1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. de níció.
Legyen a z0 pont az f (z) függvény értelmezési tartományának tor-
lódási pontja. Az f (z) függvényt a z0 pontban
lim∆z→0
dierenciálhatónak nevezzük, ha a
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) ∆z
határérték létezik és véges. Ezt az értéket az f (z) függvény z0 helyen vett dierenciálhányadosának nevezzük, és f 0 (z0 )-lal jelöljük. 1.2.
megjegyzés. Mivel a derivált de níciója az egyváltozós valós függvények körében
megismert módon történt, így a valós függvények körében megismert - az összeg-, különbség-, szorzat-, hányados- és az összetett függvény deriválására vonatkozó szabályok a komplex függvények körében is érvényesek maradnak.
1.3. tétel. Az f (z) = u(x, y) + iv(x, y) függvény a z = x + iy pontban akkor és csak akkor dierenciálható, ha ebben a pontban léteznek az u0x , u0y , vx0 , vy0 parciális deriváltak és folytonosak, és teljesülnek a Cauchy-Riemann-egyenletek: és u0y = −vx0 .
u0x = vy0
1.4. de níció.
Az f (z) függvényt a z0 pontban
regulárisnak nevezzük, ha van z0 -
nak olyan környezete, amelyben f (z) dierenciálható.
1.2. Hatványsorok 1.5. de níció. nak nevezzük.
1.6. tétel.
A
∞ X
cn z és a n
n=0
(Abel tétele)
∞ X
cn (z − a)n alakú függvénysorokat hatványsorok-
n=0
Ha a
∞ X
cn z n hatványsor egy z0 pontban konvergens, akkor
n=0
minden |z| < |z0 | helyen is konvergens, s®t egyenletesen konvergens.
1.7. tétel.
(Cauchy-Hadamard tétel)
A
∞ X n=0
p 1 tartományban, ahol = limsup n |cn |. R 1
cn z n hatványsor konvergens a |z| < R
Az R számot a hatványsor hatványsor
konvergencia-sugarának, a |z| < R kört pedig a
konvergenciakörének nevezzük.
1.8. tétel. Ha f reguláris az a pont egy környezetében, akkor itt az f függvény a (z − a) hatványai szerint haladó Taylor-sorba fejthet®. A Taylor-sor: ∞
X f (n) (a) f 00 (a) f 0 (a) 2 (z − a) + (z − a) + · · · = (z − a)n f (z) = f (a) + 1 2 n! n=0
A sor a konvergenciatartomány minden pontjában egyenletesen konvergál f (z)-hez.
1.3. Elemi függvények 1.9. de níció.
A w = az + b, ahol a, b ∈ C (a 6= 0) függvényt
lineáris függvénynek
nevezzük. A lineáris függvény leképezése egy hasonlósági transzformáció. A lineáris függvény a z síkot kölcsönösen egyértelm¶en képezi le a w síkra
a 6= 0 esetén.
1.10. de níció.
A
lineáris törtfüggvény általános alakja f (z) =
az + b , cz + d
ahol a, b, c, d ∈ C állandók. A lineáris törtfüggvény a lineáris függvényhez hasonlóan kölcsönösen egyértelm¶en képezi le a z síkot a w síkra. A függvény inverze is lineáris törtfüggvény.
1.11. de níció.
Az
exponenciális függvényt a w = ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y)
egyenl®séggel értelmezzük. A hatványozás azonosságai komplex kitev® esetén is változatlanul érvényesek. Az így értelmezett exponenciális függvény periodikus, hiszen f (z) = f (z+2πi). Az exponenciális függvénynek a komplex számok körében sincs zérushelye. A valós esett®l eltér®en, a függvénynek a ∞-ben nincs határértéke. 2
Az exponenciális függvény a z sík −π < y 6 π sávját képezi le a teljes w síkra.
1.12. de níció.
A z = reiϕ komplex szám
logaritmusa az ln z = ln r + iϕ komplex
szám, ahol ϕ ∈] − π, π]. Az így értelmezett logaritmusfüggvény valóban az exponenciális függvény inverze. Mivel az exponenciális függvény a 0 és a ∞ értéket nem veszi fel, így a logaritmusfüggvény e két helyen nincs értelmezve. A logaritmus ismert azonosságai az így értelmezett logarimtusfüggvénynél is érvényben maradnak.
