FUNGSI RASIONAL DAN EKSPANSI FRAKSI PARSIAL (EFP)

FUNGSI RASIONAL DAN EKSPANSI FRAKSI PARSIAL (EFP) Asep Najmurrokhman Jurusan Teknik Elektro Universitas Jenderal Achmad Yani

11 March 2013

EL2032 Sinyal dan Sistem

1

Tujuan Belajar :  mengetahui bentuk polinomial atau persamaan suku     

banyak dalam variabel s menghitung akar-akar polinomial mengetahui bentuk fungsi rasional mengetahui, menghitung, dan menggambar pole dan zero sebuah fungsi rasional dalam bidang kompleks mengetahui definisi ekspansi fraksi parsial (EFP) menerapkan konsep EFP dalam menentukan transformasi Laplace balik

11 March 2013


2

Polinomial dan akar

As  a0  a1s  ans

n

• Koefisien :a 0 , a1 ,, a n

• n menyatakan derajat (orde) polinomial • Akar polinomial atau zero A(s) adalah sebuah bilangan  yang

memenuhi A   0

As   a n s   1 s   2  s   n  Sebuah polinomial dengan k buah akar yang sama dikatakan memiliki multiplisitas akar 11 March 2013


3

Fungsi rasional Bs b0  b1s  bms Fs   As a0  a1s  an sn

m

• Polinomial B(s) disebut pembilang (numerator) • Polinomial A(s) disebut penyebut (denominator)

11 March 2013


4

Pole dan Zero B s  F s   As  •Pole : akar-akar A(s)

 adalah zero F(s) apabila F() = 0

•Zero : akar-akar B(s)

 merupakan pole F(s) apabila

lim F s    s 

11 March 2013


5

Plot Pole dan Zero

s z1s z2 s zm b0 b1s bmsm Fs  k n s  p1s  p2 s  pn  a0 a1s ans z1 , z 2 , , z m p1 , p 2 , , p n

imajiner

zero F(s) pole F(s) real

11 March 2013


6

Ekspansi Fraksi Parsial (EFP) m b  b s    b s Bs  m F s    0 1 As  a 0  a1 s    a n s n

• multiplisitas akar-akar A(s) sama dengan satu •m
rn r1 r2 F s     s  1 s   2 s  n  1 ,  2 ,,  n

r1 , r2 , , rn 11 March 2013

: pole-pole F(s) : residu EL2032 Sinyal dan Sistem

7

Penentuan EFP  Tentukan pole-pole

memfaktorkan A(s)

 1 ,  2 , ,  n yaitu dengan

 Tentukan residu-residu   

Metode pemecahan persamaan linier Metode Heaviside Metode l’Hospital

Bs b0  b1s  bmsm Fs   As a0  a1s  an sn 11 March 2013

rn r1 r2 Fs    s 1 s 2 s n


8

Metode pemecahan persamaan linier F s  

F s  

s3 s 2  3s  2

Fungsi rasional

r1 r2 s3   s 2  3s  2 s  1 s  2

EFP

r1 r2 r1 s  2  r2 s  1 r1  r2 s  2r1  r2    s 1 s  2 s  1s  2 s 2 3s  2

Fungsi = EFP

residu

r1  r2 s  2r1  r2 2

s 3s  2 11 March 2013

 r1  r2  1 s3  2  s 3s  2 2r1  r2  3 EL2032 Sinyal dan Sistem

r1  2 ; r2  1

9

Metode Heaviside rk  s  k Fs s

k

kalikan F(s) dengan (s - k)

coret suku (s - k) dari pembilang dan penyebutnya

evaluasi bentuk yang diperoleh di s = k untuk mendapatkan rk

r1 r2 r3 s2  2 F s   3    s s 1 s  2 s  3s 2  2 s s2  2 s2  2 r1  sF s  s  0  s   1 s  1 s  2  s  0 s s  1 s  2  s  0

s2  2 s2  2 r2  s  1F s  s1  s  1  1 ss  1s  2 s1 ss  2 s1 s2  2 s2  2 r3  s  2F s s2  sEL2032  2 Sinyal dan Sistem  1 11 March 2013 ss  1s  2 s2 ss  1 s2

