Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Megoldás: Legyen a keresett szám: 𝑥. 1

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 𝑥 ∙

1 5

𝑥 = 7𝑥.

Ezt rendezve a következő hiányos másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 70 = 0 𝑥 ∙ (𝑥 − 70) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján 𝑥1 = 0, vagy 𝑥 − 70 = 0, amiből 𝑥2 = 70. Válasz: A keresett szám a 0 vagy a 70.

2. Egy kétjegyű szám egyik számjegye kettővel nagyobb, mint a másik. A szám és a számjegyek felcserélésével kapott szám négyzetösszege 𝟒𝟎𝟑𝟒. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 𝑥 + 2. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek

Egyesek

Szám

𝑥

𝑥+2

10𝑥 + 𝑥 + 2

𝑥+2

𝑥

10 ∙ (𝑥 + 2) + 𝑥

1

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (10𝑥 + 𝑥 + 2)2 + (10𝑥 + 20 + 𝑥)2 = 4034. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 3 és 𝑥2 = −5. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A keresett szám a 35 vagy az 53.

3. Egy kétjegyű szám tízeseinek a száma eggyel nagyobb, mint az egyesek száma. A szám és a számjegyei összegének a szorzata 𝟏𝟔𝟔𝟔. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 𝑥 − 1. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek

Egyesek

Szám

𝑥

𝑥−1

10𝑥 + 𝑥 − 1

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (10𝑥 + 𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 𝑥 − 1) = 1666. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 22𝑥 2 + 31𝑥 − 1656 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 8 és 𝑥2 = − Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A keresett szám a 98.

2

414 44

.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 4. Egy tört nevezője néggyel nagyobb a számlálójánál. Ha a számlálót hárommal csökkentjük és a nevezőt ugyanannyival növeljük, a tört értéke felére csökken. Melyik ez a tört? Megoldás: Legyen a tört nevezője 𝑥, a számlálója pedig 𝑥 − 4.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

𝑥−4−3 𝑥+3

=

1 2

∙

𝑥−4 𝑥

.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 13𝑥 + 12 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 12 és 𝑥2 = 1. 8

Válasz: A keresett tört a 12 =

2

vagy a 3

−3 1

= −3.

5. Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Mennyien vannak a társaságban, ha összesen 𝟏𝟓 kézfogás történt? Megoldás: Legyen a tagok száma 𝑥. Mivel egy ember önmagán kívül mindenkivel kezet fog, illetve egy kézfogást kétszer 𝑥 ∙ (𝑥−1) számolunk, ezért az összes kézfogások száma: 2 . Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

𝑥 ∙ (𝑥−1) 2

= 15.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 𝑥 − 30 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 6 és 𝑥2 = −5. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A társaságban 6-an vannak.

3

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 6. Van-e olyan konvex sokszög, amelynek 𝟑𝟓 átlója van? Megoldás: Legyen a sokszög oldalainak a száma 𝑥. Mivel egy csúcsból önmagába és a szomszédos csúcsokba nem húzhatunk átlót, illetve egy átlót 𝑥 ∙ (𝑥−3) kétszer számolunk, ezért az összes átlók száma: . 2 Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

𝑥 ∙ (𝑥−3) 2

= 35.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 3𝑥 − 70 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 10 és 𝑥2 = −7. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A konvex 10-szögnek 35 átlója van.

7. Melyik az a konvex sokszög, amelynek 𝟒𝟐-vel több átlója van, mint oldala? Megoldás: Legyen a sokszög oldalainak a száma 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

𝑥 ∙ (𝑥−3) 2

− 42 = 𝑥.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 5𝑥 − 84 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 12 és 𝑥2 = −7. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A keresett sokszög a konvex 12-szög.

4

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

8. Hány pontot helyezhetünk el a síkon, ha a pontok összesen 𝟐𝟖 egyenest határoznak meg, és nincs olyan 𝟑 pont, amely egy egyenesen sorakozna? Megoldás: Legyen a pontok száma 𝑥. Mivel egy ponton át minden más pontba húzunk egyenest, illetve egy egyenest kétszer 𝑥 ∙ (𝑥−1) számolunk, ezért az összes egyenesek száma: 2 . Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

𝑥 ∙ (𝑥−1) 2

= 28.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 𝑥 − 56 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 8 és 𝑥2 = −7. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Összesen 8 pont határoz meg a síkon 28 egyenest.

9. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 𝟐 𝒄𝒎 - rel nagyobb, mint a másik befogója, a háromszög területe pedig 𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐 . Mekkorák a háromszög befogói? Megoldás: Legyen a háromszög egyik befogója 𝑎 = 𝑥, a másik pedig 𝑏 = 𝑥 + 2. Mivel a háromszög derékszögű, ezért a terület felírható a befogókkal is: 𝑇 =

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

𝑥 ∙ (𝑥+2) 2

𝑎 ∙ 𝑚𝑎 2

=

𝑎 ∙𝑏 2

= 24.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 + 2𝑥 − 48 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 6 és 𝑥2 = −8. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A háromszög befogói 6 𝑐𝑚 és 8 𝑐𝑚 hosszúak. 5

.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 10. Egy téglatest éleinek aránya 𝟏 ∶ 𝟐 ∶ 𝟑. Ha az éleket rendre 𝟐, 𝟏, illetve 𝟑 𝒄𝒎 - rel meghosszabbítjuk, a téglatest térfogata 𝟒𝟐𝟔 𝒄𝒎𝟑 – rel megnövekszik. Mekkorák a téglatest élei? Megoldás: Legyenek a téglatest élei 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 2𝑥 és 𝑐 = 3𝑥. Egy téglatest térfogatát a következőképpen számolhatjuk ki: 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 + 1) ∙ (3𝑥 + 3) = 𝑥 ∙ 2𝑥 ∙ 3𝑥 + 426. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 + 𝑥 − 20 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 4 és 𝑥2 = −5. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A téglatest élei 4 𝑐𝑚, 8 𝑐𝑚 és 12 𝑐𝑚 hosszúságúak.

11. Egy téglalap kerülete 𝟒𝟐 𝒄𝒎, átlója pedig 𝟏𝟓 𝒄𝒎. Mekkorák a téglalap oldalai? Megoldás: Legyen a téglalap egyik oldala 𝑥, a másik 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2𝑥 + 2𝑦 = 42 𝑥 2 + 𝑦 2 = 152 Az első egyenletből fejezzük ki 𝑥-et, s a következőt kapjuk: 𝑥 = 21 − 𝑦. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, s a következőt kapjuk: (21 − 𝑦)2 + 𝑦 2 = 225. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑦 2 − 21𝑦 + 108 = 0.

6

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑦1 = 9 és 𝑦2 = 12. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy 𝑦1 = 9 esetén 𝑥1 = 12 és 𝑦2 = 12 esetén 𝑥2 = 9. Válasz: A téglalap oldalai 9 𝑐𝑚 és 12 𝑐𝑚 hosszúak.

12. Két kombájn együtt 𝟒 nap alatt learatta a szövetkezet búzatábláját. Az egyik kombájn egyedül 𝟔 nappal hosszabb idő alatt végezte volna el ugyanazt az aratási munkát, mint a másik. Hány napig aratott volna külön – külön a két kombájn? Megoldás: Tegyük fel, hogy ez egyik kombájn egyedül 𝑥 nap alatt, a másik pedig 𝑥 + 6 nap alatt aratná le a búzatáblát. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Első kombájn

Második kombájn

𝑥 nap

𝑥 + 6 nap

𝟏 nap alatt

1 𝑥

1 𝑥+6

𝟒 nap alatt

4 𝑥

4 𝑥+6

4

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 +

4 𝑥+6

= 1.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 2𝑥 − 24 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 6 és 𝑥2 = −4. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az egyik kombájn 6 nap alatt, a másik 12 nap alatt aratná le egyedül a búzatáblát.

7

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 13. Két munkás együtt dolgozva 𝟖 óra alatt tud befejezni egy munkát. Mennyi idő alatt lenne készen egyedül ezzel a munkával az első, illetve a második munkás, ha az utóbbinak 𝟏𝟐 órával több időre lenne szüksége, mint az elsőnek? Megoldás: Tegyük fel, hogy ez első munkás egyedül 𝑥 óra alatt, a második pedig 𝑥 + 12 óra alatt végezne a munkával. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Első munkás

Második munkás

𝑥 óra

𝑥 + 12 óra

𝟏 óra alatt

1 𝑥

1 𝑥 + 12

𝟖 óra alatt

8 𝑥

8 𝑥 + 12

8

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 +

8 𝑥+12

= 1.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 4𝑥 − 96 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 12 és 𝑥2 = −8. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az egyik munkás 12 óra alatt, a másik 24 óra alatt végezné el egyedül a munkát.

