Jurnal Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 1 – 8 (2012)
APLIKASI DISTRIBUSI DERET PANGKAT PADA BEBERAPA JENIS DISTRIBUSI KHUSUS Power Series Distribution Applications in Several Types of Special Distributions
MOZART WINSTON TALAKUA Staf Jurusan Matematika FMIPA UNPATTI Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon e-mail:
[email protected]
ABSTRACT This research about the definition and theorem of power series distribution according to its analitycal characteristics. Then it discusse about the application to another distribution, and discusse about the relation between it, but it especially discusse about the application of power series distribution on some other special distribution, such as the negative logarithm distribution, the divided logarithm distribution, and invers sinus distribution. Keywords: Distribution, power series, negative logarithm, divided logarithm, invers sinus
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
Peluang (probabilitas) berawal dari sebuah perjudian yang dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Italy, yaitu Girolamo Cardan (1501 – 1576) yang ditulis dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book On Games Of Changes) pada tahun 1565 yang banyak membahas tentang masalah perjudian. Peluang kemudian dibahas oleh para ahli hingga sekarang. Distribusi normal adalah karya dari Abraham de Moivre yang diperkenalkan pertama kali pada tahun 1737, kemudian ditulis ulang pada tahun 1738 dengan judul The Doctrime Of Chances yang membahas tentang pendekatan distribusi binomial untuk n yang besar, kemudian dilanjutkan oleh Laplace dalam bukunya yang berjudul Analytical Theory Of Probability pada tahun 1812, yang sekarang dikenal dengan Teorema De MoivreLaplace. Distribusi kemudian dibahas hingga sekarang, yang dijelaskan oleh Peneliti dalam mengidentifikasi karakteristik parameter untuk model distribusi deret pangkat. Dalam penelitian ini akan dikaji tentang momen, fungsi pembangkit momen, aplikasi pada beberapa distribusi khusus seperti distribusi deret negatif logaritma, distribusi deret log pembagian, distribusi deret invers sinus (Arcsinus) dari distribusi deret pangkat, serta sifatsifat analitik meliputi Ekepektasi dan variansi.
Dalam ilmu statistika matematika, teori peluang (probability theory) merupakan dasar dan pengantar untuk penyusunan statistika lebih jauh, dimana dipakai pada penentuan selang untuk distribusi peluang yang terbagi atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu (Bain, 1991). Sebelum membahas lebih jauh tentang fungsi peluang deret pangkat, maka terlebih dahulu diperkenalkan apa yang dinamakan fungsi peluang itu sendiri. Misalkan suatu himpunan (disebut ruang sampel), dan titik disebut kejadian dasar (unsur). Kemudian misalkan P( A) adalah fungsi peluang untuk setiap kejadian A yang berkaitan dengannya suatu bilangan P( A) sedemikian sehingga P( A) 0 dan P() 1 (Kreyszig, 1993). Model fungsi peluang lain yang perlu diperkenalkan dan dipelajari dalam statistika adalah deret pangkat:
a X n
n
a0 X 0 a1 X 1 a2 X 2 ...
n 0
yang hanya ditemukan pada analisis metode dan bagian penentuan fungsi peluang deret pangkat (Dudewicz, 1995).
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 1 – 8 (2012)
2
1. Deret Pangkat. Definisi 1 Diketahui z1 , z2 ,..., zm barisan bilangan riil, didefinisikan barisan jumlah parsial yaitu: S1 z1 S2 z1 z2
m
z1 z2 ...
