Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja

1

NEM NYOMTATÁSRA!


A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


2

NEM NYOMTATÁSRA!

Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Definíció: n dimenziós (zárt) intervallum

Legyen a = (a1,…,an)∈Rn, b = (b1,…,bn)∈Rn, a1< b1 , a2< b2 , ... , an< bn. Ekkor az I = [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2] × … × [an,bn] ⊆ Rn halmazt n dimenziós intervallumnak nevezzük. Megjegyzés Az egydimenziós intervallumok a szokásos intervallumok. A kétdimenziós intervallumok téglalapok. A háromdimenziós intervallumok téglatestek. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


3

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: n dimenziós intervallum beosztása

Legyenek I1,I2,…,Ik és I n dimenziós intervallumok. A d = { I1 , I2 , … , Ik } intervallumrendszert az I intervallum beosztásának nevezzük, ha • I1 ∪ I2 ∪ … ∪ Ik = I • Ii0 ∩ Ij0 = ∅, ha i ≠ j (i =1,…,k , j =1,…,k). ( I0 az I intervallum belsejét jelenti ) Jelölés

D(I): az I összes beosztásának halmaza



4

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: n dimenziós intervallum mértéke

Az I = [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2] × … × [an,bn] ⊆ Rn n dimenziós intervallum mértéke: v ( I ) = (b1- a1) ⋅ (b2- a2) ⋅ … ⋅ (bn- an)

Megjegyzés

A mérték • egydimenziós esetben az intervallum hossza, • kétdimenziós esetben a téglalap területe, • háromdimenziós esetben a téglatest térfogata.



5

NEM NYOMTATÁSRA!

A továbbiakban I legyen n dimenziós zárt intervallum. Ha f : I → R korlátos függvény, { I1 , I2 , … , Ik } az I intervallum egy beosztása, akkor vezessük be a következő jelöléseket: mi = inf f ( Ii ) , i=1,...,k

Mi = sup f ( Ii ) , i=1,...,k

( f ( Ii ) az Ii intervallum f függvény szerinti képhalmazát jelenti. ) Megjegyzés

Ha f folytonos, akkor mi a függvény legkisebb értéke (minimuma) az Ii intervallumon, Mi a függvény legnagyobb értéke (maximuma) az Ii intervallumon.



6

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: alsó és felső integrálközelítő összeg

Ha f : I → R korlátos függvény, d = { I1 , I2 , … , Ik } az I intervallum egy beosztása, akkor az k

s(f , d ) = ∑ m i ⋅ v ( I i ) i =1

k

S(f , d ) = ∑ M i ⋅ v(I i ) i =1

összegeket az f függvény d beosztáshoz tartozó alsó ill. felső integrálközelítő összegének nevezzük. Megjegyzés

Az integrálközelítő összeg tagjai olyan szorzatok, melyek egyik tényezője a függvény egy értéke, a másik tényezője a felosztásban szereplő egy részintervallum mértéke. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


7

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: az alsó és a felső integrálközelítő összegek viszonya

Ha f : I → R korlátos függvény, d1 és d2 az I intervallum két tetszőleges beosztása, akkor

s ( f , d1 ) ≤ S ( f , d2 ) vagyis egy felső integrálközelítő összeg nem lehet kisebb egy alsó integrálközelítő összegnél. Következmény

Az alsó integrálközelítő összegek halmaza felülről korlátos. A felső integrálközelítő összeg halmaza alulról korlátos.



NEM NYOMTATÁSRA!

8

Definíció: alsó integrál

Az f:I→R korlátos függvény alsó integrálközelítő összegei halmazának pontos felső korlátját az f függvény alsó integráljának nevezzük.

∫ f = sup s(f , d) I

d∈D ( I )

Definíció: felső integrál

Az f:I→R korlátos függvény felső integrálközelítő összegei halmazának pontos alsó korlátját az f függvény felső integráljának nevezzük.

∫f = I

inf S(f , d)

d∈D ( I )

Az előző következmény miatt az alsó és a felső integrál valós szám.) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


9

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés

A definíciók alapján nyilvánvaló, hogy

∫f ≤ ∫f I

I

Definíció: integrál

Ha az alsó és a felső integrál egyenlő, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény integrálható az I intervallumon. Az alsó és a felső integrálok közös értékét az f függvény I intervallumon vett integráljának nevezzük. Jelölés

∫f = ∫f = ∫f I

I

I

Tétel

Ha az f:I→R függvény folytonos, akkor integrálható. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


10

NEM NYOMTATÁSRA!

