LINIERITAS INTEGRAL HENSTOCK-PETTIS PADA RUANG EUCLIDE R n

LINIERITAS INTEGRAL HENSTOCK-PETTIS PADA RUANG EUCLIDE Rn Hairur Rahman Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang ABSTRACT In this paper we study Henstock-Pettis integral on the Euclidean space ℜn. We discuss some properties Linear integrable. Keywords: Henstock integral, Euclidean Space ℜn, properties Linear integrable, Henstock-Pettis integral. PENDAHULUAN Pada tahun 1914, Perron mengembangkan perluasan lain integral Lebesgue dan menunjukkan bahwa integralnya mempunyai sifat bahwa setiap derivatifnya terintegral pada garis lurus. Selanjutnya Henstock dan Kurzweil secara terpisah mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta positif δ menjadi fungsi positif δ dan ternyata integral yang disusun keduanya ekuivalen. Oleh karena itu, integral yang mereka susun terkenal dengan nama Henstock-Kurzweil (Lee dan Vborn, 2000). Dari kajian tentang integral Henstock banyak sifat-sifat yang telah diungkapkan baik dalam ℜ maupun ruang ℜn. Menurut penelitian, masalah mengenai sifat-sifat pada integral Henstock kemungkinan dapat dikembangkan menjadi masalah yang lebih luas dalam integral Henstock-Pettis, khususnya sejauh mana sifatsifat integral Henstock dari fungsi bernilai real dapat dikembangkan ke dalam integral HenstockPettis pada ruang Euclide ℜn. Dari kajian tentang integral Henstock-Kurzweil banyak sifat-sifat yang telah diungkapkan baik dalam ℜ maupun ruang ℜn. Menurut penelitian sebelumnya, masalah mengenai sifat-sifat pada integral Henstock-Kurzweil yang telah dilakukan oleh Guoju dan Tianqing, 2001, Guoju dan Swabik, 2001, Indrati, 2002, serta Dharmawidjaya, 2003, kemungkinan dapat dikembangkan menjadi masalah yang lebih luas dalam integral HenstockKurzweil-Pettis, khususnya sejauh mana sifatsifat integral Henstock dari fungsi bernilai real dapat dikembangkan ke dalam integral HenstockKurzweil-Pettis pada ruang Euclide ℜn.

Definisi 1.1. Diberikan fungsi volume α pada ℜn, sel   ℜ dan E ruang Banach. Fungsi f : E → X dikatakan terintegral-α Henstock pada E terhadap α, ditulis singkat f ∈ ℋ(E, α, X) jika terdapat vektor A ∈ X sehingga untuk setiap bilangan  > 0 terdapat fungsi positif pada E dan untuk setiap partisi Perron -fine

=   ,  ,  ,  ,  ,  ,   pada E berlaku

      



           . 

PEMBAHASAN Akan dibahas sifat-sifat lanjut dari integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide ℜ , yakni memuat pembahasan yang berkaitan dengan sifat-sifat Linearitas fungsi terintegral HenstockPettis pada ruang Euclide ℜ .

Definisi 2.1. Diberikan X ruang Banach dan ! " ruang dualnya, volume α pada ℜn, dan se   ℜ . Fungsi f : E → X dikatakan terintegral-α HenstockPettis pada E, ditulis singkat dengan f ∈ ℋ#(E, α), jika untuk setiap  " ∈ ! " dan sel   $, fungsi  "  terintegral- Henstock pada A dan terdapat vektor  %,&,' ∈ ! sehingga  " ( %,&,' )  ℋ *  "  +. &

Selanjutnya vektor  %,&,' di atas disebut nilai Integral Henstock-Pettis fungsi f pada A dan ditulis

khususnya

Jadi

 %,&,'  ℋ# *  +, &

 %,,,'  ℋ# *  +, ,

 " - ℋ# *  +,.  ℋ *  "  +. &

&

Teorema 2.2. Jika f ∈ HP(E, α), maka vektor  %,&,' ∈ ! yang dimaksud di dalam Definisi 2.1 adalah tunggal Bukti: Jika terdapat vektor  %,&,' dan  %,&,' seperti pada definisi 2.1 maka  " / %,&,' 0  ℋ *  "  + &

Hairur Rahman

dan

pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor  7,&,' ∈ ! sehingga

 " / %,&,' 0  ℋ *  "  +

oleh karena itu,

 / %,&,' 0   / %,&,' 0 "

 " ( 7,&,' )  ℋ *  " : +

&

"

