Dobó Andor
Az elliptikus geometria két mod modelljéről
A Dobó-Topa-féle elliptikus (görbült) téridő-elmélet az elliptikus geometria alkalmazásán alapszik. Éppen ezért fontos e geometriának két alapvető (standard) modelljét közelebbről és precízebben megismerni. Ebben a dolgozatban ezzel a problémával foglalkozunk, és az esetleges félreértések elkerülése végett tisztázzuk értelmezésüket1, mivel szerves részét kell, hogy képezzék a jövő fizikájának. * Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle modelltől. A Riemann-féle elliptikus modell a gömbfelületen értelmezi az elliptikus geometriát. Lényeges tulajdonsága, hogy a Hilbert-féle axiómarendszerben két helyen eltérést mutat. Nevezetesen a párhuzamossági és a rendezési axiómában. (Lásd: [1], [2].) Az előbbi esetben azt föltételezzük, hogy a sík bármely két egyenese mindig metszi egymást; az utóbbi esetben a rendezés axiómáit a ciklikus rendezés axiómáival cseréljük föl, pótoljuk. E szerint minden egyenesen megadható a pontoknak egy ciklikus elrendezése úgy, hogy a négy különböző A, B, C, D pontra az (ABCD), (ACBD), (ABDC) elrendezések egyike álljon fenn. Az (ABCD) ciklikus elrendezés szemléletesen azt fejezi ki, hogy az egyenesen az A, C pontpár elválasztja egymástól a B, D pontpárt. (Lásd még [2], 340., illetve 355. o.) A Riemann-féle gömbi modellben az elliptikus sík (közönséges) félgömbfelületre van leképezve olyan módon, hogy a gömb átellenes pontjait egyetlen pontnak tekintjük. Ezáltal kapjuk az egyszeres Riemann-féle elliptikus geometriát. (Lásd: [1], [2] és [3] 3. lábjegyzet.)
A tárgyalás során a [3]-ban közöltekre támaszkodunk, ugyanis az ebben foglaltakra alapozta Dobó és Topa az elméleti fizikai vonatkozású vizsgálatait, amelyek végül is Einstein speciális relativitáselméletének teljes cáfolásához vezettek. Ez a nemeuklideszi geometriára alapozott építkezés olyan új szemléletet von magával, amelynek eredményeit nem könnyű megérteni. Elsajátítása a fizika törvényeinek mélyebb megismeréséhez nélkülözhetetlennek bizonyul. Erre szükség van már csak azért is, mert az Einstein elméletét népszerűsítő irodalom számos helyen igen pontatlan – a túlhaladottságáról nem is beszélve! (Ezzel szemben az az általánosan elfogadott vélemény, hogy „Einstein elméletének komponensei ma már a fizika szilárd, jól megerősített pilléreiként funkcionálnak.” Ezért is duzzadt hatalmasra a mindhalálig hűséges-szervilis einsteiniánusok tábora!) 1
1
Az elliptikus sík geodetikus szakaszainak és szögeinek projektív metrikában mért mérőszámai a megfelelő „gömbi” szakaszok és szögek gömbi metrikában (gömbháromszögtanban, más néven szférikus trigonometriában) mért mérőszámaival egyenlők.2 (Lásd még [2], 355. o.) A félgömbfelületet úgy kell elképzelnünk, hogy az egyenlítő (határoló főkör) kerületének pontosan az egyik felét (például elölről nézve a bal oldalra esőt) a modell részének tekintjük; a másik fele (a jobb oldalra eső) már nem tartozik a modellhez. (Itt minden, ami szemben van, „elölről nézést” jelent, és fordítva!) Ezáltal érjük el, hogy a megadott félgömbi modellben a teljes egyenes hossza mindig félkörívnyi legyen. Ha P a modellhez tartozó egyenlítő kerülete felének egy tetszésszerinti pontja, akkor P-nek az átellenes P’ párja nem tartozik a félgömb felületéhez. Ezek szerint a „félegyenlítő” egyik végpontja (A) a modellhez