BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN Teorema 6.1 Jika f  𝑅[𝑎, 𝑐] dan f  𝑅[𝑐, 𝑏] dengan 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 maka f  𝑅[𝑎, 𝑏]. Lebih lanjut 𝑏

𝑅

𝑐

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑅 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + (𝑅) 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐

Bukti f  𝑅[𝑎, 𝑐] dan f  𝑅[𝑐, 𝑏], misalkan (𝑅)

𝑐 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴1 dan (𝑅)

𝑏 𝑐

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐴2 . Diberikan sembarang

bilangan 𝜀 > 0, maka terdapat 𝛿1 > 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann 𝑃1 pada [𝑎, 𝑐] dengan 𝑃1 < 𝛿1 berlaku 𝑛

𝑃1 𝑖=1

𝜀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴1 < . 4

dan juga terdapat 𝛿2 > 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann 𝑃2 pada [𝑐, 𝑏] dengan 𝑃2 < 𝛿2 berlaku 𝑛

𝑃2 𝑖=1

𝜀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴2 < . 4

Dipilih 𝛿 = min⁡ {𝛿1 , 𝛿2 }, akibatnya jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 maka terdapat dua kemungkinan; (i) c merupakan salah satu titik partisi P (ii) c bukan merupakan salah satu titik partisi P Kemungkinan (i) Jika c merupakan salah satu titik partisi P, maka P terbagi atas 𝑃1 pada interval bagian [𝑎, 𝑐] dan 𝑃2 pada interval bagian [𝑐, 𝑏]. Karena 𝛿 = min⁡ {𝛿1 , 𝛿2 } dan 𝑃 < 𝛿, maka berlaku pula 𝑃1 < 𝛿1 dan 𝑃2 < 𝛿2 , sehingga 𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 + 𝐴2 )

𝑃 𝑖=1

=

𝑛

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 + 𝑃2

𝑃1 𝑖=1 𝑛

=

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 + 𝐴2 ) 𝑖=1

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴1 + 𝑃2

𝑃1 𝑖=1 𝑛

≤

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴2 𝑖=1 𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴1 + 𝑃2

𝑃1 𝑖=1

<

𝑛

𝜀 𝜀 + <𝜀 4 4

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴2 𝑖=1

Kemungkinan (ii) Jika c bukan merupakan salah satu titik partisi Riemann P, maka dapat dibuat partisi Riemann 𝑃𝜀 pada pada [𝑎, 𝑏] dengan c sebagai salah satu titik partisinya, sehingga 𝑃𝜀 menjadi penghalus partisi P. Selanjutnya dengan cara seperti pada kemungkinan (i) diperoleh; 1

Thobirin - Herawan : Analisis Real II

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann 𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 + 𝐴2 )

𝑃𝜀 𝑖=1

=

𝑛

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 + 𝑃𝜀2

𝑃𝜀1 𝑖=1 𝑛

=

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 + 𝐴2 ) 𝑖=1

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴1 + 𝑃𝜀2

𝑃𝜀1

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴2

𝑖=1 𝑛

≤

𝑖=1 𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴1 + 𝑃𝜀2

𝑃𝜀1 𝑖=1

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴2 𝑖=1

𝜀 𝜀 𝜀 < + = 4 4 2 Jadi 𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 + 𝐴2 ) <

𝑃𝜀 𝑖=1

𝜀 2

dan karena 𝑛

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃𝜀

𝑃 𝑖=1

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖=1

<

𝜀 2

maka 𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 + 𝐴2 )

𝑃 𝑖=1

=

𝑛

𝑛


𝑃 𝑖=1 𝑛

≤

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 + 𝑃𝜀 𝑖=1 𝑛


𝑃

𝑛

𝑖=1

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 + 𝐴2 )

+ 𝑃𝜀

𝑖=1

𝜀 𝜀 < + = 𝜀. 2 2

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 + 𝐴2 ) 𝑖=1 𝑛

𝑖=1

Dengan demikian terbukti f  (𝑅)[𝑎, 𝑏] dan 𝑏

𝑅

𝑐

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑅 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + (𝑅) 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐

Teorema 6.2 Jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi terbatas dan 𝑓 𝑥 = 0 kecuali di beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval [𝑎, 𝑏]maka f  𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝑏

(𝑅)

