Hairur Rahman dan Soeparna Darmawijaya, Kekonvergenan Integral Henstock
KEKONVERGENAN INTEGRAL HENSTOCK-PETTIS PADA RUANG EUCLIDE R n (Henstock-Pettis Integral Convergence in Euclidean Space) Hairur Rahman1 dan Soeparna Darmawijaya2 1
2
Universitas Muhamadiyah Malang Jurusan Matematika FMIPA UGM, Sekip Utara Yogyakarta
ABSTRAK Dalam paper ini dibicarakan integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide R n . Pembahasannya meliputi beberapa sifat fungsi terintegral Henstock-Pettis pada ruang Euclide R n , fungsi primitif, lemma Henstock, dan beberapa teorema kekonvergenannya. Kata kunci: Integral Henstock, Ruang Euclide R n , fungsi terintegral Henstock Pettis
ABSTRACT Henstock-Pettis Integral on the Euclide an Space is discussed in this paper. Dis cussions cover some properties of Henstock-Pettis integrable function on the Euclide an Space R n , primitive function, Henstock lemma, and some convergence theorems. Makalah diterima tanggal 12 Maret 2006
1. PENDAHULUAN Pada tahun 1914, Perron mengembangkan perluasan lain integral Lebesgue dan menunjukkan bahwa integralnya mempunyai sifat bahwa setiap derivatifnya terintegral pada garis lurus.Selanjutnya Hanstock dan Kurzweil secara terpisah mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta positif δ menjadi fungsi positif δ dan ternyata integral yang disusun keduanya ekuivalen. Oleh karena itu, integral yang mereka susun terkenal dengan nama Henstock-Kurzweil. Dari kajian tentang integral Henstock banyak sifat-sifatnya yang telah diungkapkan baik dalam R maupun ruang Rn . Menurut penelitian, masalah mengenai sifat-sifat pada integral Henstock kemungkinan dapat dikembangkan menjadi masalah yang lebih luas dalam integral henstock-Pettis, khususnya sejauh mana
sifat-sifat integral Henstock dari fungsi bernilai real dapat dikembangkan ke dalam integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn . Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Untuk bilangan asli n, Rn menyatakan himpunan semua pasangan atas n bilangan real, yaitu : Rn
=
=
R × R × ... × R . ( n faktor )
{x = (x , x ,..., x ) : x ∈ R, 1 ≤ i ≤ n} 1
2
n
i
Untuk setiap α ∈ R dan x , y ∈ R n . Jika A himpunan bagian tak kosong didalam R n , diameter himpunan A didefinisikan diam(A) = sup { x − y : x, y ∈ Α} Untuk x ∈Rn, persekitaran (neighborhood) titik x dengan jari-jari r >0 dinotasikan dengan B( x , r ) , didefinisikan
21
Berkala MIPA, 16(2), Mei 2006
B( x , r ) = {y : y ∈ R n dan x − y < r }.
Definisi 1.1 Diberikan sel E ⊂ Rn . (1)Divisi pada sel E adalah koleksi sel berhingga D yang tidak saling tumpang tindih sehingga
U
x( f , E , α ) = ( HP ) fdα .
∫
E
Jadi
(
)
x ∗ (HP ) fd α = (H ) x ∗ fdα .
∫
A
∫
A
D = E.