Az integrál konstrukciója két változó esetén - Kettős integrál Definíció: kétdimenziós (zárt) intervallum

Legyen a = (a1,a2)∈R2, b = (b1,b2)∈R2, a1< b1 , a2< b2. Ekkor az I = [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2] ⊆ R2 halmazt (téglalapot) kétdimenziós intervallumnak nevezzük.



11

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: kétdimenziós intervallum beosztása

Legyenek I1,I2,…,Ik és I kétdimenziós intervallumok. A d = { I1 , I2 , … , Ik } intervallumrendszert az I intervallum beosztásának nevezzük, ha • I1 ∪ I2 ∪ … ∪ Ik = I • Ii0 ∩ Ij0 = ∅, ha i ≠ j (i =1,…,k , j =1,…,k). ( I0 az I intervallum belsejét jelenti ) Jelölés




12

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: kétdimenziós intervallum mértéke

Az I = [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2] ⊆ R2 kétdimenziós intervallum mértéke (területe): v ( I ) = T ( I ) = (b1- a1) ⋅ (b2- a2)



13

NEM NYOMTATÁSRA!

A továbbiakban I legyen kétdimenziós zárt intervallum. Ha f : I → R korlátos függvény, { I1 , I2 , … , Ik } az I intervallum egy beosztása, akkor vezessük be a következő jelöléseket: mi = inf f ( Ii ) , i=1,...,k Mi = sup f ( Ii ) , i=1,...,k Megjegyzés

Ha f folytonos, akkor • mi a függvény legkisebb értéke (minimuma) az Ii intervallumon, • Mi a függvény legnagyobb értéke (maximuma) az Ii intervallumon.



14

NEM NYOMTATÁSRA!



k

i =1

i =1

s(f , d ) = ∑ m i ⋅ T (I i ) S(f , d ) = ∑ M i ⋅ T (I i ) összegeket az f függvény d beosztáshoz tartozó alsó ill. felső integrálközelítő összegének nevezzük. Megjegyzés

Az integrálközelítő összeg tagjai olyan szorzatok, melyek egyik tényezője a függvény egy értéke, a másik tényezője a felosztásban szereplő egy téglalap területe. Vagyis az integrálközelítő összeg tagjai téglatestek (előjeles) térfogataiként is felfoghatók. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


15

NEM NYOMTATÁSRA!

Az alsó és a felső integrálközelítő összegek geometriai jelentése

m i ⋅ T(Ii )

M i ⋅ T(Ii )



16

NEM NYOMTATÁSRA!







17

NEM NYOMTATÁSRA!




d∈D ( I )

∫f = I

inf S(f , d)

d∈D ( I )


Az f:I→R korlátos függvény felső integrálközelítő összegei halmazának pontos alsó korlátját az f függvény felső integráljának nevezzük. Az előző következmény miatt az alsó és a felső integrál valós szám.) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


18

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés


∫f ≤ ∫f I

I



∫f = ∫f = ∫f I

I

I



19

NEM NYOMTATÁSRA!

Jelölés

A kettős integrált általában két integrál jellel írjuk:

∫∫ f I

ill.

∫∫ f (x, y) dxdy I

Tétel

Ha az f:I→R függvény folytonos, akkor integrálható.



20

NEM NYOMTATÁSRA!

Az integrál geometriai jelentése kétváltozós esetben Nemnegatív értékkészletű folytonos kétváltozós integrálja a „függvény alatti térfogattal” egyenlő:

függvény

V = ∫∫ f I



NEM NYOMTATÁSRA!

21

Az integrál konstrukciója három változó esetén Hármas integrál b3 a3 Definíció: háromdimenziós (zárt) intervallum

a2

b2

Legyen a = (a1,a2,a3)∈R3, b = (b1,b2,b3)∈R3, a1 a1< b1 , a2< b2, a3< b3. b1 Ekkor az I = [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2] × [a3,b3] ⊆ R3 halmazt (téglatestet) háromdimenziós intervallumnak nevezzük.



