Jadi misalnya 5 + 3i dapat dituliskan sebagai (5,3).

5.2

Bidang Kompleks

Karena bilangan kompleks biasa dituliskan dalam bentuk pasangan bilangan sebagaimana pasangan titik dalam sistem koordinat xy, maka sebuah bilangan kompleks dapat juga digambarkan sebagai titik dalam bidang kompleks. Bidang kompleks sering disebut diagram Argand. Sumbu mendatar (sumbu x) menggambarkan bagian real sedangkan sumbu tegak (sumbu y) menggambarkan bagian imajiner sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 5.1. Ini mirip dengan representasi titik dalam sistem koordinat kartesian. Sebagaimana diketahui bahwa suatu titik dalam bidang xy juga dapat dinyatakan dalam ungkapan polar, maka bilangan kompleks juga dapat direpesentasikan dalam bentuk polar yaitu (r, θ). Hubungan antara x dan y 93

94

Bilangan dan Fungsi Kompleks

(5,3) z = 5 + 3i

(− −8,− −6) z = −8 − 6i

Gambar 5.1: Bidang kompleks.

dengan r dan θ adalah x = r cos θ y = r sin θ Jadi suatu bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam representasi z = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = reiθ

(5.1)

r dinamakan modulus atau nilai mutlak dari z dan θ (dalam radian) disebut sudut dari z.

5.3

Aljabar Kompleks

Menjadikan bentuk x + iy Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk x + iy. Contoh 1 (1 + i)2 = (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i − 1 = 2i

95

5.3 Aljabar Kompleks Contoh 2 2+i2+i 6 + 5i + i2 5 + 5i 1 1 2+i = = = = + i 2 3−i 3−i3+i 9−i 10 2 2 Contoh 3


Nyatakan z =

2(cos 30◦

1 dalam bentuk x + iy. + i sin 30◦ )

Karena 30◦ = π/6 rad maka z=

2(cos 30◦

1 1 1 1 = iπ/6 = e−iπ/6 = π π ◦ + i sin 30 ) 2e 2 2 cos 6 + i sin 6 ! √ 1 3 1 −i = (cos π/6 − i sin π/6) = 2 4 4

Konjugat kompleks (Complex conjugate) Konjugat dari suatu bilangan kompleks z = x + iy dinyatakan dengan z¯ = x − iy. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan bagian imajinernya dengan −1. Contoh z=

2 − 3i i+4

=⇒

z¯ =

2 + 3i −i + 4

Nilai mutlak Nilai mutlak (modulus) dari suatu bilangan kompleks z = x + iy menggambarkan jarak titik yang direpresentasikan dengan (x, y) dengan pusat koordinat di bidang kompleks. Dengan demikian dinyatakan dalam bentuk p √ (5.2) |z| = r = x2 + y 2 = z z¯

Persamaan Kompleks Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real bilangan kompleks pertama sama dengan bagian real bilangan kompleks kedua dan bagian imajiner bilangan kompleks pertama sama dengan bagian imajiner bilangan kompleks kedua. Misalnya jika x + iy = 2 + 3i maka berarti x = 2 dan y = 3.

96


Contoh Tentukan x dan y jika (x + iy)2 = 2i (x + iy)2 = x2 + i2xy − y 2 = 2i

Dengan demikian diperoleh hubungan x2 − y 2 = 0 2xy = 2

=⇒

y = ±x

Selanjutnya diperoleh 2x2 = 2 atau

− 2x2 = 2

Karena x harus real maka x2 tidak mungkin negatif, dengan demikian didapat x2 = 1 dan y = x. Sehingga solusi persamaan tersebut adalah x = y = 1 atau x = y = −1.

5.4

Fungsi Eksponensial dan Trigonometri

Karena z = x + iy, maka dapat dituliskan bentuk berikut ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y)

(5.3)

Sedangkan telah ditunjukkan sebelumnya dalam persamaan 5.1 bahwa bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial (yang disebut sebagai rumus Euler) yaitu eiθ = cos θ + i sin θ

(5.4)

Dengan menggunakan rumus Euler tersebut dapat diperoleh bentuk e−iθ = cos θ − i sin θ

(5.5)

Bila persamaan 5.4 dan persamaan 5.5 dijumlahkan maka akan diperoleh ungkapan untuk cos θ, sedangkan bila persamaan 5.4 dikurangi dengan persamaan 5.5 maka akan dapat diperoleh ungkapan untuk sin θ sebagai berikut eiθ − e−iθ 2i eiθ + e−iθ cos θ = 2 sin θ =

