2. Fungsi Analitik
2. FUNGSI ANALITIK
f (z )
Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks
ada di semua titik pada suatu lingkungan z0.
w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan Cauchy –
Riemann. Sebelum mempelejari persamaan Cauchy-Riemann akan diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada bilangan kompleks. Oleh karena itu, setelah membaca Bab 2, mahasiswa diharapkan dapat
Mengerti definisi fungsi analitik
Menghitung nilai limit dari fungsi kompleks
Menentukan kekontinuan fungsi
Mencari turunan fungsi
Menentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik
2.1 Fungsi Peubah Kompleks Definisi
Misalkan S himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks f pada S adalah aturan yang mengawankan setiap
zS
dengan biangan kompleks w.
Notasi w = f(z). Dalam hal ini, S disebut domain dari f dan z dinamakan variabel kompleks.
Misalkan w = u + iv adalah nilai fungsi f di z = x + iy, sehingga u + iv = f(x + iy). Masing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan y, sehingga f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil x dan y, yaitu f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Jika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka u + iv = f(reiθ), dimana w = u + iv dan z = reiθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ). Contoh 1
2
Misalkan w = f(z) = z +3z. Tentukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i. Nyatakan juga u dan v dalam bentuk polar. Penyelesaian: Misal z = x + iy, sehingga
f ( z) f ( x iy ) ( x iy ) 2 3( x iy ) x 2 3x y 2 i(2 xy 3 y) Jadi
u x 2 3x y 2
Untuk z = 1 + 3i maka
dan
v 2 xy 3 y .
f ( z ) f (1 3i) (1 3i) 2 3(1 3i) 5 15i .
Jadi u(1,3) = -5 dan v(1,3) = 15. iθ
Jika koordinat polar digunakan dimana z = re , maka
f ( z ) f (rei ) (rei ) 2 3(rei ) r 2 e 2i 3rei r 2 cos 2 ir 2 sin 2 3r cos 3ir sin r 2 cos 2 3r cos i (r 2 sin 2 3r sin ) Jadi
u r 2 cos 2 3r cos
dan
v r 2 sin 2 3r sin .
10
2. Fungsi Analitik
2.2 Pemetaan / Transformasi Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya. Tetapi untuk w = f(z), dimana w dan z bilangan kompleks, tidak ada grafik yang menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di bidang bukan di garis bilangan. Definisi Transformasi
Korespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang-w disebut pemetaan atau transformasi dari titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang w oleh fungsi f.
Pemetaan dapat berupa:
Translasi / pergeseran
Rotasi / perputaran
Refleksi / pencerminan
Sebagai contoh, pemetaan
w = z + 1 = (x+1) +iy, dimana z = x + iy, mentranslasikan / menggeser setiap titik z satu satuan ke kanan.
w iz r exp i , dimana z = reiθ dan i = eiπ/2, merotasi 2
/ memutar setiap titik taknol z ke
kanan dari pusatnya berlawanan arah jarum jam.
w z x iy
merefleksikan / mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu riil.
2.3 Limit Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x0 hanya mendekati sepanjang garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila z mendekati z0 akan mendekati dari semua arah dalam bidang kompleks. Definisi Limit
lim f ( z ) w0
z z0
dibaca “limit f(z) untuk z menuju z0 sama dengan w0 “, dan
didefinisikan sebagai berikut:
lim f ( z ) w0 0 0 0 z z 0
z z0
berlaku
f ( z ) w0 . Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap lingkungan- dari w0, yaitu |w - w0 |< ada suatu lingkungan- dari z0, yaitu 0 < |z - z0| < sedemikian sehingga setiap titik z pada image w berada pada lingkungan Dalam hal ini
Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal
z mendekati z0 dari berbagai arah atau lintasan
Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z0 berbeda maka
lim f ( z )
z z0
f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z0
11
tidak ada
2. Fungsi Analitik
Contoh 2
f ( z)
Misalkan
iz i , z 1 . Buktikan lim f ( z ) . z 1 2 2
Bukti: Ambil ε > 0 sebarang. Pilih
f ( z)
2 z 1
berlaku
i iz i i ( z 1) i z 1 1 z 1 2 2 2 2 2 2
z 1 2
2
2 2
Jadi untuk setiap z dan positif berlaku
f ( z)
i 2
bila
0 z 1 2 , lihat
gambar 2. Sehingga menurut definisi limit terbukti
Contoh 3 Misalkan
f ( z)
lim f ( z ) z 1
i . 2
z . Buktikan lim f ( z ) tidak ada. z0 z
Bukti: Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda.
Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y = 0.
lim f ( z )
z 0
x iy x i.0 lim lim 1 1. ( x , y )( 0, 0 ) x iy ( x , 0 ) x i.0 x 0 lim
Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0.
lim f ( z )
z 0
x iy 0 i. y lim lim 1 1 . ( x , y )( 0, 0 ) x iy ( 0, y ) 0 i. y y 0 lim
Pendekatan sepanjang garis y = x.
lim f ( z )
z 0
x iy x i.x x(1 i) 1 i lim lim . ( x , x )( 0, 0 ) x iy x 0 x i.x x 0 x(1 i ) 1 i lim
Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan nilai yang tidak sama maka
lim f ( z ) tidak ada.
z0
Teorema 1
Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 , ω0 = u0 + iv0 maka
lim f ( z ) 0
z z0
lim
( x , y ) ( x0 , y 0 )
u( x, y) u0
dan
lim
( x , y ) ( x0 , y 0 )
v( x, y) v0
Bukti:
( ) Misalkan
lim
( x , y )( x0 , y0 )
u( x, y) u 0
0 1 , 2 u u 0 v v0 Pilih
min(1 , 2 ) .
2
2
dan
lim
( x , y )( x0 , y0 )
v( x, y) v0 , artinya
,0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 1
,0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2
12
2. Fungsi Analitik
Karena
(u iv ) (u0 iv 0 ) (u u0 ) i(v v0 ) u u0 v v0 dan
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( x x0 ) i( y y0 ) ( x iy ) ( x0 iy 0 ) maka Jadi
(u iv ) (u 0 iv 0 )
2
lim f ( z ) 0 .
2
bila
0 ( x iy ) ( x0 iy 0 ) .
z z0
() Misalkan lim f ( z ) 0 , artinya z z0
0 (u iv ) (u0 iv 0 )
bila 0
( x iy ) ( x0 iy 0 ) .
Perhatikan bahwa
u u 0 (u u 0 ) i(v v0 ) (u iv ) (u 0 iv 0 ) v v0 (u u 0 ) i(v v0 ) (u iv ) (u 0 iv 0 ) dan
( x iy ) ( x0 iy 0 ) ( x x0 ) i( y y0 ) ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 Sehingga
u u0
dan
v v0
0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 Jadi
Teorema 2
Andaikan
lim
( x , y )( x0 , y0 )
u( x, y) u 0
.
dan
lim f ( z ) A , lim g ( z ) B
z z0
z z0
bila
lim
( x , y )( x0 , y0 )
v( x, y) v0 .
maka
lim f ( z ) g ( z ) A B .
z z0
lim f ( z ) g ( z ) AB .
z z0
lim
z z0
f ( z) A . g ( z) B
2.4 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks yang diperluas. Teorema 3
Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka 1)
2)
3)
lim f ( z )
z z0
lim f ( z ) w0
z
lim f ( z )
z
1 0 z z0 f ( z ) 1 jhj lim f w0 z 0 z 1 jhj lim 0 z 0 f (1 / z )
jhj
lim
Bukti:
13
2. Fungsi Analitik
1)
lim f ( z ) ,
Misalkan
z z0
artinya
0 f ( z )
1
bila 0 < |z – z0| < δ
............…………………………………..(#). Akan dibuktikan
lim
z z0
1 0. f ( z)
Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu |w| > 1/ε dari ∞ bila z ada di lingkungan 0 < |z – z0| < δ dari z0. Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi
2)
1 0 bila 0 < |z – z0| < δ. f ( z) 1 0. Jadi lim z z0 f ( z ) Misalkan lim f ( z ) w0 , z
0 f ( z ) w0
artinya
Akan dibuktikan
bila |z| >1/δ.............(*).
1 lim f w0 . z 0 z
Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh
1 f w0 z
bila 0
< |z – 0| < δ.
1 lim f w0 . z 0 z Misalkan lim f ( z ) , Jadi
3)
z
artinya
0 f ( z )
Akan dibuktikan
lim
z 0
1
bila |z| > 1/δ ……………....(**).
1 0. f (1 / z )
Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh
1 0 f (1 / z )
0 < |z – 0| < δ. Jadi
lim
z 0
1 0. f (1 / z )
2.5 Kekontinuan Definisi Kontinu
Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0 jika
lim f ( z )
ada
z z0
f(z0) ada
lim f ( z ) f ( z 0 )
z z0
Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z0 jika
lim f ( z ) f ( z 0 ) 0 0 z z 0
z z0
f ( z) f ( z0 ) .