8

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 14. A tartályt az egyik csapon át 𝟒, a másik csapon át 𝟗 órával hosszabb idő alatt tölthetjük meg, mint ha mind a két csapot egyszerre használjuk. Mennyi idő alatt telik meg a tartály, ha csak az egyik, illetve a másik csapot nyitjuk meg? Megoldás: Tegyük fel, hogy a csapok együtt 𝑥 óra alatt töltik meg a tartályt. Ekkor az egyik 𝑥 + 4, a másik pedig 𝑥 + 9 órán keresztül töltené meg egyedül a tartályt. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Első csap

Második csap

𝑥 + 4 óra

𝑥 + 9 óra

𝟏 óra alatt

1 𝑥+4

1 𝑥+9

𝒙 óra alatt

𝑥 𝑥+4

𝑥 𝑥+9

𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥+4 +

𝑥 𝑥+9

= 1.

Ezt rendezve a következő egyenlethez jutunk: 𝑥 2 = 36. Ebből kapjuk, hogy a két megoldás: 𝑥1 = 6 és 𝑥2 = −6. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az egyik csapon át 10 óra alatt, a másikon keresztül 15 óra alatt telik meg a tartály.

9

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 15. Két munkás együtt egy munkát 𝟏𝟐 óra alatt végez el. Ha az első munkás elvégezné a munka felét, a második pedig befejezné a munkát, akkor a munka 𝟐𝟓 óráig tartana. Hány óra alatt végzi el a munkát a két munkás külön – külön? Megoldás: Tegyük fel, hogy az egyik munkás 𝑥 óra alatt, a második pedig 𝑦 óra alatt végezne a munkával. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝟏 óra alatt 𝟏𝟐 óra alatt

Első munkás

Második munkás

𝑥 óra

𝑦 óra

1 𝑥 12 𝑥

1 𝑦 12 𝑦

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 12 𝑥 𝑥 2

+ +

12 𝑦 2

𝑦

=1

= 25

A második egyenletből fejezzük ki 𝑥-et, s a következőt kapjuk: 𝑥 = 50 − 𝑦. 12

Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: 50−𝑦 +

12 𝑦

= 1.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑦 2 − 50𝑦 + 600 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑦1 = 20 és 𝑦2 = 30. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy 𝑦1 = 20 esetén 𝑥1 = 30 és 𝑦2 = 30 esetén 𝑥2 = 20. Válasz: Az egyik munkás 20 óra alatt, a másik 30 óra alatt végezné el egyedül a munkát.

10

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 16. Egy építkezéshez 𝟑𝟎 𝒕𝒐𝒏𝒏𝒂 anyagot kell kiszállítani. A szállításhoz a megrendeltnél 𝟐 tonnával kisebb teherbírású teherautókat küldtek, de 𝟒 – gyel többet, így a szállítást időben elvégezhették. Hány teherautó végezte a szállítást és hány tonnásak voltak? Megoldás: 30 Tegyük fel, hogy eredetileg rendeltek 𝑥 darab 𝑥 tonna teherbírású teherautót. 30

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (𝑥 + 4) ∙ ( 𝑥 − 2) = 30. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 + 4𝑥 − 60 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 6 és 𝑥2 = −10. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: 10 𝑑𝑎𝑟𝑎𝑏 3 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑎 teherbírású teherautó végezte a szállítást.

17. Egy 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 Ft - os termék árát kétszer egymás után ugyanannyi százalékkal csökkentették. Hány százalékos volt az árleszállítás az egyes esetekben, ha a termék ára így 𝟏𝟐 𝟏𝟓𝟎 Ft lett? Megoldás: Legyen az árleszállítás mértéke 𝑝 százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑝

𝑝

15 000 ∙ (1 − 100) ∙ (1 − 100) = 12 150. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑝2 − 200𝑝 + 1900 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑝1 = 10 és 𝑝2 = 190. A 𝑝2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Mindkét esetben 10 % - kal csökkentették a termék árát. 11

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 18. Egy áru árát felemelték, majd később – mivel nem fogyott – kétszer annyi százalékkal csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték annak idején. Így az eredeti árnál 𝟓, 𝟓 % - kal lett olcsóbb. Hány százalékkal emelték fel az árát eredetileg? Megoldás: Legyen az áru ára 𝑥 forint és a növelés mértéke pedig 𝑝 százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑝

2𝑝

5,5

𝑥 ∙ (1 + 100) ∙ (1 − 100) = 𝑥 ∙ (1 − 100). Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑝2 + 50𝑝 − 275 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑝1 = 5 és 𝑝2 = −55. A 𝑝2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: 5 % - kal emelték meg eredetileg az áru árát.