n
0
n
n
n
0
n 0
2
adalah konstanta yang di namakan koefisien dari deret tersebut, z0 adalah konstanta pusat deret. Jika z0 0 ,
d an z n dz
maka didapat an z n a0 a1 z a2 z 2 ... n 0
2. Penurunan Deret Pangkat Pada deret pangkat diperbolehkan menurunkan suku demi suku deret tersebut, sebagaimana Definisi 2. Penurunan ini dinamakan turunan pertama dari deret pangkat pada Definisi 2 yaitu ;
(2)
3. Fungsi Distribusi Definisi 3 Jika himpunan semua kemungkinan nilai peubah acak x adalah himpunan hingga x1 , x2 ,..., xn atau tak hingga
x1 , x2 ,... maka x, disebut peubah acak deret, fungsi x x1 , x2 , x3 ,... yang dianggap peluang untuk setiap himpunan nilai X, yang akan disebut fungsi distribusi peluang. 4. Fungsi Pembangkit Momen Definisi 4 Jika X peubah acak diskrit maka momen ke-t
e P X
M x t E e
a1 2a2 z 3a3 z 2 ... , z R
n0
tx
tx
x
Teorema 1 Suatu deret pangkat dengan jari-jari kekonvergenan R yang tidak nol menggunakan suatu fungsi didalam daerah interior universal kekonvergenannya. Turunan fungsi ini diperoleh dengan mendiferensialkan deret asalnya suku demi suku. Semua deret yang diperoleh dengan cara ini menggunakan jari-jari kekonvergenan yang sama dengan deret asalnya. d an z n d an z n n 0 , z R dz dz n 0
disebut fungsi pembangkit momen dari X, jika nilai harapannya ada untuk semua nilai t pada interval h t h dan h > 0. Teorema 3 Jika fungsi pembangkit momen M x t dari peubah acak
ada dan
X ada untuk t h dan h > 0, maka E X
E Xk
Bukti d an z n d a0 z 0 a1 z1 a2 z 2 ... n0 dz dz d d d a0 z 0 a1 z1 a2 z 2 ... dz dz dz
f x P X x ,
n 1
d a0 z 0 a1 z1 a2 z 2 ... dz d an z n n0 dz
a0 a1 z z0 a2 z z0 ... ,
n
2
d an z n d an z n n 0 ■ dz dz n0
z z0 R , dengan z adalah peubah dan a0 , a1 , a2 ,...
n a z
2
1
dari (1) dan (2) maka terbukti bahwa
n 0
1
0
Definisi 2 Deret pangkat dari ( z z0 ) berhubungan dengan,
(1)
z m disebut suku dari deret tersebut.
a z z
d d d d dz a z dz a z dz a z dz a z ...
n 0
m 1
dalam hal ini
Sm z1 z2 ... zm Jumlah parsial deret ini boleh tak hingga atau biasa disebut deret dan ditulis :
z
d an z n d n 0 an z n dz dz n 0
k
dM xk t dt k
t 0
Bukti Karena M x t ada untuk t h maka dapat mengambil turunannya secara beruruturutan dengan menurunkannya di dalam tanda integral secara terurut, jadi ; k
Mx
t
d
k
dt
k
d k 1
M x t E
t dt
E X e
k tX
k 1
tX
k
Jika dimasukan t 0 , diperoleh M x
e
0 E X k ■ Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 1 – 8 (2012)
3
HASIL DAN PEMBAHASAN Suatu deret pangkat sesuai Definisi 2 yang seluruhnya terhitung bisa berhingga atau tak berhingga sesuai Definisi 5 yaitu : f z
x
(3)
x
hingga (positif) dan terdefinisi, dan
selanjutnya berdasarkan Teorema 2 didapatkan suatu fungsi peluang diskrit P X yaitu : P X x
ax z
x
f z
, a x 0, z 0, x 0,1, 2,...
