Teknik Pengintegralan

Outline Metode Substitusi Integral Fungsi Trigonometri Substitusi yang Merasionalkan Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan Parsial Beberapa Macam Substitusi yang lain Integral Parsial

Teknik Pengintegralan Kusbudiono Jurusan Matematika

13 Nopember 2012

Kusbudiono

Teknik Pengintegralan


Metode Substitusi Integral Fungsi Trigonometri Substitusi yang Merasionalkan Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan Parsial Beberapa Macam Substitusi yang lain Integral Parsial

Kusbudiono



Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah daftar integral-integral dasar yang telah diurutkan: KONSTANTA, PANGKAT, EKSPONENSIAL R 1. du = u + C R 2. a du = au + C R r +1 3. u r du = ur +1 + C, r 6= −1 R 4. du = ln |u| + C R uu 5. e = eu + C R u 6. au du = lna a + C, a > 0 Kusbudiono



Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI R 7. sin u du = − cos u + C R 8. cos u du = sin u + C R 9. sec2 u du = tan u + C R 10. csc2 u du = − cot u + C R 11. sec u tan u du = sec u + C R 12. csc u cot u du = − csc u + C R 13. tan u du = ln | sec u| + C R 14. cot u du = ln | sin u| + C Kusbudiono



Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal FUNGSI-FUNGSI HIPERBOLIK R 15. sinh u du = cosh u + C R 16. cosh u du = sinh u + C R 17. sech u du = tanh u + C R 18. csch u du = − coth u + C R 19. sech u tanh u du = − sech u + C R 20. csch u coth u du = − csch u + C

Kusbudiono



Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal

FUNGSI-FUNGSI ALJABAR R 21. √ du = sin−1 ( ua ) + C a2 −u 2 R = a1 tan−1 ( ua ) + C 22. a2du +u 2 R √du 23. = a1 sec−1 ( |u| a )+C = 2 2 u

u −a

Kusbudiono

1 a

a cos−1 ( |u| )+C



Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal FUNGSI-FUNGSI ALJABAR √ R 24. √ du u 2 + a2 ) + C = ln(u + a2 +u 2 √ R 25. √ du u 2 − a2 | + C = ln |u + u 2 −a2 R 1 26. a2du = 2a ln | a+u a−u | + C −u 2 √ R a+ a2 −u 2 1 √du 27. = − ln | |+C a u u a2 −u 2 √ R a+ a2 +u 2 1 √du 28. = − ln | |+C a u 2 2 u

a +u

Kusbudiono



Pengintegraan dengan Metode Substitusi Teorema (Substitusi) R Untuk menentukan f (x) dx, kita dapat mensubstitusi u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah f (x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka Z Z f (x) dx = h(u) du = H(u) + C = H(g(x)) + C

Kusbudiono



Beberapa Integral Trigonometri Dengan kesamaan trigonometri dan menggunakan metode substitusi kita akan dapat mengintegralkan banyak bentuk-bentuk trgonometri. Beberapa jenis integral trigonometri yang sering muncul adalah: R R 1. sinn x dx dan cosn x dx R 2. sinm x cosn x dx R R 3. tann x dx dan cotn x dx R R 4. tanm x secn x dx dan cotm x cscn x dx R 5. R sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx Kusbudiono



Jenis 1:

R

sinn x dx dan

R

cosn x dx

Diperlukan identitas trigonometri: sin2 x =

1 1 (1 − cos 2x) dan cos2 x = (1 + cos 2x) 2 2

dan sin2 x = 1 − cos2 x dan cos2 x = 1 − sin2 x

Kusbudiono



Jenis 2:

R

sinm x cosn x dx

Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantung pada m dan n adalah ganjil atau genap. R sinm x cosn x dx

n ganjil

m ganjil m dan n genap

Prosedur - Pilihlah faktor dari cos x - Gunakan kesamaan terkait Substitusi u = sin x - Pilihlah faktor dari sin x - Gunakan kesamaan terkait - Substitusi u = cos x - Gunakan kesamaan terkait untuk mereduksi pangkat sin x dan cos x