tartozik, a másik végpontja (az átellenes A’) már nem. Ha a gömbi idom a határoló körön (egyenlítőn) túlnyúlik, akkor a kívülre eső pontokat az átellenesekkel pótoljuk. Ezek már a tekintetbe vett félgömbre esnek. Ebből adódóan a szakaszok felmérését, vagy két pont geodetikus összekötését a félgömbi modellben határvonal nem zavarja meg. (Lásd még [1], 266-273. o.) A gömbnek síkra való leképezését sztereografikus projekciónak nevezzük. (Lásd: [2], 395. o.) – A projektív síkgeometria axiómái teljesülnek a gömbmodellben! (Behatóbban lásd még [15], 184-189. o.) A Dobó-féle elliptikus modell a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljéből van származtatva3 – amit az euklideszi sík kör alakú tartományaként állítunk elő – azáltal, hogy az abban szereplő k görbületi paramétert k=R/i-nek választjuk, ahol i2=-1. (Lásd még a [3]-ban 2
Főkör a gömb metszete a középponton átmenő síkkal. Az elliptikus sík egyenesei a félgömb főköreibe, a síkbeli szögek a félgömb főköríveinek szögébe mennek át. Szakasz a gömbfelület két pontját összekötő főkörív kisebbik íve! A szögek értelmezése és mérése egyformán (azonosan) történik a két Riemann-féle elliptikus geometriában, azaz: két egyenes (főkör) szögén a rajtuk átfektetett síkok hajlásszögét értjük. Bár Riemann már 1854-ben fölfedezte az elliptikus geometriát, az erről (is) szóló dolgozata azonban csak halála után, 1867-ben jelent meg. Cayley 1859-ben ismerte fel a (róla elnevezett) kettősviszony logaritmusán alapuló távolságdefiníciót, aminek fölhasználásával Klein 1869-ben megalkotta a hiperbolikus geometria kúpszeletre épített modelljét, amely ma kettejük nevét viseli. 3
A szakirodalomban sem a k görbületi paraméterű hiperbolikus, sem az R görbületi paraméterű elliptikus Cayley-Klein-féle modell nem található abban a formában, ahogyan azt [3] tárgyalja. (Ezért nincs értelme azt a szakirodalomban keresni! Lásd még: [11].) A C-K modell általánosítható, ha a kör helyett a projektív sík egy tetszőleges kúpszeletének a belsejét választjuk alaphalmaz gyanánt. Ezáltal az elliptikus modell is általánosabbá válik, amiből kifolyólag számos érdekes és hasznos felismerésre juthatunk – ami bővíti a felhasználás lehetséges körét, növeli az alkalmazás sikerének esélyét. Különösen akkor, ha hiperbolikus térben élünk, és annak egy síkjában fekvő geometriai alakzatokat (idomokat) vizsgálunk. (Részletesebben lásd: [6].)
2
közölt és alkalmazott technikát!) Ekkor a hiperbolikus síkon értelmezett trigonometrikus összefüggések elliptikus síkon értelmezett trigonometrikus összefüggésekbe mennek át. Példaként tekintsük a hiperbolikus koszinusztételt, amely szerint: (1)
ch
= ch
− sh
⋅ ch
⋅ sh
⋅ cos γ .
A k=R/i választás esetén, figyelembe véve, hogy (2)
ch x⋅i = cos x ; sh x⋅i = i⋅sin x
a (3)
cos
= cos
⋅ cos
+ sin
⋅ sin
⋅ cos γ
összefüggéshez, vagyis az elliptikus koszinusztételhez jutunk. Ez a származtatási mód is bizonyítja és alátámasztja, hogy Dobó és Topa elméleti fizika területére eső matematikai vizsgálatai jól megalapozottnak tekinthető. A továbbiakban közöltek ezt majd még inkább megerősítik.
A párhuzamossági szög alakulása a Dobó-féle modellben A [3]-ban tárgyalt kör alapú Cayley-Klein modellben a ρ(0, P)=d hiperbolikus mértékben mért párhuzamossági távolsághoz tartozó β párhuzamossági (elpattanási) szögre nézve: (4)
cos β = = th δ
.