(4)
1. Hubungan Antara Momen Hubungan antara momen dapat diperoleh dengan menggunakan : Teorema 4 '
momen ke- k 1 atau M
1 f z
k
' k
z
z x k ax z x 1 f z x 1 x 1 ' n n f z 1 k 1 x x a z x k ax z x z x 2 f z f z x 1 x 1 ' n f z n k 1 x k 1ax z x 2 x ax z x z f z x 1 f z x 1 ' f z ' M k' 1 Mk z f z f ' z ' dM k' M k' 1 z Mk z f z dz
d Mk 1 dz f z
x a xz k
x
x
dM E X M k' z dz ' dM k M k' 1 M1' M k' z dz
f
n
2
' k
■
2. Momen Sentral Momen sentral distribusi deret pangkat dapat diproses dengan berdasar pada Definisi 4, momen sentral k 1 x M1' ax z x ke-k yaitu M k f z x
a z
x
a z
x
x
x
x
x
x
1 M 1' f z
x
x
x
a z
x
x
x
x
x
(6)
1 f z
a x
1 f z
a x z
2 xM 1' M 1'2
2
x
2
zx
x
2
x
x
x
' 1
' 1
2M 1' f z
a xz x
x
x
M 1'2 f z
a z
x
x
x
'2 1
M 2 M 2' M1'2 , jika disubstitusikan nilai dari M 1' dan
'
a z
M 2M M M
ax z x ,
x 1
n
a xz
' 2
selanjutnya didiferensialkan terhadap z n f ' z n k d Mk' 1 x k ax xz x 1 2 x ax z x dz f z x 1 f z x 1 '
1 M 1' f z
x
dM k' M M z dz
M 1'
1 M 1' f z
x
x
n
x
x
1 (3.3.5)x M1 M1' 1 ax z 0 f z x 2 1 M2 ax x M 1' z x f z x
Bukti Perhatikan M k'
a xz
1 M M 1' f z
'
' 1
1
x
1 f z
' 1
Jika M k momen ke-k dan M 1 momen pertama maka ' k 1
' 1
x
1 f z
dengan demikian P X merupakan suatu fungsi peluang distribusi yaitu (Persamaan 4) yang dinamakan distribusi deret pangkat.
a x M z
1 f z
M1
x
f z
dengan
a z
dari persamaan di atas diperoleh momen-momen sebagai berikut : 0 1 ax x M1' z x 1 (5) M 0 1 , sebab f z x
M 2' diperoleh
M 2 Var X
z f z f z z f z f z z z
1 2
2
"
'
2
f '2 z
f dengan cara yang sama diperoleh M 3 M 3' 3M 2' M1' 2M1'3 1 M3 3 f 2 z z 3 f "' z 3z 3 f ' z f " z f z
(7)
2 f ' z
2
1 3z 2 f ' 2 z 3z 3 f ' z f " z f 2 z
z3 f ' 3 z
(8)
f 3 z sehingga diperoleh
1
'j ' (9) M1 M k s s 0 akibat dari momen sentral diatas didapatkan momen jika dicari momen sentralnya sebagai berikut : M 2' M 2 M 1'2 k
M k E X M1'
s
k
s
M 3' M 3 3M 1' M 2 M 1'3
k
M k' E X M 1' M 1'
s 0
k s
'j M1 M k s
Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 1 – 8 (2012)
4
3. Hubungan Antara Momen Sentral Hubungan antara momen sentral diperoleh dengan menggunakan Teorema 5 di bawah ini.
Akibat 1 Jika M k momen sentral ke- k , M 2 momen sentral ke–2 dan M k 1 momen sentral ke- k 1 maka
Teorema 5 Jika M k momen sentral ke- k dan M k 1 momen sentral ke- k 1 , maka momen sentral ke- k 1 yaitu :
dM k dM1' M k 1 z k M k 1 , dengan k positif dz dz Bukti Dengan menggunakan nilai dari M k (momen sentral ke-
x M f z 1
k) yaitu : M k
' 1
k
ax z
dz
x M f z 1
' k 1
x 1
'
x M1
x
dz
k 1
f z
k
dM1 dz
z x M ' k a zx 1 x 2 f z x f
x M f z 1
'
1
x
zdM k
ax x z
' k 1
