TEKNIK PENGINTEGRALAN
KALKULUS FEH1B3 S1 Teknik Telekomunikasi - Fakultas Teknik Elektro
Outline • • • •
Integral Parsial Integral Fungsi Trigonometri Substitusi Trigonometri Integral Fungsi Rasional
MA1114 KALKULUS I
2
9.1 Integral Parsial Formula Integral Parsial :
u dv uv v du Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhana Contoh : Hitung
x x e dx
misal u = x, maka du=dx
dv e x dx v e x dx e x sehingga x x x x x x e dx x e e dx x e e C
MA1114 KALKULUS I
3
Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali Contoh Hitung Jawab
2 2 x sin x dx x cos x 2 x cos xdx
u x2
(i) Misal
dv = sinxdx (ii) Misal u = x dv = cosx dx
MA1114 KALKULUS I
du = 2xdx V=-cosx du = dx v = sinx
4
Integral parsial
x 2 cos x 2( x sin x sin x dx)
x 2 cos x 2 x sin x 2cos x C
Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan Contoh Hitung
Integral parsial
x x x e cos xdx e sin x e sin xdx
Jawab : (i) Misal
x e cos xdx
u ex
dv=cosxdx
du e x dx
e x sin x (e x cos x e x cos xdx) C
e x sin x e x cos x e x cos xdx) C
v=sinx
du e dx (ii) Misal u e v=-cosx dv = sinxdx x
x
Integral yang dicari ,bawa keruas kiri
2 e x cos xdx e x sin x e x cos x C x x x 1 e cos xdx ( e sin x e cos x) C 2 MA1114 KALKULUS I
5
MA1114 KALKULUS I
6
Soal latihan Hitung e
1.
ln x dx 1
2. 3. 4. 5.
6.
x ln xdx ln(1 x )dx 2
1 sin xdx 1 tan xdx
1 x tan xdx
MA1114 KALKULUS I
7
9.2 Integral Fungsi Trigonometri Bentuk : cosn x dx & sinn x dx * Untuk n ganjil, Tuliskan : n n 1 sin n x sin x sin n 1 x dan cos x cos x cos x
2 2 dan gunakan identitas sin x cos x 1
* Untuk n genap, Tuliskan :
sin n x sin 2 x sin n 2 x dan cosn x cos2 x cosn 2 x 2 2 dan gunakan identitas cos 2 x 2 cos x 1 1 2 sin x
MA1114 KALKULUS I
8
Contoh Hitung 3 sin x dx 1.
2.
4 sin x dx
Jawab 1. 2.
2 3 3 2 1 1 cos x d cos x cos x cos xC sin x dx sin x sin x dx 3
1 cos 2 x 1 cos 2 x 4 2 2 sin x dx sin x sin x dx ( 2 ) ( 2 ) dx 1 (1 2 cos 2 x cos2 2 x)dx 1 ( dx 2 cos 2 x dx 1 cos 4 x dx) 2 4 4
MA1114 KALKULUS I
3 1 1 1 1 1 1 x sin 2 x x sin 4 x C x sin 2 x sin 4 x C 8 4 32 4 4 8 32
9
•
Bentuk
m n sin x cos x dx
a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan gunakan identitas sin2 x cos2 x 1 m
n
b). Untuk m dan n genap, tuliskan sin x dan cos x menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas cos 2 x 2 cos2 x 1 1 2 sin 2 x Contoh :
2 2 3 2 2 2 1 cos x cos x d cos x sin x cos x dx sin x cos x sin x dx
cos2 x cos4 x d cosx 1 1 5 cos x cos3 x C 5 3 MA1114 KALKULUS I
10
1 cos 2x 1 cos 2x dx sin x cos x dx 2 2 2
2
1 2 (1 cos 2 x)dx 4
1 1 dx cos 4 x dx 8 8
1 1 cos 4 x (1 dx) 4 2
1 1 x sin 4 x C 8 32
MA1114 KALKULUS I
11
m n m n tan x sec x dx dan cot x csc xdx
Bentuk
Gunakan identitas
tan 2 x sec2 x 1 , cot2 x csc2 x 1 serta turunan tangen dan kotangen
d (tan x) sec 2 xd , d (cot x) csc2 x dx .
Contoh a.
4 2 2 2 2 tan xdx tan x (sec 1)dx tan x tan x dx
tan 2 x sec 2 xdx tan 2 xdx tan 2 xd (tan x) (sec 2 x 1)dx
13 tan 3 x tan x x C MA1114 KALKULUS I
12
b.
2 4 2 2 2 tan x sec x dx tan x sec x sec xdx
tan 2 x(1 tan 2 x)d (tan x)
tan 2 x tan 4 x d (tan x) 1 1 5 tan x tan 3 x C 5 3
MA1114 KALKULUS I
13
Soal Latihan Hitung 1.
4 5 sin x cos x dx
/4
2.
4 2 tan t sec t dt 0
4 sec x dx 3.
2 4 cot w csc w dw 4.
5.
