Differenciál egyenletek (rövid áttekintés) Differenciálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kapcsolatot írja le. Fontosabb típusok: közönséges differenciálegyenletek, parciális differenciálegyenletek, (sztochasztikus differenciálegyenletek, késleltetett differenciálegyenletek) Közönséges differenciálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy független változójú függvény és deriváltjai közötti összefüggést adja meg. d2x Pl. m 2 = F , ahol x = x ( t ) (Newton II. törvénye) dt Parciális differenciálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely az ismeretlen többváltozós függvény és a parciális deriváltjai közötti kapcsolatot írja le. ∂u ( x, y ) Pl. = 0; és a megoldás u ( x, y ) = f ( y ) . ∂x Speciális eset: Lineáris állandó együtthatós közönséges inhomogén differenciálegyenlet dny d n −1 y ahol r ( x ) a zavaró függvény. An n + An −1 n −1 + + A0 y = r ( x ) , dx dx Megoldás: y ( x ) = yh ( x ) + y p ( x ) , ahol
d n yh d n − 1 yh + A + n −1 dx n dx n −1 általános megoldása,
yh ( x )
a
An
d n yp
+ A0 yh = 0 homogén differenciálegyenlet
d n −1 y p
+ + A0 y p = r ( x ) inhomogén differenciáldx n dx n −1 egyenlet egy partikuláris megoldása. y p ( x ) az An
+ An −1
A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: d n yh d n − 1 yh An A + + + A0 yh = 0 n −1 dx n dx n −1 Megoldást yh = eλ x alakban keressük
( An λ n + An−1 λ n−1 +
)
+ A0 eλ x = 0 ≠0
=0 Karakterisztikus egyenlet: An λ n + An −1 λ n −1 + + A0 = 0 (n-ed rendű polinom) Megoldása: n számú gyök: λ1 ,λ2 ,… , λn . A differenciálegyenletnek n számú alapmegoldása van: eλ1 x ,eλ2 x ,… ,eλn x . Az alapmegoldások lineáris kombinációja is megoldása differenciálegyenletnek: yh ( x ) = C1eλ1 x + C2 eλ2 x + ,… , +Cn eλn x
Az ismeretlen Ci ( i = 1,2,… ,n ) konstansok a perem-, illetve kezdeti feltételekből meghatározhatóak. Az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása: d n yp d n −1 y p + An −1 + + A0 y p = r ( x ) An dx n dx n −1 A megoldást célszerű a zavaró vagy más néven forrás függvény alakjában keresni, mert ez többnyire eredményre vezet: yp ( x) = C r ( x) . Behelyettesítés után a C konstans meghatározható. Deriváltak jelölése:
dy = y' , dx dy = y, , dt
d2y = y'' ,…, stb. (hely szerinti deriváltak) dx 2 d2y = y ,…, stb. (idő szerinti deriváltak) dt 2
1. Példa: Adott egy másodrendű állandó együtthatós közönséges lineáris differenciálegyenlet valamint az x = 0 peremen a függvény és deriváltjának értéke: y'' − 4 y = 3x , y ( 0 ) = 1, y' ( 0 ) = 4 . Feladat a differenciál egyenlet megoldásának előállítása. Megoldás:
y ( x ) = yh ( x ) + y p ( x )
Homogén megoldás: homogén de.
megoldás keresése yh = eλ x
yp "− 4 yp = 0 ,
( λ 2 − 4 ) e≠λ0x = 0 =0
karakterisztikus egyenlet
λ2 − 4 = 0 ;
λ2 = 4 ;
homogén ált megoldás:
yh ( x ) = C1e 2 x + C2 e −2 x
λ1,2 = ±2
Az alapmegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombinációja is megoldás ⎛ e2x + e−2x ⎞ ⎛ e2x − e−2x ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ yh ( x ) = A1 + A2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ch( 2x ) sh( 2x ) yh ( x ) = A1ch ( 2x ) + A2 sh ( 2x ) .
