EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

MEGOLDÁSOK MAGYARÁZATTAL

Sokszínű matematika 11/91. oldal 1. feladat

a) 42x −1 ⋅ 2 x = 16 x

(2 )

Mivel mindegyik hatvány alapja 2 hatvány, ezért átírjuk a 4-et és a 16-ot:

2

2x −1

( )

⋅ 2 x = 24

x

2⋅ 2x −1) 2 ( ⋅ 2 x = 24⋅x 2⋅ 2x −1)+ x 2 ( = 24⋅x

Alkalmazzuk a hatvány hatványa azonosságot! A bal oldalon az azonos alapú hatványok szorzása azonosság miatt a kitevőket összeadjuk: Elértük célunkat: két kettő hatvány egyenlő. Ez csak úgy lehet, hogy a kitevők is egyenlők. Másképp: mivel a 2 x függvény szigorúan monoton, azért a hatványok egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége.

2 ⋅ ( 2x − 1) + x = 4 ⋅ x Az exponenciális egyenlet helyett egy elsőfokú egyenletet kell megoldanunk a mérlegelv segítségével:

2 ⋅ ( 2x − 1) + x = 4 ⋅ x

( 4 ⋅ x − 2 + x = 4 ⋅ x ) -4x ( − 2 + x = 0 ) +2 x=2 A válasz előtt az ellenőrzés:

( ) jobb oldal: ( 2 )

2⋅2−1

bal oldal: 22

4

2

⋅ 22 = 26 ⋅ 22 = 28

Válasz: az egyenlet megoldása a 2.

= 28 y 10 9

y = 2

8

x

7 6 5 4 3 2 1 – 10– 8 – 6 – 4 – 2 – 1

2

4

6

8 10 x

Koósz Tamás © 2009




b) 9x −1 = 81 ⋅ 3

(3 )

Mivel mindegyik hatvány alapja 3 hatvány, ezért átírjuk a 9-et és a 81-et, majd a gyök hármat is:

2

Alkalmazzuk a hatvány hatványa azonosságot, majd a jobb oldalon az azonos alapú hatványok szorzása azonosság miatt a kitevőket összeadjuk: Elértük célunkat: két három hatvány egyenlő. Ez csak úgy lehet, hogy a kitevők is egyenlők. Másképp: mivel a 3 x függvény szigorúan monoton, azért a hatványok egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége.

x −1

2( x −1)

3

( ) 4

= 3 4

=3

1 ⋅ 32

1 ⋅ 32

= 34,5

2 ⋅ ( x − 1) = 4,5 Az exponenciális egyenlet helyett egy elsőfokú egyenletet kell megoldanunk a mérlegelv segítségével:

2 ⋅ ( x − 1) = 4,5

( 2 ⋅ x − 2 = 4,5 ) + 2 ( 2 ⋅ x = 6,5) : 2 x = 3, 25 = A válasz előtt az ellenőrzés: bal oldal: 93,25−1 = 92,25 = 34,5 4

0,5

jobb oldal: 81 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3

13 4

Válasz: az egyenlet megoldása a 3,25. 4,5

=3

y 10 9 8

y = 3

7

x

6 5 4 3 2 1 – 10– 8 – 6 – 4 – 2 – 1

2

4

6

8 10 x




Sokszínű matematika 11/91. oldal c) 10 x

1. feladat

2

− 4x +3

=1 10 x

Mivel az 1 minden pozitív szám 0-adik hatványa, ezért: Elértük célunkat: két tíz hatvány egyenlő. Ez csak úgy lehet, hogy a kitevők is egyenlők. Másképp: mivel a 10 x függvény szigorúan monoton, azért a hatványok egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége.

2

− 4x +3

= 100

x 2 − 4x + 3 = 0 Az exponenciális egyenlet helyett egy másodfokú egyenletet kell megoldanunk a megoldóképlet segítségével:

x 2 − 4 ⋅ x+ 3 = 0 a = 1; b = −4; c = 3 D = b 2 − 4 ⋅ a⋅ c = 16 − 4 ⋅1 ⋅ 3 = 4 x1,2 =

− b± D 4 ± 2 = → x1 = 3; x2 = 1 2⋅a 2

A válasz előtt az ellenőrzés: 2

bal oldal:

103

− 4⋅3+3

12 − 4⋅1+3

10

= 100 = 1

Válasz: az egyenlet megoldásai a 3 ill. az 1.