(Ebből adódóan β valós szám!) Ez a C-K modellben teljesülő hiperbolikus párhuzamossági axióma következményeként adódik. (Lásd még: [4] 375, 379, 387. o.) Az r=k választással (5)
cos β =
δ
Ha k=R⋅i (i2=-1), akkor
3
(6)
cos β =
δ ⋅
= − ⋅i = z , ahol z = 0 − ⋅i . δ
δ
Mivel (főágbeli arcusfüggvénnyel számolva)
(7)
arccos z = i⋅ln
+√
!
− 1# = i⋅ln $i⋅ %− + &1 + δ
δ !
'( ,
ezért
(8)
β = arccos − ⋅i = i⋅ln %− + &1 + δ
δ
δ !
'+ ; π
!
vagyis β értéke („hagyományos”/elliptikus) komplex szám. (Valós értéket csak akkor vesz fel, ha R⟶∞; ekkor β⟶π/2 – és így a modell euklideszivé simul!) Ez azt a nyilvánvaló tényt fejezi ki, hogy a Dobó-féle (R-et is tartalmazó) modellben (sem a két Riemann-féle elliptikus modellben) nem létezik valós párhuzamossági (elpattanási) szög, ugyanakkor „párhuzamos egyenesek” sem léteznek. Ebben az esetben is a tiszta képzetes sugarú kör határa nem tartozik a síkhoz! (Lásd még alább d) pont.) Azért kellett az átellenes (gömbi) pontpárokat egyetlen pontnak tekinteni, hogy az egyszeres elliptikus geometria síkjában is két egyenesnek – miként az euklideszi síkban – mindössze egyetlen metszéspontja legyen. Az euklideszi síkon két pontnak csak egy összekötő egyenese van. A gömb két átellenes pontján át (folytonosan) végtelen sok főkör (geodetikus vonal) halad át. Míg a kétszeres elliptikus geometria síkjában két egyenes mindig két (átellenes) pontban metszi egymást, az euklideszi síkon két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van. Ide vonatkozóan további eligazítások és hasznos tudnivalók találhatók [1]-, [2]-, [5]- és [7]ben. A gömbi leképezést, a Gauss-féle görbület fogalmát behatóan tárgyalja [1], s ennek kapcsán bemutatja a gömb tizenegy alapvető tulajdonságát, aminek az általános felületelmélet szempontjából is jelentősége van.
4
Az „egyszeres” és „kétszeres”4 elliptikus geometria alapján a geometria fizikai alkalmazása esetenként bonyolultabbnak bizonyul, és számos vonatkozásban ez az út nehezebben járható; ezért – ha lehet – jobb elkerülni a sikertelen próbálkozásokat. (Ez vonatkozik a Poincaré-féle hiperbolikus modellre is, ahol a geodetikus vonalak az alapkörre „merőleges” körívek!)
Sebességösszeadás a Dobó-féle elliptikus geometriában Legyen γ=π-α, ahol α a v és u sebességek által bezárt szög. A [3] szerint ,
= tg ⋅-
(9)
/
= tg ⋅-
,
0
,
⋅-
= tg
,
ahol d, a, b elliptikus távolságban mért háromszög oldalait jelöli, c a fénysebesség. Felhasználva a (10)
cos x =
(11)
sin x =
1
213456 7 45 7
213456 7
azonosságokat, valamint a sebességek (9) alatti kifejezéseit – az elliptikus koszinusztétel (3) alatti alakja alapján a sebességek összeadására nézve a
(12)
w=
&06 3/6 33!0⋅/⋅-9: α 3;<⋅=⋅: @ α A 1B
<⋅= ⋅-9: >⋅? 6
α
>⋅?
6
=w α
összefüggéshez jutunk, ahol (13)
0
/
<1, ⋅-
< 1 , amiből kifolyólag ⋅-
0⋅/
⋅cos ⋅- 6
α <1.
Ha most R=1, akkor (13) folytán u
w 0 =
03/
1B
<⋅= >⋅? 6
.