(5.6)

97

5.5 Fungsi Hiperbolik

5.5

Fungsi Hiperbolik

Dengan menggunakan rumusan Euler, maka dapat pula diperoleh ungkapan yang lebih umum untuk bilangan kompleks z, yaitu eiz − e−iz 2i eiz + e−iz cos z = 2


sin z =

(5.7)

Tinjau suatu bilangan kompleks yang murni imajiner z = iy, maka dapat dinyatakan e−y − ey ey − e−y ei(iy) − e−i(iy) = =i 2i 2i 2 e−y + ey ey + e−y ei(iy) + e−i(iy) = = cos z = 2 2 2 sin z =

(5.8)

Persamaan 5.8 memberikan definisi tentang fungsi sinus hiperbolik (sinh) dan cosinus hiperbolik (cosh), yang secara umum dituliskan dalam bentuk ez − e−z 2 ez + e−z cosh z = 2 sinh z =

(5.9)

Beberapa fungsi hiperbolik lainnya dapat diperoleh sebagaimana fungsi trigonometri biasa, yaitu sinh z , cosh z 1 sech z = , cosh z

tanh z =

1 tanh z 1 csch z = sinh z coth z =

(5.10)

Dari persamaan 5.8 dapat juga dituliskan bahwa sin iy = i sinh y cos iy = cosh y

5.6

(5.11)

Logaritma

Misalkan suatu bilangan kompleks z dan w di mana hubungannya dinyatakan dengan z = ew yang berarti w = ln z. Kemudian jika z = reiθ , maka diperoleh w = ln z = ln(reiθ ) = ln r + ln eiθ = ln r + iθ (5.12)

98


Contoh 1 Tentukanlah ln(−1). Dalam ungkapan koordinat polar sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya, z = −1 dapat dinyatakan dengan bentuk eksponensial dengan r = 1 dan θ = π, −π, 3π, −3π, . . . sehingga ln(−1) = ln(1) + iθ = 0 + i(π ± 2nπ) = iπ, −iπ, 3iπ, . . . Contoh 2 Tentukan ln(1 + i). Dengan menggunakan ungkapan√dalam koordinat polar dapat diperoleh bahwa untuk z = 1 + i berarti r = 2 dan θ = π/4 ± 2nπ. Dengan demikian π √ ± 2nπ ln(1 + i) = ln( 2) + i 4

5.7

Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Persoalan Fisika

Berikut ini diberikan beberapa contoh penggunaan bilangan kompleks dalam persoalan fisika.

Kinematika Sebagaimana sistem koordinat kartesian dua dimensi, bidang kompleks dapat digunakan untuk mendeskripsikan gerak suatu benda. Jika z menyatakan posisi suatu benda, maka jika posisinya berubah tiap saat maka dapat dinyatakan bahwa z(t). Misalkan posisi benda tiap saat dinyatakan dengan z = 5eiωt di mana ω suatu konstanta. Tentukan laju, besar percepatan dan deskripsi gerak benda tersebut. Laju gerak benda adalah d dz = 5eiωt = 5iωeiωt = iωz dt dt Percepatan gerak benda adalah v=

a=

dv d = (5iωeiωt ) = −5ω 2 eiωt = −ω 2 z dt dt


5.7 Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Persoalan Fisika 99

Gambar 5.2: Rangkaian seri RLC dengan sumber tegangan bolak-balik.

Terlihat dari percepatan gerak benda, bahwa percepatan gerak benda sama dengan suatu konstanta dikalikan dengan posisi benda dan hal ini menyatakan suatu gerak harmonik.

Rangkaian AC Dalam rangkaian arus bolak-balik dengan komponen R (resistor), L (induktor) dan C (kapasitor), sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 5.2, misalnya arus total yang mengalir pada rangkaian dinyatakan dengan bentuk fungsi harmonik I = I0 sin ωt. Jika VR adalah beda tegangan pada kaki-kaki resistor R dan I adalah kuat arus yang mengalir pada hambatan tersebut, maka berdasarkan hukum Ohm dapat dinyatakan VR = IR

(5.13)

sedangkan hubungan antara tegangan pada induktor L dengan kuat arus dinyatakan dengan VL = L

dI dt

(5.14)

dan tegangan pada kapasitor dinyatakan dengan dVC I = dt C

=⇒

1 VC = C

Z

I dt

(5.15)

