Jurnal Sains dan Matematika
Vol. 20 (3): 58-63 (2012)
Functionally Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-Dunford pada [a,b] Solikhin1, Sumanto2, Siti Khabibah3 Program Studi Matematika, FSM UNDIP Jl. Prof. Soedarto, S.H. Semarang, 50275
1,2,3
E-mail:
[email protected],
[email protected] ABSTRACT In this paper we study Henstock-Dunford integral on [a,b]. We discuss some properties of the integrable. We shall define functionally small Riemann sums (FSRS) and show that it is necessary and sufficient condition for function to be Henstock-Dunford integral on [a,b]. Keywords: Henstock-Dunford integral, Functionally small Riemann sums
PENDAHULUAN Integral Henstock merupakan generalisasi dari integral Riemann, yang didefinisikan berdasarkan partisi Perron -fine. Integral ini memuat integral Riemann dan integral Lebesque (ekuivalen integral McShane) [2], [7]. Integral Henstock telah mengalami perkembangan baik dari segi teori maupun aplikasinya [1], [4], [6]. Dari kajian tentang integral Henstock banyak sifat-sifat yang telah diungkap baik dalam ruang real R [2], [7] maupun ruang Euclide R n [5]. Berbeda dengan integral Dunford. Dunford mendefinisikan integralnya pada fungsi terukur lemah pada ruang real R .[9]. Diberikan X ruang Banach dan X * ruang dualnya. Fungsi terukur lemah dikatakan f :[a, b] X terintegral Dunford pada [a, b] jika untuk setiap x* X * fungsi bernilai real x* f :[a, b] R terintegral Lebesgue pada [a, b] dan untuk setiap A [a, b] himpunan terukur terdapat vektor
x**f , A X ** sehingga ** f , A
x
x H x *
A
b
*
f H x* f A . a
Integral Dunford kemudian diperluas ke dalam integral tipe Riemann, yaitu untuk setiap x* X * fungsi bernilai real x* f :[a, b] R terintegral Henstock. Integral ini dinamakan integral Henstock-Dunford [3]. Integral jenis ini juga
telah digeneralisasi ke dalam ruang Euclide R n [8]. Berdasarkan hasil kajian integral HenstockDunford mengenai sifat-sifat sederhana dan fungsi primitifnya [3], penulis akan mengkaji sifat-sifat lebih lanjut dari integral HenstockDunford pada ruang R . Sifat-sifat ini digeneralisasi dari integral Henstock pada ruang real R , yaitu sifat Functionally small Riemann sums fungsi terintegral Henstock. Diperoleh bahwa syarat perlu dan cukup suatu fungsi terintegral Henstock adalah memenuhi sifat functionally small Riemann sumsnya [7]. Integral Henstock-Dunford pada [a,b] Pada tulisan ini, dibahas definisi integral [a, b] , sifat-sifat Henstock-Dunford pada sederhana, dan fungsi primitifnya mengacu pada [3]. Definisi 1. [3] Diberikan X ruang Banach dan X * ruang dualnya, serta interval tertutup [a, b] R . Fungsi f :[a, b] X dikatakan terintegral Henstock-Dunford pada [a, b] jika untuk setiap x* X * fungsi x* f :[a, b] R terintegral Henstock pada [a, b] dan untuk setiap interval tertutup A [a, b] terdapat vektor
x**f , A X ** sehingga x**f , A ( x* ) H x* f . A
58
Jurnal Sains dan Matematika
Vol. 20 (3): 58-63 (2012)
Selanjutnya vektor x**f , A X ** di atas disebut
tertutup A [a, b] terdapat vektor x**f , A X **
nilai integral Henstock-Dunford pada A dan ditulis x**f , A HD f .
sehingga
x**f , A ( x* ) H x* f . A
Jika f terintegral Henstock-Dunford pada [a, b] , ditulis f HD[a, b] .
Diberikan bilangan 0 sebarang dan x* X * maka terdapat fungsi positif pada [a, b] sehingga untuk interval tertutup A [a, b] dan
Teorema 2. [3] Jika f HD[a, b] maka vektor
D D, x dan P P, y masing-masing
A
x**f , A X ** pada Definisi 1. adalah tunggal. Bukti: Diberikan sebarang interval tertutup A [a, b] .
x1** f , A X **
Andaikan terdapat vektor
x**f , A ( x* ) P x* f ( y ) ( P)
2
2
.