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0. 𝑎

Bukti Dibentuk himpunan 𝑋 = 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓 𝑥 ≠ 0 yang mempunyai anggota sebanyak berhingga. Selanjutnya untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 dipilih bilangan 𝛿 dengan sifat 𝜀 0<𝛿< 𝑥∈𝑋 𝑓(𝑥) 2


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann Ambil sembarang partisi Riemann P pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿, maka diperoleh 𝑛

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 0 =

𝑃

1

𝑖=1

dengan adalah jumlah bagian dari (𝑃) 1 anggota X. adalah jumlah bagian dari (𝑃) 2

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 +

2

𝑖=1


(1)

𝑖=1

dengan semua interval bagian yang tidak memuat titik dengan semua interval bagian yang memuat titik anggota X.

Pada 2 ini dipilih titik tagnya adalah salah satu titik anggota X tersebut. Oleh karenanya pada (1) di atas menjadi 𝑛

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 0 ≤

𝑃 𝑖=1

𝑛

≤0+

2 𝑛

<

2


+

𝑖=1

2

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖=1

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖=1

𝑓 𝑖 𝑖=1

1

𝑛

𝜀 𝑥∈𝑋 𝑓(𝑥)

≤𝜀 Terbukti f  𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝑏

(𝑅)

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0. 𝑎

Berdasarkan Teorema 6.2 di atas dapat diperoleh akibat sebagai berikut. Teorema 6.3 Jika f  𝑅[𝑎, 𝑏], g: [𝑎, 𝑏]  R fungsi terbatas dan 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 kecuali di beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval [𝑎, 𝑏] maka g  𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝑏

𝑅

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑅 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑎

Bukti sebagai latihan. Selanjutnya berdasarkan Akibat 6.3 untuk integral Riemann, dapat didefinisikan relasi “=” dengan f = g pada interval [𝑎, 𝑏] dimaksudkan 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) kecuali di beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval [𝑎, 𝑏]. Mudah ditunjukkan bahwa relasi “=” tersebut merupakan relasi ekuivalensi pada 𝑅[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu 𝑅[𝑎, 𝑏] dapat dipartisi menjadi kelas-kelas ekuivalensi. Teorema 6.4 Jika f  𝑅[𝑎, 𝑏], g  𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 kecuali di beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval [𝑎, 𝑏] maka 𝑏

𝑅

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑅 𝑎

𝑔 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑎

3


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann Bukti Berdasarkan Akibat 6.3, tanpa mengurangi keumuman bukti, dapat diasumsikan bahwa 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya diberikan bilangan 𝜀 > 0 sembarang. Oleh karena 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿1 > 0 sehingga untuk setiap partisi 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃1 < 𝛿1 berlaku 𝑏

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝑅)

𝑃1 𝑖=1

𝑎

𝜀 𝑓 < . 2

Demikian juga 𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿2 > 0 sehingga untuk setiap partisi 𝑃2 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃2 < 𝛿2 berlaku 𝑏

𝑛

𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝑅)

𝑃2 𝑖=1

𝑎

𝜀 𝑔 < . 2

Dipilih 𝛿 = min⁡ {𝛿1 , 𝛿2 }, jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 maka 𝑃 < 𝛿1 dan 𝑃 < 𝛿2 sehingga berlaku 𝑏

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝑅)

𝑃 𝑖=1

𝑎

𝜀 𝑓 < atau 𝑅 2

𝑏

𝑎

𝜀 𝑓 − <𝑃 2

𝑏

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 < 𝑅 𝑖=1

𝑓+ 𝑎

𝜀 2

dan juga 𝑏

𝑛

𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝑅)

𝑃 𝑖=1

𝑎

𝜀 𝑔 < atau 𝑅 2

𝑏

𝑎

𝜀 𝑔 − <𝑃 2

𝑏

𝑛

𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 < 𝑅 𝑖=1

𝑎

𝜀 𝑔+ . 2

Akibatnya diperoleh 𝑏

𝑅 𝑎

𝜀 𝑓 − <𝑃 2

𝑛

𝑏

𝑛

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑃 𝑖=1

𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 < 𝑅 𝑖=1

𝑔+ 𝑎

𝜀 2

sehingga 𝑏

𝑅

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 < 𝑅 𝑎

𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝜀. 𝑎

Karena 𝜀 bilangan positif sembarang maka terbukti 𝑏

𝑅

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑅 𝑎

𝑔 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑎

A. Keterinegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton Selanjutnya diberikan keterintegralan fungsi bernilai real yang kontinu dan fungsi bernilai real yang monoton pada interval [𝑎, 𝑏] sebagai berikut. Teorema 6.5 Setiap fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [𝑎, 𝑏], terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Bukti Diberikan sembarang f fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [𝑎, 𝑏], berdasarkan teorema kekontinuan seragam, maka f kontinu seragam. Selanjutnya diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0. Karena f kontinu seragam, maka terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga jika 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 berlaku 4


