Sistem Informasi
Universitas Mercu Buana
1
BILANGAN
1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN
Bilangan Kompleks
Bilangan Nyata (Riil)
Bilangan Khayal (Imajiner)
Bilangan Rasional
Bilangan Irrasional
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat
Bilangan Bulat Negatif
Nol
Bilangan Bulat Positif
1.2 BILANGAN BULAT
Himpunan yang pertama-tama kita kenal adalah himpunan bilangan bulat positif (himpunan bilangan asli/bilangan alam). Yaitu 1, 2, 3, 4, ……..Pada bilangan asli kita dapat lakukan operasi-operasi dasar yaitu penjumlahan dan perkalian.
Matematika Dasar – Modul 1 / Bilangan
1
Sistem Informasi
Universitas Mercu Buana
Definisi : Jika a dan b bilangan asli, maka ada suatu bilangan asli yang ditulis sebagai a + b yang merupakan jumlah dari a dan b. Juga ada suatu bilangan asli a x b (atau ditulis sebagai a.b atau ab yang merupakan hasil kali dari a dan b.
Sifat-sifat bilangan asli N : (1) Sifat tertutup : N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena jumlah hasil kali dari setiap 2 bilangan asli merupakan bilangan asli pula, ditulis untuk setiap n1, n2 ∈ N ∋ (n1 + n2) ∈ N dan (n1.n2) ∈ N. (2) Sifat komutatif : Untuk setiap n1, n2 ∈ N berlaku n1 + n2 = n2 + n1 dan n1n2 = n2n1 (komutatif penjumlahan dan komutatif perkalian) (3) Sifat assosiatif : Untuk setiap n1, n2, n3 ∈ N, berlaku (n1 + n2) + n3 = n1 + ( n2 + n3 ) dan (n1n2) n3 = n1 (n2n3) (4) Sifat Modulus : Untuk setiap bilangan asli n ∈ N berlaku n + 0 = 0 + n = n dan n x 1 = 1 x n = n (5) Sifat Distributif : Untuk setiap n1, n2, n3 ∈ N berlaku : (n1 + n2) n3 = n1n3 + n2n3 n1 (n2 + n3) = n1n2 +n1n3
Catatan : Gabungan dari hmpunan bilangan asli N dan bilangan nol, yaitu N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, …} di sebut himpunan bilangan cacah.
Definisi :
Sebuah bilangan x disebut negatif dari bilangan asli a, apabila berlaku a + x = x + a = o ditulis x = -a.
Himpunan dari semua bilangan negatif di atas , disebut himpunan bilnagn bulat negatif atau {x | x + n = n + x = 0, n ∈ N }. I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….} disebut himpunan bilangan bulat (integer). Semua sifat (1) s/d (5) berlaku untuk I Matematika Dasar – Modul 1 / Bilangan
2
Sistem Informasi
Universitas Mercu Buana
Definisi : Jika a,b, c adalah bilangan bulat, serta berlaku ab = c maka adan b diseebut faktor-faktor (pembagi-pembagi) dari c, sedangkan c disebut kelipatan dari a dan dari b.
Definisi : Suatu bilangan a disebut genap, bila salah satu faktor dari a adalah bilangan 2, atau {2x | x ∈ I}. Bilangan yang bukan genap disebut bilangan ganjil = {2x + 1| x ∈ I}.
Definisi : Suatu bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan itu bukan bilangan 1 (satu), serta bukan bilangan majemuk. Atau dengan perkataan lain : Suatu bilangan asli kecuali 1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri.
1.3. BILANGAN PECAHAN DAN BILANGAN-BILANGAN LAINNYA Definisi : a ≠ 0 bilangan bulat, maka terdapat suatu bilangan 1/a, sedemikian sehingga a. 1/a = 1. Bilangan 1/a disebut kebalikan (invers) dari a, ditulis juga 1/a = a-1.
