Jurnal Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 13 – 18 (2012)
BEBERAPA TEOREMA KEKONVERGENAN PADA INTEGRAL RIEMANN VENN YAN ISHAK ILWARU1, H. J. WATTIMANELA2, M. W. TALAKUA3 1,2,3 Staf Jurusan Matematika FMIPA UNPATTI Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon e-mail:
[email protected]
ABSTRACT Riemann Integral is integral concept using the sum of lower Riemann and upper Riemann.
The sufficient condition for the function sequence which is R-integralable at a, b is the
limit function also R-integralable at a, b . If function sequence
a, b and
fn
convergence to f at
f n R-integralable for every n, then the sufficient condition that function f also
f n uniform convergence to f at a, b . This research studies
R-integralable at a, b is
about sum convergence theorems in Riemann Integral. Keyword : Riemann Integral, Convergence, Uniform Convergence, Sufficient Condition
PENDAHULUAN Sekitar tahun 1670, Kalkulus berhasil ditemukan dan tokoh-tokoh matematika yang berperan dalam penemuan Kalkulus adalah Newton dan Leibniz. Kedua tokoh ini berhasil mengembangkan teorema fundamental, yaitu mengenai anti derivatif. Kemudian A. Cauchy (17891857) mulai mengembangkan teori tersebut, dan berhasil meneliti tentang integral dari fungsi kontinu. Pada tahun 1584, Benhard Riemann mulai memperhalus definisi yang digunakan oleh Cauchy, dan Riemann pun mengadakan penelitian tentang integral fungsi diskontinu. Dari penelitian tersebut Riemann berhasil menemukan suatu metode khusus dari integral yang sangat simpel untuk didefinisikan, sehingga metode integral itu disebut Integral Riemann.
maupun di bidang lainnya. Namun dalam teori integral ada beberapa fungsi yang tidak terintegral Riemann pada selang-selang tertentu. Namun pada dasarnya suatu fungsi dikatakan terintegral Riemann maka fungsi tersebut harus memenuhi beberapa syarat diantaranya kekontinuan dan kekonvergenan pada fungsi tersebut.
HASIL DAN PEMBAHASAN Teorema Kekonvergenan pada Integral Riemann (Integral-R) Di dalam bagian ini akan dibicarakan syarat cukup
agar barisan fungsi yang terintegral-R pada a, b , fungsi
limitnya terintegral-R pada a, b . Contoh di bawah ini menunjukan bahwa ada fungsi limit suatu barisan fungsi
TINJAUAN PUSTAKA Pada tahun 1875 Darboux berhasil memodifikasi Integral Riemann dengan mendefinisikan integral atas dan integral bawah sehingga terdefinisi suatu integral baru yang ekuivalen dengan Integral Riemann. Meskipun ada beberapa jenis teori integral tetapi Riemann-lah yang banyak memberi inspirasi pembentukan integral lain dan sudah banyak pemakaiannya di bidang matematika
yang terintegral-R pada
a, b
tak terintegral-R pada
a, b . Contoh 1. Banyaknya anggota Q, himpunan semua bilangan rasional, terhitung dan oleh karena itu dapat ditulis
Q 0,1 r1 , r2 , r3 ,... dengan ri ri 1 , i 1, 2,...
Diketahui fungsi dibawah ini ;
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 13 – 18 (2012)
1 , fn x 0 ,
14
jika x ri dengan r Q 0,1 , i 1, 2,..., n
1 f x lim f n x n 0
jika x ri dengan r Q 0,1 , i 1, 2,..., n
,
untuk x yang lain
fn
a, b
terintegral- R pada
a, b
dan
P1
P1
P2
f v u f v u n
P2
P2
f v u f v u f v u f v u
n
P1
n
P1
n
P1
P2
f v u f v u n
P2
P2
f n f v u P1
f v u f v u n
n
P1
P2
f f v u
fn
n
P2
untuk setiap n, maka dapat
dipelajari syarat cukup agar fungsi f juga terintegral- R
pada a, b . Teorema di bawah ini memperlihatkan salah satu syarat cukup agar fungsi limit suatu barisan fungsi
yang terintegral- R pada a, b juga terintegral- R pada
a, b .
