HUBUNGAN ANTARA BILANGAN PRIMA DAN GRUP POS Muhammad Abduh 1* , Sri Gemawati 2 , Asli Sirait 2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia *
[email protected] ABSTRACT
Group perfect order subset (POS) is a group that is characterized by the number elements in the group having the same order that divides the group order. This article discusses the relationship between the properties of the POS group to the number of elements related to prime numbers which have a positive power order of the group POS. Keywords: group, order group, perfect order subset group, prime numbers. ABSTRAK Grup perfect order subset (POS) merupakan grup hingga yang berkarakteristik banyak elemen di grup yang mempunyai orde sama membagi orde grupnya. Artikel ini membahas tentang suatu hubungan antara sifat-sifat pada grup POS terhadap jumlah elemen-elemen yang berkaitan dengan bilangan prima yang merupakan orde berpangkat positif dari grup POS.
Kata Kunci: grup, orde grup, grup perfect order subset, bilangan prima. 1. PENDAHULUAN Teori bilangan merupakan salah satu cabang tertua dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat. Sebagian besar matematika Yunani banyak diilhami dari Babilonia dan Mesir Kuno karena ditempat tersebut Pythagoras (salah satu tokoh matematika Yunani yang terkenal) dan murid-muridnya mendapatkan informasi inti tentang sifat-sifat bilangan bulat dan teori dasar. Pengetahuan tentang kehidupan Pythagoras hanya sedikit yang bisa dijelaskan secara pasti. Pythagoras diperkirakan lahir antara 580-562 SM di pulau Aegean, Samos. Menurut riwayatnya, Pythagoras melakukan perjalanan belajar ke Mesir hingga jauh ke timur menuju Babilonia lalu kembali ke Yunani. Setelah mengembara, Pythagoras mencari tempat yang cocok untuk membuat sekolah sampai akhirnya terhenti di Croton, sebuah pemukiman Yunani yang makmur dekat dengan Italia. Sekolah tersebut Repository FMIPA
1
terkonsentrasi pada empat subjek penelitian yaitu: Aritmatika (teori bilangan, namun bukan seni menghitung), Harmoni (musik), Geometri dan Astrologi. Khusus teori bilangan, Pythagoras banyak mengembangkan sifat-sifat bilangan bulat salah satunya pada bilangan prima [1, h. 13]. Bilangan prima merupakan salah satu materi penting pada bidang teori bilangan sebagai elemen himpunan bagian dari himpunan bulat positif. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif > 1 yang hanya memiliki dua faktor yaitu satu dan bilangan itu sendiri, sedangkan bilangan lainnya disebut bilangan komposit [1, h. 39]. Dalam bidang teori bilangan, bilangan prima sering menjadi topik pembahasan utama, diantaranya tentang membedakan bilangan prima dan komposit, merumuskan bilangan prima, menentukan banyaknya suku-suku barisan bilangan prima dan lain-lain. Struktur Aljabar merupakan suatu kajian tersendiri dari bidang Aljabar yang sering banyak digunakan untuk mempelajari kajian lain di dalam Matematika. Materi yang mendasar dalam Struktur Aljabar adalah Grup, grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Salah satu diantaranya banyak berperan adalah Grup Hingga. Pada grup hingga dapat diselidiki orde elemen dari grup dan jenis grupnya, salah satu jenis grup adalah grup yang memiliki subset dengan orde sempurna (Perfect Order Subset groups) yang selanjutnya akan disebut grup perfect order subset atau grup POS. Dalam artikel ini pembahasan dimulai dengan memperkenalkan tetang grup. Kemudian dilanjutkan dengan definisi grup POS. Pada bagian akhir membahas tentang hubungan antara bilangan prima dan grup POS, yang orde grupnya berkaitan dengan bilangan prima, yang juga merupakan review dari artikel Carrie E. Finch dan Lenny Jones yang berjudul ”A curious connection between Fermat numbers and Finite Grups”, 2002 [2]. 2. GRUP Suatu grup adalah suatu sistem aljabar dengan satu operasi. Misalnya suatu grup bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan (tidak dengan operasi perkalian) atau sebaliknya. Misalkan G adalah grup dan (*) adalah operasi G, suatu grup G dengan operasinya biasa disimbolkan dengan G ,* . Grup merupakan suatu sistem aljabar yang tertutup, bersifat asosiatif, yang setiap anggotanya memiliki elemen identitas dan balikan/invers [3, h. 45-46]. Banyak elemen pada suatu grup G disebut orde dari grup G, yang dilambangkan dengan |G|. Grup disebut Grup Hingga apabila |G| terhingga/finite, dan apabila |G| tak terhingga maka disebut Grup tak Hingga. Definisi 1 [4, h. 84] Misalkan G adalah grup dengan operasi *, maka G dikatakan grup komutatif atau grup abelian, jika operasinya * adalah komutatif, yaitu
x y y x,
untuk semua x, y pada G.