100


Bentuk arus setiap saat tersebut bila dinyatakan dengan bilangan kompleks adalah I = I0 sin ωt = I0 eiωt , maka VR = RI = RI0 eiωt = RI (5.16) iωt dI d(I0 e ) = iωLI0 eiωt = iωLI (5.17) VL = L = L dt Z dt 1 1 1 VC = I0 eiωt dt = I0 eiωt = I (5.18) C iωC iωC Tegangan total jika ketiga komponen tersusun seri adalah 1 V = VR + VL + VC = RI + iωLI + I iωC 1 (5.19) I = R + i ωL − ωC = ZI 1 di mana Z = R + i ωL − dinamakan sebagai impedansi (kompleks) ωC pada rangkaian RLC seri. Hambatan efektif pada komponen induktor dinamakan reaktansi induktif XL yaitu VL = iωL (5.20) XL = I sedangkan hambatan efektif pada komponen kapasitor dinamakan reaktansi kapasitif XC yaitu VC 1 i XC = = =− (5.21) I iωC ωC Pada rangkaian RLC seri, impedansi (kompleks) dapat diperoleh dengan konsep yang sama dengan susunan seri tiga hambatan (resistor) yang masingmasing dinyatakan dengan R1 = R, R2 = XL = iωL dan R3 = XC = −i/(ωC) sehingga hambatan total (yaitu impedansi total) diperoleh sebagaimana telah diungkapkan di atas yaitu Z = R1 + R2 + R3 1 = R + XL + XC = R + iωL − i ωC 1 = R + i ωL − ωC

Selanjutnya dapat diperoleh besar impedansi sebagaimana nilai absolut dari Z, yaitu s 2 p 1 (5.22) |Z|seri = Z Z¯ = R2 + ωL − ωC

5.7 Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Persoalan Fisika 101 Suatu kondisi di mana Z sepenuhnya real (berarti bagian imajinernya sama dengan nol) dinamakan kondisi resonansi.


Demikian pula halnya jika ketiga komponen (resistor, induktor dan kapasitor) disusun paralel, maka impedansi totalnya dapat diperoleh sebagaimana susunan paralel tiga buah hambatan yaitu R1 = R, R2 = XL = iωL dan R3 = XC = −i/(ωC). Hambatan (impedansi) kompleks total pada susunan paralel adalah 1 1 1 1 = + + Z R1 R2 R 3 1 1 1 1 1 1 = + + = + + R XL XC R iωL −i/(ωC) 1 1 1 1 = −i + iωC = + i − + ωC R ωL R ωL 1 Z= 1 1 +i − + ωC R ωL Sehingga diperoleh

|Z|paralel

v p u 1 = Z Z¯ = u 2 u 2 t 1 1 + ωC + − R ωL

(5.23)

Contoh Pada rangkaian yang terdiri dari hambatan R yang tersusun seri dengan induktor L kemudian keduanya diparalel dengan kapasitor C, sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 5.3, tentukanlah impedansi rangkaian tersebut. Impedansi total rangkaian tersebut adalah 1 Ztotal

=

1 1 Z1 + Z2 + = Z1 Z 2 Z1 Z2

=⇒

Ztotal =

Z1 Z2 Z1 + Z2

102


Gambar 5.3: Gambar susunan komponen untuk contoh.

i . Dengan demikian ωC   i  (R + iωL) − ωC   =   1 R + i ωL − ωC    1 L iR + −  R − i ωL − ωC   ωC C    =  1  1  R + i ωL − R − i ωL − ωC ωC 2 2 R ω L L R − + +i − 2 2 ω C ωC C ωC 2 = 2 1 R2 + ωL − ωC

di mana Z1 = R + iωL dan Z2 = −

Ztotal

5.8

Fungsi Kompleks

Fungsi dengan variabel kompleks dinyatakan misalnya dalam bentuk f (z) dengan z adalah bilangan kompleks. Secara umum fungsi dengan variabel kompleks mempunyai bagian real dan imajiner yang juga merupakan fungsi. Misalkan f (z) = z 2 , karena z = x + iy maka z 2 = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i(2xy)

(5.24)

Bagian real dan bagian imajiner suatu fungsi kompleks secara umum merupakan fungsi dari variabel x dan y. Bagian real dinyatakan dengan u(x, y) dan bagian imajiner dinyatakan dengan fungsi v(x, y). Jadi suatu fungsi