3b a
b a
3
3b a
b a
Untuk setiap partisi P1 dan P2
pada
a, b
dengan
P1 < n dan P2 n dan n . Dengan kata lain
terbukti f terintegral-R pada a, b . Selanjutnya karena telah terbukti f terintegral-R
a, b
pada
Teorema 1. Diketahui fungsi
f n terintegral-R pada a, b untuk
fn
setiap n dan
b
R f
untuk setiap partisi P pada b
R f f v u
a, b dengan
a
b b
f n konvergen seragam ke f pada a, b 0
konvergen seragam ke f
sebarang. Karena pada
f n f Untuk setiap
fn
a, b maka terdapat
n N dan a, b . Karena
P 1 diperoleh:
a
RR ff P ff vv uu P ffnn vv uu P ff vv uu
a a
P
fn
n 0 sehingga untuk setiap dua partisi P1 dan P2 dengan P1 < n dan P2 n
P
P
b b
ffnn vv uu RR ff nn P P
a a
b b
R R ff ff vv uu
terintegral-R pada a, b berdasarkan kriteria Cauchy,
berlaku
P P
ff vv uu ff vv uu P P
P P
n
P1
n
n n
b b
ff vv uu RR ff P P
n n
a a
n n
3 ff ffnn vv uu 33 3 PP
bb aa 3 33 3 33 bb aa b
f v u f v u 2
3
b b
a a
3b a
maka terdapat bilangan
P
RR ff RR ff nn a a
bilangan asli N yang tak tergantung pada a, b , sehingga berlaku
P < 0
b b
a
Bukti
dengan
Untuk n di atas pilih 1 min , 0 . Jika P partisi pada
b
n
a, b
0 0 sehingga
berlaku:
a
lim R f n
a
Diambil bilangan
maka terdapat bilangan
konvergen ke f pada a, b . Syarat
cukup agar fungsi f terintegral-R pada a, b dan
adalah
konvergen
pada [0,1], sebab f n terbatas dan kontinu kecuali di titik-titik yang diskontinu, fungsi f tersebut di atas tidak terintegral- R pada [0,1]. Berdasarkan contoh di atas, jika diketahui barisan pada
f v u f n v u f n v u f n v u
P1
ke f pada [0,1] dan untuk setiap n fungsi f n terintegral-R
konvergen ke f
P2
Mudah dipahami bahwa barisan fungsi
fn
f v u f v u P1
,
3
a
Diambil bilangan asli n tetap asalkan n N . Diperoleh
Untuk n yang cukup besar diperoleh
fungsi
P1
untuk x yang lain
b
f n v u R f n
b
Dengan kata lain R f lim R f n a
n
a
P2
dan
Ilwaru | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 13 – 18 (2012)
Definisi 1 Barisan fungsi
15
f n dikatakan terintegral serempak-R
pada a, b , jika untuk setiap bilangan
0
terdapat
bilangan 0 yang tak bergantung kepada n sehingga untuk setiap P partisi pada
a, b dengan
P
berlaku:
P dan P . Dipilih titik '
dengan
yang merupakan titik tengah selang u, v pada P' dan P"
limit suatu barisan fungsi yang terintegral-R pada a, b
juga terintegral serempak- R pada a, b .
berhingga
maka
banyaknya
'
P'
"
P"
'
P
"
'
f n konvergen ke f pada a, b . Syarat cukup agar f b
dan
'
'
fn
adalah
n
a
0
terintegral serempak- R
sebarang. Karena
pada
a, b
n
P1
n
a
fn
6
P1 . Jika P2 sebarang partisi pada dengan P2 diperoleh: dengan
a, b a, b
n
N
'
P'
"
P"
f fvuv u f Nf N v vu u "
" PP
P"
P"
f f f N f v vu u f N f v uvu f N vf u v u
N
P' '
P'
N
P"
P'
N
P"
f f
P ''
v u
3b a
b a
3b a
b a b a 3 3 b a b a
3
3b a
kriteria Cauchy f terintegral- R pada a, b . Teorema Kekonvergenan pada Integral Riemann Kontinu Lengkap (Integral-R*) Di dalam bagian ini akan dibicarakan syarat cukup agar fungsi limit suatu barisan fungsi yang terintegral- R * pada a, b juga terintegral- R * pada a, b . Teorema di bawah ini memperlihatkan salah satu syarat cukup agar fungsi limit suatu barisan fungsi yang
a, b juga terintegral- R
pada
a, b .
n
P1
P2
b
b
f v u R f R f f v u n
n
P1
a
f v u R f n
P1
6
Karena
n
P2
n
R f n f n v u a
P2
f n konvergen ke f pada a, b maka untuk a, b terdapat bilangan asli N sehingga
f n f
untuk setiap n dan mana pada
3b a
untuk setiap n N .
a, b
f n konvergen ke f hampir diamana-
a, b . Syarat cukup agar fungsi f terintegral b
b
a, b dan R f lim R fn a a konvergen seragam ke f pada a, b . pada
3
berlaku:
Teorema 3 ( Teorema Kekonvergenan Seragam) Diketahui fungsi f n terintegral- R * pada
b
a
n
a
b
setiap
N
P'
terintgral- R pada
f v u f v u
N'
'
f N f N v u P
Untuk setiap n dan untuk setiap P1 partisi pada
6
f v u f v u f N v u f fv v uu f N v u f P Nv u f P v u P P
maka terdapat
b
f v u R f
"
P"
P
bilangan 0 yang tak bergantung kepada n sehingga berlaku:
"
N
P"
''
Diambil bilangan
P'
N
P'
terintegral serempak-R pada a, b .