D∈ D
(2)Segmentasi pada koleksi sehingga sel-sel C adalah koleksi berhin gga sel D yang tidak saling tumpang tindih sehingga memenuhi (a) Untuk setiap D ∈ D terdapat sel C ∈ C sehingga D ⊆ C (b) Untuk setiap C ∈ C koleksi {D ∈ D : D ⊂ C} adalah partipasi pada C Definisi 1.2. Diberikan fungsi volume α pada Rn , sel E ⊂ R n dan E ruang Banach. Fungsi f : E? X dikatakan terintegral-α Henstock pada E terhadap α, ditulis singkat f ∈ H (E, α, X) jika terdapat vektor Α ∈ Χ sehingga untuk setiap bilangan ∈> 0 terhadap fungsi positif δ pada E dan untuk setiap partisi Perron δ-fine D = {( D1 , x1 ), ( D2 , x2 ),...( Dn , xn )} pada E berlaku
2. HASIL DAN PEMBAHASAN Akan dibahas sifat-sifat lanjut dari integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn , beberapa kekonvegenan dari integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn . Teorema 2.1. ( Kriteria Cauchy) Fungsi f ∈ HP (E , α ) jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ∈ > 0 terdapat fungsi positif δ pada E sehingga jika A ⊂ E sel dan D1 = {(Β1 , x1 ),..., (Β p , x p )} dan D 2 = {(C1 , x1 ),..., (Cq , x q )} masing-masing partisi Perron δ-fine pada A memenuhi p
q
( D )∑ x f ( x )α ( B ) − (D )∑ x f ( y k )α (C ) <∈ ∗
1
∗
i
1
i= 1
2
k
k =1
n
A − ( D )∑ f ( x1 )α = A − (D )∑ f ( x1 )α ( D1 ) <∈ i =1
Definisi 1.3. Diberikan X ruang Banach dan X* ruang dualnya, volume α pada Rn , dan E ⊂Rn . Fumgsi f : E ? X dikatakan terintegralα Henstock-Pettis pada E, ditulis singkat dengan f ∈ HP(E, α), jika untuk setiap x*f terintegral-α Henstock pada A terdapat vektor x(f, A, α)∈ X sehingga x ∗ (x ( f , A, α )) = (H ) x ∗ fd α
∫
A
Selanjutnya vektor x( f , A, α ) di atas disebut nilai Integral Henstock-Pettis fungsi f pada A dan ditulis
untuk setiap x ∗ ∈ X ∗ . Teorema 2.2. Jika
f ∈ HP ( E, α ) maka
f ∈ HP ( A,α ) untuk setiap sel bagian A⊆
E. Bukti : Cukup jelas, berdasarkan Definisi 1.3. Definisi 2.3. Jika f ∈ HP (E , α ) dan J (E) koleksi semua sel bagian di dalam E maka fungsi F : J (E) ? X dengan rumus F ( A ) = x ( f , A,α ) = (HP ) fd α ,
∫
A
x( f , A, α ) = ( H ) fd α ,
∫
A
khususnya
22
dan F (0/ ) = 0, untuk setiap A∈ F ( E ) disebut primitif-Hp fungsi f .
Hairur Rahman dan Soeparna Darmawijaya, Kekonvergenan Integral Henstock
Teorema 2.4. Diberikan fungsi volume α di dalam Rn dan sel E ⊂ Rn. Jika f ∈ HP (E , α ) dengan f sebagai primitif-HP nya dan E1, E2 , ..., Ep sel-sel di dalam E yang tak saling p tumpang tindih dan E = Uk =1 E k maka p
p
k =1
k =1
F ( E ) = ∑ F (E k ) = ∑ x( f , A, α )
Bukti:
Karena
f ∈ HP (E , α )
∗
maka untuk setiap jumlahan bagian ∑ 1 dan (D)Σ berlaku ∗
1
dengan p
dengan Ei0 I E 0j = 0/ untuk setiap i ≠ j , diperoleh p F ( E ) = F U E k k =1
( (U E ),α ) p
k =1
( D)∑ x ( f ( x )α (D ) − F ( D)) <∈
( D)∑ x ( f ( x )α (D ) − F ( D)) <∈
primitif-HP fungsi f pada E, E = Uk =1 Ek
= x f,
sehingga jika A ⊂ E sel dan D = {(D, x )} partisi Perron δ-fine pada A berlaku
k
= x( f , E1 , α ) + ... + x( f , E p , α ) = F ( E1 ) + ... + F (E p ) p