Definisi : Operasi pembagian. Jika a dan b bilangan bulat, b ≠ 0 maka terdapat sebuah bilangan a / b = a.1/b yang disebut hasil bagi dari a oleh b.a disebut pembilang, b disebut penyebut. Kalau a/b bukan suatu bilangan bulat, maka ia disebut bilangan pecahan. 2 Sebagai akibat operasi perkalian, kita dapatkan operasi perpangkatan dan pengakaran. Bilangan x disebut pangkat n dari bilangan a, bila berlaku x = a a a…a ditulis juga x = an
Matematika Dasar – Modul 1 / Bilangan
3
Sistem Informasi
Universitas Mercu Buana
Bilangan x disebut juga bilangan akar n dari bilangan a bila berlaku a = x x x…x atau a = xn 2 Bilangan pecahan dapat ditulis desimal, Uraian deesimalnya selalu berakhir atau berulang. Misalnya : ½ = 0,5 (artinya ½ = 0 + 5/10). 21/50 = 0,42 (artinya 21/50 = 0 + 4/10 + 2/100) 2/7 = 0,285714285714 ….(angka 285714 berulang). 2 Gabungan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan disebut himpunan bilangan rasional Q. Kita dapat mendefinisikan bilangan rasional sebagai bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Bilangan Irrasional (nonrasional) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari 2 buah bilangan bulat, atau uraian deesimalnya tidak pernah berulang. Contoh : (2)1/2 = 1,4142…. π
= 3,1415…..
e
= 2,7182…..(Bilangan Euler yang merupakan bilangan pokok
logaritma natural)
Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut himpunan bilangan nyata (riil) R, atau R#. Bilangan yang mengandung satuan khayal i disebut bilangan khayal (imajiner), dimana i = (-1)1/2 (satuan khayal i.i = i2 = -1). Bentuk umumnya ai, a, ∈ R#. Misalnya : 54i, -2i, i(2)1/2 dan lain-lain.
1.4. BILANGAN NYATA (RIIL) Gabungan himpunan bilangan rasional dengan bilangan irrasional disebut bilangan nyata (riil) R. Bilangan yang mengandung faktor satuan khayal i disebut bilangan khayal (Imajiner), dimana i = (-1 (satuan khayal, i*i = i2 = 1). Misalnya 54i, -2i, i(2), dan lain-lain.
Matematika Dasar – Modul 1 / Bilangan
4
Sistem Informasi
Universitas Mercu Buana
Titik-titik di sebelah kanan 0 menyatakan bilangan positif, disebelah kiri o menyatakan bilangan negatif. Tentukan satuannya (unit). Garis tersebut disebut garis bilangan riil.
1.6 PERTIDAKSAMAAN Definisi : a bilangan Riil, a > 0 ( a positif a < 0 ( a negatif.
(↔) : jika dan hanya jika, artinya berlaku baik dibaca dari arah kiri maupun kanan ; jadi bila dibaca : jika a > 0 maka a positif, dan bila a positif berarti a > 0). Kemudian apabila a dan b bilangan riil maka: a>b↔a–b>0 a
b↔b
Pada garis bilangan a > b maka a terletak disebelah kanan b. Notasi : a ≤ b, artinya a lebih kecil atau sama dengan b.
Sifat-sifat : (1) Jika a, b ∈ R, maka salah satu dari pernyataan ini benar : (i)
a>b
(ii)
a
(iii)
a=b
(2) Jika a > 0 dan b > 0, maka a + b > 0 ab > 0 (3) Sifat transitif : Bila a < b dan b < c maka a < c atau bila a > b dan b > c maka a > c (4) Jika a > b dan c bilangan riil sebarang, maka a + b > b+ c. (5) Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d. (6) a > 0 jika dan hanya jika (-a) < 0 a < 0 jika dan hanya jika (-a) > 0 (7) Jika a > 0 dan b < 0 maka ab < 0 Matematika Dasar – Modul 1 / Bilangan
5
Sistem Informasi
Universitas Mercu Buana
a < 0 dan b < 0 maka ab > 0 a > 0 dan b > 0 maka ab > 0 (8) Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc
Contoh : Selesaikan pertidaksamaan x2 – 5x – 24 ≤ 0 Jawab : Harga nol dari x2 – 5x – 24 = 0 adalah x1 = 8, x2 = -3 Sebut x2 – 5x – 24 = y y ≤ 0 untuk –3 ≤ x ≤ 8 y ≥ 0 untuk x ≤ -3 atau x ≤ 8 Jadi jawab pertidaksamaan adalah nilai-nilai yang memenuhi –3 ≤ x ≤ 8 atau dapat ditulis sebagai himpunan (x | –3 ≤ x ≤ 8 ). Interval (selang) : Bilangan a dan b adalah bilangan Riil dan a < maka himpunan bagian dari R#. A1 = { x | a < x < b }
Interval buka.