ax x z
'
f z
1 f z
z
x
dM 1 dz
k x M1'
x
1 f z
xM
dM dz
' 1
dz
dM k M k 1 z dz
' k 1 M1
ax z
' k 1 ax z x 1
x
ax z x x M 1'
' 1
k 1
ax z x zk
x
dM 1' 1 M k 1 dz f z
M k 1
zdM k dz
M k 1 ■ dz
k
x
x
x
x
t a1 z a2 t z 2 a3t 2 z 3 ... f z
t f z
a t
x 1
x
zx
x
f zt f z
dengan menyamakan (10) dengan nilai E ( X 1 ), ... , E ( X k ) kemudian didiferensialkan terhadap t didapatkan z f ' z 1 1 1 G' x t E X M ax x z x t 1 f z x f z
Gx t "
t 1
M f 1z a x x 1 z
E X
2
2
x
x
x
2
' 1
dM 1 M k 1 dz f z
z f z
z f
"
maka momen faktorial ke-k adalah
Gxk t
t 1
k E X k M
'
dM 1
a t z
k 1 x M1' ax z x
x M k
(10)
1 2 3 a1 t z a2 t z a3 t z ... f z
f ' z ax z x z f z
ax z x x M 1'
1 f z
Gx t
x
1 M k 1 f z
'
M k 1 zk
x M
M k 1 zk
dM1
' 1
dengan
sehingga didapatkan,
x
zk 1 f z
d M1' 1 dz f z
diperoleh
x
x
1 f z
k
pangkat
x
x
x M1'
zk
x
x
d 1 zk f z dz
deret
t P X x
x
M1'
4. Momen Faktorial Fungsi pembangkit momen faktorial Gx t , dari
Gx t E t
k z z 2 x M 1' a x z x f z x k
dz dengan demikian persamaan pada Teorema 3 dapat ditulis seperti berikut d Mk M k 1 z k M 2 M k 1 ■ dz
model distribusi menggunakan
x
'
1
dM1'
'
x
f
dM dM ' 1 1 M2 z M0 dz dz karena M1 0 dan M 0 1 maka, diperoleh
M2 z
selanjutnya didiferensialkan terhadap z maka didapatkan
d Mk k M 2 M k 1 dz
Bukti Dengan k 1 dari Teorema 3, diperoleh :
x
x
dM k
M k 1 z
1 f z
zk f k z f z
a x x 1 ... x k 1 z
x
x
x
(11)
Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 1 – 8 (2012)
5
5. Hubungan Antara Momen Faktorial Hubungan antara momen faktorial dari distribusi deret pangkat diperoleh dengan menggunakan Teorema 3 dibawah ini. Teorema 5 k ' Jika M momen faktorial ke-k dan M 1 momen pertama, maka momen faktorial ke-(k+1) yaitu : z dM k 1 M k 1 M k M 1' kM k , dz dengan k bilangan bulat positif. Bukti Akan dibuktikan bahwa Teorema 5 benar.
E X k M k
n 1 x k a x z x f z x 1
selanjutnya didiferensialkan terhadap z, maka didapat : k f ' z dM 1 k k x 1 x ax x z 2 x a x z x dz f z x f z x
1 z f z
k 1 x a x z x k
x
z f z 1
1 k 1 1 k k M k M M z z f z
dM z dz
dM k 1 M z dz dM z dz z
dM dz
k
k k
k M k
zx
(15)
t log z
(16)
1 1 z
(17)
E X
1 1 z
log 1 z
z 1 z log 1 z
(18)
z f ' z z 2 f " z
E X2
f z
t 0
1 1 z
maka
1
1 z
(19)
2
Maka M x "t dt 2
k M ' 1
E X2 t 0
1 2 1 z z 1 z 1 z log 1 z 1
k k M k M M 1'
E X2
6. Aplikasi Deret Pangkat Pada Beberapa Jenis Distribusi Khusus 6.1 Distribusi Deret Negatif Logaritma Jika diketahui deret sebagai berikut z 2 z3 tx z ... log 1 z z 1 (12) z z x x 1
Didapat distribusi
zx P X x , 0 t 1, x 1, 2,... x log 1 z
t 0
f " z
z f ' z k M k f z M
t x 1
x
z
Karena f ' z
M k M M 1'
k
1