3 csc x dx
MA1114 KALKULUS I
14
9.3 Substitusi Trigonometri a. Integran memuat bentuk a x 2
Contoh Hitung
25 x dx 2 x 2
Misal
x 5 sin t dx = 5 cost dt
5
x
t
,misal
x a sin t
25 x 2 dx 2 x
25 25 sin 2 t 5 cost dt 25 sin 2 t 25(1 sin 2 t ) 5 sin 2 t
cos2 t 2 dt cot t dt cos tdt 2 sin t
(csc2 t 1)dt cot t t c 25 x 2 1 x sin ( ) C x 5
25 x 2 MA1114 KALKULUS I
2
15
b. Integran memuat bentuk Contoh Hitung
x Misal
25 x 2
1 2
25 x
2
x
dx
x 5 tan t
dx 5 sec 2 t dt x tan t 5
a2 x2
1 2
25 x
2
x a tan t
dx
5 sec2 t dt 25 tan 2 t 25 25 tan 2 t
1 sec2 t dt 1 cost 1 d (sin( t )) dt 25 tan 2 t sec t 25 sin 2 t 25 sin 2 t
1 25 x 2 C C 25 x 25 sin t
x
t 5 MA1114 KALKULUS I
,misal
16
c. Integran memuat bentuk Contoh Hitung
x Misal
1 2
x 25 2
x
1 2
dx
x 5 sec t
dx 5 sec t tan t dt x sec t 5
x
x 25 2
x2 a2
5 sec t tan t dt 25 sec2 t 25 sec2 t 25
1 sec t tan t dt 1 sec t 1 2 dt cost dt 25 sec2 t tan t 25 sec t 25
1 sin t C 25
5 MA1114 KALKULUS I
x a sec t
dx
x 2 25
t
,misal
17
x 2 25 C 25 x
Soal Latihan Hitung 1. 2. 3. 4.
5.
MA1114 KALKULUS I
x2 9 x
2
2x 3 4 x2
dx dx
6.
7.
8.
dx x2 4 x2 dx x x2 9
dx
9.
dx
x2 9
3/ 2
3x dx x 2 2x 5
5 4 x x 2 dx
2x 1
x2 2x 2 dx
x 2 x 2 16
18
Substitusi Bentuk Akar
Integran memuat n ax b Contoh Hitung Jawab :
Misal
dx 22 x
u2 x
Dengan turunan implisit
2u
du 1 dx
MA1114 KALKULUS I
u
n
ax b
dx 22 x
u x
,misal
dx=2udu
2udu u du 2 2u u 1 1 u 11 ( 1 )du du u 1 u 1 u ln( u 1) C
19
x ln 1
x C
Soal Latihan Hitung 1.
x 3x4
dx
x 2 2x dx 2. x 1
t 3. t 1 dt 4. 5. 6.
MA1114 KALKULUS I
x x 1 dx t 3t 4 dt 2/3 x ( 1 x ) dx
20
9.4 Integral Fungsi Rasional P x f x , der (P)< der(Q) Q x
•
Integran berbentuk fungsi rasional :
•
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu : 1. Faktor linear tidak berulang. 2. Faktor linear berulang. 3. Faktor kuadratik tidak berulang. 4. Faktor kuadratik berulang.
•
Kasus 1 ( linier tidak berulang ) Misal Q x a1 x b1 a2 x b2 ... an x bn
maka, dengan MA1114 KALKULUS I
P x A1 A2 An ... Q x a1 x b1 a2 x b2 an x bn
A1, A2 , ... ,konstanta An yang dicari. 21
Contoh Hitung Jawab
x 1 dx 2 x 9
Faktorkan penyebut :
x 2 9 ( x 3)( x 3)
x 1 A B A( x 3) B( x 3) x 2 9 x3 x3 ( x 3)( x 3) x 1 A x3 B x3 A Bx 3A3B Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan A +B =1 -3A+3B=1
x3 x1
3A +3B=3 -3A+3B=1 + 6B=4
Sehingga
MA1114 KALKULUS I
B=2/3 ,A=1/3
1 2 x 1 3 dx 3 dx 1 ln | x 3 | 2 ln | x 3 | C dx x3 x3 x 2 9 3 3 22
Kasus 2 Linear berulang Misal Q x Maka
ai x bi p
Ap 1 Ap Px A1 A2 ... 2 p 1 Qx ai xbi ai xbi ai xbi ai xbi p
dengan konstanta Contoh Hitung
A1 , A2 ,..., Ap 1 , Ap akan dicari 1
x 2 x 1 2
dx
Jawab
1
x22 x1
A B C x2 x 22 x1
MA1114 KALKULUS I
23
A( x 2)( x 1) B( x 1) C ( x 2) 2 2 x2 x1 x 22 x1 1
Penyebut ruas kiri = penyebut ruas kanan