19. Kamatozó betétbe betettünk a bankba 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft – ot. Az első évi kamatnál 𝟑 % - kal több volt a második évi kamat. Két év múlva 𝟏 𝟏𝟑𝟒 𝟎𝟎𝟎 Ft lett a kamattal növelt összeg. Hány százalékos volt a kamat az első, és mennyi a második évben? Megoldás: Legyen az első éves kamat mértéke 𝑝, a második éves kamat mértéke pedig 𝑝 + 3 százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 000 000 ∙ (1 +

𝑝 100

) ∙ (1 +

𝑝+3 100

) = 1 134 000.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑝2 + 203𝑝 − 1040 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑝1 = 5 és 𝑝2 = −208. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: 5 % volt az első éves kamat és 8 % a második éves kamat. 12

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 20. Két kénsavoldat közül az első 𝟎, 𝟖 𝒌𝒈, a második 𝟎, 𝟔 𝒌𝒈 tömény kénsavat tartalmaz. Ha a két oldatot összeöntjük, akkor 𝟏𝟎 𝒌𝒈 harmadik töménységű kénsavoldatot kapunk. Mekkora volt az első és a második oldat tömege, ha a kénsavtartalom százaléka az első esetben 𝟏𝟎 - zel több, mint a másodikban? Megoldás: Legyen az első oldat tömege 𝑥, a másodiké pedig 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 0,8 𝑥

∙ 100 =

𝑥 + 𝑦 = 10

0,6 𝑦

∙ 100 + 10

A második egyenletből fejezzük ki 𝑥-et, s a következőt kapjuk: 𝑥 = 10 − 𝑦. 80

Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: 10−𝑦 =

60 𝑦

+ 10.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑦 2 + 4𝑦 − 60 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑦1 = 6 és 𝑦2 = −10. Az 𝑦2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy 𝑦 = 6 esetén 𝑥 = 4. Válasz: A két oldalt tömege 4 𝑘𝑔 és 6 𝑘𝑔 volt.

13

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 21. Két turista egyszerre indul el egy 𝟒𝟎 𝒌𝒎 hosszúságú úton. Az egyik turista óránként 𝟐 𝒌𝒎 - rel többet tesz meg, mint a másik, és ezért egy órával előbb ér az út végére. Mekkora a két turista sebessége? Megoldás: Legyen az egyik turistának a sebessége 𝑥, a másiknak pedig 𝑥 + 2. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝒔

𝒗

𝒕

Első turista

40

𝑥

40 𝑥

Második turista

40

𝑥+2

40 𝑥+2

𝑠

𝑠

A megoldáshoz a következő képleteket használjuk fel: 𝑣 = 𝑡 → 𝑡 = 𝑣 → 𝑠 = 𝑡 ∙ 𝑣. Mivel a lassabb turista ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a gyorsabb turista idejét ahhoz, hogy az egy órát megkapjuk.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

40 𝑥

−

40 𝑥+2

= 1.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 + 2𝑥 − 80 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 8 és 𝑥2 = −10. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az első turista sebessége 8

𝑘𝑚

𝑘𝑚

ℎ

ℎ

, a második sebessége pedig 10

14

.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 22. Két folyóparti város távolsága 𝟏𝟐𝟎 𝒌𝒎. Egy hajó oda - vissza 𝟏𝟐, 𝟓 óra alatt teszi meg 𝒌𝒎 az utat. A folyó sebessége 𝟒 𝒉 . Mekkora lenne a hajó sebessége állóvízben? Megoldás: Legyen a hajó sebessége 𝑥. Amennyiben a sodrással egy irányba haladunk, akkor a sebességünkhöz hozzá kell adnunk a folyó sebességét. Amennyiben folyásiránnyal szemben haladunk, úgy a sebességünkből ki kell vonnunk a folyó sebességét. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝒔

𝒗

𝒕

folyással ellenkező irányban haladva

120

𝑥−4

120 𝑥−4

folyás irányában haladva

120

𝑥+4

120 𝑥+4

120

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥−4 +

120 𝑥+4

= 12,5.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 12,5𝑥 2 − 240𝑥 − 200 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 20 és 𝑥2 = −0,8. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A hajó sebessége állóvízben 20

𝑘𝑚 ℎ

.

