14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
14.1 Sifat-sifat Dasar Integral Riemann Pada bab ini kita akan mempelajari sifat-sifat dasar integral Riemann. Sifat pertama adalah sifat kelinearan, yang dinyatakan dalam Proposisi 1. Sepanjang bab ini, I menyatakan interval [a, b], kecuali bila kita nyatakan lain. Proposisi 1. Misalkan f, g : I → R terintegralkan pada I, dan c ∈ R suatu konstanta. Maka cf dan f + g terintegralkan pada I dan Z b Z b cf (x) dx = c f (x) dx, (1) a
Z
b
a
Z (f + g)(x) dx =
a
b
Z f (x) dx +
a
b
g(x) dx.
(2)
a
Bukti. (1) Jika c = 0, maka pernyataan tentang cf jelas benar. Sekarang tinjau kasus c > 0. (Kasus c < 0 serupa dan diserahkan sebagai latihan). Misalkan P := {x0 , x1 , . . . , xn } partisi sembarang dari I. Karena c > 0, kita mempunyai inf{cf (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} = c inf{f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} untuk k = 1, 2, . . . , n. Kalikan tiap suku ini dengan xk − xk−1 dan jumlahkan, kita dapatkan L(P, cf ) = cL(P, f ). Jadi, karena c > 0, kita peroleh L(cf ) = sup{cL(P, f ) : P partisi dari I} = c sup{L(P, f ) : P partisi dari I} = cL(f ). Dengan cara yang serupa kita peroleh pula U (P, cf ) = cU (P, f ) dan U (cf ) = inf{cU (P, f ) : P partisi dari I} = c inf{U (P, f ) : P partisi dari I} = cU (f ). 109
110
Hendra Gunawan
Karena f terintegralkan, U (f ) = L(f ) dan akibatnya L(cf ) = cL(f ) = cU (f ) = U (cf ). Jadi cf terintegralkan dan Z
b
Z
a
b
f (x) dx.
cf (x) dx = c a
(2) Untuk sembarang interval Ik := [xk−1 , xk ], kita mempunyai inf{f (x) : x ∈ Ik } + inf{g(x) : x ∈ Ik } ≤ inf{(f + g)(x) : x ∈ Ik }, sup{(f + g)(x) : x ∈ Ik } ≤ sup{f (x) : x ∈ Ik } + sup{g(x) : x ∈ Ik }. Dari sini kita peroleh L(P, f ) + L(P, g) ≤ L(P, f + g) dan U (P, f + g) ≤ U (P, f ) + U (P, g) untuk sembarang partisi P dari I. Sekarang, jika > 0 diberikan, maka terdapat partisi Pf, dan Pg, sedemikian sehingga U (Pf, , f ) ≤ L(Pf, , f ) +
2
dan
U (Pg, , g) ≤ L(Pg, , g) + . 2 Akibatnya, untuk P := Pf, ∪ Pg, , kita peroleh U (P , f + g) ≤ U (P , f ) + U (P , g) ≤ L(P , f ) + L(P , g) + ≤ L(P , f + g) + . Menurut Kriteria Keterintegralan Riemann, f + g terintegralkan. Selanjutnya perhatikan bahwa dari ketaksamaan di atas, kita peroleh Z b Z b Z b (f +g)(x) dx ≤ U (P , f +g) ≤ L(P , f )+L(P , g)+ ≤ f (x) dx+ g(x) dx+. a
a
a
Sementara itu, Z b Z b Z b f (x) dx+ g(x) dx ≤ U (P , f )+U (P , g) ≤ L(P , f +g)+ ≤ (f +g)(x) dx+. a
a
a
111
Pengantar Analisis Real
Dari kedua ketaksamaan ini, kita peroleh Z Z b Z b f (x) dx + (f + g)(x) dx − a
a
a
b
g(x) dx < .
