TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE

Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral Henstock...............(Aniswita)

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCKKURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE  n KE RUANG BARISAN  p , (1  p<  ) Aniswita (Jurusan Pendidikan Matematika STAIN Bukit Tinggi, Email: [email protected]) Abstract: In this paper we discuss Henstock Equi  -integrable and Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) properties for Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces  n into the Sequences space  p , (1  p  ) Keywords: Henstock Equi  -integrable, Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) and Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces  n into the Sequences space  p , (1  p  )

45


PENDAHULUAN Pada tahun 1960, Henstock dan Kurzweil secara terpisah mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta  menjadi fungsi positif  dan ternyata integral yang di susun ekuivalen. Oleh karena itu integral tersebut dikenal dengan integral Henstock-Kurzweil atau integral Riemann yang diperluas (Gordon, 1994). Integral ini mendapat perhatian yang sangat besar dari para peneliti, berbagai penelitian dilakukan untuk menggali sifat-sifat dan aplikasinya. Diantara sifat tersebut adalah sifat Locally Small Riemann Sums (LSRS) Pengertian LSRS untuk fungsi bernilai Real pada himpunan bilangan Real yang terintegral Henstock diberikan dan dibukukan oleh Lee (1989). Indrati (2002) mengitlakkanya untuk fungsi bernilai real pada ruang Euclide berdimensi n, kemudian Suherman (2003) mengembangkannya untuk fungsi bernilai vektor pada ruang Euclide berdimensi n, sedangkan untuk fungsi bernilai barisan  p , (1  p<  ) dikembangkan oleh Aniswita (2006). Berdasarkan uraian diatas akan diselidiki teorema kekonvergenan fungsi terintegral Henstock serentak dengan fungsi yang bersifat Locally Small Riemann Sums (LSRS) dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p , (1  p<  ). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan  . Untuk bilangan asli n,  n menyatakan himpunan semua pasangan atas n bilangan real, yaitu





 n =    ...   . (n factor) = x  x1 ,..., xn  : xi   dan 1  i  n .

Untuk titik x   n , persekitaran (neighborhood) titik x dengan jari- jari r> 0, dinotasikan dengan B ( x, r ) dan didefinisikan



B ( x, r ) = y : y   n dan x  y





r .

Untuk (1  p<  ),  p merupakan koleksi semua barisan x = xk   W sehingga 

x k 1

p k

  atau ditulis,    =  x  x k  W ,  x k k 1  p

p

   . (Kreyszig, E, 1978). 

46


Perlu diperhatikan bahwa fungsi f : E   n   p merupakan barisan fungsi

f k 

 



dengan f k : E  n  , untuk setiap k (k  1,2,3,...) sehingga f x = f k (x)

  p untuk setiap x  E. Selanjutnya jika f , g fungsi dari E   n ke  p didefinisikan nilai fungsi k f dan f + g sebagai berikut (i) (k f ) ( x ) = k f ( x ), untuk setiap x  E dan k suatu skalar. (ii) ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ), untuk setiap x  E. Untuk setiap f   f k  dan g  g k , untuk setiap k  N didefinisikan









(i) f  g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k x  g k x , untuk setiap x  E dan setiap k  N.

(ii) f < g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k x  g k x , untuk setiap x  E dan setiap k  N. (iii) f  g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k ( x)  g k ( x) , untuk setiap x  E dan setiap k  N. Berikut ini diberikan definisi kekonvergenan barisan fungsi. Diberikan fungsi

f n , f : E   n   p untuk setiap n N.

 

i) Barisan fungsi f n dikatakan konvergen ke fungsi f pada E, ditulis dengan lim f n n





= f atau lim f n ( x) = f ( x ), jika untuk setiap x  E barisan f n (x) konvergen n

ke f ( x ), yaitu untuk setiap bilangan  > 0 dan x  E terdapat bilangan asli m = m(  , x ) sehingga jika n  m berakibat f n ( x)  f ( x)

p

.

 

ii) Barisan fungsi f n dikatakan konvergen seragam ke fungsi f pada E jika untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli m = m(  ) sehingga jika n  m berakibat f n ( x)  f ( x)

p

  , untuk setiap x  E.