4
Jelző az elnevezéseknél arra utal, hogy a modellben két különböző egyenesnek hány közös (metszés)pontja van! (Lásd még: [10].) Napjainkra a geometria fölépítésére már számos „egymástól erősen eltérő” módszer ismeretes. Ilyenek az elemi, a projektív, a csoportelméleti, a differenciálgeometriai stb. módszerek.
5
Ha ρ(O, P) = d, akkor mivel tg
< 1, ezért
< , vagyis d korlátos. Ennélfogva a modell π
D
egyenesei – és így a mozgás pályái – véges hosszúságúak. Ha R=k⋅i, akkor (14) a (15)
w 0 =
03/
13
<⋅= E⋅? 6
alakba megy át. Nyilván w 0 > w 0 , továbbá (16)
03/
1B
<⋅= >⋅? 6
0B/
≠ 13
<⋅= >⋅? 6
,
ami u=c választással szintén – tehát nemcsak hiperbolikus esetben – nem egyezik Einstein II. posztulátumával! (A [8]-ban, Székely László előszavában közöltek szerint: »„Einstein tévedett”, „Einsteinnek nem volt igaza” bombasztikus formulával fölbukkanó, szenzációhajhászó művek mind fizikailag, mind pedig filozófiailag dilettáns alkotások.«) Ez azt jelenti, hogy Einstein matematikája nem vált be; jól, kifogástalanul nem használható – hiábavalónak bizonyult a sztárolás, amit hívei érthetően nem ismernek el! A (14) alatti összefüggés az alábbiak szerint is származtatható. Miután cos(γ)= -cos(α), és ha α=0, akkor cos(0)=1, ezért az elliptikus koszinusztétel szerint: (17)
cos
= cos
− sin
⋅ cos
⋅ sin
Ebből következik, hogy (18)
= + ,
és így
(19)
tg
= tg
+
tg
⋅ tg
<1.
=
45
G >
1B45
H > G H ⋅45 > >
345
ahol (20)
6
,
= cos
+
.
A (19)-ből már (9)-re való tekintettel a (14) alatti összefüggés következik. Ez a származtatási mód tg(⋅) helyett th(⋅) függvénnyel számol hiperbolikus geometria esetére, és így (15)-re nézve is alkalmazható! Ezek szerint (18) azt fejezi ki, hogy ha A, C, B egy (elliptikus vagy hiperbolikus) egyenes egymás után következő pontjai, és az egyenes A és B pontjának távolsága dAB, akkor értelemszerűen: (21)
dJK = dJL + dLK .
Míg a C-K elliptikus modellben az egyenesek véges hosszúak, a hiperbolikus modellben végtelen hosszúak. * Vegyük észre, hogy a projektív geometriai alapokon tárgyalt hiperbolikus és elliptikus geometria metrikája azonos tőről fakad (a kettősviszony logaritmusán alapszik) – mégis a végső formájuk egymástól eltérő. Hiperbolikus modell esetében a metrikát area tangens hiperbolikus, elliptikus modellnél arcus tangens formula fejezi ki. A tárgyalás során ezekre fontos szerep hárul. Bolyai János hiperbolikus geometriai modellje nem épült „kifejezetten és szigorúan” metrikára. Az APPENDIX-ben két pont távolságfüggvénye nem lelhető fel. Az egyenes, a párhuzamos egyenes, az ultraparalel egyenes egyenlete, két pont távolságának formulája stb. Dávid Lajos (1881-1962) APPENDIX-et magyarázó [14] könyvében található. Ez a könyv 1944 augusztusában Kolozsváron, a Minerva kiadásában készült el, de a háború miatt már nem került forgalomba. (A nyomda raktárából kiszállításra váró könyvek pedig egyenesen a zúzdába kerültek!) Dávid Lajos a debreceni (1929-40), majd a kolozsvári (1940-44) egyetemen volt egyetemi tanár. 1945. után hangadó körök nyomására kirekesztették a tudományos életből! A Bolyai geometria területén végzett munkásságát leminősítették! A „tudományok doktora” fokozat elnyerésére irányuló kérelmét elutasították! – Az újjászervezett Akadémia hamar megmutatta, hogyan kell a hatalmat „érdekfüggően” gyakorolni.. Egyébként Dávid Lajos volt a Debreceni Tudományegyetem első matematika professzora!
