JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 241 - 251
LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL M Muslich Jurusan Matematika FMIPA UNS
[email protected]
ABSTRACT. Based on the McShane fine partition and McShane integral, it can be arranged the M fine partition and M integral concepts. Furthermore, it is discussed some simple properties of M integral and Lemma Henstock. Keywords: Lemma Henstock, McShane partition and McShane integral. ABSTRAK. Berdasarkan konsep partisi McShane fine dan integral McShane dapat dibangun konsep partisi M fine dan integral M . Kemudian dibahas beberapa sifat sederhana integral M dan Lemma Henstock. Kata Kunci: Lemma Henstock, partisi McShane dan integral McShane.
1. PENDAHULUAN Jenis integral dapat diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu jenis integral deskriptif dan jenis integral konstruktif. Akhir-akhir ini ke dua jenis integral tersebut mengalami perkembangan yang cukup pesat. Hubungannya dengan perkembangan jenis integral konstruktif ini Jae Myung Park et al [3] berhasil menyusun integral yang dinamakan dengan integral M . Integral M ini disusun berdasarkan konsep integral McShane. Menurut Jae Myung et al [2] maupun Jarolav Kurzweil et al [6] dikatakan bahwa integral McShane ekivalen dengan integral Lebesgue dan selanjutnya oleh Tuo-Yeong Lee [7] dikatakan bahwa integral McShane merupakan bentuk integral konstruktif dari integral Lebsgue. Di dalam tulisan ini P dimaksud koleksi pasangan selang titik {( I i , i )}in1 dengan Ii I j , i j .
Berdasarkan pasangan selang titik P {( I i , i )}in1 , baik Gordon [6] maupun D.H. Fremlin [1] mendefinisikan konsep partisi McShane fine dan integral McShane sebagai berikut.
242 Muslich
Definisi 1.1 P {( I i , i )}in1 dikatakan partisi McShane fine pada [a, b] jika I i ( i ( i ), i ( i ) , i [a, b]
Definisi 1.2 Fungsi f : [a, b] R dikatakan terintegral McShane pada [a, b] ditulis f M [a, b] jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap 0 terdapat fungsi positif ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi McShane
fine P {( I i , i )}in1 pada [a, b] berlaku n
f ( ) I i 1
i
i
A
Selanjutnya Jae Myung Park et al [3] dan Jae Myung Park et al [4] mendefinisikan konsep partisi M fine pada [a, b] dan integral M pada
[a, b] sebagai berikut. Definisi 1.3 P {( I i , i )} dikatakan partisi M fine pada [a, b] untuk suatu konstan 0 jika P {( I i , i )}in1 partisi McShane fine pada [a, b] dan n
memenuhi
d ( , I ) i 1
i
i
Diberikan partisi
dengan d (i , I i ) inf{ x i : x I i }
M fine P {( I i , i )}in1
pada [a, b] dan fungsi n
f : [a, b] R , kemudian dibentuk jumlahan S ( f , P) f ( i ) I i . Dari konsep i 1
S ( f , P) tersebut didefinisikan integral M fungsi f pada [a, b] sebagai berikut. Definisi 1.4 Diberikan bilangan real 0 . Fungsi f : [a, b] R dikatakan terintegral M pada [a, b] ditulis f M [a, b] jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap 0 terdapat fungsi positif ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi M fine P {( I i , i )}in1 pada [a, b] berlaku n
f ( ) I i 1
i
i
A
Lemma Henstock Pada Integral M
243
Bilangan A disebut nilai integral M pada [a, b] dan dinotasikan dengan
A (M )
fdx .
terintegral M pada E [a, b] jika fungsi f E
Fungsi f
[ a ,b ]
terintegral M pada [a, b] dan berlaku ( M ) f ( M ) E
f
E
.