Selanjutnya karena sel E tertutup dan terbatas maka sel E merupakan himpunan kompak sehingga untuk setiap barisan fungsi yang konvergen pada sel E merupakan barisan fungsi yang konvergen seragam pada sel yang sama.

47


Berikut diberikan definisi, sifat dasar dan sifat lanjut dari integral Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p , (1  p<  ). Definisi 1.1 Diberikan fungsi volume 

f : E  n   p



dikatakan

terintegral

pada  n dan E   n Henstock

pada

E,

sel. Fungsi

ditulis

dengan



f  R * E,  p , jika terdapat a  ak   p dengan sifat untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron  -fine

D  D, x   Di , x i  : i  1,2,..., r pada E berlaku

D  f ( x)  ( D)  a

p

r

 f (x )  (D )  a



i

.

i

i 1

p

Selanjutnya nilai a  a k   p yang dimaksud di atas disebut nilai integral-  Henstock fungsi f pada E di tulis dengan a  ( R*)  f d . E

Definisi 1.2

Diberikan fungsi volume  pada  n , E   n sel, dan fungsi

f k :  n   untuk setiap k, (k=1,2, ...). Barisan fungsi {f k} dikatakan terintegral-  Equi  -integrable) pada E dengan Fk

Henstock serentak (Henstock

sebagai

primitifnya jika untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron  - fine

D  D, x pada E berlaku

D f x  D   F E    ,untuk setiap k. k

k

Teorema 1.3 (Kriteria Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada  n dan E   n sel.





Fungsi f  R * E,  p , jika dan hanya jika untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif 

pada E sehingga untuk setiap dua partisi

D2  D2 , x pada E

D1  D1 , x

dan

berlaku

D  f ( x)  ( D )  D2  f ( x)  (D ) 1

1

2

 . p

Teorema 1.4 (Lemma Henstock) Diberikan fungsi volume  pada  n dan sel





E   n . Jika f  R * E,  p , dengan

F sebagai primitifnya, yaitu untuk setiap

48


bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron

 -fine

D  D, x pada E

berlaku

D f ( x)  ( D)  F ( E )

D

D 

berlaku

1

p

  , maka untuk setiap jumlah bagian

f ( x)  ( D)  F ( E )

p



1

dari

 2 .

Teorema 1.5 (Peluasan Harnack) Diberikan fungsi volume  pada  n , sel E   n , dan fungsi f : E   n   p . Himpunan X merupakan himpunan tertutup di dalam E dan {Ei} merupakan barisan himpunan tertutup sederhana yang tidak saling tumpang

E

tindih dengan

i



 E \ X . Jika f  R * X ,  p ,







dan f  R * Ei ,  p , , untuk

i 1



 ( R )  f d

  maka

*

setiap i dengan

i 1



Ei

p





f  R * E,  p , dan ( R* )  f d  ( R* )  f  x d   ( R* )  f d . E

i 1

X

Ei

Akibat 1.6 (Sifat Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada  n , sel E   n , dan fungsi f : E   n   p . Barisan {Ei} merupakan barisan himpunan sederhana yang 

tidak saling tumpang-tindih dengan

E

i

 E 0 , dengan E 0 menyatakan himpunan

i 1





titik-dalam (interior point) sel E.. Jika f  R * Ei ,  p , , untuk setiap i dengan 

  maka f  R * E,  p ,  dan ( R * )  f d   ( R * )  f d 

 ( R )  f d *

i 1

Ei

p

E

i 1

Ei

HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa teorema kekonvergenan diantaranya yaitu kekonvergenan terintegral serentak dan teorema kekonvergenan fungsi yang memiliki sifat Unifomly Locally Small Riemann Sums (ULSRS).