5.9 Fungsi Analitik

103

kompleks f (z) = u(x, y) + i v(x, y). Dengan demikian untuk fungsi kompleks di atas yang dinyatakan dengan f (z) = z 2 , maka u(x, y) = x2 − y 2 dan v(x, y) = 2xy. Contoh Tentukan bagian real dan bagian imajiner fungsi kompleks f (z) =


dengan z = x + iy.

z z2 + 1

x + iy x + iy = 2 2 (x + iy) + 1 (x − y 2 + 1) + i2xy 2 x + iy (x − y 2 + 1) − i2xy = (x2 − y 2 + 1) + i2xy (x2 − y 2 + 1) − i2xy x3 − y 3 + x + 2xy 2 −x2 y − y 3 + y = 2 + i (x − y 2 + 1)2 − 4x2 y 2 (x2 − y 2 + 1)2 − 4x2 y 2

f (z) =

Dengan demikian bagian real dan imajinernya adalah

x3 − y 3 + x + 2xy 2 (x2 − y 2 + 1)2 − 4x2 y 2 −x2 y − y 3 + y v(x, y) = 2 (x − y 2 + 1)2 − 4x2 y 2

u(x, y) =

5.9

Fungsi Analitik

Suatu fungsi f (z) dikatakan analitik dalam suatu daerah pada bidang kompleks bila fungsi tersebut mempunyai turunan yang tunggal (unik) pada setiap titik dalam daerah tersebut. Jika f (z) analitik di titik z = a berarti bahwa f (z) mempunyai turunan pada setiap titik dalam lingkaran kecil di sekitar z = a. Fungsi yang tidak memenuhi batasan tersebut disebut sebagai fungsi non-analitik. Beberapa definisi berkaitan dengan fungsi analitik: • Titik regular (regular point) dari fungsi f (z) adalah titik di mana f (z) bersifat analitik • Titik singular (singular point atau singularity) dari fungsi f (z) adalah titik di mana f (z) tak analitik Beberapa teorema yang digunakan dalam analisa fungsi variabel kompleks:

104


Teorema I Jika suatu fungsi kompleks f (z) = u(x, y) + iv(x, y) merupakan suatu fungsi analitik dalam suatu daerah, maka dalam daerah itu berlaku ∂u ∂v = , ∂x ∂y

dan

∂v ∂u =− ∂x ∂y

(5.25)

Teorema ini disebut juga kondisi Cauchy-Riemann untuk menentukan apakah suatu fungsi merupakan fungsi analitik atau bukan. Contoh 1 Misalkan f (z) = y + ix. Apakah f (z) merupakan fungsi analitik? Dalam hal ini u = y dan v = x, sehingga ∂u/∂x = 0, ∂v/∂y = 0, ∂v/∂y = 1 dan ∂u/∂y = 1. Karena tidak memenuhi kondisi Cauchy-Riemann, maka fungsi f (z) tersebut bukanlah fungsi analitik. Contoh 2 Misalkan f (z) = x + iy. Apakah f (z) merupakan fungsi analitik? Karena

∂u ∂v =1= ∂x ∂y

dan

∂v ∂u =0=− ∂x ∂y

maka berarti f (z) adalah fungsi analitik.

Teorema II Jika u(x, y) dan v(x, y) dan turunan parsialnya terhadap x dan y kontinyu serta memenuhi syarat Cauchy-Riemann dalam daerah tersebut maka f (z) analitik pada semua titik dalam daerah tersebut.

Teorema III Perhatikan gambar 5.4. Jika f (z) adalah fungsi analitik dalam daerah tertentu (R) maka f (z) mempunyai turunan orde berapapun pada titik-titik dalam daerah tersebut dan f (z) dapat diekspansikan sebagai deret Taylor di sekitar titik z0 dalam daerah tersebut. Deret pangkat tersebut konvergen di dalam daerah berbentuk lingkaran C yang berpusat di z0 hingga mencapai titik singular terdekat (disebut sebagai daerah lingkaran konvergensi atau disk of convergence).

105

5.9 Fungsi Analitik

R

C

z0


titik singular

Gambar 5.4: Daerah untuk penjelasan Teorema III.