Dengan demikian diperoleh D x* f ( x) ( D) P x* f ( y) ( P)
x1** f , A ( x* ) H x* f dan A
x
x**f , A ( x* ) D x* f ( x) ( D) dan
dan
x2** f , A X ** maka
** 2 f , A
partisi Perron -fine pada A berlaku
( x ) H x* f . *
D x* f ( x) ( D) x**f , A ( x* )
A
Oleh karena itu x1** f , A ( x* ) x2** f , A ( x* ) H x* f H x* f A
A
0, x* X * . Jadi x1** f , A x2** f , A .
■
Teorema 3. [3] Jika f HD[a, b] maka f HD( A) untuk setiap interval tertutup bagian A [a, b] . Bukti : Jelas menurut definisi. ■ Teroema 4. [7] (Kriteria Cauchy) Fungsi f HD[a, b] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 0 terdapat fungsi positif pada [a, b] sehingga jika A [a, b] interval tertutup dan D D, x dan P P, y masingmasing partisi Perron -fine pada A berlaku D x* f ( x) ( D) P x* f ( y) ( P) untuk setiap x* X * . Bukti: (Syarat Perlu) Diketahui
f HD[a, b] . Jadi
untuk setiap x X fungsi x* f terintegral Henstock pada [a, b] dan untuk setiap interval *
*
x**f , A ( x* ) P x* f ( y) ( P)
. 2 2 (Syarat cukup) Diberikan bilangan 0 sebarang dan x* X * maka terdapat fungsi positif pada [a, b] sehingga untuk interval
tertutup
A [a, b]
dan
D D, x
dan
P P, y masing-masing partisi Perron fine pada A berlaku D x* f ( x) ( D) P x* f ( y) ( P) . Diambil 1 terdapat fungsi positif 1 pada [a, b] dengan sifat di atas. 1 Diambil terdapat fungsi positif 2 pada 2 [a, b] dengan 2 1 dan memenuhi sifat di atas. 1 Diambil terdapat fungsi positif n pada n [ a , b] dengan dan n n1 ... 2 1 memenuhi sifat di atas. Untuk n N dan x* X * didefinisikan Sn Dn x* f ( x) ( D) ,
59
Jurnal Sains dan Matematika dengan jumlahan diambil atas partisi Perron n fine Dn D, x pada A .
Diambil sebarang m, n N dengan m n , maka untuk setiap partisi Perron m fine pada A
Vol. 20 (3): 58-63 (2012)
Hal ini berarti untuk setiap x* X * fungsi x* f terintegral Henstock pada [a, b] dan terdapat vektor x**f , A X ** sehingga x**f , A ( x* ) S H x* f . A
merupakan partisi Perron n fine pada A .
Dengan kata lain, f HD[a, b]. ■
Akibatnya untuk setiap partisi Perron m fine
Definisi 5. [3] Diberikan f HD[a, b]. dan I ( E ) koleksi semua interval tertutup di dalam [a, b] . Fungsi F : I( E) X dengan rumus
Dm D, x pada A dan sebarang partisi
Perron n fine Dn D, x pada A berlaku Sm Sn
F ( A) x**f , A HD f A
1 . n Diberikan sebarang bilangan 0 maka 1 . terdapat bilangan asli n0 sehingga n0 2 Selanjutnya jika m, n n0 maka diperoleh 1 1 Sm Sn . n n0 2 Dm x* f ( x) ( D) Dn x* f ( x) ( D)
S n
Hal ini berarti
barisan Cauchy di R .
dan F () 0 , untuk setiap A I( E ) disebut fungsi primitif-HD fungsi f . Berdasarkan Definisi 5. maka fungsi F merupakan fungsi aditif. Akibat 6. Jika f HD[a, b] dengan F sebagai primitif-HDnya dan E1 , E2 ,..., E p intervalinterval terttutup di dalam [a, b] yang tidak saling tumpang-tindih dan [a, b]
F ([a, b]) F ( Ei ) x**f , Ei .
x**f , A ( x* ) S R sehingga lim Sn S .
Bukti : Karena
n
Sn S Diambil
2
.
( x) min n ( x), n ( x) : x [a, b] 0
* 0
Diperoleh fungsi positif pada [a, b] . Selanjutnya untuk setiap P P, x partisi Perron -fine pada A berlaku P x* f ( x) ( P) S 0
2
2
.