7
MEGJEGYZÉSEK: a) Jaglom [5] könyvének függelékében kilenc C-K-féle síkgeometriát tárgyal. Ezek között van a Bolyai-féle hiperbolikus és a Riemann-féle elliptikus geometria is. A hiperbolikus geometriát kapcsolatba hozza Einstein speciális relativitáselméletével. Jaglom a k=1, c=1 választással él, és így nála (22)
v = th d
/
(a
⋅-
= th
helyett, ahol
/
⋅-
< 1 .)
Azért, hogy igazolja Einsteinnek azt a posztulátumát, miszerint a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora, a d hiperbolikus távolságot a 0≤d≤∞ intervallumon értelmezi. Ebből kifolyólag (lásd [5] 350. o.) th(d)≤1 – ugyanis ha d=∞, akkor th(∞)=1 –, és így v≤1; ami valóban Einstein (második) posztulátumának fönnállását bizonyítja; hiszen ekkor (ha v=c=1) (23)
1±0
w1 0 = 1±0 = 1 .
Mivel a C-K hiperbolikus modellben a sík a h kör belső pontjaiból áll (lásd [3]), a sík egyenesei pedig ennek a körnek a nyílt húrjai, ezért 0 < < 1 folytán (következésδ
képpen) d<∞; és v=1=c esetén kell, hogy k>1 legyen – így a Dobó-féle tárgyalás szerint: (24)
w 0 =
1±0 <
1± 6 E
≠1 ,
ami arra utal, hogy az inerciarendszerek nem egyenrangúak, az éter pedig létezik! (Einstein szerint: „az általános relativitáselmélet értelmében a tér éter nélkül elképzelhetetlen”; lásd [8], 158. o. Erről azonban a fizikusok nem vesznek tudomást!) b) Jaglom könyvében a Riemann-féle elliptikus geometriához azáltal jutunk, hogy rögzítünk egy előre fölvett (adott) egyenesen kívüli O pontot, majd az egyenes A és B pontjának elliptikus távolságát (a közönséges) AOB szöggel mérjük. (Lásd [5], 331. o.) – Jól látható és kivehető, hogy ez a tárgyalási mód már alapjában eltérést mutat a Dobó-féle tárgyalástól. (És ez így van jól!)
8
c) Fontos és jellemző tulajdonsága a C-K-féle kör-modellnek, hogy benne a geodetikus vonalak egyenesek. A [3]-ban tárgyalt hiperbolikus modell esetében a kúpszelet egyenlete: (25)
x! + y! − k! = 0 ,
vagyis az abszolút alakzat k sugarú kör; ezen helyezkednek el a húrok végpontjai. Elliptikus kör-modell esetében az abszolút alakzat (25) alapján az (26)
x ! + y ! + R! = 0
képzetes sugarú kör, mikor is k=R⋅i. (Az egyenesek itt is az (x; y) sík egyenesei!) A matematikai szakirodalomban a nemeuklideszi geometriák modelljének bemutatása és tárgyalása a k=1 és R=1 választás mellett történik, ezáltal és így váltak ismeretessé. Ez is oka annak, hogy a C-K-féle kör-modell alkalmazása nem vált be a fizikában. (Hozzáteszem, hogy az elliptikus változat korábbi fizikai alkalmazásáról én nem tudok!) Hogy adott esetben melyik geometriát kell (lehet) alkalmazni, azt a mozgás („eredő sebességek”) jellege (és így k vagy R „érvényre jutása”, dominálása) határozza meg, dönti el5; végső fokon a tapasztalat. (Lásd még: [9].) d) A kanonikus egyenletek alapján a kúpszeletek mindegyike másodrendű görbe. (A kör is a kúpszeletek közé tartozik!) A (26) alatti másodrendű görbe valójában nem kúpszelet. Ezt az egyenletet egyetlen valós pont koordinátái sem elégítik ki; ami akkor is áll, ha a homogén koordinátás x12+x22+x32=0 egyenletre térünk át. Szemlélet szempontjából (26) üres alakzat, amelyhez (valós) ideális pont („végtelen távoli pont”) sem tartozik. – A C-K-féle modellben, vagy a Poincaré-féle modellben ideális pontot alkotnak a határgörbére illeszkedő, vagy az azon kívül eső pontok. Párhuzamos egyenesekhez azonos ideális pont tartozik. Az ideális térelemeknek (ilyen még a „végtelen távoli egyenes”, „végtelen távoli sík”) fontos szerepük van a geometriában. Általuk az illeszkedési és metszési tételek egyöntetűbben fogalmazhatók meg! Ennek révén például a „két egyenes vagy metszi egymást, vagy párhuzamos” kijelentést az alábbi helyettesíti (váltja fel): „Két egyenes
5
Ebben a kérdésben alapvetően eltérő véleményen vagyunk Topával.