Contoh Tentukanlah daerah lingkaran konvergensi (disk of convergence) dari fungsi kompleks f (z) = ln(1 − z). Fungsi f (z) = ln(1 − z) dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar z = 0 (uraian Maclaurin), yaitu ln(1 − z) = −z −

z2 z3 z4 − − − ... 2 3 4

Kemudian untuk memperoleh titik singular dari fungsi tersebut adalah titik di mana fungsi f (z) tersebut tidak mempunyai turunan. Dalam hal ini titik singular yang dimaksud adalah z = 1. Dengan demikian daerah lingkaran konvergensi dari fungsi tersebut adalah lingkaran berpusat di pusat koordinat dengan jari-jari 1.

Teorema IV Jika f (z) = u + iv merupakan fungsi analitik dalam suatu daerah, maka u dan v memenuhi persamaan Laplace (∇2 u = 0 dan ∇2 v = 0) dalam daerah tersebut (artinya u dan v merupakan fungsi harmonik). Fungsi sembarang u (atau v) yang memenuhi persamaan Laplace dalam suatu daerah adalah bagian real atau imajiner dari suatu fungsi analitik f (z). Contoh Suatu fungsi u(x, y) = x2 −y 2 adalah bagian real dari fungsi kompleks z. Tentukan bentuk bagian imajiner fungsi kompleks tersebut agar bersifat analitik.

106


Karena

∂ 2u ∂ 2u + =2−2=0 ∂x2 ∂y 2 maka berarti u(x, y) memenuhi persamaan Laplace atau dalam kata lain u(x, y) adalah fungsi harmonik. Kemudian dengan menggunakan persamaan Cauchy-Riemann dapat diperoleh ∂u ∂v = = 2x ∂y ∂x Maka dengan mengintegralkan terhadap y dapat diperoleh bentuk fungsi v(x, y), yaitu Z ∇2 u =

v(x, y) =

2x dy = 2xy + g(x)

dengan g(x) adalah fungsi dalam x yang merupakan konstanta integrasi. Selanjutnya dengan menggunakan kembali syarat Cauchy-Riemann maka dapat diperoleh ∂ ∂u ∂v = (2xy + g(x)) = 2y + g 0 (x) = − = 2y ∂x ∂x ∂y sehingga berarti g 0 (x) = 0 atau g = const. Jadi diperoleh bentuk fungsi v(x, y) = 2xy + const. Dengan demikian diperoleh bentuk fungsi kompleks z adalah f (z) = u + iv = x2 − y 2 + 2ixy + const = z 2 + const

5.10

Integral Kontur

Selain keempat teorema yang berkaitan dengan pengertian dan batasan fungsi analitik, terdapat pula beberapa teorema lainnya yang berkaitan dengan penggunaan fungsi kompleks.

Teorema V: Teorema Cauchy Misalkan C adalah suatu kurva tertutup sederhana dengan lengkungan yang halus kecuali beberapa titik tertentu yang jumlahnya terbatas, maka jika f(z) adalah fungsi analitik di dalam C dapat dinyatakan dengan I f (z)dz = 0 (5.26) sekeliling C

Persamaan yang diungkapkan dalam integral garis (teorema Cauchy) tersebut dinamakan integral kontur.

107

5.10 Integral Kontur

Teorema VI: Perumusan Integral Cauchy Jika f (z) adalah fungsi analitik pada dan di dalam suatu kurva sederhana C, maka nilai f (z) di suatu titik z = a yang berada di dalam kurva C adalah 1 f (a) = 2πi

f (z) dz z−a

I

(5.27)


Contoh 1 Hitunglah integral I C

sin z dz, 2z − π

dengan C adalah lingkaran pada bidang kompleks dengan |z| = 2 Integral tersebut dapat dituliskan menjadi I I sin z 1 sin z dz = dz 2z − π 2 z − π/2 C

C

Kurva C yang digunakan adalah berbentuk lingkaran berjari-jari 2 dalam bidang kompleks. Bentuk f (z) adalah f (z) = sin z, dengan a = π/2. Karena f (z) = sin z berarti f (z) bersifat analitik di dalam kurva C, sehingga dapat digunakan Teorema VI. Maka diperoleh I sin z 1 dz = πi sin(π/2) = πi 2 z − π/2 C

Contoh 2 Hitunglah integral I C

sin z dz, 2z − π

dengan C adalah lingkaran pada bidang kompleks dengan |z| = 1 Integral tersebut dapat dituliskan menjadi I I sin z sin z 1 dz = dz 2z − π 2 z − π/2 C

C

108


Karena C adalah lingkaran berjari-jari 1 dan menggunakan f (z) = sin z/(z − π/2), maka berarti f (z) adalah fungsi analitik dalam kurva C, sehingga bila menggunakan Teorema V (Teorema Cauchy) dapat dinyatakan: I sin z 1 dz = 0 2 z − π/2 C