Kusbudiono

Identitas Terkait

cos2 x = 1 − sin2 x

sin2 x = 1 − cos2 x sin2 x = 12 (1 − cos 2x) cos2 x = 21 (1 + cos 2x)



Jenis 3:

R

tann x dx dan

R

cotn x dx

R R Untuk menghitung integral berbentuk tann x dx dan secm x dx dimulai dengan rumus integral dasar Z tan x dx = ln | sec x| + C Z sec x dx = ln | sec x + tan x| + C Sedangkan untuk perpangkatan yang lebih tinggi dapat direduksi dengan rumus: Z Z tann−1 tann x dx = − tann−2 x dx n−1 Z Z m−2 sec x tan x m−2 m sec x dx = secm−2 x dx + m−1 m−1 Kusbudiono



Jenis 4:

R

tanm x secn x dx dan

R

cotm x cscn x dx

Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantung pada m dan n adalah ganjil atau genap. Berikut adalah prosedur untuk integran berbentuk m n x. tan x sec R m n tan

x sec x dx

n genap

m ganjil m genap dan n ganjil

Prosedur - Pilihlah faktor pembagi dari sec2 x - Gunakan kesamaan terkait Substitusi u = tan x - Pilihlah faktor dari sec x tan x - Gunakan kesamaan terkait - Substitusi u = sec x - Gunakan kesamaan terkait untuk mereduksi pangkat dari sec x - Kemudian gunakan rumus reduksi untuk pangkat sec x

Identitas Terkait

sec2 x = 1 + tan2 x

tan2 x = sec2 x − 1 tan2 x = sec2 x − 1

Dengan pertolongan kesamaan 1 + cot2 x = csc2 x prosedur diatas dapat disesuaikan untuk menghitung integral berbentuk R cotm x cscn x dx. Kusbudiono



R Jenis 5: sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan R cos mx cos nx dx R Untuk menghitung integral berbentuk sin mx cos nx dx, R sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx digunakan rumus-rumus pergandaan jumlahan dari trigonometri dibawah ini: sin mx sin nx cos mx cos nx sin mx cos nx

1 = − [cos(m + n)x − cos(m − n)] 2 1 = [cos(m + n)x + cos(m − n)x] 2 1 = [sin(m + n)x + sin(m − n)x] 2 Kusbudiono



Integran yang memuat

√ n

ax + b

√ n Apabila didalam integran ada bentuk ax + b, substitusi √ n u = ax + b dapat merasionalkan integran.

Kusbudiono



Integran yang memuat √ x 2 − a2

√

a2 − x 2 ,

√

a2 + x 2 dan

Untuk merasioanalkan bentuk bentuk integran √ √ √ 2 2 2 2 2 a − x , a + x dan x − a2 kita gunakan masing-masing substitusi sebagai berikut: Ekspresi dalam integran p a2 − x 2 p a2 + x 2 p x 2 − a2

Substitusi

Pembatasan θ

x = a sin θ

−π ≤θ≤ π 2 2

x = a tan θ

−π ≤θ≤ π 2 2 0≤θ≤ π (x ≥ a) 2 3π π≤θ≤ 2 (x ≤ −a)

x = a sec θ

Kusbudiono

Kesamaan trigonometri yang diperlukan untuk penyederhanaan a2 − a2 sin2 θ = a2 cos2 θ a2 + a2 tan2 θ = a2 sec2 θ a2 sec2 θ − a2 = a2 tan2 θ



Melengkapkan Menjadi Kuadrat Sempurna

Apabila sebuah bentuk kuadrat x 2 + Bx + C muncul dibawah akar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadi kuadrat sempurna sebelum kita menggunakan substitusi trionometri.