Bukti
N
P'
P"
b
R f lim R f n a
fn
f v u f v u f v u f N v u f N v u P f v u fP v u f P v u f N v u f N v u f v u P f v u fP v u f P v u P
f n terintegral-R pada a, b untuk setiap n
a, b
yang
Selanjutnya f v u f v udiperoleh:
"
terintegral-R pada
N
bilangan
N
dan
P' dan P"
pada
Dipilih N Maks N ; P P .
P'
Diketahui
. Karena banyaknya titik-titik
ke fungsi f pada a, b juga berhingga.
P
untuk setiap n. Berikut ini rumusan syarat cukup yang lain agar fungsi
Teorema 2
partisi
"
bersesuaian dengan kekonvergenan barisan fungsi
b
R fn fn v u a
a, b
Diambil sebarang dua partisi P' dan P" pada
Bukti Diambil bilangan
*
*
n 0
0
adalah
sebarang. Karena
konvergen seragam di f pada
a, b
f n
f n
maka terdapat
bilangan asli N yang tak bergantung pada sehingga berlaku
a, b ,
Ilwaru | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 13 – 18 (2012)
f n f
16
3b a
n N dan a, b . Karena f n
Untuk setiap
a, b , berdasarkan Kriteria Cauchy terdapat fungsi positif n : a, b R sehingga untuk setiap dua partisi- n P dan P pada a, b berlaku terintegral- R* pada
1
2
f v u f v u 3 n
f v u R f n
P1
n
a
Diambil bilangan asli n tetap asalkan
P
R f f v u
3
3
P1
P2
P2
f v u f v u f v u f v u n
n
n
P1
P2
a
f f n v u P
b a
P2
f f n v u f n v u f v u P1
P2
Selanjutnya karena telah terbukti f maka terdapat fungsi positif
sehingga setiap P partisi- pada
a, b dengan
terintegral-R pada
: a, b R
a, b berlaku
b
a, b .
■
n
a
a, b , jika diketahui barisan fungsi f n konvergen ke f pada a, b dan f n terintegral- R pada a, b untuk setiap n.
Definisi 2
f n
Barisan fungsi
terintegral serempak- R
pada
sehingga berlaku
f
P1
b
n
a
Untuk setiap n dan untuk setiap partisi- pada
R f f v u 3 setiap diperoleh
b
terintegral- R pada
P
Dengan kata lain terbukti f terintegral-R pada
Untuk n di atas pilih
n
f n v u R
Untuk setiap dua partisi- n P1 dan P2 pada
a
f
lim R
P2
b a b a 3b a 3 3b a
b
Berikut ini rumusan cukup yang lain agar fungsi f
P2
a, b
3
b a
f
f f n v u
n . a, b .
a, b , jika untuk setiap bilangan 0 terdapat fungsi positif pada a, b yang tak tergantung kepada n
f n v u f v u P2
P
b
a
P1
P1
n
P
f n v u R f n
Dengan kata lain R
P2
P1
f v u f v u
P
a
f n v u f v u
a
b
3
f v u fn v u f n v u f n v u
P
f n v u R f n
P2
P1
P
b
n N . Diperoleh
P
a
f v u f v u P1
b
P
b
n
a
R f f v u f v u f n v u
P2
dan *
b
a
n
P1
b
R f R f
1 min , untuk Jika P partisi- 1 pada a, b
a, b
Teorema 3.4 (Teorema Kekonvergenan serempak-R*) Diketahui f n terintegral- R pada a, b untuk setiap n
dan f n konvergen ke f pada a, b . Syarat cukup agar f terintegral- R pada a, b dan R f lim R f adalah f n terintegral b
b
*
*
n
n 0
a
a
serempak- R pada Bukti Diambil bilangan terintegral-R
*
a, b .