15

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 23. Két kikötő között a távolság egy folyón 𝟐𝟏 𝒌𝒎. Egy motorcsónak elindul az egyik kikötőből a másikba, ott 𝟑𝟎 percet áll, majd visszaindul, és így az első indulás után 𝒌𝒎 𝟒 órával ér vissza a kikötőbe. A folyó vizének sebessége 𝟐, 𝟓 𝒉 . Mekkora a motorcsónak sebessége állóvízben? Megoldás: Legyen a motorcsónak sebessége 𝑥. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝒔

𝒗

𝒕

folyással ellenkező irányban haladva

21

𝑥 − 2,5

21 𝑥 − 2,5

folyás irányában haladva

21

𝑥 + 2,5

21 𝑥 + 2,5

Mivel 30 percet állt, ezért az út megtételéhez 3,5 órára volt szüksége. 21

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥−2,5 +

21 𝑥+2,5

= 3,5.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 244𝑥 2 − 336𝑥 − 175 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 𝑥1 = 12,5 és 𝑥2 = −0,5. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A motorcsónak sebessége 12,5

𝑘𝑚 ℎ

állóvízben.

16

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 24. Két állomás közötti távolság 𝟗𝟔 𝒌𝒎. A személyvonat, amelynek átlagsebessége 𝒌𝒎 𝟏𝟐 𝒉 – val nagyobb, mint a tehervonaté, 𝟒𝟎 perccel rövidebb idő alatt teszi meg az utat, mint a tehervonat. Mekkora a személy és a tehervonat sebessége? Megoldás: Legyen a személyvonatnak a sebessége 𝑥, a tehervonatnak pedig 𝑥 − 12. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝒔

𝒗

𝒕

Személyvonat

96

𝑥

96 𝑥

Tehervonat

96

𝑥 − 12

96 𝑥 − 12

Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a személyvonat idejét ahhoz, 2 hogy a 40 percet megkapjuk. A 40 perc átszámítva pedig 3 óra. 96

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥−12 −

96 𝑥

2

= 3.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 12𝑥 − 1728 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 48 és 𝑥2 = −36. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A személyvonat sebessége 48

𝑘𝑚

𝑘𝑚

ℎ

ℎ

, a tehervonat sebessége pedig 36

17

.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝒌𝒎

25. A 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝒎 hosszúságú útszakaszon az egyik gépkocsi 𝟏𝟎 𝒉 sebességgel gyorsabban haladt, mint a másik, és ezért fél órával a hamarabb ért célba. Mekkora sebességgel haladt a két gépkocsi? Megoldás: Legyen az egyik kocsinak a sebessége 𝑥, a másiknak pedig 𝑥 − 10. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝒔

𝒗

𝒕

Első kocsi

150

𝑥

150 𝑥

Második kocsi

150

𝑥 − 10

150 𝑥 − 10

Mivel a második kocsi ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk az első kocsi idejét, ahhoz, hogy a fél órát megkapjuk. 150

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥−10 −

150 𝑥

1

= 2.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 10𝑥 − 3000 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 60 és 𝑥2 = −50. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az egyik kocsinak a sebessége 60

𝑘𝑚

𝑘𝑚

ℎ

ℎ

, a másiknak pedig 50

18

.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 26. Egy kerékpárosnak 𝟑𝟎 𝒌𝒎-es utat kell megtennie. Mivel a kitűzött időnél 𝟑 perccel később indult, ahhoz, hogy idejében megérkezzék, óránként 𝟏 𝒌𝒎-rel többet kellett megtennie, mint ahogy eredetileg tervezte. Mekkora sebességgel haladt? Megoldás: Legyen a kerékpáros tervezett sebessége 𝑥, s a valós pedig 𝑥 + 1. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝒔

𝒗

𝒕

Tervezett

30

𝑥

30 𝑥

Valós

30

𝑥+1

30 𝑥+1

Mivel a tervezett út ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a 3 percet, ahhoz, hogy 3 1 megkapjuk a megvalósult kerékpározás idejét. A 3 perc átszámítva pedig = óra. 60