10

Metode Turunan (formula l’Hospital) B k  rk  A k 

r1 r2 s 3 Fs  2   s 3s 2 s 1 s 2

11 March 2013


B 1 1 3  2 A 1 2 1  3 B 2  23 r2    1  A  2  2 2   3 r1 

11

Pole berulang (repeated poles) Bs  F s   s  1 k1 s   2 k2 s  l kl •Pole i berbeda-beda (i  j untuk i  j) •multiplisitas pole ki •derajat pembilang < penyebut

Fs 

r1,k1

s  1 

 

k1



r1,k1 1 k1 1

s  1 

rl,kl

s  l 

kl



 

rl ,kl 1

s  l 

kl 1

r1,1



s  1  s  2 

 

11 March 2013

k2



r2,k2 1 k2 1

s  2 

 

r2,1

s  2 

rl,1

s  l 

r Transformasi Laplace balik

r2,k2

s   k




r t k 1 e t k  1!

12

EFP untuk pole berulang • Metode pemecahan persamaan linier • Metode Heaviside • Cari residu

ri , ki dengan formula F s s   i k

i

s  i

 ri ,ki

• Residu lain melalui perluasan formula 1 dj ki    F s s   i j! ds j



11 March 2013




 ri ,ki  j s  i

13

Ilustrasi (1) r3 r1 r2 F s   2   s s 1 s

1   F s  2 s s  1  Langkah pencarian residu :

r3  s  1F s  s 1  s  1

1 1 2 s s  1 s 1

Metode Heaviside

r1 r2 r1 s  1  r2 ss  1  s 2 1  r2 s 2  r1  r2 s  1 1 1  2    2 2 s s 1 s s  1 s s s  1 s 2 s  1

1  1  r2 s 2  r1  r2 s  1 11 March 2013

dan Sistem dan r1  1 r2 EL2032 1Sinyal

14

Ilustrasi (2) 1 F s   2 s s  1

r3 r1 r2 F s   2   s s 1 s

Pencarian residu :

r3  s 1Fs s1  s  1

r1  s F s  2

1 s 2 1 s s  1 s 0 2

s 0

1 d 2 r2  s F s  1! ds



11 March 2013

1 1 2 s s  1 s1

 s 0

d  1  1     ds  s  1 s 0 s  12 EL2032 Sinyal dan Sistem

 1 s 0 15

Ilustrasi (3) r1 r2 1 1  2   2 s s 1 s s  1  s

Metode Heaviside

• Kalikan masing-masing ruas dengan s2

1 s2  r1  r2 s  s  1 s 1

r2 1 1  2 2  r1 s 2 s  2    s s 1 s s  1 s

Substitusi s = 0 ke dalam bentuk terakhir didapat r1 = 1 • Diferensialkan bentuk terakhir

d  1  d  s2     r1  r2 s   ds  s  1  ds  s  1

1 2 ss  1  s 2   r2  2 s  1 s  12

Substitusi s = 0 ke dalam bentuk terakhir didapat r2 = -1 11 March 2013


16

Aplikasi dalam Rangkaian Listrik Diberikan rangkaian RL berikut

Tentukan i(t), jika V(t) = 10 sin5t V, R = 4  dan L = 2 H. 11 March 2013


17

Jawab Dari persamaan rangkaian diperoleh

Dengan asumsi terakhir menjadi

11 March 2013

maka bentuk


18

I(s) dapat dituliskan menjadi

Ekspansi Fraksi Parsial dari bentuk di atas adalah

11 March 2013


19

Solusi

11 March 2013


20

Pole kompleks pole kompleks  sinyal sinusoidal Penentuan transformasi Laplace balik : • EFP standar •Metode pemecahan persamaan linier •Metode Heaviside •Metode l’Hospital • Modifikasi fungsi rasional