22

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: háromdimenziós intervallum beosztása

Legyenek I1,I2,…,Ik és I kétdimenziós intervallumok. A d = { I1 , I2 , … , Ik } intervallumrendszert az I intervallum beosztásának nevezzük, ha • I1 ∪ I2 ∪ … ∪ Ik = I • Ii0 ∩ Ij0 = ∅, ha i ≠ j (i =1,…,k , j =1,…,k). ( I0 az I intervallum belsejét jelenti ) Jelölés




23

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: háromdimenziós intervallum mértéke

Az I = [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2] × [a3,b3] ⊆ R3 n dimenziós intervallum mértéke (térfogata): v ( I ) = V ( I ) = (b1- a1) ⋅ (b2- a2) ⋅ (b3- a3)



24

NEM NYOMTATÁSRA!

A továbbiakban I legyen háromdimenziós zárt intervallum. Ha f : I → R korlátos függvény, { I1 , I2 , … , Ik } az I intervallum egy beosztása, akkor vezessük be a következő jelöléseket: mi = inf f ( Ii ) , i=1,...,k

Mi = sup f ( Ii ) , i=1,...,k

Megjegyzés

Ha f folytonos, akkor • mi a függvény legkisebb értéke (minimuma) az Ii intervallumon, • Mi a függvény legnagyobb értéke (maximuma) az Ii intervallumon.



25

NEM NYOMTATÁSRA!



k

i =1

i =1

s(f , d ) = ∑ m i ⋅ V (I i ) S(f , d ) = ∑ M i ⋅ V (I i ) összegeket az f függvény d beosztáshoz tartozó alsó ill. felső integrálközelítő összegének nevezzük. Megjegyzés

Az integrálközelítő összeg tagjai olyan szorzatok, melyek egyik tényezője a függvény egy értéke, a másik tényezője a felosztásban szereplő egy téglatest térfogata.



26

NEM NYOMTATÁSRA!







27

NEM NYOMTATÁSRA!




d∈D ( I )

∫f = I

inf S(f , d)

d∈D ( I )


Az f:I→R korlátos függvény felső integrálközelítő összegei halmazának pontos alsó korlátját az f függvény felső integráljának nevezzük. Az előző következmény miatt az alsó és a felső integrál valós szám.) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


28

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés


∫f ≤ ∫f I

I



∫f = ∫f = ∫f I

I

I

Tétel

Ha az f:I→R függvény folytonos, akkor integrálható. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


29

NEM NYOMTATÁSRA!

Jelölés

A hármas integrált általában három integrál jellel írjuk:

∫∫∫ f I

ill.

∫∫∫ f (x, y, z) dxdydz I

Tétel

Ha az f:I→R függvény folytonos, akkor integrálható.



30

NEM NYOMTATÁSRA!

Az integrál néhány tulajdonsága Tétel: összegfüggvény integrálja

Ha az f:I→R és a g:I→R függvények integrálhatóak, akkor az f+g függvény is integrálható és

∫ (f + g ) = ∫ f + ∫ g I

I

I

(Tagonként lehet integrálni.) Tétel: függvény konstansszorosának integrálja

Ha az f:I→R függvény integrálható és c∈R, akkor a c⋅f függvény is integrálható és

∫ (c ⋅ f ) = c ⋅ ∫ f I

I

(Szorzó konstans kiemelhető az integrál elé.) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


NEM NYOMTATÁSRA!

31

Tétel: az integrál additivitása

Ha az { I1 , I2 , … , Ik } intervallumrendszer az I intervallum egy beosztása, és az f:I→R függvény integrálható az I1 , I2 , … , Ik intervallumokon, akkor f integrálható az I intervallumon is és

k

∫f = ∑∫f I

i =1 I i

Tétel

Ha az f:I→R függvény integrálható az I (n dimenziós) intervallumon, akkor integrálható bármely J ⊆ I n dimenziós részintervallumon is.



NEM NYOMTATÁSRA!