[ a ,b ]
Berdasarkan konsep integral M ini penulis bertujuan untuk membahas kembali tulisan Jae Myung Park et al [2] tentang sifat-sifat integral M dan Lemma Henstock yang bermanfaat melengkapi pernyataan-pernyataan yang dipandang perlu.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan pada konsep partisi M fine P {( I i , i )}in1 pada [a, b] dan konsep integral M pada [a, b] maka akan dibahas beberapa sifat sederhana integral M dan Lemma Henstock. Untuk kemudahan dalam pembahasan P {( I i , i )}in1
n
dan
( P) f ( i ) I i
berturut-turut
cukup
ditulis
dengan
i 1
P {( I , )} dan ( P) f ( ) I . Teorema 2.1 Diberikan f : [a, b] R . Jika fungsi f terintegral M pada [a, b] maka nilai integralnya tunggal. Bukti. Diberikan sebarang 0 . Andaikan nilai integral fungsi f pada [a, b] tidak tunggal, sebut
A (M )
fdx
[ a ,b ]
dan
B (M )
fdx dengan
A B, maka
[ a ,b ]
terdapat fungsi positif 1 ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi M
1 fine P {( I , )} pada [a, b] berlaku ( P) f ( ) I A
2
244
Muslich
dan terdapat fungsi positif 2 ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi M
2 fine P {( I , )} pada [a, b] berlaku ( P) f ( ) I B . 2
Didefinisikan fungsi positif ( ) : [a, b] R dengan ( ) min{ 1 ( ), 2 ( )}, maka untuk setiap partisi M fine P {( I , )} pada [a, b] berlaku A B = A ( P) f ( ) I ( P) f ( ) I B
≤ A ( P ) f ( ) I + ( P ) f ( ) I B <
+
2
2
=
Karena berlaku untuk setiap 0 maka A=B, jadi pengandaian salah yang benar nilai integral M fungsi f pada [a, b] adalah tunggal.
Teorema 2.2 M [a, b] merupakan ruang linear yaitu jika
f , g : [ a, b] R
terintegral M pada [a, b] dan k bilangan real maka f g dan kf terintegral
M pada [a, b] dan berlaku a. M ( f g )dx = M [ a ,b ]
b. M kfdx = k M [ a ,b ]
fdx + M gdx
[ a ,b ]
[ a ,b ]
fdx
[ a ,b ]
Bukti. a.Diberikan sebarang 0 . Diketahui f , g : [a, b] R terintegral M pada [a, b] maka terdapat fungsi positif 1 ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi M 1 fine P' {( I , )} pada [a, b] berlaku
( P' ) f ( ) I A
2 k 1
dan terdapat fungsi positif 2 ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi M
2 fine P" {( I , )} pada [a, b] berlaku ( P" ) g ( ) I B
2
Lemma Henstock Pada Integral M
245
Didefinisikan fungsi positif ( ) : [a, b] R dengan ( ) min{ 1 ( ), 2 ( )}, maka untuk setiap partisi M fine P {( I , )} pada [a, b] berlaku
( P) ( f g )( ) ( A B) ≤ ( P) ( f ( ) I A + ( P ) ( g ( ) I B <
+
2( k 1)
2
=
Jadi f g terintegral M pada [a, b] dan berlaku
M ( f
g )dx = A+ B = M
[ a ,b ]
fdx + M gdx .
[ a ,b ]
[ a ,b ]
b. Selanjutnya juga berlaku ( P' ) kf ( ) I kA k ( P' ) f ( ) I A
<
2( k 1)
<
Jadi kf terintegral M pada [a, b] dan berlaku
M kfdx = kA= k M fdx [ a ,b ]
[ a ,b ]
Berikut diberikan Teorema Cauchy yang dapat dipergunakan untuk menentukan kriteria apakah suatu fungsi terintegral M pada [a, b] . Teorema 2.3 (Teorema Cauchy) Diberikan f : [a, b] R . Fungsi f terintegral
M pada [a, b] jika hanya jika untuk setiap 0 terdapat fungsi postif
( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap dua partisi M fine P' {( I , )} dan P" {( I , )} pada [a, b] berlaku ( P' ) f ( ) I ( P" ) f ( ) I Bukti. a. Syarat perlu. Diberikan sebarang 0 .Diketahui f : [a, b] R terintegral M pada [a, b] maka terdapat fungsi positif ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi M
fine P' {( I , )} pada [a, b] berlaku
246
Muslich
( P' ) f ( ) I
fdx 2
[ a ,b ]
Dengan demikian untuk setiap partisi M fine P ' {( I , )} dan P" {( I , )} pada [a, b] berlaku
( P' ) f ( ) I ( P" ) f ( ) I ( P' ) f ( ) I
fdx [ a ,b ]
<
fdx ( P") f ( ) I
+
[ a ,b ]
+
2
2
=
b. Syarat cukup. Menurut asumsi untuk setiap 0 terdapat fungsi positif
( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap dua partisi M fine Pm {( I , )} dan Pn {( I , )} pada [a, b] berlaku
( Pm ) f ( ) I ( Pn ) f ( ) I Untuk setiap bilangan asli n dipilih fungsi n ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap dua partisi M n fine P1 {( I , )} dan P2 {( I , )} pada [a, b] berlaku
( P1 ) f ( ) I ( P2 ) f ( ) I
1 n
Diasumsikan { n } merupakan baris turun monoton. Untuk setiap bilangan asli n misalkan
Pn {( I , )} merupakan
partisi
M n fine pada
[ a, b]
maka
{( Pn ) f ( ) I } merupakan baris Cauchy, berakibat {( Pn ) f ( ) I konvergen
sebut lim ( Pn ) f ( ) I = A, jadi dapat dipilih bilangan asli terkecil N> n
sehingga untuk n N berakibat
1 1 dan berlaku n N 2
2
Lemma Henstock Pada Integral M
( Pn ) f ( ) I A
247
khususnya
2
( PN ) f ( ) I A
2
Jika P {( I , )} merupakan partisi M N fine pada [a, b] maka berlaku
( P ) f ( ) I A ( P) f ( ) I ( PN ) f ( ) I + ( PN ) f ( ) I A
<
<
1 N
+
2
+
2
=
2
Jadi f terintegral M pada [a, b] , dengan demikian teorema terbukti. Teorema 2.4 Diberikan f : [a, b] R . Jika f terintegral M pada [a, b] maka f terintegral M pada setiap selang bagian [c, d ] [a, b] . Bukti. Diketahui f terintegral M pada [a, b] , maka menurut Teorema 2.3 untuk setiap >0 terapat fungsi postif ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap dua partisi M fine P' {( I , )} dan P" {( I , )} pada [a, b] berlaku
( P' ) f ( ) I ( P" ) f ( ) I Ambil sebarang partisi M fine P2 {( I , )} dan P3 {( I , )} pada [c, d ] , partisi
M fine P1 {( I , )}
pada
[ a, c ]
dan
partisi
M fine
P4 {( I , )} pada [d , b] maka mudah dipahami bahwa
P' P1 P2 P4 P" P1 P3 P4
merupakan partisi M fine pada [a, b] sehingga diperoleh
( D2 ) f ( ) I ( D3 ) f ( ) I ( P' ) f ( ) I ( P" ) f ( ) I
248
Muslich
Karena P2 dan P3 sebarang partisi M fine pada [c, d ] ,menurut Teorema 2.3 maka fungsi f terintegral M pada [c, d ] untuk setiap [c, d ] [a, b]. Teorema 2.5 Diberikan f : [a, b] R . Jika f terintegral M pada [a, c ] dan [c, b ] maka f terintegral M pada [a, b] dan berlaku
M fdx = M fdx + M fdx . [ a ,b ]
Bukti.
Diberikan
[ a ,c ]
sebarang
>0
[ c ,b ]
dan
A (M )
misalkan
fdx dan
[ a ,c ]
B (M )
fdx
maka terdapat fungsi positif 1 ( ) : [a, c] R sedemikian
[ c ,b ]
hingga untuk setiap partisi M 1 fine P' {( I , )} pada [a, c] berlaku:
( P' ) f ( ) I A
2
dan terdapat fungsi positif 2 ( ) : [c, b] R sedemikian hingga untuk setiap partisi M 2 fine P" {( I , )} pada [c, b ] berlaku
( P" ) f ( ) I B
2
.