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann 𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 <

𝜀 (𝑏 − 𝑎)2𝑖

Sehingga diperoleh 𝑛

𝑛

𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 =

𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) − 𝑖=1 𝑛

=

𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1

(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

𝜀 (𝑏 − 𝑎) = 𝜀 𝑏 − 𝑎 2𝑖

< 𝑖=1

Berdasarkan criteria Riemann f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] sehingga ia terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Teorema 6.6 Setiap fungsi bernilai real, monoton dan terbatas pada interval [𝑎, 𝑏], terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Bukti Pada buku ini hanya dibuktikan untuk fungsi f yang monoton naik pada interval [𝑎, 𝑏]. Untuk fungsi monoton turun, bukti sebagai latihan. Ambil sembarang 𝜀 > 0, dan karena f monoton naik pada [𝑎, 𝑏] maka (𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) > 0, sehingga berdasarkan sifat Archimides maka terdapat bilangan asli n sehingga 𝑏−𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) < 𝜀. 𝑛 Diberikan 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] yang membagi [𝑎, 𝑏] menjadi sebanyak n sub interval yang sama panjang. Jelas untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 berlaku 𝑏−𝑎 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = . 𝑛 Karena f monoton naik pada [𝑎, 𝑏] maka ia monoton naik pada [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 sehingga 𝑀𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 dan 𝑚𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖−1 Oleh karenanya 𝑛

𝑛

𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 =

𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) − 𝑖=1 𝑛

=

𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1

(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

=

{𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖−1 }(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

=

{𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖−1 } 𝑖=1

𝑏−𝑎 = 𝑛 =

𝑏−𝑎 𝑛

𝑛

{𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖−1 } 𝑖=1

𝑏−𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) < 𝜀. 𝑛 5


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann Jadi f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏], sehingga ia terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

B. Contoh Perhitungan Nilai Integral Telah ditegaskan pada bab sebelumnya bahwa integral Riemann ekuivalen dengan integral Darboux. Beberapa contoh berikut menjelaskan penghitungan nilai integral Riemann dengan menggunakan definisi atau teorema-teorema dalam integral Darboux. Contoh 6.7 1. Fungsi konstan terintegral Riemann pada interval tertutup Bukti Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑐 , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan c suatu konstanta. Ambil sembarang 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 }, partisi pada [𝑎, 𝑏], maka 𝑀𝑖 = 𝑐 dan 𝑚𝑖 = 𝑐,

∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛

Oleh karenanya 𝑛

𝑈 𝑃; 𝑓 =

𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

=

𝑐(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

=𝑐

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1

=𝑐 𝑏−𝑎 . dan 𝑛

𝐿 𝑃; 𝑓 =

𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

=

𝑐(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

=𝑐

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1

=𝑐 𝑏−𝑎 . 𝑈 𝑓 = inf { 𝑈 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]} = 𝑐 𝑏 − 𝑎 dan 𝐿 𝑓 = sup { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]} = 𝑐 𝑏 − 𝑎 . Jadi 𝑈 𝑓 = 𝐿(𝑓), maka f terintegral Darboux yang berarti ia juga terintegral Riemann. Lebih lanjut 𝑏

𝑅

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑏 − 𝑎 . 𝑎

2. Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1]. Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]? Penyelesaian Ambil sembarang partisi seragam 𝑃𝑛 = {0, 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛 𝑛−1 , 1} pada [0,1]. Karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1], maka 6