&

 ℋ *  "  +  ℋ *  "  + &

atau

 " / %,&,' 0   " / %,&,' 0

&

Untuk setiap x∗∈X∗ Jadi  %,&,'   %,&,'

 " ( %67,&,' )  ℋ *  "  8 : + ◙

Contoh 2.3 Jika  "     1 untuk setiap  di dalam sel E ⊂ ℜn, maka f ∈ HP(E,α) dan  ( %,&,' )   1. "

Bukti : Diberikan sebarang bilangan ε > 0 dan  " ∈ ! " maka dapat ditemukan fungsi positif δ pada E sehingga jika A ⊂ E sebarang sel dan D   ,   sebarang partisi Perron δ-fine pada sel A, maka | D  ∑ "   4   " ( ,, )|

 | D  ∑ 1    1|

 |  1   1|  0  

Jadi  "  terintegral Henstock pada E dan untuk sel A ⊂ E di atas, maka terdapat vektor  %,&,' ∈ ! sehingga  " ( %,&,' )  ℋ *  "  + &

&

  1 Jadi f terintegral Henstock-Pettis pada E. Teorema 2.4 Diberikan X ruang Banach dan ! " dualnya, volume α pada ℜn dan sel E ⊂ ℜn. (i) Jika f,g ∈ ℋ#(E,α) maka f + g ∈ ℋ#(E,α) dan  %67,&,'   %,&,' 8  7,&,'

(ii) Jika f ∈ ℋ#(E,α) dan c∈ ℜ maka

cf ∈ ℋ#(E,α) dan  9%,&,'  1.  %,&,'

Bukti :

(i). Fungsi f ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap  " ∈ ! " fungsi  "  terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor  %,&,' ∈ ! sehingga  ( %,&,' )  ℋ *   + &

"

dan fungsi g ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap  " ∈ ! " fungsi  " g terintegral Henstock 66

&

 ℋ *   + 8 ℋ *  " : + &

"

&

  ( %,&,' ) 8  ( 7,&,' ) "

"

Jadi f + g ∈ ℋ#(E,α) dan  %67,&,'   %,&,' 8  7,&,'

(ii). Fungsi f ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap  " ∈ ! " fungsi  " f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor  %,&,' ∈ ! sehingga  " ( %,&,' )  ℋ *  "  + &

Oleh karena itu, untuk setiap  " ∈ ! " dan c ∈ ℜ maka  " cf terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor  9%,&,' ∈ !. Sehingga  " ( 9%,&,' )  ℋ *  " 1 + &

 ℋ * 1 +

"

Karena A ⊂ E sebarang sel, maka berlaku untuk fungsi f dan fungsi g. Jadi untuk setiap  " ∈ ! " fungsi  " (f+g) terintegral Henstock pada E. Oleh karena itu terdapat vektor  %67,&,' ∈ ! sehingga untuk sel A ⊂ E di atas berlaku

 1 ℋ *  "  + &

 1 " ( %,&,' )

Jadi cf ∈ ℋ#(E,α) dan  9%,&,'  1.  %,&,'

◙

Teorema 2.5 Diberikan X ruang Banach dan ! " dualnya, volume α dan β di dalamnya ℜn dan sel E⊂ ℜ n. (i). Jika f ∈ ℋ#(E,α) dan f ∈ ℋ#(E, β), maka f ∈ ℋ#(E, α +β) dan  %,&,'6;   %,&,' 8  %,&,;

(ii). Jika f ∈ HP (E,α) dan e∈ ℜ dengan e> 0 maka f ∈ HP (E,eα) dan  %,&,<'  =.  %,&,'

Bukti : (i). Fungsi f ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap  " ∈ ! " fungsi  " f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor  %,&,' ∈ ! sehingga Volume 1 No. 2 Mei 2010

Linieritas Integral Henstock-Pettis pada Ruang Euclide Rn  " ( %,&,' )  ℋ *  "  +

pada A dan B berlaku

&

dan fungsi f ∈ ℋ#(E,β), maka untuk setiap  " ∈ ! " fungsi  " f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor  %,&,; ∈ ! sehingga  ( %,&,; )  ℋ *   +> "

&

"

Karena A ⊂ E sebarang sel, maka berlaku untuk fungsi f yang terintegral HenstockPettis pada E terhadap α dan β. Jadi untuk setiap  " ∈ ! " fungsi  " f terintegral Henstock pada E. Oleh karena itu terdapat vektor  %,&,'6; ∈ ! sehingga sel A ⊂ E di atas berlaku  %,&,'6;  ℋ *  "  +  8 > &