Karena ini berlaku untuk > 0 sembarang, kita simpulkan bahwa Z b Z b Z b g(x) dx, f (x) dx + (f + g)(x) dx = a
a
a
dan bukti pun selesai. Proposisi berikut dikenal sebagai sifat kepositifan integral Riemann. (Buktinya diserahkan sebagai latihan.) Proposisi 2. Misalkan f : I → R terintegralkan pada I. Jika f (x) ≥ 0 untuk tiap Rb x ∈ I, maka a f (x) dx ≥ 0. Akibat 3. Misalkan f, g : I → R terintegralkan pada I. Jika f (x) ≤ g(x) untuk tiap Rb Rb x ∈ I, maka a f (x) dx ≤ a g(x) dx. Proposisi 3. Misalkan f : I → R terintegralkan pada I. Jika m ≤ f (x) ≤ M untuk tiap x ∈ [a, b], maka b
Z m(b − a) ≤
f (x) dx ≤ M (b − a). a
Proposisi 4. Misalkan f : [a, b] → R terbatas dan a < c < b. Maka, f terintegralkan pada [a, b] jika dan hanya jika f terintegralkan pada [a, c] dan pada [c, b]. Dalam hal ini, Z b Z c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a
a
c
Catatan. Bukti Proposisi 4 tidak dibahas di sini; lihat [1] bila ingin mempelajarinya. Soal Latihan 1. Buktikan Proposisi 1 bagian (1) untuk kasus c < 0. 2. Buktikan Proposisi 2 dan Akibat 3. 3. Buktikan Proposisi 3.
112
Hendra Gunawan
4. Buktikan jika f terintegralkan pada I dan |f (x)| ≤ K untuk tiap x ∈ I, maka R b f (x) dx ≤ K|b − a|. a
14.2 Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann Analog dengan Teorema Dasar Kalkulus I (Teorema 5 pada Sub-bab 12.3) untuk integral dari fungsi kontinu, kita mempunyai hasil berikut untuk integral Riemann dari fungsi terbatas. Teorema 5 (Teorema Dasar Kalkulus I). Misalkan f terbatas pada I = [a, b] dan F didefinisikan pada I sebagai Z x F (x) := f (t) dt, x ∈ I. a
Maka, F kontinu pada I. Selanjutnya, jika f kontinu di c ∈ (a, b), maka F mempunyai turunan di c dan F 0 (c) = f (c). Demikian pula kita mempunyai Teorema Dasar Kalkulus II untuk integral Riemann, yang dapat dibuktikan tanpa menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I melainkan dengan menggunakan Kriteria Keterintegralan Riemann. Teorema 6 (Teorema Dasar Kalkulus II). Misalkan f terintegralkan pada I = [a, b]. Jika F : I → R adalah anti-turunan dari f pada I, maka Z b f (t) dt = F (b) − F (a). a
Bukti. Diberikan > 0 sembarang, pilih partisi P := {x0 , x1 , . . . , xn } dari I sedemikian sehingga U (P, f ) − L(P, f ) < . Menurut Teorema Nilai Rata-rata (yang kita terapkan pada F ), pada tiap interval [xk−1 , xk ] terdapat titik tk ∈ (xk−1 , xk ) sedemikian sehingga F (xk ) − F (xk−1 ) = (xk − xk−1 )f (tk ). Misalkan mk dan Mk adalah infimum dan supremum dari f pada [xk−1 , xk ]. Maka mk (xk − xk−1 ) ≤ F (xk ) − F (xk−1 ) ≤ Mk (xk − xk−1 )
Pengantar Analisis Real
113
untuk tiap k = 1, 2, . . . , n. Perhatikan bahwa bila kita jumlahkan suku-suku di tengah, maka kita peroleh suatu deret teleskopis yang jumlahnya sama dengan F (b) − F (a). Karena itu, kita peroleh L(P, f ) ≤ F (b) − F (a) ≤ U (P, f ). Namun, kita juga mempunyai b
Z
f (t) dt ≤ U (P, f ).
L(P, f ) ≤ a
Akibatnya, kita peroleh Z
b
a
f (t) dt − [F (b) − F (a)] < .
Karena ini berlaku untuk > 0 sembarang, kita simpulkan bahwa Z b f (t) dt = F (b) − F (a), a
sebagaimana yang kita kehendaki. Soal Latihan 1. Misalkan f (x) = |x|, x ∈ [−1, 1]. Terkait dengan f , definisikan Z x F (x) := f (t) dt, x ∈ [−1, 1]. 1
(a) Peroleh rumus untuk F (x), x ∈ [−1, 1]. (b) Periksa bahwa F 0 (x) = f (x) untuk x ∈ [−1, 1]. R1 (c) Periksa bahwa −1 f (t) dt = F (1) − F (−1). 2. Misalkan f : [−1, 1] → R didefinisikan sebagai −1, −1 ≤ x < 0; 0, x = 0; f (x) = 1, 0 < x ≤ 1, Terkait dengan f , definisikan Z F (x) :=
x
f (t) dt, 1
x ∈ [−1, 1].