Dalam tulisan ini, G marupakan grup abelian hingga dan
Zm
t
menyatakan
Z m Z m . t faktor
Definisi 2 [4, h. 84] Misalkan G adalah grup dengan operasi (*), G memiliki elemen identitas, yaitu terdapat elemen e G dengan x * e e * x x untuk setiap x G. Repository FMIPA
2
Definisi 3 [5, h. 198] Misalkan G adalah grup, dengan e elemen identitas dan x G. Elemen x dikatakan memiliki orde jika xk e dengan k adalah bilangan bulat positif terkecil. Orde elemen dinotasikan dengan | |. Definisi 4 [2] Misalkan x G, didefinisikan order subset ( ) di G yang ditentukan oleh x adalah himpunan semua elemen di G yang mempunyai orde sama dengan x, dinotasikan dengan OS x y G :| y || x |.
Definisi 5 [2] Grup G dikatakan memiliki perfect order subsets (POS) jika banyak dari elemen pada setiap order subset (OS) dari G merupakan pembagi dari |G|. Contoh 1 Misalkan G Z 2 Z3 dengan |G|=6, maka akan ditentukan bahwa G memiliki POS: Z 2 {0,1} Z 3 {0,1, 2}
Z 2 Z 3 ( x1 , x2 ) : x1 Z 2 , x2 Z 3 ,
hasilnya dibentuk dalam Tabel 1 sebagai berikut: Tabel 1 Grup × Elemen Jumlah dengan Orde Order subset 1 1 2 1 3 2 6 2 Dapat dilihat pada Tabel 1 bahwa G memiliki POS. Dilihat pada Z3 memiliki dua elemen dengan order 3, ini membuat Z3 bukan perfect order subsets. Dapat dilihat pada Contoh 1 bahwa suatu grup dikatakan grup POS maka tidak harus memiliki subgrup yang POS juga. 3. HUBUNGAN ANTARA BILANGAN PRIMA DAN GRUP POS Misalkan p adalah bilangan prima ganjil, setiap elemen dari Z p (selain identitas) memiliki orde p dan orde dari tiap elemen grup hingga membagi orde grup, Teorema Lagrange [5, h. 241], maka Z p tepat memiliki p 1 elemen dengan orde p sehingga
Z p tidak memiliki POS karena jumlah OS Z p yaitu p 1 tidak membagi orde Z p
yaitu p. Misalkan C adalah grup siklik dengan |C| suatu pangkat positif prima ganjil p , maka jelas C memuat satu subgrup berorde p , maka C memiliki p 1 elemen berorde p , sehingga C tidak memiliki POS.
Repository FMIPA
3
Proposisi 6 [2] Misalkan G memiliki POS dan p adalah bilangan prima yang membagi |G|, maka p 1 membagi |G|. Bukti. Pada bukti ini, dihitung banyak elemen G berorde p. Berdasarkan Teorema Dasar Grup Abelian Hingga [5, h. 293], misalkan G C1 C2 Ct M , dimana p tidak membagi |M| dan setiap Ci adalah grup siklik dengan | Ci | adalah suatu pangkat positif dari p. Setiap elemen G dapat dianggap t 1 tuple. Suatu elemen yang ordenya kurang atau sama dengan p yang memiliki identitas dari M dientri pada posisi t 1 tuple. Setiap entri yang lainnya harus menjadi suatu elemen yang berorde p pada grup secara berurutan. Pasangan berurut akan memiliki orde p di G, kecuali bila terdapat identitas pada setiap entri. Akibatnya total elemen yang berorde p di G adalah:
p t 1 p 1 p t 1 p t 1 1 ,
karena G memiliki POS, kesimpulan proposisi mengikuti. Akibat 7 [2] Misalkan G memiliki POS dan nontrivial, maka |G| adalah genap.
