TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Departemen Matematika FMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

1 / 21

Topik Bahasan

1

Pendahuluan

2

Manipulasi Integran

3

Integral Parsial

4

Dekomposisi Pecahan Parsial


Kalkulus I

Bogor, 2012

2 / 21

Pendahuluan

Manfaat Teknik Pengintegralan

Teknik-teknik pengintegralan memungkinkan kita: menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar, menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris, menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan, memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu, memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkan serangga jantan yang mandul, dsb.


Kalkulus I

Bogor, 2012

3 / 21

Pendahuluan

Teknik Integral


Kalkulus I

Bogor, 2012

4 / 21

Pendahuluan

Ringkasan Formula Integral Taktentu

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

R R R R R R R

xn dx = xn+1 / (n + 1) + C, n 6= sin x dx =

1

cos x + C

cos x dx = sin x + C sec2 x dx = tan x + C csc2 x dx =

cot x + C

sec x tan x dx = sec x + C csc x cot x dx =


Kalkulus I

csc x + C

Bogor, 2012

5 / 21

Pendahuluan

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.


R R

tan x dx =

ln jcos xj + C

cot x dx = ln jsin xj + C R 1 dx = ln jxj + C x R x e dx = ex + C Z ax ax dx = + C, a > 0, a 6= 1 ln a Z x 1 p = sin 1 +C a a2 x2 Z 1 1 x = tan 1 +C a2 + x2 a a

Kalkulus I

Bogor, 2012

6 / 21

Manipulasi Integran

Manipulasi Integran

Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelum dapat menggunakan teknik integral tertentu. Beberapa teknik manipulasi aljabar: Melengkapi kuadrat Menambahkan "0" Mengalikan "1" Substitusi merasionalkan


Kalkulus I

Bogor, 2012

7 / 21

Manipulasi Integran

Contoh (Manipulasi Integran) Tentukan integral berikut: 1

2

3

4

Melengkapi kuadrat: Z

Z

x2

1 dx + 2x + 2

1 dx 1 + ex Z 1 Mengalikan "1": dx 1 cos x Menambah "0":

Substitusi merasionalkan:


Z

1 p dx x x

Kalkulus I

Bogor, 2012

8 / 21

Manipulasi Integran

Substitusi Merasionalkan Integran yang melibatkan bentuk akar p n ax + b seringkali dapat dibuat menjadi bentuk rasional dengan mengambil substitusi p u = n ax + b, atau un nun

1 du

= ax + b, sehingga = a dx

(1)

Contoh Tentukan

Z 9 4

1 p dx x x


Kalkulus I

Bogor, 2012

9 / 21

Manipulasi Integran

Soal (Manipulasi Integran) Lakukan manipulasi aljabar terhadap integran untuk menentukan integral berikut: Z r p 1+x 1 dx, jawab: sin 1 x 1 x2 + C 1 x Z 1 1 p dx, jawab: 12 ln 8 2 3 0 x+ x Z 2x + 1 1 1 x+1 + C 3 dx, jawab: ln x2 + 2x + 5 2 tan 2 x2 + 2x + 5 4

5

Z 1 Z

p

1 x2

2x 1 dx, x10 x

1/2

dx,

jawab:

jawab:


1 9

1 6π

ln 1

1 x9

Kalkulus I

+C

Bogor, 2012

10 / 21

Integral Parsial

Integral Parsial Kapan Integral Parsial Digunakan?

Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik substitusi ganda. Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsi transenden (logaritma, eksponen, trigonometri beserta inversnya) Fungsi transenden komposisi) R Rtertentu (tunggal, R Contoh: ln x dx, sin 1 x dx, cos (ln x) dx Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsi transenden) R R R Contoh: xex dx, x2 sin x dx, ex cos x dx


Kalkulus I

Bogor, 2012

11 / 21

Integral Parsial

Teknik Pengintegralan Parsial d [f (x) g (x)] = f (x) g0 (x) + g (x) f 0 (x) dx Z Z

0

f (x) g (x) dx +

Z

g (x) f 0 (x) dx = f (x) g (x)

0

f (x) g (x) dx = f (x) g (x)

Z

g (x) f 0 (x) dx

(2)

Ambil u = f (x) ) du = f 0 (x) dx, dv = g0 (x) dx ) v = g (x) . Akibatnya, (2) menjadi Z (Departemen Matematika FMIPA IPB)

u dv = uv Kalkulus I

Z

(3)

v du Bogor, 2012

12 / 21

Integral Parsial

Penentuan u dan dv

Z

u dv = u v

Z

v du

dv mudah diintegralkan (menjadi v), R R v du lebih mudah dibandingkan u dv.