49


Definisi 2.1 Diberikan fungsi volume 

pada  n , sel E   n , dan fungsi

f k : E   n   p untuk setiap k, (k=1,2,…). Barisan fungsi

f  k

dikatakan

terintegral-  serentak (Henstock Equi  -integrable) pada sel E jika untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron

 

 –fine D  D, x pada E berlaku

D f x D  R  f xd

 ,

*

k

k

E

p

untuk setiap k. Definisi 2.2 Diberikan fungsi volume 

pada  n , sel E   n dan fungsi

f k : E   n   p untuk setiap k, (k=1, 2, 3, ....).

f  bersifat

Barisan fungsi terukur

k

LSRS seragam atau Unifomly Locally Small

Riemann Sums (ULSRS) pada sel E   n jika untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap y  E dan untuk setiap partisi Perron 

 





-fine D  D, x pada sel C  B y,  ( y) dan y  C berlaku

D f x D k

 , p

untuk setiap k.

  bersifat LSRS seragam pada sel E  

Lemma 2.3 Jika Barisan fungsi terukur f

n

k

dan f k  f h.d. pada sel E maka fungsi f bersifat LSRS. Bukti: Tampa mengurangi arti dapat dianggap bahwa f k  f pada sel E , karena jika f fungsi terintegral Henstock pada sel E dan g = f h.d. pada sel E maka g terintegral Henstock, lebih lanjut g merupakan fungsi bersifat LSRS pada sel E. Jadi f k  f berarti untuk setiap bilangan   0 dan untuk setiap x  E terdapat bilangan positif k 0 , x dengan sifat untuk setiap k  k 0 , x berlaku

50


f

k

x  f x

p



 . 2  E  k

  bersifat LSRS seragam pada sel

Barisan fungsi terukur f

k

E   n terdapat fungsi

positif  pada E sehingga untuk setiap y  E berlaku

D f x D k

 . p

  pada sel



 untuk setiap k. Lebih lanjut untuk setiap partisi Perron  -fine D  D, x  pada sel E, untuk setiap partisi Perron  -fine D  D, x

C  B y,  ( y) dan y  C

cacah titik terkait adalah hingga. Dengan demikian menurut lemma Henstock, untuk

   D f x  D   D f x  D 



setiap partisi Perron  -fine D  D, x pada sel C  B y,  ( y) dan y  C berlaku

D f x D



k

p



 3 .

p



D f x  k

p



Dengan k  maks k 0, x : x  D .

Teorema 2.4 Jika Barisan fungsi terukur

f  adalah k

barisan fungsi terintegral

Henstock serentak pada sel E   n dan f k  f h.d. pada sel E untuk k   maka

f terintegral Henstock pada sel E dan lim R *  f k d  R *  f d . k 

E

E

Bukti: Tampa mengurangi arti dianggap f k  f pada sel E. Berarti untuk setiap bilangan

  0 dan untuk setiap x  E terdapat bilangan positif k x dengan sifat untuk setiap k  k x berlaku f

k

x   f x 

p





 E 

.

  adalah barisan fungsi terintegral Henstock serentak pada sel

Barisan fungsi terukur f

k

E   n sehingga terdapat fungsi positif  pada sel E dengan sifat untuk setiap partisi

 

Perron  -fine D  D, x pada E berlaku

51


D f

k

  f

( x)  ( D)  R *

k

d

E





2 k 1

p

, untuk setiap k

 

Cacah titik terkait untuk setiap partisi Perron  -fine D  D, x pada E adalah hingga





maka dapat diambil K  maks k x : x  D . Dengan demikian untuk k , m  N diperoleh

R  f *

k

  f

d  R *

E



m

E

D f

  f

( x)  ( D)  R *

k

k

d

+

E

p

p

D f x  D 

D f

k

( x)  ( D) 

D f

m

( x)  ( D)  R *

m

  f

m

 

 2

k





D

 E 

f

n

x   f x m

+

d

E



p

p

p

 D  + 

 2k

  D     3 .

  merupakan barisan Cauchy, akibatnya f  konvergen, katakan ke a . Berarti

Jadi f

k

k

terdapat bilangan positif k 0 dengan sifat untuk setiap k  k 0 berlaku

R  f *

k

d  a

E

Untuk

setiap

. p

partisi



 -fine

Perron

D  D, x 

pada

E



diambil

  pada E

K  maks k 0 , k x : x  D maka untuk setiap partisi Perron  -fine D  D, x berlaku

D  f ( x)  ( D)  a

p



D f ( x)  ( D)  D f x  D  k

D f

k

  f

( x)  ( D)  R *

E

k

p

+

  f

d

+ R*

k

E

p

a p

 3 . Dengan

kata

  f

lim R * k 

E

k

lain

terbukti

f

terintegral

Henstock

pada

sel

E

dan

  f d .

d  R *

E

52


Teorema 2.5

Jika Barisan fungsi terukur

f  bersifat k

LSRS seragam pada sel

  terintegral Henstock serentak pada sel E.