0

= 10 = 1

jobb oldal: 1

y 10 9 8

x

y = 10

7 6 5 4 3 2 1 – 10– 8 – 6 – 4 – 2 – 1

2

4

6

8 10 x




Sokszínű matematika 11/91. oldal 2

d) 62x ⋅ 67x = 615

1. feladat

Alkalmazzuk az azonos alapú hatványok szorzata azonosságot a bal oldalon: Elértük célunkat: két hat hatvány egyenlő. Ez csak úgy lehet, hogy a kitevők is egyenlők. Másképp: mivel a 6 x függvény szigorúan monoton, azért a hatványok egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége.

62x

2

+ 7x

= 615

2x 2 + 7x = 15 Az exponenciális egyenlet helyett egy másodfokú egyenletet kell megoldanunk a megoldóképlet segítségével:

2 ⋅ x 2 + 7 ⋅ x − 15 = 0 a = 2; b = 7; c = −15 D = b 2 − 4 ⋅ a⋅ c = 49 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −15 ) = 169 x1,2 =

− b± D −7 ± 13 6 3 = → x1 = = ; x2 = − 2⋅a 4 4 2

A válasz előtt az ellenőrzés: bal oldal:

⎛3⎞ 2⋅⎜ ⎟ 6 ⎝2⎠

2

⎛3⎞ 7⋅⎜ ⎟ ⋅6 ⎝ 2⎠

9 21 + = 62 2

= 615

Válasz: az egyenlet megoldásai a

2 2⋅ −5 7⋅ −5 6 ( ) ⋅ 6 ( ) = 650−35 = 615 jobb oldal: 615

3 ill. a −5 . 2

y 10

y 10

5

9

y = 6

8 – 6

– 4

– 2

2 – 5

4

x

x

7 6 5

– 10

4 3

– 15

2 1

– 20

– 10– 8 – 6 – 4 – 2 – 1 2

2

4

6

8 10 x

– 25

2x + 7x – 15 = y





e) 27 ⋅ 2x = 8 ⋅ 3x 33 ⋅ 2 x = 23 ⋅ 3x

Írjuk át a 27-et és a 8-at prímszámok hatványaként!

(3 ⋅ 2 3

Egyik oldalon sem alkalmazhatunk hatványozás azonosságot, viszont alkalmas osztásokkal és a hányados hatványa azonosság alkalmazásával mindkét oldalon elérhetjük a célunkat:

x

)

= 23 ⋅ 3x : 3x ;: 33 2x 3x

=

23 33

x

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠

3

Elértük célunkat: két kétharmad alapú hatvány egyenlő. Ez csak úgy lehet, hogy a kitevők is egyenlők. ⎛2⎞ ⎝3⎠

x

x =3

Másképp: mivel a ⎜ ⎟ függvény szigorúan monoton, azért a hatványok egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége. A válasz előtt az ellenőrzés: bal oldal: 27 ⋅ 23 = 27 ⋅ 8 = 216


3

jobb oldal: 8 ⋅ 3 = 8 ⋅ 27 = 216

y 10 9 8 7

⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎝ 3 ⎠

y = ⎜

6

x

5 4 3 2 1 – 10– 8 – 6 – 4 – 2 – 1

2

4

6

8 10 x





f) 125 ⋅ 3x −1 = 3 ⋅ 5x +1

(5 ⋅ 3 3

Írjuk át a 125-öt prímszámok hatványaként, majd végezzük el a kijelölt osztásokat!

x −1

)

= 3 ⋅ 5x +1 : 53 ;: 3

3x −1 5x +1 = 3 3 5 x −1)−1 x +1 −3 ( 3 = 5( )

Alkalmazzuk az azonos alapú hatványok hányadosa azonosságot:

(3

Az alapok különböznek, a kitevők hiába egyenlők, erre nincs azonosság, átalakítási lehetőség. Az egyenlő kitevők miatt oszthatunk. A bal oldalon a hányados hatványa azonosságot alkalmazzuk, míg a jobb oldalon az 1-et felírjuk a 3/5 hatványaként, hogy elérjük célunkat!