Contoh 3 Hitung integral I C

e3z dz z − ln 2

jika C adalah bujur sangkar yang titik sudutnya pada (1, 0), (−1, 0), (0, i) dan (0, −i) e3z , titik singularnya adalah z − ln 2 pada z = ln2. Karena titik singular tersebut berada di dalam daerah yang dibatasi oleh kurva C, maka dapat digunakan rumusan integral Cauchy I I f (z) f (z) 1 dz =⇒ dz = 2πif (a) f (a) = 2πi z−a z−a Fungsi kompleks f (z) berbentuk f (z) =

C

C

Dengan demikian diperoleh I e3z dz = 2πie3 ln 2 = 16πi z − ln 2 C

Teorema VII: Teorema Laurent Misalkan C1 dan C2 adalah dua buah lingkaran yang pusatnya pada titik z0 dan f (z) adalah suatu fungsi analitik dalam daerah R di antara kedua lingkaran tersebut maka f (z) dapat diuraikan menjadi bentuk deret yang konvergen dalam R, yaitu b1 b2 f (z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · + + . . . (5.28) + z − z0 (z − z0 )2 dengan koefisien an dan bn adalah I f (z)dz 1 an = 2πi (z − z0 )n+1 C I (5.29) 1 f (z)dz bn = 2πi (z − z0 )−n+1 C

5.11 Teorema Residu dan Aplikasinya

109

dengan C adalah adalah sembarang kurva tertutup sederhana yang mengelilingi z0 dan terletak pada daerah R. Beberapa pengertian yang terkait dengan teorema Laurent ini:


• Jika semua koefisien b sama dengan nol maka f (z) bersifat analitik pada z = z0 dan z0 disebut sebagai titik regular. • Jika bn = 0 tapi kemudian nilai b setelah bn sama dengan 0 maka f (z) dikatakan mempunyai kutub orde n pada z = z0 . Jika n = 1 maka f (z) mempunyai kutub sederhana (simple pole). • Jika terdapat takhingga banyaknya koefisien b yang tidak sama dengan nol maka f (z) dikatakan mempunyai essential singularity pada z = z0 • Koefisien b1 dari

1 dinamakan residu dari f (z) pada z = z0 . (z − z0 )

Contoh z2 z3 + + . . .. 2! 3! Karena deret ini tidak mempunyai koefisien b (semua bn = 0) maka deret tersebut analitik pada z = 0. Karena b1 = 0 maka berarti residu dari ez pada z = 0 adalah sama dengan 0.

Misalkan sebuah deret ez = 1 + z +

1 1 z2 1 z ez = + + + + + . . .. 3 3 2 z z z 2!z 3! 4! 1 1 z2 Bagian utama deret tersebut adalah 3 + 2 + yang berarti b1 = 1/2; z z 2!z b2 = 1; b3 = 0 sedangkan bn untuk n > 3 sama dengan 0. Maka deret terez sebut mempunyai kutub orde 3 sedangkan residu dari 3 pada z = 0 adalah z 1 1 = . 2! 2 Misalkan sebuah deret

5.11

Teorema Residu dan Aplikasinya

Teorema residu sangat berguna untuk menghitung integral. Teorema residu dinyatakan dalam bentuk I f (z)dz = 2πi × (jumlah residu dari f (z) di dalam C) (5.30) C

Integral tersebut dihitung dengan arah berlawanan jarum jam pada kurva C.

110


Metode Penentuan Residu Yang menjadi penting adalah bagaimana cara menemukan residu? Ada beberapa cara penentuan residu suatu fungsi kompleks sebagaimana yang akan diuraikan berikut ini. • Deret Laurent Sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya, uraian deret Taylor dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan nilai residu fungsi tersebut di suatu titik z = z0 . Contoh Suatu fungsi kompleks f (z) = ez /(z − 1). Tentukan residu dari f (z) di z = 1. Bila fungsi ez diekspansikan dalam deret pangkat (z − 1) maka diperoleh e ez−1 e (z − 1)2 ez = = + ... 1 + (z − 1) + z−1 z−1 z−1 2! e = + e + ... z−1 Karena residu pada z = 1 diperoleh dari koefisien R(1) = e.