azaz
Partikuláris megoldás:
yp ( x) = C x
(a zavaró függvény alakjában keressük)
y p '' − 4 y = 3x behelyettesítés után −4Cx = 3x ⇒ C = − yp ( x) = −
3 4
3 x 4
Peremfeltételek figyelembevétele: y ( x ) = yh ( x ) + y p ( x ) y (0 ) = 1
3 y ( 0 ) = 1 = A1 ch ( 2 ⋅ 0 ) + A2 sh ( 2 ⋅ 0 ) − 0 4
1 = A1 ch ( 2 ⋅ 0 ) 1 y' ( 0 ) = 4
Végül:
1
0
⇒ A1 = 1
3 y' ( 0 ) = 4 = A1 2sh ( 2 ⋅ 0 ) + A2 2ch ( 2 ⋅ 0 ) − 4 0 2 3 3 19 4 = A2 2ch ( 2 ⋅ 0 ) − ⇒ A2 = 2 + = 4 8 8 2
y ( x ) = yh ( x ) + y p ( x ) = ch ( 2x ) +
19 3 sh ( 2x ) − x . 8 4
2. Példa: Adott egy másodrendű állandó együtthatós közönséges lineáris differenciálegyenlet valamint az x = 0 peremen a függvény és deriváltjának értéke: y'' + 4 y = 3x , y ( 0 ) = 1, y' ( 0 ) = 4 . Feladat a differenciálegyenlet megoldásának előállítása. Megoldás:
y ( x ) = yh ( x ) + y p ( x )
Homogén megoldás: homogén de.
yh " + 4 yh = 0 ,
( λ 2 + 4 ) e≠λ0x = 0 =0
karakterisztikus egyenlet
λ2 + 4 = 0 ;
megoldás keresése yh = eλ x
λ 2 = −4 ;
λ1,2 = ±2i
homogén általános megoldás yh ( x ) = C1ei 2 x + C2 e − i 2 x , ahol ei 2 x = cos ( 2x ) + i sin ( 2x ) ;
e − i 2 x = cos ( 2x ) − i sin ( 2x )
azaz yh ( x ) = C1 ( cos ( 2x ) + i sin ( 2x ) ) + C2 ( cos ( 2x ) − i sin ( 2x ) ) Az alapmegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináció is megoldás ⎛ ei2x + e−i2x ⎞ ⎛ ei2x − e−i2x ⎞ ⎟ + A2 ⎜ ⎟. yh ( x ) = A1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cos( 2x ) sin( 2x ) Behelyettesítés után: yh ( x ) = A1 cos ( 2x ) + A2 sin ( 2x )
Partikuláris megoldás:
yp ( x) = C x
y p '' + 4 y p = 3x ;
behelyettesítés után 4Cx = 3x ⇒ C =
(alakban keressük)
3 3 ; yp ( x) = x 4 4
Peremfeltételek figyelembevétele: y ( x ) = yh ( x ) + y p ( x ) y (0 ) = 1
3 y ( 0 ) = 1 = A1 cos ( 2 ⋅ 0 ) + A2 sin ( 2 ⋅ 0 ) + 0 4 1 0 1 = A1 cos ( 2 ⋅ 0 ) ⇒ A1 = 1 1
y' ( 0 ) = 4
Végül:
y' ( 0 ) = 4 = − A1 2 sin ( 2 ⋅ 0 ) + A2 2 cos ( 2 ⋅ 0 ) +
3 4
0 2 3 13 3 4 = A2 2 cos ( 2 ⋅ 0 ) + ⇒ A2 = 2 + = 4 4 8 2 13 3 y ( x ) = yh ( x ) + y p ( x ) = cos ( 2x ) + sin ( 2x ) + x . 8 4
3. Példa: Adott egy kezdeti érték feladat differenciálegyenlete és a t=0 időpontban a függvényérték és első deriváltja: y + 9 y = 3 cos 2t és y ( 0 ) = −2; y (0 ) = 3 . Feladat az adott kezdeti érték feladat megoldásának előállítása. Megoldás:
y ( x ) = yh ( t ) + y p ( t )
Homogén megoldás: homogén de.