9
mindig metszi egymást; párhuzamosság esetén a közös ideális pontjukban.” (Lásd: [2], 185-186. o.) Az ideális térelemekkel bővített síkot projektív síknak nevezzük. Ennek – az euklideszi síkkal szembeni – jellegzetes sajátossága, hogy bármely két egyenesének van közös pontja.
A
projektív
geometriában
a
„közönséges”
és
„ideális”
pontokat
egyenértékűeknek tekintjük! Itt azonban a közönséges távolságfogalom nem vihető át az ideális pontokra. A [2]-ben homogén koordinátákkal van kifejezve az elliptikus és hiperbolikus geometria metrikája! Komplex számok halmazához (számsíkhoz) egyetlen ideális pontot – nevezetesen a ∞ szimbólummal jelölt pontot – csatoljuk. (Ez a végtelennek nevezett, „∞-nel jelölt szám” a gömbfelület északi pólusához van rendelve!) Ezáltal a komplex számokat a Riemann-féle számgömbön ábrázolhatjuk; aminek számos előnye van. (Így pl. az, hogy a számsík a gömbbel topologikusan ekvivalenssé válik. Lásd: [2], 186, 379. o.) Számos – ideális térelemek bevezetésére alapozott – tétel található [12]-ben. (Lásd: 440-458. o.) A projektív geometria is fölépíthető az euklideszi geometriától függetlenül, a projektív sík és tér [13]-ban található axiómarendszere alapján. (Lásd: 361-363. o. Önálló felépítésben lásd még [4], 352-356. o.) E helyt nem volt célunk részletesebben tárgyalni a projektív geometriára alapozott nemeuklideszi geometriákat. Inkább csak a figyelmet akartuk fölhívni, e kiegészítéssel is láttatni szerettük volna, hogy a geometriának mennyire hasznos fizikai alkalmazásai lehetnek. – Ezt a lehetőséget is meg kell ragadni akkor, amikor a gondolatvilágunkban messzebbre akarunk látni. Ez a „foghíjas” irodalom miatt nem lesz könnyű feladat. e) Vizsgálataink során csupán síkra szorítkoztunk, de már ebből is látható, hogy a projektív geometria a matematikának nem „könnyű” fejezete. Az eredményeket nem rutinszerűen, nem módszeresen alkalmazott analitikus eljárásokkal, hanem sok ihletre, leleményességre, ötletre támaszkodva, építkezve kapjuk. A projektív geometria az ötletek tárháza, aminek révén tételeit elegáns és frappáns módon bizonyíthatjuk.