= ∑ F (E k ) k =1 p
= ∑ x( f , A, α ). k =1
Selanjutnya berdasarkan Definisi 1.3. maka integral Henstock-Pettis terhadap pada E dapat juga dinyatakan seperti dalam teorema berikut. Teorema 2.5. Fungsi f ∈ HP ( E , α ) jika dan hanya jika terdapat fungsi adiktif sehingga untuk setiap bilangan ∈ > 0 yang diberikan dan x ∗ ∈ X ∗ dapat ditemukan fungsi positif δ pada E sehingga jika A ⊂ E sel dan D = {( D, x )} partisi Perron δ-fine pada A berlaku
∑ x ( f (x )α (D )− F (D)) <∈ . ∗
Teorema 2.7. ( Teorema Kekonvergenan Seragam ) Diberikan fungsi volume α pada Rn , sel E ⊂ R n dan f n ∈ HP (E , α ) untuk setiap n. Jika untuk setiap sel A ⊂ E barisan fungsi { f n } konvergen lemah seragam ke suatu fungsi f pada A, maka f ∈ HP (E , α ) dan x( f , A, α ) = lim x( f n , A, α ) . n →∞
Diberikan A ⊂ E sel sebarang. fungsi { f n } konvergen lemah ke f pada A jika untuk setiap ∈> 0 dan terdapat bilangan asli m = m (∈, x ∗ ) sehingga jika n ≥ m berlaku
Bukti : Barisan seragam bilangan
x ∗ f n (x ) − x∗ f ( x ) <
Untuk setiap x ∈ A ⊂ E . Fungsi f n ∈ HP (E , α ) jika untuk setiap bilangan ∈ > 0 tersebut dan x ∗ ∈ X ∗ terdapat fungsi positif δ n -fine pada A berlaku
(
x ∗ x( f
n
, A ,α )
)− (D )∑ x f (x )α (D ) <∈ ∗
n
dan
( P)∑ x f (x )α (D ) − ( D)∑ x f ( x )α (D ) < ∈ ∗
∗
n
Teorema 2.6. ( Lemma Henstock ) Diberikan X ruang Banach dan X ∗ ruang dualnya, volume α pada Rn dan sel E ⊂ R n . Jika f ∈ HP (E , α ) dengan primitif F, yaitu untuk setiap bilangan ∈> 0 dan x ∗ ∈ X ∗ terdapatlah fungsi positif δ pada E
∈ . 4α + 1
n
4
Jika P = {( D, x )}, D = {( D, x )} sebarang partisi Perron δ-fine pada A berlaku
23
Berkala MIPA, 16(2), Mei 2006
( P )∑ x f ( x )α ( D) − ( D)∑ x f ( x )α (D ) ≤ (P )∑ x f (x )α ( D) − (P )∑ x f ( x )α (D ) + ( P )∑ x f ( x )α (D ) − ( D)∑ x f (x )α ( D) + ( D)∑ x f (x )α ( D) − (D )∑ x f ( x )α (D) ∗
∗
∗
∗
m
∗
∗
m
∗
m
∈ ∈ ∈ α ( A) + + α ( A) <∈ 4α + 1 4 4α + 1
Hal ini menunjukkan bahwa x ∗ f terintegral Henstock pada A dan untuk A ⊂ E sel di atas jadi terdapat vektor x( f , A, α ) ∈ X sehingga x ∗ (x( f ,A ,α ) ) = (H ) x ∗ fdα
∫
Dengan kata lain, f ∈ HP (E , α ) . Selanjutnya, karena f ∈ HP (E , α ) . Jadi terdapat fumgsi positif δ 1 pada E sehingga untuk A ⊂ E sel dan jika = {( D, x )} partisi Perron δ 1 -fine pada A berlaku x ∗ (x( f ,A ,α ) ) − (Q )
∑ x f (x )α(D) <∈ ∗
Untuk setiap n tetap dan n ≥ m, dipilih δ ( x ) = min {δ 1 (x ), δ n (x )} untuk setiap x ∈ E . Untuk A⊂ E sel di atas dan jika J sebarang partisi Perron pada A, diperoleh
(
x (x ( f , A,α ) ) − x x( f ∗
n
, A ,α )
f ( f , A,α ) = lim x( f n →∞
)
+ ( J )∑ x ∗ f (x )α (D ) − ( J )∑ x ∗ f n ( x )α (D )
(
+ ( J )∑ x ∗ f n ( x )α (D) − x ∗ x( f
n
, A, α )
)
∈ ∈ ∈ + α ( A) + <∈ 4 4α ( A ) + 1 4
Dengan kata lain terbukti n→ ∞
n
, A ,α )
Teorema 2.8. (Teorema kekonvergenan Monoton) Diberikan fungsi volume α pada Rn , sel E ⊂ Rn , dan f n ∈ HP (E , α ) untuk setiap n, dan { f n } monoton lemah pada E. Jika untuk setiap sel A ⊂ E barisan fungsi
24
, A ,α )
.