pada
: a, b
0
a, b
sebarang. maka
terdapat
f n
fungsi
sehingga berlaku
f
f n v u R* P1
Karena
b
a
n
3
Ilwaru | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 13 – 18 (2012)
17
P1 partisi- pada a, b . Diambil P2 sebarang partisi- pada a, b . Selanjutnya Untuk setiap n dan untuk setiap diperoleh
Untuk setiap P1 dan P2 dua partisi-
berdasarkan kriteria Cauchy maka f terintegral-R pada
■
a, b .
f v u f v u n
n
P1
KESIMPULAN
P2
b
b
f v u R f R f f v u
*
*
n
n
P1
b
n
P1
6
b
n
R* f n f n v u
a
6
Karena setiap
n
P2
a
*
n
a
f v u R f
P2
a
Dari hasil pembahasan dan uraian pada bab-bab sebelumnya maka dapat diambil beberapa kesimpulan antara lain : dan b
3
R f
f n konvergen ke f pada a, b maka untuk a, b terdapat bilangan asli N sehingga
3b a
2.
P' a a0 , a1 ,..., an ; 1 , 2 ,..., n
P" a a0' , a1' ,..., am' ; 1' , 2' ,..., m' .
i untuk i 1, 2,..., n
Karena banyaknya titik-titik
P ' dan 'j untuk
pada
f n
kekonvergenan barisan fungsi
a, b juga berhingga. Dipilih
ke fungsi f pada
N maks N ; P' P"
Selanjutnya diperoleh: P"
f v u f v u f v u f v u n
P'
n
P'
n
P'
P ''
f n v u f v u P ''
f v u f n v u
P'
P'
P'
f n v u f n v u
P'
P ''
3b a
b a
3
3b a
3. Syarat cukup agar f terintegral- R pada
R
b
f lim R
a
n
b
f
fn
adalah
n
b a
a, b
dan
terintegral
a
serempak-R pada a, b , jika diketahui
pada a, b ..
f n terintegral-
fn konvergen ke f
4. Syarat cukup agar fungsi f terintegral pada a, b dan
R f a
f b
lim R * n 0
n
adalah
fn
konvergen
a
a, b untuk
setiap n dan
fn
fn
pada a, b
konvergen ke f hampir dimana-mana pada a, b . 5. Syarat cukup agar f terintegral-R*
P ''
P
a
untuk setiap n.
terintegral-R* pada
f n v u f n v u
f n f v u
b
seragam ke f pada a, b , jika diketahui fungsi
P"
P'
dengan
R fn fn v u
P ''
n
f n f v u
a, b
P berlaku:
b
f v u f v u P ''
yang tak bergantung kepada n
sehingga untuk setiap P partisi pada
*
P"
n
a
R pada a, b untuk setiap n dan
f v u f v u P'
bilangan 0
mewakili
i dan j pada P' dan P" , yang bersesuaian dengan
f
f n konvergen seragam ke f pada a, b , jika diketahui fungsi f n terintegral-R pada a, b untuk setiap n dan f n konvergen ke f pada a, b . Barisan fungsi f n dikatakan terintegral serempak-R pada a, b , jika untuk setiap bilangan 0 terdapat
j 1, 2,..., m pada P"
berhingga maka banyaknya bilangan N ,
n
b
adalah
.
P' dan P" pada a, b , dengan
lim R
a
Untuk setiap n N . Diambil sebarang dua partisi-
dan
a, b
1. Syarat cukup agar fungsi f terintegral-R pada
berlaku f n f
a, b ,
pada
R f b
*
a
f b
lim R * n 0
serempak-R*
pada
a
n
adalah
a, b
jika
fn
dan
terintegral
diketahui
fn
Ilwaru | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 13 – 18 (2012)
a, b untuk konvergen ke f pada a, b . terintegral-R* pada
18
setiap n dan
fn
DAFTAR PUSTAKA Bartle, R. G, (1994), Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons, USA Gordon, R, A., (1994), The Integrals Of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock., Graduate Studies In Mathematics 4, Volume 4., American Mathematical Society.,USA. Hutahaean, E., (1989), Analisis Real II, Penerbit Karunika, Universitas Terbuka, Jakarta. Jain, P. K. and Gupta, V. P., (1986), Lebesgue Measure and Integration. Wiley Eastern Limited, New Delhi. Lee, P. Y. (1989). Lanzhou Lectures on Henstock Integration. Series in Real Analysis vol.2. World Scientific, Singapore. Muslich., (2005), Analisis Real II, Pengembangan Pendidikan,Surakarta.
Lembaga
Royden, H, L., (1989), Real Analysis, Third Edition, Macmillan Publishing Company, New York. Soeparna, D., (2006), Pengantar Analisis Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.
Real,
Soeparna, D., (2006), Pengantar Analisis Abstrak, Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.
Ilwaru | Wattimanela | Talakua