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = 𝑀𝑖 =

𝑖 , 𝑛

1 𝑛

∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛

𝑛

𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 =

𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

= 𝑖=1

1 = 2 𝑛

𝑖 1 𝑛𝑛 𝑛

𝑖 𝑖=1

1 = 2 1 + 2 + ⋯+ 𝑛 𝑛 1 𝑛(𝑛 + 1) = 2 𝑛 2 1 1 = 1+ 2 𝑛 𝑚𝑖 =

𝑖−1 , 𝑛

∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝑛

𝐿 𝑃𝑛 ; 𝑓 =

𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

= 𝑖=1

1 = 2 𝑛

𝑖−1 1 𝑛 𝑛 𝑛

(𝑖 − 1) 𝑖=1

1 0+ 1+ 2+ ⋯+ 𝑛 − 1 𝑛2 1 𝑛(𝑛 − 1) = 2 𝑛 2 1 1 = 1− 2 𝑛 =

Diperoleh lim 𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 − 𝐿(𝑃𝑛 ; 𝑓) = lim

𝑛→∞

𝑛→∞

1 1 1 1 1+ − 1− 2 𝑛 2 𝑛

=0

Berdasarkan Akibat 5.7 maka f terintegral Darboux pada 0,1 dengan nilai integralnya 𝑏

𝐷

1 1 1 1+ = . 𝑛→∞ 2 𝑛 2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑈(𝑃𝑛 ; 𝑓) = lim 𝑎

𝑛→∞

3. Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , ∀𝑥 ∈ [0,1]. Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]? Penyelesaian Ambil sembarang partisi seragam 𝑃𝑛 = {0, 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛 𝑛−1 , 1} pada [0,1]. Karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1], maka 7


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann 1 𝑛

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = 𝑀𝑖 =

𝑖 𝑛

2

∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

,

∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝑛

𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 =

𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

= 𝑖=1

1 = 3 𝑛

2

𝑖 𝑛

1 𝑛

𝑛

𝑖2 𝑖=1

1 = 3 1 + 4 + 9 + ⋯ + 𝑛2 𝑛 1 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) = 3 𝑛 6 1 3 1 = 1+ + 2 3 2𝑛 2𝑛 𝑚𝑖 =

𝑖−1 , 𝑛

∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝑛

𝐿 𝑃𝑛 ; 𝑓 =

𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 𝑛

= 𝑖=1

1 = 3 𝑛

𝑖−1 𝑛

2

1 𝑛

𝑛

(𝑖 − 1)2 𝑖=1

1 = 3 0 + 1 + 4 + 9 + ⋯ + (𝑛 − 1)2 𝑛 1 𝑛 𝑛 − 1 (2𝑛 − 1) = 3 𝑛 6 1 3 1 = 1− + 2 3 2𝑛 2𝑛 Diperoleh 1 3 1 1 3 1 1+ + 2 − 1− + 2 3 2𝑛 2𝑛 3 2𝑛 2𝑛

lim 𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 − 𝐿(𝑃𝑛 ; 𝑓) = lim

𝑛→∞

𝑛 →∞

=0

Berdasarkan Akibat 5.7 maka f terintegral Darboux pada 0,1 dengan nilai integralnya 𝑏

𝐷

1 3 1 1 1+ + 2 = . 𝑛→∞ 3 2𝑛 2𝑛 3

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑈(𝑃𝑛 ; 𝑓) = lim 𝑎

𝑛→∞

4. Diberikan fungsi Dirichlet pada interval [0,1]. 0 𝑓 𝑥 = 1 Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?

8

,

𝑥 rasional

,

𝑥 irrasional


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

C. Fungsi Komposisi Pada bab sebelumnya telah dibuktikan sifat kelinearan integral Riemann. Pada bagian akan dibuktikan bahwa kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann juga terintegral Riemann. Teorema 6.8 Diberikan interval [𝑎, 𝑏] dan [𝑐, 𝑑], f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑓 𝑎, 𝑏  [𝑐, 𝑑]. Jika g : [𝑐, 𝑑]  R fungsi kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka komposisi fungsi g o f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Bukti Diberikan sebarang 𝜀 > 0, cukup dibuktikan terdapat 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 }, partisi pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑈 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 < 𝜀. Jika diketahui g : [𝑐, 𝑑]  R fungsi kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka g terbatas pada [𝑐, 𝑑]. Berarti terdapat bilangan real 𝑀 > 0 sehingga 𝑔(𝑡) ≤ 𝑀 untuk setiap 𝑡 ∈ [𝑐, 𝑑]. Oleh karena itu ada bilangan real K sehingga 𝐾 = sup⁡ { 𝑔 𝑡 : 𝑡 ∈ 𝑐, 𝑑 }. g kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka ia kontinu seragam pada [𝑐, 𝑑]. Oleh karenanya terdapat 𝛿 > 0 dengan 𝛿<