1 A( x 2)( x 1) B( x 1) C ( x 2) 2 1 ( A C ) x 2 ( A B 4C ) x (4C 2 A B) A+C=0 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1
1
x2 x1 2
A+B+4C=0 -2A-B+4C=1 + -A+8C=1
dx
A+C=0 -A+8C=1 9C=1
+
B=-1/3 A=-1/9 C=1/9
1 1 1 1 1 1 dx dx dx 2 9 x2 3 x 2 9 x1
1 1 1 ln | x 2 | ln | x 1 | C 9 3( x 2) 9 MA1114 KALKULUS I
24
Kasus 3 Kuadratik tak berulang Misal
Q x a1 x 2 b1 x c1
a2 x2 b2 x c2 ... an x2 bn x cn
Maka
P x A1 x B1 A2 x B2 An x Bn ... Q x a1 x 2 b1 x c1 a2 x 2 b2 x c2 an x 2 bn x cn Dengan
MA1114 KALKULUS I
A1 , A2 ,..., An , dan B1 ,B2 ,...,Bn konstanta yang akan dicari
25
Contoh Hitung
dx xx 2 1
Jawab
1 A B xC 2 2 x x 1 x x 1
A x 2 1 ( Bx c) x x x2 1
1 A x 2 1 ( Bx c) x A+B=0 C=0 A=1
1 ( A B) x 2 cx A x x d ( x 2 1) dx 2 2 x 1 x 1 2x
B=-1
1 x 1 dx dx x x 2 1 x x 2 1 dx
1 d ( x 2 1) 2 2 x 1
1 ln | x | ln( x 2 1) C 2 MA1114 KALKULUS I
26
Kasus 4 Kuadratik berulang
Misal Q x ai x 2 bi x ci
p
Maka
Ap 1 xB p 1 Ap x B p P x A1 xB1 A2 xB2 ... 2 p 1 2 2 2 Qx ai x bi xci ai x bi xci ai x bi xci ai x 2 bi xci
Dimana A1 , A2 ,..., Ap1 , Ap danB1 ,B2 ,...,Bp1,Bp
MA1114 KALKULUS I
27
konstanta yang akan dicari
p
Contoh Hitung Jawab :
6 x 2 15x 22
x 3 x2 2
6x 2 15 x 22
x3x 2 22
2
dx
A B xC DxE 2 x3 x 2 x 2 2 2
A x 2 2 ( BxC ) x 2 2 x3 ( DxE )( x 3) 2
x3x 2 22
6 x 15 x 22 A x 2 ( BxC ) x 2 2 x3 ( DxE )( x 3) 2
2
2
6 x 2 15 x 22 ( A B) x 4 (3B C ) x 3 (4 A 2 B 3C D) x 2
(6B 2C 3D E ) x (4 A 6C 3E )
MA1114 KALKULUS I
28
Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh A+B=0 3B+C=0 4A+2B+3C+D=6 6B+2C+3D+E=-15 4A+6C+3E=22
Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3 D=-5, E=0
Sehingga
6x 2 15 x22
1 x3 x x3 x 2 2 2 dx x3 dx x 2 2 dx 5 x 2 2 2 dx dx 1 2x dx 5 2x 2 dx 3 2 2 dx 2 x3 2 x 2 x 2 2 ( x 2)
1 3 5 x ln | x 3 | ln( x 2 2) tan 1 C. 2 2 2 2 2( x 2) MA1114 KALKULUS I
29
Catatan jika der ( P( x)) der (Q( x)) , bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga P( x) S ( x) , der( S ( x)) der(Q( x)) H ( x) Q( x ) Q( x ) Contoh Hitung
x 3 2x 2 x 4 x 2 4 dx
Der(P(x))=3>der(Q(x))=2
Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x) x +2
x2 4
x3 2 x 2 x 4 x3 4 x
x 3 2x 2 x 4 5x 4 x 2 x2 4 x2 4
2 x 2 5x 4
2x 2 8
5x+4 MA1114 KALKULUS I
30
5x 4 5x 4 A B x 2 4 ( x 2)( x 2) ( x 2) ( x 2)
A( x 2) B( x 2) ( x 2)( x 2)
5 x 4 A( x 2) B( x 2) ………………………..(*) Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk Untuk x=2 dan x=-2 Untuk x = 2
5.2+4=A(2+2)
5.(-2)+4=B(-2-2) Untuk x = -2 Dengan menggunakan hasil diatas :
A=7/2 B=3/2
x3 2 x 2 x 4 7 1 3 1 dx ( x 2 ) dx dx dx x2 4 2 x2 2 x2
1 2 7 3 x 2 x ln | x 2 | ln | x 2 | C 2 2 2 MA1114 KALKULUS I
31
Soal Latihan Hitung 1.
2x 1
x2 6x 18 dx
1 2. ( x 5) 2 ( x 1) dx
6.
7.
x3 x2 x 2 5x 6 dx
5 x 2 3x 2 dx 3. 3 2 x 2x dx 4.
x(x
2
1) 2
x 2 2x dx 5. x 3 3x 2 4 2 5
MA1114 KALKULUS I
2 x 2 3 x 36
32
2 x 1 x2 9
dx