 ℋ *  "  + 8 ℋ *  "  +> &

&

  %,&,' 8  %,&,;

Jadi f ∈ ℋ#(E,α+β), dan  %,&,'6;   %,&,' 8  %,&,;

(ii). Fungsi f ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap  " ∈ ! " fungsi  " f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor  %,&,' ∈ ! sehingga  " ( %,&,' )  ℋ *  "  + &

Oleh karena itu, jika e ∈ ℜ dengan e > 0 maka untuk sel A ⊂ E di atas terdapat vektor  %,&,<' ∈ ! sehingga  " ( %,&,<' )  ℋ *  "  += &

dan

| D2  ∑ "   4   " ( ,, )| 

 2

 2

 | D  ∑ 1    1|

 |  1   1|  0  

Diambil fungsi δ :

, CDEF  ∈  +FG  H I    , CDEF  ∈ I +FG  H  N    B    min(    ,   ), CDEF  ∈  M I

Diperoleh δ fungsi positif pada E1 ∪ E2 dan untuk sel-sel A ⊂ E1, dan B ⊂ E2 di atas dan D 1 ∪ D2 partisi Perron δ-fine pada A∪B. Oleh karena itu diperoleh | D1 ? D2  ∑ "   4  

/ " ( %,&,' ) 8  " ( %,&,; )0 |  | D1 ∑  "     8 D2∑  "      / " ( %,&,' ) 8  " ( %,&,; )0 |  | D1 ∑  "     8 D2∑  "      / " ( %,&,' ) 8  " ( %,&,; )0 |

O | D1 ∑  "     8  " ( %,&,' )| 8 | D2∑  "     8  " ( %,&,; )|    8  2 2

Jadi  " f terintegral Henstock pada E1 ∪ E2 dan untuk sel-sel A ⊂ E1, B⊂ E2 di atas terdapat vektor ( %,&?@,' ) ∈ ! sehingga  " ( %,&?@,' )  ℋ *

&?@

 "  +

 ℋ *  "  + 8 ℋ *  "  + &

@

  " ( %,&,' ) 8  " ( %,@,' )

 = ℋ *  "  +

Jadi f ∈ ℋ#(E1∪E2, α) dan  %,&?@,'   %,&,' 8  %,@,'

&

 = " ( %,&,' )

Jadi f ∈ ℋ#(E,eα) dan  %,&,<'  =.  %,&,'

| D1  ∑ "   4   " ( ,, )| 

◙

◙

Selanjutnya teorema di bawah ini merupakan akibat teorema 2.6.

Teorema 2.6 Jika E1, E2 ⊂ ℜn sel-sel tak saling tumpang tindih, f ∈ ℋ#(E1,α) dan, f ∈ ℋ#(E2,α) maka, f ∈ ℋ#(E1 ∪ E2,α) dan jika A⊂ E1 sel dan B⊂ E2 sel maka  %,&?@,'   %,&,' 8  %,@,'

Teorema 2.7 Diberikan sel E ⊂ ℜn. Jika A⊂ E sel dan D = {(D1, D2, …, Dm)} divisi pada A serta f ∈ ℋ#(Di,α) untuk setiap i, maka f∈ ℋ#(E,α) dan

Bukti : Diberikan sebarang bilangan ε > 0 dan  " ∈ ! " , maka terdapat fungsi positif δ1 pada E1 dan δ2 pada E2 sehingga untuk A ⊂ E1 sebarang sel dan B ⊂ E2 sebarang sel dan D1   ,   dan D2   ,   berturut-turut partisi Perron δ-fine Volume 1 No. 2 Mei 2010

R

 %,&,'    %,PQ ,' 

Bukti : Diberikan sebarang bilangan ε > 0 dan  " ∈ ! " , maka terdapat fungsi positif δ dan Di, sehingga jika  IS , S : E  1,2, … , W partisi Perron δi-fine pada Di berlaku

67

Hairur Rahman Y

X " ( %,PQ ,' )    "  S  IS X  S

untuk setiap i = 1,2,..,m.