Bukti : Diambil sebarang bilangan ∈> 0 dan x ∗ ∈ X ∗ . Cukup dibuktikan untuk kasus barisan fungsi { f n } yang naik monoton lemah pada A untuk setiap A⊂ E caranya sama. Menurut yang diketahui terdapat a = lim n →∞ x∗ (x( f ), A,α ) . Karena barisan fungsi { f n } naik monoton lemah pada A, maka barisan {x( f ,A ,α ) } naik monoton lemah dengan a sebagai batas atas terkecilnya. Jadi untuk bilangan ∈ > 0 tersebut dan x* ∈ X* , dapat dipilih bilangan asli n 0 = n0 (∈, x* ) sehingga jika n ≥ n 0 berlaku n
a − x ∗ (x( f , A,α ) ) <
∈ 4
Karena barisan fungsi { f n } konvergen lemah f pada A, maka untuk setiap bilangan ∈ > 0 di atas, x ∗ ∈ X ∗ dan x ∈ A ⊂ E . Terdapat bilangan asli m o = m o (∈, x ∗ , x ) sehingga jika n≥mo berlaku ∈ 4α ( A ) + 1
Karena f n ∈HP(E,α) untuk setiap n, maka untuk setiap bilangan ∈ > 0 di atas dan x* ∈X* terdapat fungsi positif δ n pada E sehingga untuk A ⊂ E. sel di atas dan untuk setiap partisi Perron δ n -fine Dn = {( D, x )} pada A berlaku
( D )∑ x f ( x )α (D ) − x (x( ∗
n
x( f ,A ,α ) = lim x( f
n
x ∗ f (x ) − x ∗ f n (x ) <
≤ x∗ (x( f ,A ,α ) ) − ( J )∑ x ∗ f (x )α (D )
<
n
n
A
∗
n
untuk setiap x ∗ ∈ X ∗ , lim n →∞ x ∗ (x( f ,A ,α ) ) ada maka f ∈ HP (E , α ) dan
m
∗
<
{ f } konvergen lemah ke f pada A dan
∗
f , A, α )
)<
∈ 2n +1
Dibentuk fungsi positif δ pada E dengan rumus δ ( x ) = δ m(∈,x x ) ∗
untuk setiap x ∈ E dan x* ∈ X* dengan m (∈, x ∗ , x ) = max {n o (∈, x ∗ ), m o (∈, x ∗ , x )} . Jadi
Hairur Rahman dan Soeparna Darmawijaya, Kekonvergenan Integral Henstock
(
x ∗ (x ( f , A,α ) ) ≤ lim inf x ∗ x ( f n , A,α )
untuk A ⊂ E sel di atas dan jika D = {( D1 , x1 ), ( D2 , x1 ),... (D p , x p )} Partisi Perron δ-fine pada A berlaku
( D)∑ x f ( x )α (D ) − a
i
∗
i
∗
m ∈, x∗ , , xi
i
i= 1
( ) ( )}
∗ ∗ x f m (∈,x ,x ) ( xi )α ( Di ) − x x ∑ f i=1 ∗
i
p
+
∑ x x ∗
i=1
f m ∈ ,x ∗ , x i , Di ,α
hn (x ) = inf f i
) x i α Di
p
+
i
i =1
∑ x {f (x )α (D ) − f ( p
Bukti : Diberikan A ⊂ E sel sebarang. Dibentuk fungsi h n untuk setiap n dengan rumus
∑ x f (x )α (D )
=
∗
≤
p
m ∈ , x ∗ , x i
i ≥n
, D ,α
untuk setiap x ∈ A ⊂ E . Oleh karena itu untuk setiap sel A ⊂ E di atas diperoleh barisan fungsi naik monoton lemah {hn } pada A dan x ∗ hn (x ) ≤ x∗ f n ( x ) untuk setiap x ∈ A ⊂ E dan x ∗ ∈ X ∗ . Selanjutnya ,
i
− a
p
< ∑ x ∗ f (x i ) − x ∗ f m (∈,x ,x ) ( xi )α ( D) +
(
i
p + ∑ x ∗ f m(∈,x ,x ) (x i )α (D) − x ∗ x f i= 1 ∗
i
, Di , α m ∈ ,x ∗ , x i
− a + ∑ x x f , D ,α i=1 p ∞ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ < α ( Di ) + ∑ n +1 + < + + =∈ ∑ 4α ( A ) + 1 i=1 4 4 2 4 n =1 2 p
∗
m ∈ ,x ∗ , x i
i
Dari uraian di atas berarti x* f terintegral Henstock pada E dan untuk sel A ⊂ E di atas terdapat vektor x( f ,A ,α ) ∈ X sehingga x ∗ (x( f ,A ,α ) ) = (H ) x ∗ fdα A
Jadi f ∈ HP (E , α ) , dan
(
Dengan kata lain, x( f ,A ,α ) = lim x( f n→ ∞
n
, A ,α )
n
, A, α
n
(
n
, A,α )
)
dan barisan fungsi {hn } konvergen lemah ke f. Karena lim n →∞ x ∗ (x( h , A,α ) ) ada, maka menurut Teorema Kekonvergenan Monoton, f ∈ HP (E , α ) dan n
(
)
(
x ∗ (x( f ,A ,α ) ) = lim x∗ x(h ,A ,α ) ≤ lim inf x ∗ x( f n →∞ n
n
, A ,α )
dengan kata lain,
(
x( x( f ,A,α ) ) ≤ lim inf x ∗ x( f
n
, A,α )
)
Akibat dari Lemma Fatou ini diperoleh Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue, disajukan berikut ini.