Kusbudiono



Pecahan Parsial P(x) Setiap fungsi rasional Q(x) dengan derajat pembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut dapat dinyatakan sebagai jumlahan

P(x) = F1 (x) + F2 (x) + . . . + Fn (x) Q(x) dimana F1 (x), F2 (x), . . . , Fn (x) fungsi-fungsi rasional dalam A1 Ax+B bentuk (ax+b) k atau (ax 2 +bx+c)k Suku-suku F1 (x), F2 (x), . . . , Fn (x) pada sisi kanan persamaan diatas disebut pecahan parsial sedangkan semua sisi kanannya disebut dekomposisi pecahan parsial dari sisi kiri. Kusbudiono



Mendapatkan bentuk dekomposisi pecahan parsial Langkah pertama untuk mendapatkan dekomposisi pecahan P(x) parsial suatu fungsi rasional Q(x) yang mempunyai derajat pembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut adalah dengan memfaktorkan Q(x), secara lengkap menjadi faktor linier dan faktor kuadratik yang tak dapat difaktorkan lagi, dan mengumpulkan faktor berulang sehingga Q(x) dinyatakans ebagai perkalian faktor-faktor yang berbeda dari bentuk (ax + b)m dan (ax 2 + bx + c)m .

Kusbudiono



Faktor-faktor Linier Jika semua faktor Q(x) linier, maka dekomposisi pecahan P(x) parsial Q(x) dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

Teorema (Aturan Faktor Linier) Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax + b)m , dekomposisi pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial: Am A1 A2 + ... + + 2 ax + b (ax + b) (ax + b)m dengan A1 , A2 , . . . , Am konstanta yang ditentukan. Kusbudiono



Faktor-faktor Kuadratik Jika beberapa faktor Q(x) adalah kuadratik yang tidak dapat disederhanakan lagi, maka kontribusi faktor-faktor itu pada P(x) dekomposisi pecahan parsial Q(x) dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

Teorema (Aturan Faktor Kuadratik) Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax 2 + bx + c)m , dekomposisi pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial: A1 x + B1 A2 x + B2 Am x + Bm + + ... + 2 2 2 ax + bx + c (ax + bx + c) (ax 2 + bx + c)m dengan A1 , A2 , . . . , Am , B1 , B2 , . . . , Bm konstanta yang ditentukan. Kusbudiono



Integral yang mencakup pangkat rasional Integral yang mengandung pangkat rasional x seringkali dapat disederhanakan dengan substitusi 1

u = xn

dengan n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut dalam pangkat. Tujuan dari substitusi ini adalah untuk mengganti pangkat-pangkat pecahan dengan pangkat bilangan bulat, yang lebih mudah untuk dikerjakan.

Kusbudiono



Contoh: Z

√ 1+

x √ dx 3 x

Jawab: 1 dari 2 dan 3. Digunakan subsitusi u = x 6 karena 6 adalah KPK √ 6 5 Sehingga didapat x = u dan dx = 6u du. Untuk x, √ √ √ 1 1 x = (x 6 )3 = u 3 , sedangkan untuk 3 x, 3 x = (x 6 )2 = u 2 .

Kusbudiono



Sehingga √ Z x √ dx 1+ 3x

u3 6u 5 du 1 + u2 Z 6u 8 = du 1 + u2 Z = 6u 6 − 6u 4 + 6u 2 − 6 + Z

=

= =

6 du 1 + u2 p 6 7 6 5 u − u + 2u 3 − 6u + ln |u + 1 + u 2 | + C 7 5 1 1 6 1 7 6 1 5 (x 6 ) − (x 6 ) + 2(x 6 )3 − 6(x 6 ) + . . . 7 5 q 1

ln |(x 6 ) + Kusbudiono

1

1 + (x 6 )2 | + C



Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam sin x dan cos x

Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasilkali, dan hasilbagi berhingga dari sin x dan cos x Contoh: sin x + 3 cos2 x sin x 3 sin5 x , , cos x + 4 sin x 1 + cos x − cos2 x 1 + 4 sin x

Kusbudiono



Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu

Z dv = uv −

v du

Integral diatas dimungkinkan untuk memindahkan pengintegralan u dv pada pengintegralan v du yang tergantung pada pemilihan u dan dv yang tepat.

Kusbudiono



Pengintegralan Parsial Integral Tentu

Z

b

u dv = a

[uv ]ba

Kusbudiono

Z −

b

v du a


Teknik Pengintegralan

Recommend Documents