 Z

= 0, jika x ∈ E − A  x∗ f x  ≠ 0, jika x ∈ A 

()

Dibentuk fungsi positif δ :

,  ∈ DG\  , D  1,2, … , Z N      [  min    ,  ∈ ]   ^\E __`W  ∈ 

fungsi positif pada E dan diperoleh δ   O    untuk setiap  ∈Di, i = 1,2,…,m. Diambil sebarang partisi Perron δ-fine Pi pada Di untuk setiap i = 1,2,…,m. Menurut Teorema 2.6.2., a  bR  a merupakan partisi Perron δ-fine pada E. Akibatnya, untuk A ⊂ E sebarang sel P merupakan partisi Perron δ-fine pada A. Oleh karena itu Pi merupakan partisi Perron δ-fine Di untuk setiap i =1,2,…,m, maka diperoleh R

R

X  ( %,PQ,' )  #   "  c4 aX 

"

O X  " ( %,PQ ,' )   #  "  c4 aX

≤

∗

i =1

≤

∑ x (x(( m

∗

i =1

<

m

) − ∑ P ∑ x f (y )α (P )

f , D1 ,α ))

*

ε sehingga Gi ⊃Ai. i2i

Didefinisikan fungsi positif δ pada E sedemikian sehingga N( x ,δ( x )) ⊂Gi, untuk

x ∈ Ai, i=1,2,…, dan sebarang fungsi positif untuk x yang lain .

=

)− P ∑ x f (y )α (P )

∗

x∉Ai

∑ x f (x )α ( A) ∗

∞

ε

i =1

2 i.i

< ∑ x∗ i

ε

i =1

Jadi untuk setiap  ∈ ! fungsi   terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E di atas terdapat vektor x ( f , A,α ) ∈ X sehingga "

"

"

x ∗ (x ( f , A,α ) ) = ∑ (H ) ∫ x * fdα m

i =1

(

untuk setiap

x ∗ ∈ X ∗ dan x ∗ ≤ 1 .

Hal ini menunjukkan bahwa untuk setiap E. dan untuk sel A ⊂ E di atas terdapat vektor x ( f , A,α ) ∈ X sehingga

Di

= ∑ x ∗ x ( f , Di ,α )

=ε

x ∗ ∈ X ∗ fungsi x ∗ f terintegral Henstock pada

m

i =1

∗

x∈Ai

*

i

∑m =ε

x )} pada A

∑ x f (x )α ( A) + ∑ x f (x )α ( A)

x∈Ai

i

i =1

}

()

dengan µα (Ai) = 0 Diberikan bilangan ε > 0. Untuk setiap i terdapat himpunan terbuka Gi dengan ukuran kurang dari

=

m

f , D1 ,α ))

{

Ai = x ∈ A : i − 1 ≤ f x ≤ i, i = 1,2,.... ⊂ A

(P )∑ x ∗ f (x )α ( A) − 0



∑ x (x(( m

i

i =1

sebarang partisi Perron δ-fine P={(B, berlaku

R



∪ A dimana

Oleh karena itu untuk sebarang A ⊂ E sel dan



R

∞

Dibentuk A =

)

x ∗ (x( f , A,α ) ) = ( H )∫ x * fdα

Jadi f ∈HP (E,α) dan

A

x ∗ (x( f , A,α ) ) = ∑ x( f , Di ,α )

= ( H )∫ 0dα = α ( A)0 = 0

m

◙

i =1

Jadi f ∈HP (E,α) dan

x ( f , A,α ) = θ

Teorema 2.8. Jika f=0 (fungsi nol) h,d pada E maka f∈HP(E,α) dan jika A⊂E sel maka

Berikut ini akibat Teorema 3.1.8 di atas.

Bukti : Karena f = 0 h.d pada E, maka terdapat himpunan A⊂ E dengan µα(A) = 0 sehingga jika

Teorema 3.1.9. Jika f ∈ HP(E,α) dan g = f h.d pada E maka g ∈HP(E,α) dan jika A⊂ E sel maka

x ( f , A,α ) = θ

x ∗ ∈ X ∗ berakibat

68

x ( g , A,α ) = x ( f , A,α )

Volume 1 No. 2 Mei 2010

Linieritas Integral Henstock-Pettis pada Ruang Euclide Rn

Bukti : ambil fungsi h = g - f. Diperoleh h = 0 (fungsi nol) h.d pada E. Menurut Teorema 3.1.8, h ∈HP (E,α) dan

x ( h , A,α ) = θ

x ( g − f , A,α ) ∈ X sehingga

x ∗ (x( g − f , A,α ) ) = ( H )∫ x ∗ ( g − f )dα ≥ 0 A

untuk setiap sel A⊂ E. Karena h ∈HP(E,α), f ∈HP(E,α) dan g = h + f, maka berdasarkan Teorema 3.1.4 (i) diperoleh, g ∈HP (E,α) dan untuk setiap