p
p
i 1
i 1
f HD( E, ) dengan p
primitif-HDnya, E
i 1
F
sebagai
Ei dengan Ei0 E 0j
untuk setiap i j maka diperoleh
p F ( E ) F Ei i 1 x** p f , Ei , i 1
x**f , E1 , x**f , E2 , ... x**f , E , p F ( E1 ) F ( E2 ) ... F ( E p ) p
P x* f ( x) ( P) Sn* Sn* S
Ei maka i 1
Karena R lengkap berarti untuk setiap x* X * dan A [a, b] di atas terdapat bilangan Dengan demikian untuk sebarang bilangan 0 di atas terdapat bilangan asli n0* dan jika n n0* berlaku
p
0
F ( Ei ) i 1 p
x**f , Ei , . ■ i 1
60
Jurnal Sains dan Matematika Selanjutnya berdasarkan Definisi 1. maka integral Henstock-Dunford pada [a, b] dapat dinyatakan seperti dalam teorema berikut. Teorema 7. [7] Fungsi f HD[a, b] jika dan hanya jika terdapat fungsi aditif F pada [a, b] sehingga untuk setiap bilangan 0 dan x* X * terdapat fungsi positif pada [a, b] dan jika A [a, b] interval tertutup dan
D D, x partisi Perron -fine pada A berlaku D x* f ( x) ( D) F ( D) atau
Teorema 8. [7] (Lemma Henstock) Fungsi f HD[a, b] dengan fungsi primitif F , yaitu untuk setiap bilangan 0 dan x* X * terdapat fungsi positif pada [a, b] sehingga jika A E interval tertutup dan D D, x
maka untuk setiap jumlahan bagian D berlaku
1
dari
Functionally Small Riemann Sums Berikut ini akan ditunjukkan bahwa syarat perlu dan cukup suatu fungsi terintegral HenstockDunford pada [a,b], yaitu memenuhi sifat functionally small Riemann sums pada [a,b]. Pembahasan Functionally Small Riemann Sums (FSRS) pada integral Henstock-Dunford ini dikaitkan dengan fungsi non negatif yang terintegral Lebesgue pada [a, b] . Teorema 9. Jika fungsi f terintegral HenstockDunford pada [a, b] maka ada barisan himpunan
Ei ,
Ei Ei 1 , [a, b]
Ei dan F AC * Ei untuk
dengan [a, b]
setiap i . Akibatnya F AC Ei untuk setiap i . Jadi f BV Ei untuk setiap i . Dengan demikian, F '( x) f ( x) hampir dimanamana pada Ei untuk setiap i . Jadi x* f terintegral Lebesgue pada Ei untuk setiap i . ■
untuk setiap bilangan 0 , x* X * , dan interval tertutup A [a, b] terdapat fungsi non negatif x* g yang terintegral Lebesgue pada [a, b] dan fungsi positif pada [a, b] sehingga jika D D, x partisi Perron -fine pada A berlaku
D1 x* f ( x) ( D) x* F ( D) . ■
tertutup
Dengan demikian terdapat barisan tertutup Ei
Definisi 10. Diberikan f :[a, b] X fungsi terukur pada [a, b] . Fungsi f dikatakan mempunyai sifat functionally small Riemann sums pada [a, b] , ditulis f FSRS[a, b] , jika
D x* f ( x) ( D) x* F ( D) . ■
partisi Perron -fine pada A berlaku D x* f ( x) ( D) F ( D)
Vol. 20 (3): 58-63 (2012)
*
Ei dan x f
terintegral Lebesgue pada Ei untuk setiap i . Bukti : Karena f HD[a, b] maka ada fungsi primitif F pada [a, b] . Dapat ditunjukkan bahwa F
D
x* f ( x) ( D) .
x* f ( x ) x* g ( x )
Teorema 11. Jika fungsi f FSRS[a, b] maka f HD[a, b] . Bukti: Diketahui f FSRS[a, b] berarti untuk setiap bilangan 0 , x* X * , dan interval tertutup A [a, b] terdapat fungsi non negatif x* g yang terintegral Lebesgue pada [a, b] dan fungsi positif pada [a, b] sehingga jika D D, x partisi Perron -fine pada A berlaku D
x* f ( x) ( D) .
x f ( x) x g ( x) *
*
Didefinisikan x* f ( x), x [a, b], x* h ( x ) x* f ( x ) x* g ( x ) , x yang lain 0
kontinu pada [a, b] , lebih lanjut F ACG* .
61
Jurnal Sains dan Matematika Diperoleh bahwa fungsi x*h terukur dan terdominasi oleh x* g pada [a, b] . Karena x* g terintegral Lebesgue pada [a, b] , maka fungsi h terintegral Henstock-Dunford mutlak sehingga terdapat fungsi positif * pada [a, b] dengan sifat untuk setiap D1 dan D2 dua partisi Perron * fine pada A berlaku
D1 x*h( x) ( D) D2 x*h( x) ( D)
4
.