Karena f z log 1 z maka
dt 2
' 1
k
xe
Selanjutnya diturunkan terhadap t maka berdasarkan (11) didapat M x ' t z f ' z EX dt t 0 f z
M x "t
k k f ' z 1 K 1 d M k M M z f z Z dz
k
log 1 z
EX
k f z 1 k 1 k M M z f z z
M
log 1 z et
dt '
k
et log 1 z
M x ' t
f ' z
dM z dz
momen
Jadi
'
k
f ' z
x
(14)
k x a x z x
z k x a x z x 2 f z x f
Maka diperoleh 1 1 ax , f z log 1 t log 1 z x Berdasarkan definisi fungsi pembangkit didapatkan et 1 t x 1 x M x t e z log 1 z x x
(13)
Jadi
1 z
z 1 z z 2
2
log 1 z
z
1 z
2
log 1 z
Var X E x 2 E x
(20)
2
z 2 1 z log 1 z 1 z log 1 z
2
z
z 2 z log 1 z
1 z
2
log 2 1 z
(21)
Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 1 – 8 (2012)
6
Selanjutnya dari persamaan (10) diperoleh t 1 x 1 x Gx t t z log 1 z x x
log 1 zt
1
t
log 1 z
(22)
(23)
z
Kemudian dari menyamakan persamaan (10) didapat Gx t '
dt
E X 1
Gx t
2
t 1
2
log 1 z
z f " z
f ' z
z
1 z
2
1 z f z log 1 z z
2
2
Selanjutnya moment faktorial ke-k Gx k t k 1! z k k E X k dt k 1 z log 1 z t 1
(25)
2
1 z 1 z 1 z
P X 2 x 1
''
2
f ' z 2 1 z
1 z ax , f z log 2x 1 1 z
log 1 z x
1 zet log 1 zet 1 z log 1 z
e
z
(27)
E X
2
2
f z
2 z
2 2
4z
1 z
2 2
(33)
2
1 z 2
1 z 2
1 z 2
2
2
2
3
1 z log 1 z
2z 2z 1 2
E X
4z
2 z 1 z 4 z
1
(29)
z2
1 z log 1 z
(28)
2
3
4z3
1 z log 1 z
3
2 z z
2
1 z
2 2
1 z log 1 z
(34)
Jadi
t x 1 2 x 1
z
Var X E X E X
2x 1
, t log z
2 f ' z z f " z
Maka
t
(32)
Dari definisi fungsi pembangkit momen didapat et 2 t x 1 M x t e z 2 x 1 1 z x 2x 1 log 1 z
2e
(31)
2
2 1
f " z 2 1 1 z
Untuk 0 z 1, x 0,1, 2... Didapat 2
1 z
t 0
Diketahui (26)
2
E X
2 x 1
1 z 2 x 1 log 1 z
2
1 z log 11 zz
Didapatkan distribusi
2z
2
2t
M x t dt
6.2 Distribusi Deret Log Pembagian Diketahui deret
z3 z5 z7 z 2 x 1 2 z ... 2 3 5 7 x 2x 1 1 z log , z 1 1 z
1
2
2
log 1 z
1 z 1 z
(24) 2
2
f z log
1
z
E X
2
z 1 z
1 z log 1 z
''
E X
f z
t 1
EX
dt
z f ' x
Kemudian diturunkan terhadap t diperoleh 2 z 2 ' 1 z M x t EX dt 1 z log t 0 1 z Sebab
(30)
2
3 2 z z 2z 1 z 1 z 2 2 1 z log 1 z log 1 z 1 z
2
Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 1 – 8 (2012)
11 zz Var X 2 z 2 1 z 2 log 11 zz 1 z
2
7
(35)
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen faktorial didapat t 2 x 1 2 x 1 Gx t t z (36) 1 z x 2 x 1 log 1 z
1 zt 1 zt 1 z log 1 z log
1
t
1 z3 1 3 z5 ... sin 1 z , z 1 2 3 2 4 5 Dapat ditulis 1 3... 2 x 1 z 2 x 1 P X 2 x 1 sin 1 z 2.4... 2 x 2 x 1 z
log
(37)
2
G t dt
z 2 1 z2
E X 1 1
2z
E X 1
4z z2 2 1 z2 Gx'' t 2 E X 2 2 1 z dt t 1 log 1 z 4z3 E X2 2 1 z 1 z 2 log 1 z
G t ''' x
dt
z3
4
1 z 2
4 z 1 3z
2
f z
t 0 1
z
1 1 z
(44)
2
1
1 z
sin
M x'' t
1 2 2
1
z
E X2
2
z
1
2