32

Tétel: az integrál monotonitása

Ha az f:I→R és a g:I→R függvények integrálhatók, és f(x) ≤ g(x), ha x∈I, akkor

∫ f ≤∫ g I

I

Tétel: középérték tétel

Ha az f:I→R függvény integrálható, m∈R és M∈R az f alsó és felső korlátja, azaz m ≤ f(x) ≤ M, ha x∈I, akkor

m ⋅ v ( I ) ≤ ∫ f ≤ M ⋅ v ( I) I



33

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: az integrál kiszámítása intervallumon

Legyen I = [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2] × … × [an,bn] ⊆ Rn n dimenziós zárt intervallum. Ha az f:I→R folytonos, akkor az f függvény I-n vett integrálja kiszámítható n db egyváltozós integrál kiszámításával az alábbiak szerint:

∫f = I

∫ f (x , x

1 2 [ a1 , b1 ]×[ a 2 , b 2 ]×...×[ a n , b n ]

,..., x n ) dx1dx 2 ...dx n =

⎛ b2 ⎛ bn ⎞ ⎞ = ∫ ⎜ ∫ ...⎜ ∫ f ( x1 , x 2 ,..., x n ) dx n ⎟... dx 2 ⎟dx1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x1 = a 1 ⎝ x 2 = a 2 ⎝ x n = a n ⎠ ⎠ b1



34

NEM NYOMTATÁSRA!

A kettős integrál kiszámítása téglalapon Legyen I = [a1,b1] × [a2,b2] ⊆ R2 kétdimenziós zárt intervallum. Ha az f:I→R folytonos, akkor az f függvény I-n vett kettős integrálja meghatározható két db egyváltozós integrál kiszámításával az alábbiak szerint:

⎛ b2 ⎞ ⎜ f ( x , y) dy ⎟dx f ( x , y ) dxdy = ∫∫ ∫ ∫ ⎜ ⎟ [ a1 , b1 ]×[ a 2 , b 2 ] x = a1 ⎝ y = a 2 ⎠ b1


Többváltozós függvények Riemann integrálja Példa

∫∫ f = I

4

=

∫

y =0

f ( x , y) = x 2 ⋅ y − 5 y + 2

∫∫ (x

2

)

⋅ y − 5 y + 2 dx dy =

[1, 3]×[ 0 , 4 ]

NEM NYOMTATÁSRA!

35

I = [1,3] × [0,4] 4

∫

y =0

(

)

⎛ 3 2 ⎞ ⎜ ∫ x ⋅ y − 5 y + 2 dx ⎟ dy = ⎜ ⎟ ⎝ x =1 ⎠

3

⎡ ⎤ x ⎢ y ⋅ − 5 y ⋅ x + 2 x ⎥ dy = 3 ⎣ ⎦ x =1 3

(

)

⎛ ⎞⎞ ⎛1 = ∫ ⎜⎜ 9 ⋅ y − 15 y + 6 − ⎜ ⋅ y − 5 y + 2 ⎟ ⎟⎟ dy = ⎠⎠ ⎝3 y =0 ⎝ 4

4

3 ⎡ ⎤ 4 ⎢ 26 y 2 ⎥ y2 ⎞ ⎛ 26 − 10 ⋅ + 4 y ⎥ = = ∫ ⎜ ⋅ y − 10 y + 4 ⎟ dy = ⎢ ⋅ 3 2 3 ⎠ y =0 ⎝ ⎢3 ⎥ 2 ⎣ ⎦ y =0 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


36

NEM NYOMTATÁSRA!

4

⎤ ⎡ 52 y = ⎢ ⋅ y − 10 ⋅ + 4 y ⎥ = 2 ⎦ y =0 ⎣9 3 2

2

416 ⎛ 52 ⎞ = ⎜ ⋅ 8 − 10 ⋅ 8 + 16 ⎟ − 0 = − 64 ≈ −17,78 9 ⎝ 9 ⎠



37

NEM NYOMTATÁSRA!

A hármas integrál kiszámítása téglatesten Legyen I = [a1,b1] × [a2,b2] × [a3,b3] ⊆ R3 háromdimenziós zárt intervallum. Ha az f:I→R folytonos, akkor az f függvény I-n vett integrálja kiszámítható három db egyváltozós integrál kiszámításával az alábbiak szerint:

⎛ b 2 ⎛ b3 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ f ( x , y, z) dz ⎟ dy ⎟dx f ( x , y , z ) dxdydz = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ [ a1 , b1 ]×[ a 2 , b 2 ]×[ a 3 , b 3 ] x = a1 ⎝ y = a 2 ⎝ z = a 3 ⎠ ⎠ b1



38

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa f ( x , y, z) = x 3 ⋅ z − 5 y ⋅ z 2 + 6z − 3 I = [1,3] × [0,4] × [ 2,5]

