KONSEP NILAI HARAPAN KUADRAT TENGAH

ROZA AZIZAH PRIMATIKA, M.Si

KONSEP NILAI HARAPAN KUADRAT TENGAH

Pengantar • Salah satu komponen penting dalam perancangan percobaan adalah analisis ragam (anova) • Komponen utama dalam menyusun analisis ragam meliputi: – Jumlah kuadrat untuk setiap komponen dalam model – Derajat bebas untuk setiap komponen dalam model – Uji statistik, yang diturunkan berdasarkan Nilai harapan kuadrat tengah

Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah • Nilai harapan kuadrat tengah memainkan peranan penting dalam analisis ragam • Nilai harapan kuadrat tengah menentukan statistik uji untuk menguji hipotesis setiap parameter dalam model • Uji statistik merupakan rasio nilai harapan kuadrat tengah pembilang (numerator) dengan nilai harapan kuadrat tengah penyebut (denominator)

Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah (Lanjutan) Aturan 1 • Hubungkan setiap pengaruh dengan suatu komponen ragam (pengaruh acak) atau suatu faktor tetap (pengaruh tetap). • Jika interaksi mengandung minimal satu pengaruh acak maka interaksi dianggap acak. • Misal untuk model campuran dengan A tetap dan B acak, maka: – Komponen ragam dari B adalah 2 – Komponen ragam dari interaksi AB adalah 2 – Faktor tetap A direpresentasikan sebagai jumlah kuadrat pengaruh dibagi dengan derajat bebas i2/(a-1).

Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah (Lanjutan) Aturan 2 • Buat tabel dua arah: – Barisnya adalah komponenkomponen dalam model sedangkan – Kolomnya adalah sifat masingmasing faktor (F faktor tetap dan R faktor acak), jumlah taraf setiap faktor, dan indeksnya. – Ulangan selalu dianggap acak.

• Perhatikan model campuran sebelumnya A tetap dan B Acak

i j ()ij (ij)k

F

R

R

a

b

r

i

j

k

• Nilai harapan kuadrat tengah dapat dicari sebagai berikut: – Pada setiap baris, tulis angka 1 untuk setiap indeks mati pada setiap kolom yang indeksnya berpadanan. – Pada setiap baris, jika indeks pada komponen baris berpadanan dengan indeks kolom, tulis 0 jika kolomnya merupakan faktor tetap dan tulis 1 jika kolomnya merupakan faktor acak – Pada setiap baris yang kosong, tulis jumlah taraf sesuai dengan judul kolom yang bersesuaian. – Nilai harapan kuadrat tengah untuk setiap komponen dalam model, langkah pertama perhatikan semua kolom yang berindeks hidup. Selanjutnya, untuk setiap baris yang berisi paling sedikit satu indeks yang bersesuaian, ambil hasil kali unsur sel yang visible dengan faktor acak atau tetap menurut aturan 1. Jumlah besaran ini merupakan nilai harapan kuadrat tengah dari komponen model.

• Kita kembali lihat ilustrasi sebelumnya, A tetap dan B acak

i j ()ij (ij)k

F a i 0 a 0 1

R b j b 1 1 1

R r k r r r 1

• Ilustrasi carilah: – E(KTA) perhatikan indeks i ada pada baris i, ()ij dan (ij)k. Sedangkan hasil kali bilangan visible –nya adalah br, r dan 1. Dengan demikian nilai harapannya adalah:

a

2 E ( KTA)   2  r   br

2   i i 1

a 1

Nilai Harapan Kuadrat Tengah – A Tetap dan B Acak—Tabel 1 F

R

R Nilai Harapan Kuadrat Tengah

a

b

r

i

j

k

i

0

b

r

j

a

1

r

 2  ar 2

()ij

0

1

r

 2  r 2

(ij)k

1

1

1

2

  r  2

2 

br   i2 a 1

Latihan • Susunlah E(KT) untuk : • Dua Faktor : A dan B merupakan faktor tetap • Dua Faktor : A dan B merupakan faktor acak • Dua Faktor : A faktor acak dan B faktor tetap

Nilai Harapan Kuadrat Tengah – A dan B Faktor Tetap—Tabel 2 F

F

R

Nilai Harapan Kuadrat Tengah

a

b

r

i

j

k

i

0

b

r

 

br   i2

j

a

0

r

 

ar   i2

( ))ij

0

0

r

(ij)k

1

1

1

2

2



2



a 1

b 1

r

 

(  ) 2ij

( a  1 )( b  1 )

2

Nilai Harapan Kuadrat Tengah – A dan B Faktor Acak—Tabel 3 F

R

R

Nilai Harapan Kuadrat Tengah

a

b

r

i

j

k

i

1

b

r

 2  r 2  br 2

j

a

1

r

 2  r 2  ar 2

( ))ij

1

1

r

 2  r 2

(ij)k

1

1

1

2

F Tests • Dalam menentukan statistika uji F menyesuaikan dengan struktur nilai harapan kuadrat tengahnya. • Sebagai contoh : percobaan dua faktor dengan A adalah faktor tetap dan B adalah faktor acak. • Maka untuk menguji pengaruh faktor A, Fhit merupakan rasio antara KTA/KTAB • Sedangkan untuk menguji keragaman dari faktor B, Fhit merupakan rasio antara KTB/KTG

ANOVA Percobaan 2 faktor A Tetap dan B Acak – Tabel 4 Sumber keragaman

db

JK

KT

E(KT)

br  i2

Fhit

i

a-1

j

b-1

JKB

KTB

 2  ar 2

KTB/KTG

ij

(a--1)(b(a 1)(b-1)

JKAB

KTAB

  r

KTAB/KTG

(ij)k

ab(r ab(r--1)

JKG

KTG

y(ij)k

abr abr--1

JKT

JKA

KTA

  r  2

2 

2

2

KTA/KTAB

a 1

2 

Pendugaan Parameter 2 ˆ  Pendugaan bagi: 

ε2 diduga dengan KTG E(KTB)  2  ar2

ˆ 2  

KTB  KTG ar

Pendugaan bagi: ˆ 2 E(KTAB)  2  r2 ˆ 2 

KTAB  KTG r

Percobaan Tiga Faktor • Dalam percobaan mixed model atau random model untuk tiga faktor memerlukan penguraian komponen interaksi yang lebih kompleks • Misalkan percobaan acak tiga faktor

Faktor

E(KT)

i

2 + cr2 + br2  + r2  + bcr2 

j

2 + cr2 + ar2  + r2  + acr2 

k

2 + br2 + ar2  + r2  + abr2 

ij

2 + r2 + cr2 

ik

2 + r2 + br2 

jk

2 + r2 + ar2 

ijk

2 + r2 

ijkl

2