E   n maka f

k

Bukti Diketahui Barisan fungsi terukur

f  bersifat k

LSRS seragam pada sel E , berarti

untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif  * pada E dengan sifat untuk setiap

 





y  E dan untuk setiap partisi Perron  * -fine D  D, x pada sel C  B y,  ( y) dan

*

y  C berlaku

D*  f x D k

 , p

untuk setiap k.

f  konvergen h.d. pada sel E sehingga menurut Teorema

Barisan fungsi terukur

k

Egoroff terdapat himpunan terbuka O dengan  O  

 2k

  konvergen

dengan sifat f

k

seragam pada E \ O . Jadi terdapat bilangan positif K 0 dengan sifat untuk setiap

k  K 0 berlaku f

k

x   f x 

p



 , untuk setiap x  E \ O . 7 D 





Untuk setiap k, f k  R * E ,  p ,  sehingga terdapat fungsi positif  k pada sel E dengan sifat untuk setiap dua partisi  k -fine D 1 , D 2 pada E berlaku

k

 D1  f ( x)  ( D)   D 2  f   k  k  k

k

k

x D

 p

 7

.

Diambil fungi positif  pada sel E dengan



     .             min  x ,  x ,...,  x , d x ,  O , untuk setiap x  O  

 min  * x ,  1 x ,..., K 0 x , untuk setiap x  E \ O

 x 

*

1

K0

Maka untuk setiap dua partisi  -fine D 1 , D 2 pada E 1. Jika k  K 0 diperoleh

 D1  f ( x)  ( D)   D2  f     k    

k

x D

 p

 7

.

53


2. Jika k  K 0

 D1  f ( x)  ( D)   D2  f     k    

k

x D

 p

 7

  D1  f k ( x)  ( D)   D1  f      D1  f      D 2  f  

  D1   





 7



 7



 7



k

x  D 

+  D1  f   xO p



f k x  D   f

7



K0

+

x D

 p

 p





k

K0

xE \ O

 D1  f   xO

x D p

x D  f x D

k

xE \ O

 D1  f   xO

 D 2   

f

K0

( x)  ( D)   D 2  f  

K0

+ p

( x)  ( D)   D2  f  

K0

x D

K0

K0

 7



x  D 

 p

x D

 p

k



x  D  

7

 7



 7

+  D1  f   xO p

K0

x  D  p

 .

  bersifat LSRS seragam pada sel E

Jadi terbukti jika barisan fungsi terukur f

k

  terintegral Henstock serentak pada sel E. Teorema 2.6 Jika Barisan fungsi terukur f  bersifat LSRS seragam pada sel E   maka f

k

n

k

dan f k  f h.d. pada sel E untuk k   maka fungsi f terintegral Henstock pada

  f

sel E dan lim R * k 

k

  f d .

d  R *

E

E

Bukti: Lemma 2.3 mengakibatkan fungsi f bersifat LSRS pada sel E dan sesuai dengan Teorema 2.5 diperoleh fungsi

f

terintegral Henstock pada sel E dan dengan

  f

menggunakan Teorema 2.4 dan Teorema 2.5 diperoleh lim R * k 

E

k

  f d ..

d  R *

E

54


KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi yang terintegral Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p , (1  p<  ). Permasalahan-permasalahan lain yang perlu dikembangkan antara lain kajian mengenai teorema kekonvergenan Globally Small Riemann Sums fungsi yang terintegral Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang Barisan  p ,(1  p<  ) serta aplikasinya pada disiplin ilmu lain.

DAFTAR PUSTAKA Gordon, R. A, 1994, The Integral of Lebesque, Denjoy, Perron and Henstock, American Mathematical Society, USA Indrati, Ch. R, 2002, Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang Euclide Berdimensin, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia Kreyszig, E, 1978, Introduction Functional Analysis with Application, John Wiley and Sons Lee, P. Y, 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Word Scientific, Singapore. Pfeffer, W. F, 1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA Royden, H. L, 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company, New York, USA

55

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE

Recommend Documents