3x −2 = 5x −2 x −2

3x − 2 5x − 2 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠

Elértük célunkat: két három-ötöd alapú hatvány egyenlő. Ez csak úgy lehet, hogy a kitevők is egyenlők.

)

= 5x − 2 : 5x − 2 =

x −2

5x − 2 5x − 2

=1

⎛3⎞ =1= ⎜ ⎟ ⎝5⎠

0

( x − 2 = 0) + 2

x

⎛3⎞ Másképp: mivel a ⎜ ⎟ függvény szigorúan monoton, ⎝5⎠

x=2

azért a hatványok egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége. A válasz előtt az ellenőrzés: bal oldal: 125 ⋅ 32−1 = 125 ⋅ 3 = 375 jobb oldal: 3 ⋅ 5

2+1


3

= 3 ⋅ 5 = 3 ⋅125 = 375 y 10 9 8 7

⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎝ 5 ⎠

y = ⎜

6

x

5 4 3 2 1 – 10– 8 – 6 – 4 – 2 – 1

2

4

6

8 10 x





g) 2x −1 + 2x +1 = 20

A baloldalon hatványok összege áll. Erre NEM alkalmazható egy azonosság sem! A tagokra különkülön viszont az azonos alapú hatványok szorzatára való azonosság igen!

2 x −1 + 2 x +1 = 20 2 x ⋅ 2−1 + 2 x ⋅ 21 = 20

(

)

2x ⋅ 2−1 + 21 = 20 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 2x ⋅ ⎜ + 2 ⎟ = 20 2 ⎜{ ⎟ ⎝ 2,5 ⎠

A baloldalt kiemeléssel szorzattá alakítjuk! A zárójelen belül elvégezzük az összeadást, majd a 2,5-el osztjuk az egyenlet mindkét oldalát. Végül a 8-at felírjuk 2 hatvány alakban.

( 2,5 ⋅ 2 2x =

Elértük célunkat: két kettő alapú hatvány egyenlő. Ez csak úgy lehet, hogy a kitevők is egyenlők. Másképp: mivel a 2 x függvény szigorúan monoton, azért a hatványok egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége. A válasz előtt az ellenőrzés:

x

)

= 20 : 2,5

20 = 8 = 23 2,5 x =3

bal oldal: 23−1 + 23+1 = 22 + 24 = 4 + 16 = 20 jobb oldal: 20

Válasz: az egyenlet megoldása a 3. y 10 9

y = 2

8

x

7 6 5 4 3 2 1 – 10– 8 – 6 – 4 – 2 – 1

2

4

6

8 10 x





h) 3x + 3x + 2 + 3x −1 =

A baloldalon hatványok összege áll. Erre NEM alkalmazható egy azonosság sem! A tagokra különkülön viszont az azonos alapú hatványok szorzatára való azonosság igen!

31 3

3x + 3x ⋅ 32 + 3x ⋅ 3−1 =

31 3

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 31 2 −1 ⎟= 3x ⋅ ⎜114 + 324 + 33 ⎜ ⎟ 3 ⎜ 10+ 1 = 31 ⎟ 3 3 ⎠ ⎝ ⎛ 31 x 31 ⎞ 31 ⎜ ⋅3 = ⎟ : 3⎠ 3 ⎝ 3

A baloldalt kiemeléssel szorzattá alakítjuk! A zárójelen belül elvégezzük az összeadást, majd a 31/3-al osztjuk az egyenlet mindkét oldalát. Végül az 1-et felírjuk 3 hatvány alakban.