10
(Mivel nagyon sikamlós, ezért könnyen elcsúszhatunk rajta.) Megalkotója Jean-Victor Poncelet (1788-1867) francia matematikus, hadmérnök-tábornok volt.6 A 36 akadémia tagjává választott (Einstein szerint „szikrázó elméjű és mély gondolkodású”) francia matematikus, Henri Poincaré véleménye, fölfogása volt, hogy: „A geometria semmit sem mond a valóságos dolgokról, csak az a geometria, amelybe a fizikai törvényeket is beleértjük.” – Én is megpróbáltam, igyekeztem a geometriát a fizika számára hasznossá, használhatóvá tenni. Ma már talán elmondhatom, hogy egy kicsit ez sikerült is! Az meg, hogy mások hogyan vélekednek erről, egyáltalán nem érdekel! Immunissá tett a sok áltudományos okoskodó, a fizikát laikusan népszerűsítő, dilettánsan művelő „szaktekintély”, a magyarázó filozófusokkal együtt… Láttam, megtapasztaltam, hogy úgy matematikai, mint fizikai szempontból valóban sok „ad hoc” szerű gondolatot igényel alkalmazáskor a geometriai modell megválasztása (konstruálása), és a fizikai törvényeknek ebbe való beágyazása. Azért, hogy a természet viselkedését, a világ szüntelen alakulását jobban megértsük és reálisabban megismerjük, ezt az utat – ha tetszik, ha nem – kénytelenek vagyunk választani, bejárni, föltárni. Hogy ez a kutatói tevékenységünk minél sikeresebb legyen, nagyon célratörően és tudatosan az egyetemi tanterveket is – az eddigieknél sokkal jobban – ehhez kellene igazítani! Ez azonban, sajnos, nem látszik egyhamar megvalósíthatónak, így a természet világára vonatkozó ismereteink szakszerű bővítése az elvárhatónál hosszabban fog végbemenni, bekövetkezni – ideértve a filozófiai fölfogásunkat is. Ma még ott tartunk, hogy túlzás nélkül ki lehet tenni a táblát:
A REFORMÁLÁS IDEJE ALATT AZ OKTATÁS TUDOMÁNYTALANÍTÁSA ZAVARTALANUL FOLYIK!
Budapest, 2013. január 2. 6
A projektív geometria szigorú felépítését Poncelet a napóleoni hadsereg tisztjeként – szaratovi orosz fogsága idején – 1822-ben fejezte be. Fő műve (Értekezés az alakzatok projektív tulajdonságairól) életében teljes elutasításra talált, s csak halála után 15 évvel jelent meg könyv formájában.
11
HIVATKOZÁSOK [1]
D. Hilbert - S. Cohn-Vossen: Szemléletes geometria (Gondolat, Budapest, 1982.)
[2]
Matematikai kislexikon:
Főszerkesztő: Dr. Farkas Miklós (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.)
[3]
Dobó Andor:
Projektív metrikáról (Kézirat, Budapest, 2012. június 20.)
[4]
Reiman István:
A geometria és határterületei (Gondolat, Budapest, 1986.)
[5]
I. M. Jaglom:
Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, Budapest, 1985.)
[6]
Moussong Gábor:
A hiperbolikus geometria modellje (Bolyai-Emlékkönyv, Vince Kiadó.)
[7]
G. Vrănceanu:
A Riemann-féle geometria, Bolyai János élete és műve (Állami Tudományos Könyvkiadó, Bukarest, 1953.)
[8]
A. Einstein:
Éter és relativitáselmélet, Albert Einstein válogatott írásai (Typotex, Budapest, 2010.)
[9]
Dobó Andor - Topa Zsolt:
Ki mondja meg, mi dönti el, mi az igazság? (Kézirat, Budapest, 2012. december 15.)
[10] Kálmán Attila:
Nemeuklideszi geometriák elemei (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.)
[11] Dobó Andor:
Mi a jelentősége a k=r választásnak? (Kézirat, Budapest, 2012. december 15.)
[12] Hajós György:
Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.)
[13] Pelle Béla:
Geometria (Tankönyvkiadó, Budapest, 1979.)
[14] Dávid Lajos:
Bolyai-geometria az APPENDIX alapján (Minerva, Kolozsvár, 1944.)
[15] Neumann Mária:
A tér szerkezete és a lehetséges geometriák (Megjelent Modell és valóság c. könyvben, Facla Könyvkiadó, Temesvár, 1982.)
12