Kalkulus I

Bogor, 2012

13 / 21

Integral Parsial

Contoh (Integral Parsial) Tentukan: R2 1 ln x dx (hanya ada 1 alternatif u, dv) 1 R R2 Jawab: ln x dx = x ln x x + C ) 1 ln x dx = 2 ln 2 R 2 x 2 x e dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat) Jawab: ex x2 2x + 2 + C


Kalkulus I

1.

Bogor, 2012

14 / 21

Integral Parsial

Soal (Integral Parsial) Hitung integral (1 3) p R 1 sin 1 x dx, jawab: x sin 1 x + 1 x2 + C R x 2 e cos x dx, jawab: 12 ex (cos x + sin x) + C) R px p 3 e dx, ambil u = x, lalu gunakan integral parsial 4

5

CarilahRkesalahan dalam pembuktian berikut, bahwa 0 = 1. "Pada (1/t) dt ambil u = 1/t dan R dv = dt sehingga R du = 1/t2 dt, v = t. Akibatnya, (1/t) dt = 1 + (1/t) dt atau 0 = 1." p Andaikan Gn = n (n + 1) (n + 2) (n + n), perlihatkan bahwa limn!∞ (Gn /n) = 4/e. Petunjuk: Tinjau ln (Gn /n) , kenali sebagai suatu jumlah Riemann, dan gunakan hasil Contoh 1.


Kalkulus I

Bogor, 2012

15 / 21



Masalah: pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsi polinom) sejati: Z Z p (x) r (x) dx = dx q (x) dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < derajat q (x) . Bila derajat p (x) derajat q (x), lakukan pembagian sehingga diperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati. Metode pengintegralan: Dekomposisi Pecahan Parsial dengan cara menguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x) menjadi jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana.


Kalkulus I

Bogor, 2012

16 / 21


Metode Dekomposisi Pecahan Parsial Z

p (x) dx q (x)

Kasus 1: q (x) berupa hasil kali faktor linear yang berbeda, q (x) = (a1 x + b1 ) (a2 x + b2 ) . . . (ak x + bk ), Z

p (x) dx = q (x)

Z

Contoh Z Z dx = x2 4 (x

A1 dx + (a1 x + b1 )

Z

dx = 2) (x + 2)

Z


A2 dx + (a2 x + b2 )

A x

Kalkulus I

2

dx +

Z

+

Z

Ak dx ( a k x + bk )

B dx x+2 Bogor, 2012

17 / 21


Z

p (x) dx q (x)

Kasus 2: q (x) berisi hasil kali faktor linear yang berulang, q (x) = (ax + b)r , Z

p (x) dx = q (x)

Z

A1 dx + ax + b

Z

A2

(ax + b)

2

dx +

+

Z

Ar dx (ax + b)r

Contoh Z

5x2 + 3x 2 dx = (x + 2) x2

Z


A dx + x+2

Z

B dx + x

Kalkulus I

Z

C dx x2

Bogor, 2012

18 / 21


Z

p (x) dx q (x)

Kasus 3: q (x) berisi faktor kuadratik yang tak teruraikan, q (x) = ax2 + bx + c dengan b2 4ac < 0, Z

p (x) dx = q (x)

Contoh Z

2x + 4

(x2

+ 1) (x

1)

dx = 2

Z

Z

Ax + B dx + x2 + 1

Jawab koe…sien: A = 2, B = 1, C = (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Ax + B dx + bx + c

ax2

Z

C x

1

dx +

Z

D

(x

1)2

dx

2, D = 1.

Kalkulus I

Bogor, 2012

19 / 21


Soal (Integral Terkait Dekomposisi Pecahan Parsial) Hitung integral berikut 1

2

3

4 5

6

Z

3 dx, jawab: ln x+x 3 + C x2 + 3x Z 2 x +x 1 dx, jawab: ln x + 2 ln (x 1) x 1 1 + C x (x 1)2 Z x4 1 1x+C dx, jawab: x + 14 ln xx+11 2 tan x4 1 Z 16 p x dx, jawab: 2 + ln 25 9 x 4 Z9 cos x dx, jawab: ln sinsinx+x 1 + C 2 sin x + sin x Z 1 ex 1 dx, jawab: 12 ln jex +1j + C x x e e


Kalkulus I

Bogor, 2012

20 / 21


Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Kalkulus I

Bogor, 2012

21 / 21

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Recommend Documents