ANALISIS PERANCANGAN PERCOBAAN 2 MATERI 3: KONSEP NILAI HARAPAN KUADRAT TENGAH

ANALISIS PERANCANGAN PERCOBAAN 2 MATERI 3: KONSEP NILAI HARAPAN KUADRAT TENGAH

Pengantar 



Salah satu komponen penting dalam perancangan percobaan adalah analisis ragam (anova) Komponen utama dalam menyusun analisis ragam meliputi:   

Jumlah kuadrat untuk setiap komponen dalam model Derajat bebas untuk setiap komponen dalam model Uji statistik, yang diturunkan berdasarkan Nilai harapan kuadrat tengah

Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat 

Aturan 1 



Komponen error dalam model, ijk…m, dituliskan (ijk…)m, dimana m merupakan indeks ulangan. Misal dalam rancangan dua faktor, komponen error dituliskan (ij)k.

Aturan 2 

Disamping komponen rataan umum (µ) dan error ((ijk…)m), model juga memuat semua pengaruh utama dan semua interaksi yang diasumsikan ada oleh peneliti. Jika semua interaksi yang mungkin diantara k faktor ada maka ada sebanyak C52 interaksi dua faktor, sebanyak C53 interaksi tiga faktor, …., 1 interaksi k faktor. Jika ada komponen dalam tanda kurung maka tidak ada interaksi antara faktor tersebut dengan faktor yang lain dalam konteks tersebut.

Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat (Lanjutan) 

Aturan 3 

Untuk setiap komponen dalam model dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu: Indeks Hidup, yaitu indeks yang ada dalam suatu komponen dan ditulis bukan dalam tanda kurung  Indeks Mati, yaitu indeks yang ada dalam suatu komponen dan ditulis dalam tanda kurung  Absen, yaitu indeks yang tidak ada dalam suatu komponen 



Contoh ()ij, i dan j termasuk indeks hidup dan k absen; (ij)k, k adalah indeks hidup sedangkan i dan j indeks mati

Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat (Lanjutan) 

Aturan 4 Derajat bebas untuk setiap komponen dalam model adalah hasil kali dari jumlah taraf setiap indeks mati dan jumlah taraf minus satu setiap indeks hidup.  Contoh derajat bebas dari komponen()ij adalah (a1)(b-1); derajat bebas dari (ij)k adalah ab(r-1) 

Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat (Lanjutan) 

Aturan 5 



Untuk memperoleh jumlah kuadrat untuk setiap pengaruh, pertama jabarkan derajat bebasnya. Misal untuk pengaruh j derajat bebasnya b-1. Setiap komponen dalam besaran tersebut merupakan bentuk simbolik dari jumlah kuadrat tidak terkoreksi. Selanjutnya lakukan prosedur berikut: 

Simbol 1 merepresentasikan faktor koreksi, yaitu: a

1

b

r

( ... y(ijk ...)m ) 2 i 1 j 1

m 1

ab...r

Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat (Lanjutan) 



Susun notasi penjumlahan sehingga huruf yang diinginkan (misal dalam konteks ini adalah b) ditulis paling pertama, selanjutnya diikuti oleh komponen yang lain dalam tanda kurung. Sehingga untuk b diperoleh: Jumlah dalam tanda kurung tulis dalam notasi “indeks titik (dot subscript)”, dimana titik menggantikan jumlah dari indeks yang digantikan. Sehingga

 a r    y(ij ) k   j 1  i 1 k 1  b

 y  b

j 1

. j.

Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat (Lanjutan) 



Selanjutnya kuadratkan komponen dalam tanda kurung dan dibagi dengan hasil kali dari jumlah taraf dari indeks “titik”. Misal simbol b menjadi

Dengan demikian jumlah kuadrat untuk pengaruh j yaitu gantikan simbol b-1 dengan bentuk jumlah kuadratnya, sebagai berikut:

b

y.2j .

j 1

ar



y.2j.

y...2 JKB    abr j 1 ar b



Carilah jumlah kuadrat interaksi ()ij, derajat bebas, (a-1)(b-1)=ab-a-b+1 





Simbol 1, Simbol a Simbol b

2

 a b r      yijk    y...2 i 1 j 1 k 1   1  abr abr 2

 b r     yijk     i 1  j 1 k 1   a br a

2

 a r     yijk   j 1  i 1 k 1   b ar b

Simbol ab

Jumlah kuadrat interaksi A dan B (JKAB)

i 1

JKAB 

b

  yij2. i 1 j 1

r

2 i ..

br b

y

2 . j.

j 1

ar

2

b

a



y

 r    yijk    i 1 j 1  k 1   ab  r a



a

a

b

 y i 1 j 1

r b

a



y i 1

br

2 ij .