11 March 2013


21

Ilustrasi Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut :

v  v  0 ; v0  1, v0  v0  0 Jawab : Transformasi Laplace :

s 3V s   s 2  V s   0 s2 s2 V s   3  s  1 s  1 s 2  s  1



11 March 2013


 22

EFP standar s2 s2 Vs  3  s 1 s 1 s2  s 1





r1 r2 s2 s2 Vs  3    2 s 1 s 1 s  s 1 s 1 s  12  j





3 2



r3 s  12  j

3 2

Metode l’Hospital

B1 1 1   ; r2 A1 312 3 2

r1 

11 March 2013

  A

B  12  j 1 2

j

3 2 3 2

    3

1 2

j

3 2

 

j

3 2

1 1 1 s2 3 3 Vs  3  3   1 sSinyal s 1 s EL2032  12dan  Sistem j 23 s  12  j

3 2

1 2

2 2



1 1 ; r3    3 3

23

EFP standar (lanjutan) 1 1 s2 3 3 V s   3   s  1 s  1 s  12  j

3 2



1 3

s  12  j

3 2

1 t 1 12 j 23 t 1 12  j 23 t 1 t 1 12t   j 23t j 23 t  vt  e  e  e  e  e e e   3 3 3 3 3  e j  e  j cos   2  j 23 t j 23 t   1 t 2 12t  e  e  1 t 2 12t vt  e  e  e  e cos 23 t  3 3 3  2 3   11 March 2013


24

Modifikasi Fungsi Rasional s2 V s   s  1 s 2  s  1





EFP

s2  s     2 2 s  1 s  s  1 s  1 s  s  1





Penentuan residu dengan metode Heaviside :

s2   s  1 s  1 s 2  s  1



Substitusi ke EFP :



s 1



1  3

 

1 1 2 s2  s   3 3 s  s 1  s 1s     2  2 s 1 s  s 1 s 1 s  s 1 s 1 s2  s 1

11 March 2013








25

Modifikasi Fungsi Rasional (lanjt.) 

 

1 1 2 s2  s   3 3 s  s 1  s 1s     2  2 s 1 s  s 1 s 1 s  s 1 s 1 s2  s 1







s2  13 s2  13   s  13     23 ;  

1 3

1 2 1 1 2 1 s   s   s2 3 3 3 3 3 2   2   2 2 s  1 s  s  1 s  1 s  s  1 s  1 s  s  1



11 March 2013




26

Modifikasi Fungsi Rasional (lanjt.) 1 2 1 1 2 1 s2 3 3 s 3 3 3 s  2    2   2 2 s  1 s  s  1 s  1 s  s  1 s  1 s  s  1





Modifikasi

Transformasi Laplace :

s

2 3 2

s  12 

2  3  s 1

s Solusi :

11 March 2013

s   2

 2

1  s  2   s  1 2  2 

3 4

   

 e   t cos  t

1 t 2  12 t v t   e  e cos 3 3 EL2032 Sinyal dan Sistem

3 2

t

27

Properness of rational function  Fungsi Rasional Proper :

derajat pembilang  derajat penyebut  Fungsi Rasional Strictly Proper :

derajat pembilang < derajat penyebut  Fungsi Rasional Non Proper

derajat pembilang > derajat penyebut

EFP 11 March 2013

Fungsi Rasional Strictly Proper EL2032 Sinyal dan Sistem

28

EFP Fungsi Rasional Non Strictly Proper Bs b0  b1s  bmsm F s    As a0  a1s  ansn

;mn

Pembagian langsung

Ds  F s   C s   As 

C s   c0  c1s    cm  n s m  n

D s   d 0  d 1 s    d k s k ; k  n c0  c1s    cm  n s m  n  c0   c1    cm  n   m  n 

11 March 2013


29

Ilustrasi 5s  3 F s   s 1

5 

2 s  1

s 3  5s 2 9s  7 Gs  2 s  3s  2

f t   5  2e  t

s3 s2 2 s  3s  2

s3 2 1   2 s  3s  2 s  1 s  2 s3 5s29s 7 2 1 Gs  2  s  2  s 1 s 2 s 3s  2 11 March 2013

t 2t  gt   t 2t 2e e


30

Tugas#5 1. Perhatikan rangkaian berikut

Kapasitor memiliki muatan awal1 mC dan saklar berada di posisi1 cukup lama sampai tercapai kondisi tunak. Saklar dipindahkan ke posisi 2 saat t = 0. Tentukan arus i(t) untuk t > 0. 11 March 2013


31

2. Untuk rangkaian berikut

Jika rangkaian bersifat initially at rest, tentukan arus i2(t).

11 March 2013


32

FUNGSI RASIONAL DAN EKSPANSI FRAKSI PARSIAL (EFP)

Recommend Documents