14
berlaku
bila
2. Fungsi Analitik
Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada tiap titik z dalam D. Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z0 = x0 + iy0 ,
u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x0,y0)
lim
( x , y )( x0 , y0 )
Sifat-sifat fungsi kontinu
u( x, y) u( x0 , y0 )
dan
lim
( x , y )( x0 , y0 )
v( x, y) v( x0 , y0 ) .
1)
Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks
2)
Jika f dan g kontinu pada daerah D maka a)
f+g kontinu
b)
f-g kontinu
c)
f.g kontinu
d)
f/g kontinu kecuali di
z0 D
sehingga g(z0) = 0.
2.6 Turunan Definisi Turunan
Turunan fungsi f di z0, ditulis dengan
f ( z 0 ) lim
z 0
f ( z 0 )
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) z
Notasi untuk turunan f di z adalah
f ( z )
didefnisikan sebagai berikut:
jika limitnya ada.
d f ( z) . dz
Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks. Aturan Turunan 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Contoh 4
d (c ) 0 dz d ( z) 1 dz d c( f ( z ) cf ( z) dz d n ( z ) nz n 1 , z 0, n dz d f ( z) g ( z) f ( z) g ( z) dz d f ( z) g ( z) f ( z) g ( z) f ( z) g ( z) dz d f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) dz g ( z ) g ( z)2
Tentukan turunan dari fungsi berikut: 1.
f(z) = (2z2 + i)5
15
2. Fungsi Analitik
2.
f ( z)
( z i) pada i z i
Penyelesaian : 1.
Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan aturan rantai diperoleh
f ( z ) 5(2 z 2 i) 4 .4 z 20 z(2 z 2 i) 4 . 2.
Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh
f ( z )
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
g ( z)
2
1( z i) ( z i)1
z i
2
2i ( z i) 2
Sehingga untuk z = i diperoleh
f (i)
Aturan Rantai
2i 2i 1 2 i. 2 2 (i i) 4i
Misalkan f mempunyai turunan di z0, dan g mempunyai turunan di f(z0). Maka fungsi F(z) = g[f(z)] mempunyai turunan di z0, dan
F ( z0 ) g[ f ( z0 )]. f ( z0 ). Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka menurut aturan rantai
dW dW dw . dz dw dz
Contoh 5
Tentukan turunan dari fungsi f(z) = (2z2 + i)5 dengan menggunakan aturan rantai! Penyelesaian: Misalkan w = 2z2 + I dan W = w5. Maka menurut aturan rantai
dW dW dw = (5w4)(4z) = 20z(2z2 + i)4. dz dw dz
2.7 Persamaan Cauchy – Riemann Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks
Definisi Persamaan Cauchy Riemann
w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu
ux vy dengan
u y v x
ux
u x
uy
16
u y
vx
v x
vy
v . y
2. Fungsi Analitik
Misalkan f(z) = z2 = x2 – y2 + 2ixy.
Contoh 6
Apakah f(z) analitik untuk semua z ? Penyelesaian : f(z) analitik jika memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,
ux vy
u y v x .
Perhatikan bahwa u = x2 – y2 dan v = 2xy. Maka ux = 2x = vy dan uy = -2y = -vx. Karena memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z. Teorema 4
Misalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di suatu lingkungan dari z = x + iy dan mempunyai turunan di z maka ux , vy , uy , vx ada dan memenuhi persamaan Cauchy - Riemann
ux vy
Teorema 5
u y v x .
Jika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y) mempunyai turunan parsial pertamanya kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy – Riemann dalam domain D maka fungsi kompleks f(z) = u (x,y) + iv (x,y) analitik di D.
Apakah f(z) = z3 analitik?
Contoh 7
Penyelesaian Perhatikan bahwa u = x3 – 3xy2 dan v = 3x2 y – y3. Maka ux = 3x2 – 3y2 = vy dan
uy = -6xy = -vx. Karena
memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z.
2.8 Fungsi Analitik Definisi Fungsi Analtik
Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) di titik z0 apabila f’(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan z0.
Teorema 5
Misal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Andaikan i.
ux , vy , uy , vx kontinu di semua titik dalam lingkungan tertentu N dari titik z0
ii.
persamaan Cauchy- Riemann
ux vy
u y v x berlaku di setiap titik di
N maka f(z) analitik di z0. Buktikan f(z) = | z | 2 tidak analitik
Contoh 8
Bukti: Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z) tidak ada pada persekitaran z = 0. Beberapa hal yang perlu diperhatikan
Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S.
Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh /fungsi utuh (entire function).
Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat f analitik.