Didefinisikan fungsi positif ( ) : [a, b] R dengan min{ 1 ( ), c }, jika [a, c) ( ) = min{ 1 (c), 2 (c)}, jika c min{ ( ), c}, jika (c, b] 2
Apabila
P {( I , )} merupakan partisi
M fine
pada [a, b] maka c
merupakan salah satu titik partisinya, dan mudah dipahami jika P P1 P2 dengan
P1 {( I , )} dan P2 {( I , )} berturut-turut
merupakan
partisi
fine pada [a, c] dan [c, b] maka berlaku ( P) f ( ) I ( A B) ≤ ( P1 ) ( f ( ) I A + ( P2 ) ( g ( ) I B <
2
+
2
=
M
Lemma Henstock Pada Integral M
249
Karena berlaku untuk sebarang >0 maka f terintegral M pada [a, b] dan berlaku
M fdx = A+ B = M fdx + M gdx . [ a ,b ]
[ a ,c ]
[ c ,b ]
Teorema 2.6 (Lemma Henstock) Diberikan f : [a, b] R . Jika f terintegral
M pada [a, b] yaitu untuk setiap 0 terdapat fungsi positif ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi M fine P {( I , )} pada [a, b] berlaku
( P) f ( ) I
f
[ a ,b ]
maka untuk setiap partisi M fine bagian P' {( I i , i )}im1 dari P {( I , )} berlaku m
m
i 1
i 1 I i
( P' ) f ( i ) I i f ( i ) 2 Bukti. Diberikan 0 Misalkan P' {( I i , i )}im1 adalah partisi M fine bagian dari P {( I , )} dengan I1 , I 2 ,..., I m adalah selang-selang pada partisi P ' , sedangkan I 1' , I 2' ,..., I k' adalah selang-selang sisanya sehingga terintegral
M pada
m
k
i 1
j 1
[a, b] = ( I i ) ( I 'j ) . Karena f
[a, b] maka f terintegral
M pada
I 'j
untuk setiap
j 1,2,3,..., k , dengan demikian terdapat fungsi positif j ( ) : I 'j R sehingga untuk setiap partisi M j fine P j pada I 'j berlaku
( Pj ) f ( ) I f I 'j
k
k
Dibentuk P P'( Pj ) maka P merupakan partisi M fine pada [a, b] dan j 1
berlaku
250
Muslich
( P) f ( ) I
m
k
i 1
j 1
f = ( P' ) f ( i ) I i f ( j ) I 'j
[ a ,b ]
f
[ a ,b ]
sehingga berakibat m
m
i 1
i 1 I i
( P' ) f ( i ) I i f k
=
(( P) f ( ) I f ( j ) I j ) ( j 1
≤ ( P) f ( ) I
[ a ,b ]
≤ ( P) f ( ) I
[ a ,b ]
<
j 1 I ' j
k
f f ( j ) I 'j j 1
k
f +
f ( j 1
j
) I 'j f I 'j
k
+
j 1 I ' j
[ a ,b ]
k
f +
k
f f )
k j 1
= 2 .
Dengan demikian Teorema terbukti.
3. KESIMPULAN Dari hasil pembahasan di atas diperoleh beberapa kesimpulan antara lain (i)
M [a, b] merupakan ruang linear dan (ii) bahwa Lemma Henstock berlaku pada integral M yaitu jika diberikan fungsi f : [a, b] R dan f terintegral M pada
[a, b] maka untuk setiap 0 terdapat fungsi positif ( ) : [a, b] R sehingga untuk setiap partisi M fine P {( I , )} pada [a, b] berlaku
( P) f ( ) I
f
[ a ,b ]
maka untuk setiap partisi M fine bagian P' {( I i , i )}im1 dari P {( I , )} berlaku
Lemma Henstock Pada Integral M
251
m
m
i 1
i 1 I i
( P' ) f ( i ) I i f ( i ) 2 .
DAFTAR PUSTAKA D. H. Fremlin, (1994) The Henstock and McShane Integral of Vector Valued Function, Illionis of Journal Mathematics, 38(3), 471-479. Jae Myung Park and Deok Ho Lee, (1996) The Denjoy Extension of The McShane Integral, Bull. Korean Math. Soc. 33(3), 41-416. Jae Myung Park, Hyung Won Ryu, and Hoe Kyung Lee, (2010) The - M integral, Journal of The Chungcheong Mathematical Sosiety, 23(1), 99108. Jae Myung Park, Deok Ho Lee, Yu Han Yoon, and Hoe Kyung Lee, (2010) The Integration By Parts For The- M integral, Journal of The Chungcheong Mathematical Sosiety, 23(4), 861-870. Jaroslav Kurzweil & S. Schwabik, (1991) McShane Equiintegrability and Vitali’s Convergence
Theorem,
e-mail
address:
[email protected],
[email protected]. R.A. Gordon, (1994) The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, Volume 4, American Mathematical Society. Tuo-Yeong Lee, (2004) Some full Characterizations of the Strong McShane Integral, Mathematica Bohemica, 129(3), 305-312.