2 i ..



y j 1

ar

2 . j.

y...2  abr

Latihan 

Perhatikan percobaan Faktorial RAL yang melibatkan 3 faktor dan r ulangan. Tuliskan model liniernya  Uraikan derajat bebas untuk setiap pengaruh yang ada dalam model  Uraikan jumlah kuadrat untuk setiap pengaruh yang ada dalam model 

Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah  



Nilai harapan kuadrat tengah memainkan peranan penting dalam analisis ragam Nilai harapan kuadrat tengah menentukan statistik uji untuk menguji hipotesis setiap parameter dalam model Uji statistik merupakan rasio nilai harapan kuadrat tengah pembilang (numerator) dengan nilai harapan kuadrat tengah penyebut (denominator)

Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah (Lanjutan) 

Aturan 1 

Hubungkan setiap pengaruh dengan suatu komponen ragam (pengaruh acak) atau suatu faktor tetap (pengaruh tetap). Jika interaksi mengandung minimal satu pengaruh acak maka interaksi dianggap acak. Misal untuk model campuran dengan A tetap dan B acak, maka komponen ragam dari B adalah 2, komponen ragam dari interaksi AB adalah 2, sedangkan untuk faktor tetap A direpresentasikan sebagai jumlah kuadrat pengaruh dibagi dengan derajat bebas i2/(a-1).

Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah (Lanjutan) 

Aturan 2 



Buat tabel dua arah, barisnya adalah komponen-komponen dalam model sedangkan kolomnya adalah sifat masingmasing faktor (F faktor tetap dan R faktor acak), jumlah taraf setiap faktor dan indeksnya. Ulangan selalu dianggap acak. Perhatikan model campuran sebelumnya A tetap dan B Acak

i j ()ij (ij)k

F

R

R

a

b

r

i

j

k



Nilai harapan kuadrat tengah dapat dicari sebagai berikut:  

 

Pada setiap baris, tulis angka 1 untuk setiap indeks mati pada setiap kolom yang indeksnya berpadanan. Pada setiap baris, jika indeks pada komponen baris berpadanan dengan indeks kolom, tulis 0 jika kolomnya merupakan faktor tetap dan tulis 1 jika kolomnya merupakan faktor acak Pada setiap baris yang kosong, tulis jumlah taraf sesuai dengan judul kolom yang bersesuaian. Nilai harapan kuadrat tengah untuk setiap komponen dalam model, langkah pertama perhatikan semua kolom yang berindeks hidup. Selanjutnya, untuk setiap baris yang berisi paling sedikit satu indeks yang bersesuaian, ambil hasil kali unsur sel yang visible dengan faktor acak atau tetap menurut aturan 1. Jumlah besaran ini merupakan nilai harapan kuadrat tengah dari komponen model.



Kita kembali lihat ilustrasi sebelumnya, A tetap dan B acak

i j ()ij (ij)k

F a i 0 a 0 1

R b j b 1 1 1

R r k r r r 1



Ilustrasi carilah: 

E(KTA) perhatikan indeks i ada pada baris i, ()ij dan (ij)k. Sedangkan hasil kali bilangan visible –nya adalah br, r dan 1. Dengan demikian nilai harapannya adalah:

a

2 E ( KTA)   2  r   br

2   i i 1

a 1

Nilai Harapan Kuadrat Tengah – A Tetap dan B Acak—Tabel 1 F

R

R

Nilai Harapan Kuadrat Tengah

a

b

r

i

j

k

i

0

b

r

j

a

1

r

 2  ar 2

()ij

0

1

r

 2  r 2

(ij)k

1

1

1

2

  r   2

2

br  i2 a 1

Pendekatan Lain: Aturan NHKT 

Aturan 1 

Perhatikan Model linearnya.

Yijk     i   j   ij   (ij ) k , i  1,2...a, j  1,2...b, k  1,2..n Yijk  pengamatan pada petak dengan kombinasi faktor A yang ke - i, B yang ke - j dan ulangan ke - k

  parameter nilai tengah   parameter faktor A yang ke - i  j  parameter faktor B yang ke  j

 ij  parameter interaksi faktor A yang ke - i dengan faktor B yang ke - j

 ij(k)  parameter acak atau galat di petak dengan kombinasi faktor A yang ke - i, B yang ke - j dan ulangan ke - k



Komponen galat selalu diasumsikan komponen acak.

Aturan NHKT (Lanjutan) 

Aturan 2 Interaksi antara dua faktor/pengaruh atau lebih: jika interaksi mengandung minimal satu pengaruh/faktor acak maka interaksi dianggap acak.  Misal untuk model campuran dengan A tetap dan B acak, maka 

faktor B, acak,  2,  interaksi AB, acak, salah satunya acak,  2  sedangkan untuk faktor tetap A direpresentasikan sebagai jumlah kuadrat pengaruh dibagi dengan derajat bebas i2/(a-1). 

Aturan NHKT (Lanjutan) 

Aturan 3 

NHKT dari setiap komponen mengandung unsur: 1. 2.

3.



Ragam galat Ragam „diri‟ bila faktornya acak atau jumlah kuadrat „diri‟ bila faktornya tetap Ragam interaksi „diri‟ dengan faktor-faktor lain yang acak

Dari model pada Aturan 1, misalkan faktor A tetap, faktor B acak, maka 

NHKT untuk komponen A akan mengandung: 1. 2. 3.