∫
x ∗ (x( f ,A ,α ) ) = lim x ∗ x( f n →∞
)
lim x ∗ x( h ,A,α ) ≤ lim x ∗ x( f n→ ∞ n→ ∞
∗
i =1
)
) )= a
Teorema 2.10. ( Teorema Kekonvergenan Terdominasi lebesgue ) Diberikan fungsi volume α pada Rn , dan sel E ⊂ R n dan 9, f n ∈ HP ( E , α ) . Jika untuk setiap sel A ⊂ E barisan { f n } konvergen lemah ke f pada A dan x ∗ f n (x ) ≤ x ∗ 9( x ) untuk setiap n, x* ∈ X* dan x ∈ A maka, f ∈ HP (E , α ) dan
Teorema 2.9. ( Lemma Fatou ) Diberikan fungsi volume α pada R n , dan sel E ⊂ Rn x( f ,A ,α ) = lim x( f ,A ,α ) n→ ∞ fungsi f n ∈ HP (E , α ) untuk setiap n. Jika untuk setiap sel A ⊂ E barisan fungsi { f n } konvergen lemah ke fungsi f pada A dan Bukti : Diberikan A ⊂ E sel sebarang. Karena x ∗ f n (x ) ≥ 0 h.d pada A untuk setiap n maka x ∗ f (x ) = x∗ f ( x ) untuk setiap n n
x ∈ A ⊂ E , x ∗ ∈ X ∗ dan x ∗ f n (x ) ≤ x ∗ 9 ( x ) untuk
25
)
Berkala MIPA, 16(2), Mei 2006
setiap n, diperoleh x ∗ 9( x ) − x∗ f n ( x ) ≥ 0 dan barisan {x ∗ (9 − f n )} konvergen ke ( 9 – f ) pada A. Oleh karena itu menurut Lemman Fatou,
(
x ∗ (x( 9− f , A,α ) ) ≤ lim inf x ∗ x(9 − f
n
, A, α )
)
n
, A ,α )
Teorema 2.11. ( Teorema Kekonvergenan Terbatas ). Diberikan fungsi volime α pada Rn , dan sel E ⊂ R n dan 9, f n ∈ HP ( E , α ) . Jika untuk setiap sel A ⊂ E barisan { f n } konvergen lemah ke f pada A dan x ∗ f n (x ) ≤ M untuk setiap n, x∗ ∈ X ∗ dan x ∈ A maka, f ∈ HP (E , α ) dan
0 ≤ x ∗ (x( 9 ,A ,α ) ) − x∗ ( x( f ,A,α ) ) = x ∗ (x( 9− f ,A ,α ) )
( ) ) = lim inf {x (x ( ) ) − x ( x( ) )} = lim inf {(H )∫ x 9dα + lim inf ( H )∫ − x = (H )∫ x 9dα + lim inf ( H )∫ − x f dα = (H )∫ x 9dα − lim sup( H )∫ x f dα = x (x( ) ) − lim sup x (x ( ))
x( f ,A ,α ) = lim x( f n→ ∞
Karena − x ∗ 9( x ) ≤ x ∗ f ( x ) ≤ x∗ 9( x ) utuk setiap x ∈ A ⊂ E , x ∗ ∈ X ∗ , dan 9 ∈ HP (E , α ) , maka f ∈ HP (E , α ) dan
≤ lim inf x x(9 − f
dengan kata lain,
∗
n
, A ,α
∗
x( f ,A ,α ) = lim x( f
∗
9 , A ,α
n→ ∞
− fn , A ,α
∗
A
A
∗
∗
f n dα
4. KESIMPULAN
n
A
∗
∗
A
n
A
∗
∗
9 , A, α
f n , A, α
Dari sini diperoleh, Lim sup x ∗ (x( f ,A ,α ) ) ≤ (x( f ,A ,α ) )
(1)
n
Selanjutnya untuk x ∗ 9( x ) + x∗ f n ( x ) ≥ 0 diperoleh 0 ≤ x∗ ( x(9 ,A ,α ) ) + x∗ ( x( f , A,α ) ) = x ∗ (x ( f +9 ,A ,α ) )
( )) = lim inf {x (x( ) ) + x (x( ) )} = lim inf {( H )∫ x f dα + (H )∫ x 9dα } = lim inf ( H )∫ x f dα + (H )∫ x 9dα = lim inf ( H )∫ x f dα + (H )∫ x 9dα = lim inf x (x ( ) ) + x ( x( )) ≤ lim inf x ∗ x( f
n
+ 9 , A ,α
∗
∗
fn , A, α
9, A, α
∗
∗
n
A
A
∗
∗
n
A
A
∗
∗
n
A
A
∗
∗
f n , A, α
, A ,α )
}
∗
A
n
9 , A,α