yh + 9 yh = 0 ,
(λ
2
+ 9 ) eλt = 0
=0
karakterisztikus egyenlet
≠0
λ2 + 9 = 0 ;
homogén általános megoldás yh ( t ) = C1e ahol e
i3t
megoldás keresése yh = eλt
λ 2 = −9 ; i3t
+ C2 e
= cos ( 3t ) + i sin ( 3t ) ;
− i3t
λ1,2 = ± −1 9 = ±i3
,
e − i3t = cos ( 3t ) − i sin ( 3t )
azaz yh ( x ) = C1 ( cos ( 3t ) + i sin ( 3t ) ) + C2 ( cos ( 3t ) − i sin ( 3t ) )
az alapmegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináció is megoldás ⎛ ei3t + e−i3t ⎞ ⎛ ei3t − e−i3t ⎞ ⎟ + A2 ⎜ ⎟ yh ( x ) = A1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cos( 3t ) sin( 3t ) behelyettesítés után yh ( x ) = A1 cos ( 3t ) + A2 sin ( 3t )
Partikuláris megoldás: a deriváltak:
y p + 4 y p = 3 cos 2t ;
y p ( x ) = C cos 2t
(alakban keressük)
y p ( x ) = −C2 sin 2t ; y p ( x ) = −C 4 cos 2t behelyettesítése után −4C cos 2t + 9C cos 2t = 3 cos 2t 3 3 5C = 3 ; C= ; y p ( x ) = cos 2t 5 5
Peremfeltételek figyelembevétele: y ( t ) = yh ( t ) + y p ( t ) y (0 ) = 1
3 y ( 0 ) = −2 = A1 cos ( 3 ⋅ 0 ) + A2 sin ( 3 ⋅ 0 ) + cos ( 2 ⋅ 0 ) 5 1 0 1 3 13 3 −2 = A1 cos ( 3 ⋅ 0 ) + ⇒ A1 = −2 − = − 5 5 5 1
y' ( 0 ) = 4
Végül:
3 y ( 0 ) = 3 = − A1 3 sin ( 3 ⋅ 0 ) + A2 3 cos ( 3 ⋅ 0 ) − 2 cos ( 2 ⋅ 0 ) 5 0 2 3 = A2 3 cos ( 3 ⋅ 0 ) ⇒ A2 = 1
3 13 3 y ( t ) = yh ( t ) + y p ( t ) = − cos ( 3t ) + sin ( 3t ) + cos 2t . 5 5
Egy rezgéssé alakítások (addiciós tételek): I.
átalakítás
y = c1 cos ωt + c2 sin ωt
⇔
y = a cos (ωt + ϕ )
y = a cos (ωt + ϕ ) = a cos ϕ cos ωt −a sin ϕ sin ωt c1
( c1 ) + ( c2 ) 2
2
c2
= a 2 ( cos ϕ ) + a 2 ( sin ϕ ) = a 2 2
2
⇒ a=
( c1 ) + ( c2 )
2
( c1 ) + ( c2 )
2
2
⎛ c ⎞ c2 −a sin ϕ = = −tgϕ ⇒ ϕ = arctg ⎜ − 2 ⎟ c1 a cos ϕ ⎝ c1 ⎠
II.
átalakítás
y = c1 cos ωt + c2 sin ωt
⇔
y = a sin (ωt + ϕ )
y = a sin (ωt + ϕ ) = a sin ϕ cos ωt + a cos ϕ sin ωt c1
( c1 ) + ( c2 ) 2
2
c2
= a 2 ( sin ϕ ) + a 2 ( cos ϕ ) = a 2 2
2
⎛c ⎞ c1 a sin ϕ = = tgϕ ⇒ ϕ = arctg ⎜ 1 ⎟ c2 a cos ϕ ⎝ c2 ⎠
⇒ a=
2