1.13. de níció.
Az
általános hatványfüggvényt a w = z a = ea ln z
egyenl®séggel értelmezzük.
3
a∈C
2. Komplex függvények integrálása. Pályamenti integrál. Cauchy-féle integráltétel és integrálformula. A komplex vonalintegrál értelmezése : Legyen z(t), t ∈ [α, β] egy rekti kálható γ görbe paraméterezése, és f egy a γ görbén értelmezett komplex érték¶ függvény. Osszuk fel az [α, β] intervallumot a
t0 = α, t1 , t2 , . . . , tn = β pontokkal. Ez szolgáltatja a γ görbének egy a = z0 = z(α), z1 = z(t1 ), . . . , b = zn = z(β) felosztását véges sok ívdarabra. Minden egyes (zk−1 , zk ) íven vegyünk fel egy tetszés szerinti ξk pontot, és számítsuk ki az
S=
n X
f (ξk )(zk − zk−1 )
k=1
összeget. Finomítsuk úgy a felosztást, hogy a (zk−1 , zk ) ívek hossza egyenletesen tartson 0-hoz. Ha ekkor teljesül az, hogy az S összeg bármely minden határon túl nomodó felosztásorozat esetén a felosztástól független határértékhez tart, akkor az
f függvényt a γ görbén integrálhatónak nevezzük. Az S összeg határértékét pedig az f függvény γ görbére vonatkozó integráljának nevezzük, és így jelöljük : Z S = f (z) dz. γ
Ha a γ zárt görbe, használjuk a következ® jelölést : I S = f (z) dz. γ
2.1. tétel. (Elégséges feltétel akkor f integrálható γ -n.
az integrál létezésére)
Ha f a γ görbén folytonos,
2.2. tétel. (A vonalintegrál kiszámítása) Ha f integrálható a γ görbén, ahol γ egy sima Jordan-görbe, akkor Z
Z
β
f (z) dz = γ
2.3. de níció. A F
f (z(t)) · z 0 (t) dt.
α
reguláris függvényt a T tartományon a f
nevezzük, ha a tartomány minden pontjában F (z) = f (z). 0
4
primitív függvényének
2.4. tétel. (Cauchy-féle integráltétel) Ha f a T tartományon reguláris függvény, akkor bármely T -ben haladó zárt rekti kálható γ görbére vonatkozó integrálja zérus, azaz: I f (z) dz = 0. γ
2.5. következmény. Ha a és b a T tartomány tetsz®leges pontjai, akkor az a-tól b-ig vett integrál értéke független az integrációs úttól, csak az a és b pontok függvénye. 2.6. következmény. (Newton-Leibniz-tétel) Ha F a reguláris f függvény primitív függvénye a T tartományon, akkor bármely T -ben haladó a kezd®pontú és b végpontú rekti kálható γ görbére: Z f (z) dz = F (b) − F (a). γ
Igaz a Cauchy-féle integráltétel megfordítása is.
2.7. tétel. (Morera tétele) Ha f folytonos a T tartományon, és bármely T -ben haladó rekti kálható zárt görbére vonatkozó integrálja zérus, akkor f reguláris T -n. 2.8. tétel. (A Cauchy-féle integráltétel általánosítása) Ha f reguláris egy (n + + 1)-szeresen összefügg® T tartományban, annak γ küls® és γk , k = 1,2, . . . n bels® határgörbéin, akkor egyez® körüljárás esetén Z f (z) dz = γ
n Z X k=1
f (z) dz.
γk
2.9. tétel. (Cauchy-féle integrálformula) Legyen f reguláris a T tartományon, és γ rekti kálható zárt Jordan-görbe, mely belsejével együtt T -hez tartozik. Ekkor a T tartomány minden olyan z0 pontjára, amely a γ belsejében van igaz, hogy 1 f (z0 ) = · 2πi
I γ
f (z) dz. z − z0
Irodalom : Hanka László Zalay Miklós : Komplex függvénytan (Bolyai-könyvek)
5