17
2. Fungsi Analitik
Contoh 9 Misalkan
f ( z)
z3 z 1 . Apakah f(z) analitik? z2 1
Penyelesaian: f’(z) ada di semua z kecuali di z2 + 1 = 0 atau z = ± i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ± i. Definisi Titik Singular
Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika f gagal menjadi analitik pada z0 tetapi setiap lingkungan z0 memuat paling sedikit satu titik yang membuat f analitik.
Contoh 10 Misalkan
f ( z)
2z 1 . Tentukan titik singular dari f dan tentukan dimana saja z3 z
f(z) analitik! Penyelesaian: f’(z) ada di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i . Sehingga titik singular dari f adalah di z = 0 dan
di z = ± i. f(z) analitik di semua z
3
kecuali di z + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i .
2.9 Fungsi Harmonik Definisi Fungsi Harmonik
Fungsi riil H(x,y) yang mempunyai turunan parsial orde 1 dan 2 yang kontinu dan memenuhi persamaan Laplace
H xx ( x, y) H yy ( x, y) 0 Contoh 11
disebut fungsi Harmonik.
Misalkan u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy. Apakah u dan v fungsi harmonik? Penyelesaian: Perhatikan bahwa: ux = 2x
vx = 2y
uxy = 0
vxy = 2
uy = -2y
vy = 2x
uyx = 0
vyx = 2
uxx = 2
vxx = 0
uyy = -2
vyy = 0
Karena ux = 2x = vy , uy = -2y = -vx , uxx + uyy = 2 + (-2) = 0 dan vxx + vyy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v memenuhi persamaan Laplace maka u dan v fungsi harmonik.
Definisi Fungsi Harmonik Sekawan
Misalkan f(z) = u + iv.
v disebut fungsi harmonik sekawan dari u jika u fungsi
harmonik dan v fungsi harmonik.
Contoh 12
Misalkan u(x,y) = y3 – 3x2y. Tentukan fungsi harmonik sekawan dari u. Penyelesaian: ux = -6xy dan uy = 3y2 – 3x2. Menurut persamaan cauchy – Riemann diperoleh -6xy = ux
18
2. Fungsi Analitik
= vy. Sehingga
v( x, y) (6 xy )dy 3xy 2 h( x)
……….(1)
atau
vx = -3y2 + h’(x). Syarat persamaan Cauchy – Riemann yang kedua harus dipenuhi, yaitu uy = -vx. Sehingga
3 y 2 3 x 2 3 y 2 h( x )
3 y 2 3 x 2 3 y 2 h( x ) ..........…………………………(2)
h ( x) 3 x 2 h( x) 3x 2 dx x 3 c Dari (1) dan (2) diperoleh
v(x,y) = -3xy2 + x3 + c yang merupakan fungsi harmonik sekawan dari u.
Contoh 13
Misalkan
v x2 y2
2
. Apakah fungsi tersebut harmonik? Jika
ya,
tentukan
fungsi analitik sekawan dari f(z) = u (x,y) + iv (x,y). Penyelesaian: Akan diselidiki apakah v merupakan fungsi harmonik atau bukan. Perhatikan bahwa: vx = 2(x2 – y2 )2x = 4x3 – 4xy2 vy = 2(x2 – y2 )(-2y) = -4x2 + 4y3 vxx = 12x2 – 4y2 dan vyy = -4x2 + 12y2 . vxx dan vyy kontinu pada semua z, tetapi tidak memenuhi persamaan Laplace, yaitu vxx + vyy = 8x2 + 8y2 = 8(x2 +y2 ) ≠ 0. Jadi v bukan fungsi harmonik.
Soal – soal Latihan
1 ,z 0 z
Tuliskan
2.
Misalkan a dan b konstanta kompleks. Gunakan definisi limit untuk membuktikan a)
b)
fungsi
f ( z) z
1.
kedalam
bentuk
f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).
lim (az b) az 0 b
z z0
lim ( z 2 b) z 0 b 2
z z0
3.
Buktikan teorema 2 pada bagian 2.3
4.
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan
19
lim z n z 0
z z0
n
dimana n bilangan asli.
2. Fungsi Analitik
5.
6.
Tentukan
f (z ) pada persamaan
a)
f ( z ) (1 4 z 2 ) 3
b)
f ( z)
(1 z 2 ) 4 z2
,z 0
Misalkan u dan v bilangan riil dan misalkan
z2 f ( z) z 0
tersebut memenuhi persamaan Cauchy – Riemann pada z = (0,0).
20
bila
z 0.
bila
z0
Buktikan bahwa fungsi