1 maka berarti z−1

• Kutub tunggal (Simple Pole) Jika fungsi kompleks f (z) mempunyai kutub sederhana pada z = z0 maka residu pada titik tersebut dapat diperoleh dengan mengalikan f (z) dengan (z − z0 ) kemudian hitung nilainya pada z = z0 . Perumusannya secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: R(z0 ) = lim (z − z0 )f (z) z→z0

(5.31)

Contoh Hitunglah R(− 21 ) dan R(5) untuk fungsi kompleks yang dinyatakan dez ngan f (z) = . (2z + 1)(5 − z)

Untuk menghitung residu di titik z = − 12 , maka fungsi f (z) tersebut dikalikan dengan (z + 12 ), diperoleh 1 z 1 z z+ f (z) = z + = 2 2 (2z + 1)(5 − z) 2(5 − z)


111

Kemudian hitung nilainya dengan mensubstitusi z = − 21 , diperoleh R(− 21 ) =

− 21 1 1 = − 22 2(5 + 2 )

Cara yang sama juga dilakukan untuk menghitung residu di titik z = 5 z z =− (2z + 1)(5 − z) 2z + 1 5 z =− R(5) = − 2z + 1 z=5 11


(z − 5)f (z) = (z − 5)

• Kutub ganda (Multiple Poles) Jika f (z) mempunyai kutub dengan orde n, maka dapat digunakan langkah sebagai berikut untuk memperoleh nilai residu pada z = z0 : kalikan f (z) dengan (z − z0 )m , di mana m adalah bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan orde n, kemudian differensialkan hasilnya m − 1 kali, lalu dibagi dengan (m − 1)! dan hitung hasil akhirnya dengan mensubstitusi z = z0 . Contoh Tentukan residu dari f (z) = (z sin z)/(z − π)3 di titik z = π. Gunakan m = 3 untuk mengeliminasi penyebut, artinya kalikan f (z) dengan (z − π)3 sehingga diperoleh (z − π)3 f (z) = (z − π)3

z sin z = z sin z (z − π)3

kemudian differensialkan 2 kali dan selanjutnya dibagi dengan 2! sehingga diperoleh 1 d2 1 R(π) = = [−z sin z + 2 cos z]z=π = −1 (z sin z) 2! dz 2 2 z=π

Teorema Residu untuk menghitung integral

Sebagaimana telah disinggung sebelumnya bahwa teorema residu dapat digunakan untuk menghitung integral tertentu. Berikut ini beberapa contohnya. Contoh 1 Hitunglah integral I=

Z

2π 0

dθ 5 + 4 cos θ

112


Jika digunakan variabel baru yaitu z = eiθ , maka dz = ieiθ dθ atau dθ =

1 dz iz

z + z1 eiθ + e−iθ = . Sedangkan batas integral dalam variabel dan cos θ = 2 2 θ yaitu dari θ = 0 hingga θ = 2π akan berubah menjadi lingkaran satuan dalam bidang kompleks dengan |z| = 1 dan arahnya berlawanan dengan arah jarum jam. Dengan demikian integral tersebut dapat dinyatakan sebagai integral kontur. Dengan variabel yang baru tersebut integral yang dimaksud dapat dituliskan kembali dalam bentuk I I I 1 dz 1 1 dz dz iz = = I= 2 i C 5z + 2z + 2 i C (2z + 1)(z + 2) C 5 + 2(z + 1/z) dengan C adalah kurva yang berupa lingkaran berjejari 1 dan berpusat di titik pusat koordinat pada bidang kompleks. Terlihat bahwa integran (yaitu 1 fungsi yang diintegralkan) berbentuk f (z) = yang berarti (2z + 1)(z + 2) mempunyai kutub pada z = − 12 dan pada z = −2. Karena kurva C adalah berupa lingkaran berjejari 1, maka berarti dari kedua kutub tersebut hanya kutub z = − 21 saja yang berada di dalam daerah yang dibatasi kurva C, sedangkan kutub z = −2 berada di luar daerah yang dibatasi oleh kurva C. Residu dari f (z) pada z = − 21 dapat dihitung menggunakan metode kutub sederhana (simple pole) yaitu R(− 21 ) = lim1 (z + 12 ) z→− 2

1 1 = 1 (2z + 1)(z + 2) z=− 2 3

Selanjutnya dengan menggunakan teorema residu dapat diperoleh bahwa 1 2π I = 2πiR(− 12 ) = 2π( 31 ) = i 3 Sehingga diperoleh Z