A2 = { x | a ≤ x < b }
Interval tutup-buka.
A3 = { x | a ≤ x ≤ b }
Interval tutup.
A4 = { x | a < x ≤ b }
Interval buka-tutup
Interval-interval tak hingga A = { x | x < a } = { x | -~ < x < a } = ( -~, a )
B = { x | x > a } = { x | a < x < ~ } = (a, +~ ) C = { x | x ≤ a } = { x | -~ < x ≤ a } = ( -~, a ) D = { x | x ≥ a } = { x | a ≤ x < ~ } = (a, +~ ) Matematika Dasar – Modul 1 / Bilangan
6
Sistem Informasi
Universitas Mercu Buana
E = { x | x ∈ R# } = { x | -~ < x < +~ } = (-~, +~ ) Dimana a suatu bilangan Riil, A, B, C, D dan E disebut interval tak hingga.
Operasi pada interval : Diketahui A = [-3, 1] dan B = [-1, 2] Maka A ∪ B = [ -3, 2 ], A ∩ B = [-1, 1 ], A – B = [-3, -1]
1.7. HARGA MUTLAK Harga mutlak (absolut) dari suatu bilangan Riil didefinisikan sebagai : bila a ≥ 0 |a|= -a bila a < 0 Misalnya : |3| = 3, karena 3 ≥ 0 |-2| = - (-2) = 2 karena –2 < 0 |√ 3 - 2| = -(√ 3 - 2) = 2 - √ 3 , karena (√ 3 - 2) < 0
Sifat-sifat harga mutlak : Jika a, b ∈ R#, maka : (1)| a | ≥ 0; (2)| -a | = | a |; (3)√ a2 = | a |; (4)| a | < b jika dan hanya jika –b < a < b, dimana b > 0; (5)| a | > b jika dan hanya jika a < -b atau a > b; (6)| a ± b | = | b ± a |; (7)| a b | = | a | | b |; (8) | a/b | = | a | dimana b ≠ 0 |b| (9)
| (a + b) | ≥ | a | - | b |;
(10)
| a + b | ≤ | a | + | b |;
(11)
| a – b | ≥ | a| - | b|;
(12)
| a – b | ≤ | a | + | b |;
Matematika Dasar – Modul 1 / Bilangan
7
Sistem Informasi
Universitas Mercu Buana
Contoh : | 2x + 3 | < 7 Berarti : -7 < 2x + 3 < 7 -10 < 2x < 4 -5 < x < 2
LATIHAN SOAL-SOAL & PEMECAHANNYA :
1. Nyatakan a = 0,371371371…….(371 berulang) sebagai hasil bagi 2 bilangan bulat, yang mana berarti a merupakan bilangan rasional. Jawab : Penyelesaian : 1000 a = 371,371371371…. a = 0,371371371….
999 a = 371,0 Berarti a = 371 / 999 2. Buktikan bahwa √ 2 + √ 3
bukan bilangan rasional.
Jawab : Penyelesaian : Jika x = √ 2 + √ 3 maka x2 – 5 = 2 √ 6 ; dikuadratkan : x4 - 10x2 + 1 = 0 Kalau mempunyai akar rasional haruslah ± 1. Kalau diperiksa ternyata bukan akar. Jadi tidak punya akar rasional, yang mana berarti √ 2 + √ 3 tidak rasional. 3. Bila a ≥ 0, b ≥ 0, buktikan ½ (a + b) ≥ √ a b Jawab : Penyelesaian : (√ a - √ b)2 ≥ 0, (bentuk kuadrat selalu positif) atau : a–2√ab
+
b ≥ 0 Æ a + b ≥ 2 √ a b (terbukti)
-------------------------Matematika Dasar – Modul 1 / Bilangan
8