𝜀 𝑏−𝑎+2𝐾

sehingga untuk setiap 𝑠, 𝑡 ∈ [𝑐, 𝑑] dengan 𝑠 − 𝑡 < 𝛿 berlaku 𝜀 𝑔 𝑠 − 𝑔(𝑡) < . 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 Karena f terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 }, partisi pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝛿 2 . Untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 𝑀𝑖 = sup 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] , 𝑚𝑖 = inf 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] Didefinisikan 𝑀𝑖∗ = sup 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] , 𝑚𝑖∗ = inf 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] dan 𝐴 = 𝑖 ∶ 𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 < 𝛿

dan 𝐵 = 𝑖 ∶ 𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 ≥ 𝛿 .

Dapat dipahami bahwa 𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖∗ = sup 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] − inf 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] = sup 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 − 𝑔 𝑜 𝑓 𝜑𝑖 : 𝑖 , 𝜑𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] (i) Jika 𝑖 ∈ 𝐴, ambil sembarang 𝑖 , 𝜑𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] maka 𝑓 𝑖 − 𝑓 𝜑𝑖 < 𝛿, sehingga 𝜀 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 − 𝑔 𝑜 𝑓 𝜑𝑖 < 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 Akibatnya 𝜀 𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖∗ ≤ 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 sehingga 𝜀 𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 𝑖∈𝐴

𝑖∈𝐴

9


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann ≤

𝜀 (𝑏 − 𝑎) 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾

(ii) Jika 𝑖 ∈ 𝐵, ambil sembarang 𝑖 , 𝜑𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] maka 𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖∗ ≤ 2𝐾. 𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ≤ 2𝐾 𝑖∈𝐵

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐵

≤ 2𝐾

1 𝛿

𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐵

1 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 𝛿 1 < 2𝐾 . 𝛿 2 = 2𝐾𝛿 𝛿 𝜀 < 2𝐾 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 ≤ 2𝐾

Dari (i) dan (ii) diperoleh: 𝑛

𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑈 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑖=1

𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 +

= 𝑖∈𝐴

𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐵

𝜀 𝜀 < 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 = 𝜀. 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 Terbukti. Akibat 6.9 Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi nilai mutlak 𝑓 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑏

𝑏

𝑓 ≤ 𝑎

𝑓 ≤ 𝐾(𝑏 − 𝑎) 𝑎

dengan K adalah bilangan real sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Bukti Diketahui f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka f terbatas pada [𝑎, 𝑏], sehingga ada bilangan 𝐾 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Didefinisikan 𝑔 𝑥 = 𝑥 untuk 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑓 . Karena f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada R maka berdasarkan Teorema 6.8 𝑓 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Akibat 6.10 Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi 𝑓 𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑁, terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Bukti Diketahui f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], Didefinisikan 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑛 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑓 𝑛 . Karena f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada R maka berdasarkan Teorema 6.8 𝑓 𝑛 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

10


Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann Akibat 6.11 Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], dan terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≥ 𝛿 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , maka fungsi

1 𝑓

terintegral

Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Bukti Diketahui f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka f terbatas pada [𝑎, 𝑏], sehingga ada bilangan 𝐾 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu 𝛿 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾. Didefinisikan 𝑔 𝑥 =

1 𝑥

1 𝑓

untuk setiap 𝑥 ∈ [𝛿, 𝐾] maka 𝑔 𝑜 𝑓 = . Karena f terintegral Riemann pada

[𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada [𝛿, 𝐾] maka berdasarkan Teorema 6.8 fungsi

1 𝑓

terintegral pada [𝑎, 𝑏].

Teorema 6.12 Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏]  R dan g : [𝑎, 𝑏]  R fungsi-fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi f.g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Bukti Diketahui f : [𝑎, 𝑏]  R dan g : [𝑎, 𝑏]  R fungsi-fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka berdasarkan sifat linearitas dan Akibat 6.10 dengan mengambil n = 2, diperoleh 𝑓 + 𝑔, 𝑓 + 𝑔 2 , 𝑓 2 , 𝑔2 masing-masing terintegral pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓. 𝑔 =

1 2

𝑓+𝑔

2

− 𝑓 2 − 𝑔2

terintegral

Riemann pada [𝑎, 𝑏].

11


BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN

Recommend Documents