1 z sin z 1 z z z2 2 2 1 z 1 z 1 z2
z
1 z
3
E X
3
3
. 6.3 Distribusi Deret Invers Sinus (Arcsinus) Diketahui deret invers sinus 1 3 5 2 x 1 z 2 x 1 1 z3 1 3 z5 z ... z 2 3 2 4 5 2 4 5... 2 x 2 x 1
(40)
Kemudian
2
1 z 2
Var X E X 2 E X
1 z 2
1 z 2
sin z
t 0
(45)
1
2
3
2
z f 'z
Maka
dt
1 z log 11 zz 2z 2z 6z EX 1 z log 11 zz 2
t
EX
EX
1 3z
2
M x t
z
1 z log 1 z 3
(39)
2
3
1 t x 1 e z 2 x 1 2 x 1
(43) t log z sin z Selanjutnya ditunjukan terhadap t. Maka berdasarkan hasil dari (43) didapatkan
f ' z
f z
t 1
ze ,
2 4... 2 x
1
f z sin
z f ''' z
sin
1
1 3... 2 x 1
karena
3
E X 3 3
2
1
x
dt
et sin 1
'
2
(42)
Dari definisi fungsi pembangkit momen didapat 1 3... 2 x 1 et 1 t x 1 M x t e z 2 x 1 1 2.4.... 2 x 2 x 1 sin z x
M x t
(38)
1 z log 11 zz
1
f z sin 1 z
1
1 z log 1 z
t 1
untuk 0 z 1, x 1, 2,... Didapat 1 3... 2 x 1 1 ax 2 4... 2 x 2 x 1
Berdasarkan dengan menyamakan persamaan (10) didapat ' x
(41)
1 z
1 z2 z2
2
sin 1 z z 2
1 z sin
1
(46)
z
2
z 2 1 2 1 1 z sin z 1 z sin z
2
z
z 1 z 2 sin 1 z
z2
1 z sin z 2
1
2
Talakua
Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 1 – 8 (2012)
8
z sin 1 z z 2 1 z 2
1 z 2
Var X z
sin
1 z 2 sin 1 z 1
1 z 2
z z 1 z 1 z
2
Var ( X ) 2 z
Gx t
sin
sin
1
1
z
sin z 1
(47)
2
1 3... 2 x 1
x
zt , t
x 1 2 x 1 t z 2 4... 2 x 2 x 1
sin z Sehingga didapat Gx' t
z f ' z
t 1
z 1 z2
t 1
1 2
2
1 z 2 sin 1 z
2
Dudewicz, E. J; Misra, S. N., (1995), “Statistika Matematika Modern”, Penerbit ITB Bandung. (49)
f z
1 z 2 sin 1 z z 2 f " z
z2
Gx''' t
sin 1 z z
2 E X 2
1 z
Bain, L. J; Engelhardt, M., (1991), “Introduction to Probability and Mathematical Statistics” The Duxbury Advanced Series In Statistics And Decision Sciences.
f z
Gx'' t
sin 1 z z 1 z 2
DAFTAR PUSTAKA
E X 1
Var ( X ) z
2
(48)
z
1
t 1
1
1
1
1 z log 1 z 3. Distribusi invers sinus (Arcsinus) z E( X ) 2 1 1 z sin z
1 z 2
2
Dengan menggunakan definisi fungsi pembangkit momen faktorial didapat
t
1 z log 11 zz 2
2
Purcell, E. J; Varberg, D., (1992), ”Kalkulus dan Geometri Analisis”. Edisi Kelima, Penerbit Erlangga.
z
1 z 2
Kreyszig, E., (1993), Matematika Telaah Lanjutan (Statistik lanjutan) edisi ke-6. Penerbit PT Gramedia pustaka, Jakarta
1 z2
sin 1 z
1 z
2
z
3 2
1 z sin
z 2z5
1
(50) z
3
3 E X
1 z 2
2
1 z 2 sin 1 z
(51)
KESIMPULAN Karakteristik parameter untuk model distribusi deret pangkat yang telah dibahas pada bab sebelumnya, ditarik kesimpulan tentang sifat-sifat analitik beberapa distribusi khusus sebagai berikut: 1. Distribusi deret negatif pembagian: z EX 1 z log 1 z
Var ( X )
z 2 z log 1 z
1 z
2
log 2 1 z
2. Distribusi deret log pembagian: 2 z 1 z2 EX 1 z log 1 z
Talakua