∎
Bukti. Proposisi 6 memberikan batasan pada jumlah grup memiliki POS, karena ( − 1) adalah genap membagi |G|, maka |G| juga genap. ∎
Lema 8 [2] Misalkan a , b , dan t adalah bilangan bulat positif dengan b a dan jika
t
G Z pa , dimana p adalah prima, maka banyak elemen di G dengan orde p b adalah p b 1 p t 1 . t
Bukti. Berkaitan dengan Proposisi 6, diketahui bahwa elemen sebarang dari G sebagai suatu t-tuple, dimana tiap entri adalah suatu elemen dari Z pa . Elemen dari G berorde p b harus memiliki suatu elemen berorde p b sebagai entri sekurang-kurangnya satu pada posisi-t. Dalam menghitung elemen-elemen tersebut secara sistematis, pertama dihitung banyak tuple dengan elemen berorde p b pada posisi pertama, diikuti oleh elemenelemen yang berorde p b pada posisi t 1 berikutnya. Banyak elemen berorde p b pada Z pa adalah banyak pembangun dari subgrup siklik tunggal dari Z pa dengan orde
pb . Banyak elemen tersebut adalah p b p b p b 1 , dimana adalah fungsi Euler
[6, h. 356-357]. Ini untuk menentukan banyak pilihan untuk posisi pertama pada ttuple. Misalkan beberapa elemen Z pa dengan orde p b pada posisi t 1, dan ini tepat satu subgrup berorde pc untuk setiap c b (tiap yang memiliki p c pembangun), ini adalah Repository FMIPA
4
1 p 1 p
p p p p
1 p p 2 p b 1 p b 2
b 1
b2
b
p b 1 p b ,
pilihan untuk setiap posisi tersebut, banyaknya adalah
p . b 1
pb
t
Demikian untuk elemen-elemen tersebut di G. Berikutnya, dihitung tuples berorde kurang dari p b pada urutan pertama, suatu elemen yang tepat p b pada urutan kedua, dan suatu elemen dari Z pa dengan orde p b pada urutan t 2. Ini menghasilkan 1 p p 2 p b 1
sebagai pilihan untuk urutan pertama, p pilihan untuk posisi kedua, diikuti oleh 1 p 1 p 2 p p b 1 p b 2 p b 1 , b
pb
pilihan untuk berikutnya pada urutan t 2. Hasil ini, adalah
p
p b 1 p b
b
t 2
,
elemen-elemen di G. Proses berikutnya, hitung elemen dengan entri yang dimulai dangan tuple yang memiliki orde p b , tepat satu entri dari orde pb , dan kemudian entri yang berorde
p b . Perhitungan total elemen dihasilkan dengan suatu ekspresi untuk total banyak elemen yang berorde p b di G :
p
pb
b
t 1
p p p p p p p p p p 1 p b 1 p b
b
t 1
b 1
b
t 2
t 1
p b 1 p 1 p b 1
p b 1
p t
t
b 1
t 1
t 2
b
b 1
t 1
pb
t 2
pt 1 p 1
1 .
t
b
t
∎
Lema 9 [2] Misalkan G Z pa M dan G Z pa1 M , dimana a dan t adalah bilangan bulat positif dan p adalah bilangan prima yang tidak membagi |M|. Misalkan
d adalah orde dari suatu elemen di G dan pa1 tidak membagi d , maka G dan G memuat banyak elemen yang sama yang berorde d . Bukti.