3x = 1 = 30 Elértük célunkat: két három alapú hatvány egyenlő. Ez csak úgy lehet, hogy a kitevők is egyenlők. Másképp: mivel a 3 x függvény szigorúan monoton, azért a hatványok egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége. A válasz előtt az ellenőrzés: bal oldal:

30 + 30+ 2 + 30−1 = 1 + 32 + 3−1 = 10 + jobb oldal:

x=0

1 31 = 3 3


31 3 y 10 9 8

y = 3

7

x

6 5 4 3 2 1 – 10– 8 – 6 – 4 – 2 – 1

2

4

6

8 10 x





i) 25x + 5 = 6 ⋅ 5x

A baloldalon hatványok összege áll. Erre NEM alkalmazható egy azonosság sem! Írjuk át a 25-öt 5 hatvány alakban! Alkalmazzuk a hatvány hatványa azonosságot az első tagon! Vegyük észre, hogy egy másodfokú egyenletet látunk, ahol az 5 x hatvány az ismeretlen!

(5 ) (5 ) (5 ) (5 ) x

Nullára redukálás után új ismeretlent vezetünk be. Erre megoldjuk a másodfokú egyenletet.

x

2 2

2 x

+ 5 = 6 ⋅ 5x

x 2

+ 5 = 6 ⋅ 5x

+ 5 = 6 ⋅ 5x / redukálás 0 - ra − 6 ⋅ 5x + 5 = 0 / új ismeretlen : y := 5x

y2 − 6 ⋅ y + 5 = 0

y2 − 6 ⋅ y + 5 = 0 a = 1 b = −6 c = 5

A másodfokú egyenletet a megoldó-képlet segítségével oldjuk meg.

D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 36 − 4 ⋅1⋅ 5 = 16 y1,2 =

−b ± D 6 ± 4 = ⇒ y1 = 5; y 2 = 1 2 2⋅a y = 5x y1 = 5 = 5x ⇒ x1 = 1

Most az eredeti ismeretlen értékeit határozzuk meg.

y 2 = 1 = 5x ⇒ x 2 = 0 A válasz előtt az ellenőrzés: bal oldal:

251 + 5 = 30 250 + 5 = 1 + 5 = 6 6 ⋅ 51 = 30

jobb oldal:

Válasz: az egyenlet megoldásai a 0 és az 1.

6 ⋅ 50 = 6 ⋅1 = 6 y 10

2

x – 6x + 5 = y

5

– 2– 1

1

2

3

4

5

6 x

– 5





j) 9x + 6 ⋅ 3x − 27 = 0

A baloldalon hatványok összege áll. Erre NEM alkalmazható egy azonosság sem! Írjuk át a 9-et 3 hatvány alakban! Alkalmazzuk a hatvány hatványa azonosságot az első tagon! Vegyük észre, hogy egy másodfokú egyenletet látunk, ahol az 3 x hatvány az ismeretlen!

(3 ) (3 )

2 x

+ 6 ⋅ 3x − 27 = 0

x 2

+ 6 ⋅ 3x − 27 = 0

y := 3x x

Miután a 3 csökkenő hatványai szerint rendezett az egyenlet új ismeretlent vezetünk be. Erre megoldjuk a másodfokú egyenletet a megoldóképlet segítségével.

y 2 + 6 ⋅ y − 27 = 0 a = 1 b = 6 c = −27 D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 36 − 4 ⋅1⋅ ( −27 ) = 144 y1,2 =

− b ± D −6 ± 12 = ⇒ y1 = 3 y 2 = −9 2⋅a 2 y = 3x

Most az eredeti ismeretlen értékeit határozzuk meg. Mivel a 3 x értékei csak pozitív számok lehetnek, ezért a -9 y érték nem ad megoldást x-re.

y1 = 3 = 3x ⇒ x1 = 1 y 2 = −9 = 3x ⇒ ∃x

A válasz előtt az ellenőrzés: bal oldal: 91 + 6 ⋅ 31 − 27 = 9 + 18 − 27 = 0 jobb oldal: 0.

Válasz: az egyenlet megoldása az 1.

y 10

– 10

– 5

5

x

– 10 – 20 – 30 – 40 2

x + 6x – 27 = y


EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

Recommend Documents