= ( H )∫ x ∗ g dα − ( H )∫ x ∗ f dα ≥ 0

x ∈X x ∗ (x( g , A,α ) ) = ( H )∫ x ∗ (h + f )dα

= x ∗ (x( g , A,α ) ) − x ∗ (x( f , A,α ) ) ≥ 0

∗

A

∗

Jadi

A

x ∗ (x ( f , A,α ) ) ≤ x ∗ (x ( g , A,α ) )

= ( H )∫ x ∗ hdα + ( H )∫ x ∗ fdα A

= 0 + ( H )∫ x fdα

A

◙

A

∗

DAFTAR PUSTAKA

A

= ( H )∫ x ∗ fdα A

= x (x ( f ,A ,α ) ) ∗

Jadi

x ( g , A,α ) = x ( f , A,α ) Teorema 3.1.10. Jika f ∈ HP (E,α) dan h.d pada E dan jika A⊂ E sel maka

◙ ∗

x f≥0

x ∗ (x ( f , A,α ) ) ≥ 0

x ∗ f ≥ 0 h.d pada E maka tidak x∗ f ( x ) ≥ 0 mengurangi arti jika dianggap ∗ ∗ untuk setiap x ∈ E dan x ∈ X . Oleh karena Bukti : Karena

f ∈ HP(E,α), jadi untuk

itu, karena ∗

∗

∗

setiap x ∈ X fungsi x f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A⊂ E terdapat vektor x ( f , A,α ) ∈ X sehingga berakibat

x ∗ (x( f , A,α ) ) = ( H )∫ x ∗ fdα ≥ 0

◙

A

[1]. Dharmawidjaya, S., 2003, On The Bounded Interval Functions, Proceedings of the International Conference 2003 On Mathematics And Its Application, SEAMSGadjah Mada University, Universitas Gadjah Mada, Indonesia. [2]. Indrati, Ch. R., 2002, Integral HenstockKurzweil pada ruang Euclide ℜn berdimensi-n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia. [3]. Gordon, R.A., 1994, The Integral of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, American Mathematical Society, USA. [4]. Guoju, Ye and Tianqing, 2001.On HenstockDunford and Henstock-Pettis Integral, IJMMS, 25:7, Hindawi Publishing Corp. pp 467-478. [5]. Guoju, Ye, and ,Swabik. S, 2001. The MacShane and The Weak. MacShane Intergal of Banach Space Value Function Defined On ℜn. Mathematical Notes, Miscole, Vol, 2., No, 2., pp127-136.

Di bawah ini merupakan akibat Teorema 3.1.10

[6]. Guoju, Ye, and Swabik. S, 2004, Topics in Banach Space Integration, manuscript in preparation.

Teorema 2.11. Jika f ∈ HP (E,α) dan g ∈ HP (E,α)

[7]. Guoju, Ye, Lee, P.Y.,Wu, Congxin, 1999, Convergence Theorem of The DenjoyBochner, Denjoy-Pettis and Denjoy-Dunford Integral, southeast asian bulletin of mathematics, Springer-Verlag, vol 23; 135143.

∗

∗

dan x f ≤ x g h.d pada E dan jika A ⊂ E sel maka

x ∗ (x ( f , A,α ) ) ≤ x ∗ (x ( g , A,α ) ) ∗

∗

Bukti : Karena x f ≤ x g h.d pada E maka

x∗

∗

g – x f ≥ 0 h.d. pada E. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 3.1.10 untuk setiap

x ∗ ∈ X ∗ fungsi x ∗ (f-g) terintegral

Henstock pada E dan untuk setiap A ⊂ E sel terdapat vektor

Volume 1 No. 2 Mei 2010

[8]. Rahman, Hairur, 2005, Integral HenstockPettis pada ruang Euclide ℜn , Tesis, Universitas Gadjah Mada, Indonesia.

69

Hairur Rahman

[9]. Rahman, Hairur, 2005, Kekonvergenan Integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide ℜn, Universitas Gadjah Mada, Indonesia.

[12]. Pfeffer,W.F.,1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA.

[10]. Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures On Henstock Integration, Word Scientific, Singapore.

[13]. Royden, H.L., 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company, New York, USA.

[11]. Lee, P.Y. dan Vborn, R., 2000, Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, Cambridge University Press.

[14]. Swabik. S. and Ye, Guoju.,1991.The Macshne and The Pettis Intergal of Banach Space Value Function Defined on ℜn, chzech, math journal.

70

Volume 1 No. 2 Mei 2010