Diambil * ( x) min ( x), * ( x) . Akibatnya, untuk sebarang P dan Q partisi Perron * -fine pada A berlaku P x* f ( x) ( D) Q x* f ( x) ( D)
P
x* f ( x) ( D)
x f ( x) x g ( x) *
Q
*
Untuk setiap k diperoleh f k HD[a, b] . Hal ini berarti untuk setiap bilangan 0 , x* X * , dan interval tertutup A [a, b] ada bilangan asli n0 sehingga jika n n0 berlaku
H x* f H x* f A
x* f ( x) ( D)
x* f ( x) ( D)
4 4 P x*h( x) ( D) Q x*h( x) ( D)
. 4 4 4 Menurut kriteria Cauchy, f HD[a, b] . f HD[a, b] Teorema 12. Jika maka f FSRS[a, b] . Bukti: Diketahui f HD[a, b] maka untuk setiap
.
x* X * , x* f terukur pada [a, b] . Menurut Teorema 9 terdapat barisan himpunan tertutup Ei dengan Ei Ei 1 , [a, b] Ei dan x* f
terintegral Lebesgue pada Ei untuk setiap i . Didefinisikan x* f ( x), x Ek x* f k ( x ) . , x yang lain 0
3
untuk setiap x* X * , dan interval tertutup A [a, b] . Karena fungsi f HD[a, b] maka terdapat fungsi positif * pada [a, b] sehingga jika D partisi Perron * -fine pada A berlaku
D x* f ( x) ( D) H
x* f
[ a ,b ]
x* f ( x ) x* g ( x )
3
A
x* f ( x) ( D)
x* f ( x ) x* g ( x )
Q
Ek
D x* f k ( x) ( D) H x* f k
*
P
Untuk setiap k N terdapat fungsi positif k pada [a, b] sehingga untuk setiap D partisi Perron k -fine pada A berlaku
x f ( x) x g ( x) *
Vol. 20 (3): 58-63 (2012)
untuk setiap A [a, b] .
3
x X , dan interval tertutup *
*
Diketahui fungsi x* g dengan x* g ( x) x* f k ( x) . Diperoleh x* g non negatif dan terukur pada [a, b] , sehingga x* g terintegral Lebesgue pada [ a , b] . Kemudian diambil ( x) min k ( x), * ( x) . Diperoleh fungsi positif pada [a, b] . Dengan demikian, untuk sebarang D partisi Perron -fine pada A berlaku D
x* f ( x) ( D)
x f ( x) x g ( x) *
*
D x* f ( x) ( D) D
x* f ( x) ( D)
x f ( x) x g ( x) *
*
D x* f ( x) ( D) H x* f A
D x* f ( x) ( D) H x* f k A
62
Jurnal Sains dan Matematika H x* f k D x* f ( x) ( D) xEk
A
3
3
H x* g D x* g ( x) ( D) A
. 3 3 3 Jadi f FSRS[a, b] . ■
Akibat 13. Fungsi f FSRS[a, b] jika dan hanya jika f HD[a, b] . Bukti: Menurut Teorema 11 dan Teorema 12. ■
Vol. 20 (3): 58-63 (2012)
[8] Saifullah. 2003, Integral Henstock-Dunford pada Ruang Euclide n , Tesis, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [9] Schwabik, S., Guoju, Ye. 2004, Topics in Banach Space Integration, Manuscrip in Preparation. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih kepada Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro yang telah memberikan dana untuk penelitian ini.
PENUTUP Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh kesimpulan bahwa syarat perlu dan cukup suatu fungsi terukur terintegral Henstock-Dunford pada [a,b] adalah fungsi tersebut bersifat functionally small Riemann sums pada [a,b] . DAFTAR PUSTAKA [1] Boccuto, A., Skvortsov, A.V. 2004, Henstock-Kurzweil Type Integration of Riesz-Space-Valued Functions and Applications to Walsh Series, Real Analysis Echange, 29(1): 419-439. [2] Gordon, R.A. 1994, The Integral of lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Mathematical Society, USA. [3] Guoju, Ye., Tianqing, An. 2001, On Henstock-Dunford and Henstock-Pettis Integrals, IJMMS, 25(7): 467-478. [4] Heikkila, S. 2011, Monotone Convergence Theorems for Henstock-Kurzweil Integrable Functions and Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 377(1): 286-295. [5] Indrati, Ch. R. 2002, Integral HenstockKurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi-n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [6] Indrati, Ch.R., Surodjo, Budi. 2000, Aplikasi Integral Henstock-Kurzweil pada Medan Vektor, Lembaga Penelitian UGM, Yogyakarta. [7] Lee P.Y. 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, World Scientific, Singapore.
63