114
Hendra Gunawan
(a) Peroleh rumus untuk F (x). Apakah F kontinu pada [−1, 1]? (b) Tunjukkan bahwa F 0 (x) = f (x) untuk x ∈ [−1, 1], x 6= 0. R1 (c) Periksa apakah −1 f (t) dt = F (1) − F (−1). Berikan argumen yang mendukung fakta tersebut. 3. Misalkan f dan g terintegralkan dan mempunyai anti- turunan F dan G pada I = [a, b]. Buktikan bahwa Z
b
Z F (x)g(x) dx = [F (b)G(b) − F (a)G(a)] −
b
f (x)G(x) dx. a
a
(Catatan. Hasil ini dikenal sebagai teknik pengintegralan parsial.)
14.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor untuk Integral Jika f kontinu pada I = [a, b], maka (menurut Teorema 9 pada Bab 8) f akan mencapai nilai maksimum M dan minimum m pada [a, b]. Menurut Proposisi 3, kita mempunyai Z b m(b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b − a) a
atau m≤
1 b−a
Z
b
f (x) dx ≤ M. a
Rb 1 f (x) dx disebut sebagai nilai rata-rata integral f pada interval I. (Dalam Nilai b−a a versi diskrit, nilai rata-rata aritmetik dari sejumlah bilangan adalah jumlah dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan itu. Dalam versi ‘kontinum’, integral menggantikan jumlah dan panjang interval menggantikan banyaknya bilangan.) Rb 1 f (x) dx ada di antara Mengingat m dan M ada di daerah nilai f dan b−a a kedua nilai tersebut, maka menurut Teorema Nilai Antara mestilah terdapat suatu titik c ∈ I sedemikian sehingga f (c) =
1 b−a
Z
b
f (x) dx. a
Pengantar Analisis Real
115
Fakta ini dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata untuk integral, yang dinyatakan di bawah ini. (Ingat bahwa sebelumnya kita juga mempunyai Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan. Dalam konteks turunan, nilai rata-rata analog dengan ‘kecepatan rata-rata’ dalam fisika.) Teorema 7 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral). Jika f kontinu pada I = [a, b], maka terdapat c ∈ I sedemikian sehingga f (c) =
1 b−a
Z
b
f (x) dx. a
Pada Bab 10, kita telah membahas Teorema Taylor untuk turunan. Sekarang kita akan membahas teorema yang serupa untuk integral. Teorema 8 (Teorema Taylos untuk Integral). Misalkan f, f 0 , . . . , f (n) kontinu pada I = [a, b]. Maka f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (a) + · · · + dengan En =
1 (n−1)!
Rb a
(b − a)n−1 (n−1) f (a) + En (n − 1)!
(b − t)n−1 f (n) (t) dt.
Bukti. Dengan pengintegralan parsial, kita peroleh Z b h i 1 (b − t)n−1 f (n−1) (t)|ba + (n − 1) (b − t)n−2 f (n−1) (t) dt (n − 1)! a Z b n−1 1 (b − a) f (n−1) (a) + =− (b − t)n−2 f (n−1) (t) dt. (n − 1)! (n − 1)! a
En =
Jika kita lakukan pengintegralan parsial hingga n kali, maka kita akan sampai pada hasil di atas. Soal Latihan 1. Buktikan jika f kontinu pada I = [a, b] dan f (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I, maka terdapat c ∈ I sedemikian sehingga h 1 Z b i1/2 f (c) = f 2 (x) dx . b−a a
116
Hendra Gunawan
2. Buktikan jika f kontinu pada I = [a, b] dan f (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I, maka untuk sembarang k ∈ N terdapat c = ck ∈ I sedemikian sehingga f (c) =
h 1 Z b i1/k f k (x) dx . b−a a
3. Misalkan f dan g adalah fungsi yang kontinu pada I = [a, b] sedemikian sehingga Z
b
Z f (x) dx =
a
b
g(x) dx. a
Buktikan bahwa terdapat c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = g(c).