2π 0

dθ 2π = 5 + 4 cos θ 3

Contoh 2 Hitungkah integral I=

Z

+∞ −∞

dx 1 + x2


113


Untuk menghitung integral I tersebut, tinjau integral kontur berbentuk I dz 2 C 1+z dengan C adalah kurva tertutup setengah lingkaran pada bidang kompleks (kuadran 1 dan kuadran 2) dengan jejari sembarang ρ > 1. Integran pada 1 1 = . Berarti integral kontur tersebut berbentuk f (z) = 2 1+z (z − i)(z + i) f (z) mempunyai kutub pada z = i dan pada z = −i. Di antara kedua kutub ini hanya kutub pada z = i saja yang berada dalam daerah yang dibatasi oleh kurca tertutup C (ingat bahwa C berbentuk setengah lingkaran pada kuadran 1 dan 2). Kemudian nilai residu f (z) pada z = i dapat diperoleh menggunakan metode kutub sederhana (simple pole) yaitu 1 1 R(i) = lim(z − 1) = z→i (z − i)(z + i) z=i 2i Dengan demikian dari teorema residu diperoleh I dz = 2πiR(i) = π 2 C 1+z

Integral kontur dengan lintasan berupa kurva C tersebut dapat dinyatakan sebagai integral garis (integral lintasan) dengan lintasan pertama berupa garis lurus sepanjang sumbu datar (sumbu x) dari −ρ hingga +ρ dan lintasan kedua berupa lintasan setengah lingkaran yang dinyatakan dengan persamaan z = ρeiθ dengan θ dari 0 hingga π: Z +ρ Z π I dx ρieiθ dθ dz = + 2 2 2 2iθ −ρ 1 + x 0 1+ρ e C 1+z Telah dihitung sebelumnya bahwa integral kontur yang dimaksud hasilnya adalah π dan hasil ini tidak bergantung pada berapapun nilai ρ yang digunakan. Perhatikan bahwa asalkan kurva C yang digunakan dalam penghitungan integral kontur adalah setengah lingkaran pada kuadaran 1 dan 2, maka berdasarkan teorema residu nilai integralnya tetap sama. Artinya bila diambil ρ → ∞, maka dapat dituliskan kembali Z +ρ I Z π dz ρieiθ dθ dx = π = lim + 2 2 2 2iθ ρ→∞ C 1+z 0 1+ρ e −ρ 1 + x Z +∞ dx = +0 2 −∞ 1 + x

114


Maka diperoleh hasil integral yang dimaksud yaitu Z +∞ dx I= =π 2 −∞ 1 + x Contoh 3 Hitunglah integral I=

Z

∞ 0

cos x dx 1 + x2

Tinjau suatu integral kontur yang berbentuk I eiz dz 2 C 1+z dengan C adalah kurva tertutup setengah lingkaran pada bidang kompleks (kuadran 1 dan kuadran 2) dengan jejari sembarang ρ > 1 sebagaimana pada Contoh 2. Integran pada integral kontur tersebut mempunyai bentuk eiz yang berarti terdapat dua kutub pada z = i dan z = −i. Nilai f (z) = 1 + z2 residu di dalam kurva C adalah 1 eiz R(i) = lim(z − 1) = z→i (z − i)(z + i) z=i 2ie Selanjutnya dengan teorema residu dapat dihitung integral kontur yang dimaksud yaitu I eiz dz π = 2πiR(i) = 2 e C 1+z

Sedangkan integral kontur tersebut dapat dituliskan dalam dua integral lintasan sesuai dengan kurva tertutup C yang digunakan (lihat kembali Contoh 2 di atas) Z +ρ ix Z I e dx eiz dz eiz dz = + 2 2 1 + z2 −ρ 1 + x C 1+z lintasan dengan z=ρeiθ

Dengan demikian diperoleh bahwa Z +∞ −∞

eix π dx = 2 1+x e


115


Kemudian bila diambil bagian real dari kedua ruas tersebut maka dapat dinyatakan Z +∞ hπ i eix dx = Re Re 2 e −∞ 1 + x Z +∞ cos x π dx = 2 e −∞ 1 + x cos x adalah fungsi genap, maka integral dari 1 + x2 −∞ hingga +∞ sama dengan dua kali integral dari 0 hingga +∞, sehingga diperoleh Z Z +∞ 1 +∞ cos x π cos x dx = dx = 2 2 1+x 2 −∞ 1 + x 2e 0

Selanjutnya karena fungsi

116


Bilangan dan Fungsi Kompleks

Recommend Documents