∫f = I

3

=

∫

x =1

3

=

∫

x =1 3

=

∫

x =1

3 2 ( x z − 5 yz + 6z − 3) dx dy dz = ∫

[1, 3]×[ 0 , 4 ]×[ 2 , 5 ]

⎛ 4 ⎜ ⎜ ∫ ⎝ y =0

⎛ 5 3 ⎞ ⎞ 2 ⎜ ∫ ( x z − 5 yz + 6z − 3) dz ⎟ dy ⎟dx = ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ z=2 ⎠ ⎠

⎛ 4 ⎜ ⎜ y∫=0 ⎝

⎞ ⎡ 3z ⎤ z z ⎟dx = x 5 y 6 3 z dy − + − ⎢ ⎥ 2 3 2 ⎣ ⎦ z = 2 ⎟⎠

⎛ 4 ⎜ ⎜ ∫ ⎝ y =0

⎛ 25 3 725 ⎞ ⎛ 3 40 ⎞ ⎞⎟ y + 75 − 15 ⎟ − ⎜ 2 x − y + 12 − 6 ⎟dy dx = ⎜ x − 3 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎟⎠

2

3

2

5


Többváltozós függvények Riemann integrálja 3

=

∫

x =1

3

=

∫

x =1

3

=

∫

x =1

⎛ 4 ⎜ ⎜ ∫ ⎝ y =0

39

NEM NYOMTATÁSRA!

⎞ ⎞⎟ ⎛ 21 3 685 y + 54 ⎟dy dx = ⎜ x − 3 ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ 4

⎡ 21 3 ⎤ 685 y ⋅ + 54 y ⎥ dx = ⎢ x y− 3 2 ⎣2 ⎦ y =0 2

⎛ ⎛ 84 3 5480 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎜ x − + 216 ⎟ − 0 ⎟⎟dx = ∫ 3 ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2 x =1 3

⎛ 84 3 4832 ⎞ ⎜ x − ⎟dx = 3 ⎠ ⎝ 2

3

⎡ 84 x 4832 ⎤ ⎛ 1701 ⎞ ⎛ 21 4832 ⎞ − 7144 =⎢ ⋅ − ⋅ x⎥ = ⎜ − 4832 ⎟ − ⎜ − ⎟= 3 3 ⎠ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎣2 4 ⎦ x =1 ⎝ 2 4



40

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: síkbeli normál tartomány

Ha f1 , f2 : [a,b] → R folytonos függvények és f1(x) ≤ f2(x), x∈[a,b] , akkor a H = { (x,y)∈R2 | a ≤ x ≤ b , f1(x) ≤ y ≤ f2(x) } halmaz az „x” tengelyre vonatkozó normál tartománynak nevezzük.

Ha g1 , g2 : [a,b] → R folytonos függvények és g1(x) ≤ g2(x), ha y∈[a,b] , akkor a H = { (x,y)∈R2 | a ≤ y ≤ b , g1(y) ≤ x ≤ g2(y) } halmaz az „y” tengelyre vonatkozó normál tartománynak nevezzük A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


41

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: a kettős integrál kiszámítása normál tartományon

„x” tengelyre vonatkozó normál tartomány esetén:

⎛ f2 (x) ⎞ ⎜ ⎟dx = f f ( x , y ) dy ∫H x∫= a ⎜ y =f∫( x ) ⎟ ⎝ 1 ⎠ b

„y” tengelyre vonatkozó normál tartomány esetén: b

∫f = ∫

H

y =a

⎛ g2 ( y) ⎞ ⎜ ⎟dy f ( x , y ) dx ⎜ x =g∫ ( y ) ⎟ ⎝ 1 ⎠



NEM NYOMTATÁSRA!

42

f ( x , y) = x 2 y − x

Példa

{

H = ( x , y) | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x 1 ⎛ x 2 ⎞ ⎜ ( x y − x ) dy ⎟dx = = f ∫∫H x∫=0 ⎜ y∫=x ∫x =0 ⎟ ⎝ ⎠ 1

} x

⎡ 2 y ⎤ ⎢ x ⋅ − x ⋅ y ⎥ dx = 2 ⎣ ⎦ y=x 2

3 ⎛⎛ 1 3 ⎞ ⎞ 1 ⎛ ⎞ 4 2 = ∫ ⎜ ⎜⎜ x − x 2 ⎟⎟ − ⎜ x − x ⎟ ⎟ dx = ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎠ x =0 ⎝ ⎝ ⎠ 1