Ragam Galat Jumlah kuadrat A, karena faktor A tetap Ragam interaksi AB, karena faktor B acak

NHKT untuk komponen B akan mengandung: 1. 2.

Ragam Galat Ragam B

Aturan NHKT (Lanjutan) 

Aturan 4 

Koefisien Unsur NHKT dari setiap komponen 1. 2.



Untuk contoh di aturan 3, maka koefisennya sbb: 1. 2. 3.



Koefisien Unsur ragam galat selalu 1. Koefisien Unsur lainnya didapatkan dari hasil perkalian setiap taraf dari indek absen Unsur Ragam Galat, 1 Unsur Jumlah Kuadrat A,  i , indeks absen jk, jadi bn Unsur Ragam interaksi AB,  ,ij indeks absen k, jadi n

Jadi NHKT komponen A atau NHKT(A) atau E(KTA) adalah 2 bn  i2 2   n  

a 1

Latihan   



Susunlah E(KT) untuk : Dua Faktor : A dan B merupakan faktor tetap Dua Faktor : A dan B merupakan faktor acak Dua Faktor : A faktor acak dan B faktor tetap

Nilai Harapan Kuadrat Tengah – A dan B Faktor Tetap—Tabel 2 F

F

R

Nilai Harapan Kuadrat Tengah

a

b

r

i

j

k

i

0

b

r

 

br  i2

j

a

0

r

 

ar   i2

()ij

0

0

r

(ij)k

1

1

1

2

2



2



a 1

b 1

r   ( ) 2ij (a  1)(b  1)

2

Nilai Harapan Kuadrat Tengah – A dan B Faktor Acak—Tabel 3 F

R

R

Nilai Harapan Kuadrat Tengah

a

b

r

i

j

k

i

1

b

r

 2  r 2  br 2

j

a

1

r

 2  r 2  ar 2

()ij

1

1

r

 2  r 2

(ij)k

1

1

1

2

F Tests 







Dalam menentukan statistika uji F menyesuaikan dengan struktur nilai harapan kuadrat tengahnya. Sebagai contoh : percobaan dua faktor dengan A adalah faktor tetap dan B adalah faktor acak. Maka untuk menguji pengaruh faktor A, Fhit merupakan rasio antara KTA/KTAB Sedangkan untuk menguji keragaman dari faktor B, Fhit merupakan rasio antara KTB/KTG

ANOVA Percobaan 2 faktor A Tetap dan B Acak – Tabel 4 Sumber keragaman

db

JK

KT

i

a-1

j

b-1

JKB

KTB

ij

(a-1)(b-1)

JKAB

KTAB

(ij)k

ab(r-1)

JKG

KTG

y(ij)k

abr-1

JKT

JKA

KTA

E(KT)

  r   2

2

br  i2

KTA/KTAB

a 1

 2  ar 2  2  r 2

2

Fhit

KTB/KTG KTAB/KTG

Pendugaan Parameter Pendugaan bagi ˆ: 2 diduga dengan KTG E(KTB) = 2 + ar 2 ˆ  = (KTB – KTG) / ar 2

2

Pendugaan bagi ˆ E(KTAB) = 2 + r 2 ˆ  = (KTAB – KTG)/r 2

2

Percobaan Tiga Faktor 



Dalam percobaan mixed model atau random model untuk tiga faktor memerlukan penguraian komponen interaksi yang lebih kompleks Misalkan percobaan acak tiga faktor

Faktor

E(KT)

i

2 + cn2 + bn2  + n2  + bcn2 

j

2 + cn2 + an2  + n2  + acn2 

k

2 + bn2 + an2  + n2  + abn2 

ij

2 + n2 + cn2 

ik

2 + n2 + bn2 

jk

2 + n2 + an2 

ijk

2 + n2 

ijkl

2

Approximate F test Menggunakan Metode Satterthwaite  merupakan kombinasi linear dari kuadrat tengah Misal : KT‟ = KTr + … + KTs KT‟‟ = KTu + … + KTv Fhit = KT‟ / KT‟‟ dengan db (p,q) ( KTr  ...  KTs ) p KTr / dbr  ...  KTs / dbs 2

( KTu  ...  KTv ) 2 q KTu / dbu  ...  KTv / dbv

 

   

Misal dilakukan pengujian terhadap : H0 : 2 = 0

KT „ = KTA + KTABC KT‟‟ = KTAB + KTAC Fhit = (KTA + KTABC)/(KTAB + KTAC) dengan db1 = p dan db2 = q

Latihan 

Carilah pendekatan ujinya untuk menguji hipotesis berikut:    



H0 : 2 = 0 H0 : 2 = 0 H0 : 2 = 0 H0 : 2  = 0

Carilah E(KT) dan pendekatan ujinya dari percobaan berikut:  

Tiga faktor: A dan B acak serta C tetap Tiga faktor: A dan B tetap serta C acak