Berdasarkan pembahasan dalam babbab sebelumnya kesimpulan bahwa beberapa sifat integral Henstock masih berlaku untuk integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn . Demikian juga untuk teorema kekonvergenan integral Henstock, yaitu Teorema Kekonvergenan Seragam, Teorema Kekonvergenan Monoton, Lemma Fatau, Teorema Kekonvergenan Tedominasi Lebesgue, dan Teorema Kekonvergenan terbatas masih berlaku untuk integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn . Teori integral Henstock-Pettis dalam tulisan ini dapat dikembangkan antara lain kajian mengenai sifat-sifat primitif fungsi terintegral Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn , dan aplikasi integral HenstockPettis pada ruang Euclide Rn serta aplikasi pada ilmu-ilmu atau bidang fisika dan kimia.
atau
(x(
) ) ≤ lim inf x (x(
f n , A ,α
))
, A, α )
)= a
∗
f , A, α
dari (1) dan (2) diperoleh
(
x ∗ (x( f ,A ,α ) ) = lim x ∗ x( f n →∞
26
n
DAFTAR PUSTAKA (2) Dharmawidjaya, S., 2003, On The Bounded Interval Fu nctions, Proccedings of the International Conference 2003 On Mathematics And Its Application, SEAMS-Gadjah Mada university, Universitas Gadjah Mada, Indonesia .
Hairur Rahman dan Soeparna Darmawijaya, Kekonvergenan Integral Henstock
Indarti, Ch.R., 2002, Integral Henstock Kurzweil pada ruang Euclide Rn berdimensi-n, Disertai, Universitas Gadjah Mada, Indonesia . Gordon, R.A., 1994, The Integral of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock , Mathematical Society, USA. Guoju, Ye dan Tianqing, 2001, On Henstock-Dunford and Henstock-Pettis Integral, IJMMS, 25:7, Hindawi Publishing Corp. pp 467-478. Guoju, Ye dan, Swabik.S, 2001, The MacShane and The Weak. MacShane Integral of Banach Space value Funchen Define On Rn , Mathematical Notes, Miscole, Vol, 2., No, 2., pp127136. Guoju, Ye, and Swabik.S, 2004, Topics in Banach Space Integration, Manuscrip in Preparation. Indarti, Ch.R., 2002, Integral Henstock Kurzweil pada ruang Euclide Rn berdimensi-n, Disertai, Universitas
Gadjah Mada, Indonesia . Rahman, Hairur, 2005, Integral Henstock Pettis pada ruang Euclide Rn , Tesis Universitas Gadjah Mada, Indonesia . Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures On Henstock Integration, Word Scientific, Singapore. Lee, P.Y. dan Vborn, R., 2000, Integral : An Easy Approach after Kurzweil and Henstock , Cambridge University Press. Preffer, W.F., 1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA. Royden, H.L., 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company, New York, USA. Swabik.S. dan Guoju., Ye, 1991, The macshe and The Pettis Integral of Banach Space value Function defined on Rn , Chzech, Math Journal.
27
Berkala MIPA, 16(2), Mei 2006
28