1

5 ⎡ ⎤ ⎢1 x4 x 2 1 x5 x3 ⎥ 1 2 1 1 −5 =⎢ ⋅ − − ⋅ + ⎥ = − − + = 5 2 5 3⎥ 8 5 10 3 120 2 4 ⎢ 2 ⎣ ⎦ x =0 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


43

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: az integrál kiszámítása polárkoordinátákkal megadott tartomány esetén (integráltranszformáció)

Ha az f : R2 → R függvény integrálható a H halmazon, akkor

∫ f (x, y) dx dy = ∫ f (r ⋅ cos α, r ⋅ sin α) ⋅ r dr dα

H

H

x = r ⋅ cos α y = r ⋅ sin α



44

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

Határozzuk meg az f(x,y) = x - 2y függvény integrálját a H halmazon!

A H halmazt derékszögű koordinátákkal nehéz előállítani, polárkoordinátákkal viszont „téglalap tartománnyá” egyszerűsödik: H = { (r,α) | 1 ≤ r ≤ 3 , π/4 ≤ α ≤ π/2 } így az integrált a transzformációs formulával célszerű kiszámítani.



45

NEM NYOMTATÁSRA!

∫ (x − 2 y) dx dy = ∫ (r ⋅ cos α − 2r ⋅ sin α) ⋅ r dr dα =

H

H

π 2

3 ⎞ ⎛ 2 2 = ∫ r ⋅ (cos α − 2 sin α ) dr dα = ∫ ⎜⎜ ∫ r ⋅ (cos α − 2 sin α ) dr ⎟⎟ dα = π H ⎠ α = ⎝ r =1 4

π 2

π 2

3 3 ⎞ ⎛ ⎡r ⎤ ⎟ 26 ⎜ = ∫ (cos α − 2 sin α ) ⋅ ⎢ ⎥ dα = ⋅ ∫ (cos α − 2 sin α ) dα = ⎜ 3 3 ⎦ r =1 ⎟ π π ⎣ ⎠ α= α= ⎝ 4

4

26 26 ⎛ 2⎞ π/ 2 ⎟ = ⋅ [sin α + 2 cos α ]α = π / 4 = ⋅ ⎜⎜1 − 3 ⋅ 3 3 ⎝ 2 ⎟⎠ A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


46

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés

Az

∫ f (x, y) dx dy = ∫ f (r ⋅ cos α, r ⋅ sin α) ⋅ r dr dα

H

képletben

H

az a legfontosabb tartalom, hogy

dx dy = r dr dα

Általánosan: ha kettős integrálban új változókra térünk át, például az x-y változókról az u-v változókra, akkor meg kell határozni, hogy az eredeti integrálban szereplő dxdy formula helyébe mi kerül. Ehhez szükség van az ún. Jacobi determinánsra, amit a régi és az új változók kapcsolatát megadó x(u,v) és y(u,v) kétváltozós függvények parciális deriváltjaiból képzünk:



47

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: Jacobi determináns

Ha az integráltranszformáció (új változókra való áttérés) esetén a régi (x,y) és az új (u,v) változók kapcsolata az

( u , v) → x ( u , v)

( u , v) → y( u , v)

függvények által adott, akkor a problémához tartozó Jacobi determináns:

⎛ ∂ u x ( u , v) ∂ v x ( u , v) ⎞ ⎟⎟ J (u, v) = det⎜⎜ ⎝ ∂ u y( u , v) ∂ v y( u , v) ⎠ Az új változókra való áttéréskor a következő formulát kell használni:

dx dy = J (u , v) du dv A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


48

NEM NYOMTATÁSRA!

Síkbeli derékszögű koordinátákról (x,y) síkbeli polár koordinátákra (r,α) való áttérés esetén a Jacobi determináns:

x (r, α) = r ⋅ cos α

y(r, α) = r ⋅ sin α

⎛ ∂ r x (r, α) ∂ α x (r, α) ⎞ ⎟⎟ = J (r, α) = det⎜⎜ ⎝ ∂ r y( r , α ) ∂ α y( r , α ) ⎠ ⎛ cos α r ⋅ (− sin α) ⎞ ⎟⎟ = r ⋅ cos 2 α + r ⋅ sin 2 α = r = det⎜⎜ r ⋅ cos α ⎠ ⎝ sin α

dx dy = r dr dα A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Recommend Documents