Suatu elemen sembarang di G yang menjadi pasangan berurut x, y , dimana x adalah
suatu elemen dari Z pa1
t
dan y adalah elemen dari M .
Orde dari x, y adalah
sekurang-kurangnya perkalian antara |x| dan |y|. Misalkan p tidak membagi |M| dan d
Repository FMIPA
5
adalah orde dari elemen x, y dengan pa1 tidak membagi d , sehingga faktor d adalah pb m, dimana 0 b a; pb adalah orde dari x dan m adalah orde dari y.
Dalam menentukan banyak elemen berorde pb m di G , dihitung banyak elemen di
Z p
t
a 1
berorde p b dan mengkalikannya dengan banyak elemen berorde m di M .
Berdasarkan Lema 8, total ini tepat sama dengan banyak elemen berorde pb m di G. ∎ Teorema 10 [2]
t
Misalkan G Z pa M
t
dan G Z pa1 M , dimana a dan t
adalah bilangan bulat positif dan p adalah bilangan prima yang tidak membagi M .
Jika G memiliki POS, maka G juga memiliki POS. Bukti.
x, y
adalah suatu elemen dari G , dimana x merupakan elemen dari dan y merupakan elemen dari M . Misalkan d merupakan Berdasarkan bukti Lema 9, jika
elemen dari x, y . Asumsi awal bahwa d tidak dapat dibagi oleh p a 1. Misalkan G
memiliki POS, berdasarkan Lema 9 bahwa jumlah orde subset dari G ditentukan oleh x, y membagi | Gˆ |. Seandainya d dapat dibagi oleh pa1, maka orde dari x pada
Z pa1
t
adalah jelas pa1 , dan didapatkan faktor d adalah pa1m, dimana m adalah
orde dari y di M . Misalkan k adalah banyak elemen di M yang memiliki orde m . Berdasarkan Lema 8, total banyak elemen berorde d adalah p a p t 1 k . Dalam t
melengkapi bukti Teorema 10, harus menunjukkan bahwa
p p a
t
t
1 k tidak
membagi | Gˆ |. Pernyataan Lema 8 terhadap G menyatakan bahwa banyak elemen di
G yang memiliki orde pa m adalah p a 1 p t 1 k , yang mana membagi |G| karena t
G memiliki POS. Misalkan | Gˆ | pt |G| maka
p t p a 1
p t
t
p 1 k
1 k pa
t
membagi | Gˆ |.
∎
4. KESIMPULAN
Misalkan G adalah grup POS (Perfect Order Subsets) yang abelian mempunyai orde suatu pangkat positif p yang merupakan bilangan prima.
1. Jika a, b dan t adalah bilangan bulat positif dengan b a dan jika G Z pa
t
maka banyak elemen di G dengan orde p b adalah p b 1 p t 1 . t
Repository FMIPA
6
t
2. Jika G Z pa M
t
dan G Z pa1 M , dengan a, b dan t adalah bilangan
bulat positif dan p tidak membagi | M |, diperoleh d adalah orde dari suatu elemen di Gˆ dan p a 1 tidak membagi d, maka G dan Gˆ memuat banyak elemen yang sama yang berorde d. t t 3. Jika G Z p a M memiliki POS maka Gˆ Z p a1 M juga memiliki POS.
DAFTAR PUSTAKA [1] Burton, D. M. 2007. Elementary Number Theory Sixth Edition. McGraw-Hill, New York. [2] Finch, C. E. dan Jones, L. 2002. A Curious Between Fermat Numbers and Finites Groups. The American Mathematical Monthly. 109 : 517-524. [3] Fraleigh, J. B. 1994. A First Course in Abstract Algebra Fifth Edition. Addison Wesley Publishing Company, New York. [4] Gilbert, J. dan Gilbert, L. 1992. Elements of Modern Algebra. PWS-KENT Publishing Company, Boston. [5] Hungerford, T. W. 2014. Cengage Learning, Boston.
Abstract Algebra: An Introduction.
Brooks/Cole
[6] Khosyi, T. 2007. Elementary Numbers Theory with Applications. Academic Press is an imprint of Elsevier, California.
Repository FMIPA
7