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

30 𝑥

−

1 20

20

30

= 𝑥+1.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 + 𝑥 − 600 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 24 és 𝑥2 = −25. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A kerékpáros valós sebessége tehát 25

𝑘𝑚 ℎ

19

volt.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 27. Az 𝑨 vasútállomásról reggel 𝟓 órakor tehervonat indul 𝑩-be, mely 𝑨-tól 𝟏𝟎𝟖𝟎 𝒌𝒎 távolságra van. 𝟖 órakor 𝑩-ből gyorsvonat indul 𝑨-ba, ez óránként 𝟏𝟓 𝒌𝒎-rel többet tesz meg a tehervonatnál. Félúton találkoznak. Hány órakor történik ez? Megoldás: Legyen a tehervonatnak a sebessége 𝑥, a gyorsvonatnak pedig 𝑥 + 15. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝒔

𝒗

𝒕

Tehervonat

540

𝑥

540 𝑥

Gyorsvonat

540

𝑥 + 15

540 𝑥 + 15

Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a két indulás között eltelt 3 órát, ahhoz, hogy megkapjuk a gyorsvonat idejét.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

540 𝑥

540

− 3 = 𝑥+15.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 + 15𝑥 − 2700 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 45 és 𝑥2 = −60. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A tehervonat 12 órát, a gyorsvonat 9 órát ment, így 17 órakor találkoztak.

20

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 28. Az 𝑨 város 𝟕𝟖 𝒌𝒎-re van 𝑩-től. 𝑨-ból elindult egy kerékpár 𝑩-be. Egy órával később 𝒌𝒎 pedig egy másik kerékpáros 𝑩-ből 𝑨-ba. Ez utóbbi sebessége 𝟒 𝒉 - val több, mint az elsőé, így 𝑩-től 𝟑𝟔 𝒌𝒎-re találkoztak. Mennyi ideig kerékpározott mindegyik az indulástól a találkozásig és mekkora sebességgel? Megoldás: Legyen az első kerékpárosnak a sebessége 𝑥, a másodiknak pedig 𝑥 + 4. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

𝒔

𝒗

𝒕

𝑨-ból 𝑩-be

42

𝑥

42 𝑥

𝑩-ből 𝑨-ba

36

𝑥+4

36 𝑥+4

Mivel a második kerékpáros ideje volt a kevesebb, ezért ahhoz hozzá kell adnunk az 1 órát, ahhoz, hogy megkapjuk az első kerékpáros idejét.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

42 𝑥

36

= 𝑥+4 + 1.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 2𝑥 − 168 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 14 és 𝑥2 = −12. Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az első kerékpáros 14

𝑘𝑚 ℎ

- val haladt 3 óráig, a második pedig 18

21

𝑘𝑚 ℎ

- val 2 óráig.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 29. Egy gépkocsi 𝟏𝟎

𝒎

𝒎

𝒔

sebességgel halad el mellettünk, de abban a pillanatban

𝟒 𝒔𝟐 gyorsulással egyenletesen növelni kezdi sebességét. Mennyi idő múlva halad el a tőlünk 𝟏𝟎𝟎 m távolságra lévő oszlop mellett? Mekkora lesz ekkor a sebessége? Megoldás: Az egyenletesen gyorsuló, egyenes vonalú mozgással kapcsolatban a következő képleteket kell használnunk: 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡 𝑠=

𝑣0 +𝑣 2

∙𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 +

𝑎 2

∙ 𝑡2

Ahol 𝑡 az eltelt idő; 𝑠0 az óra elindulásáig megtett út; 𝑠 a 𝑡 időpillanatig megtett út; 𝑣0 a test kezdő sebessége; 𝑣 a végsebessége, 𝑎 test gyorsulása. 𝑚

A szövegben megadott adatok a következők: 𝑠0 = 0 𝑚, 𝑠 = 100 𝑚, 𝑣0 = 10

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 100 = 0 + 10𝑡 +

4 2

𝑠

,𝑎 = 4

𝑚 𝑠2

.

𝑡 2.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑡 2 + 5𝑡 − 50 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑡1 = 5 és 𝑡2 = −10. Az 𝑡2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. A végsebességét pedig a következőképpen számíthatjuk ki: 𝑣 = 10 + 4 ∙ 5 = 30. Válasz: A kocsi 5 másodperc alatt ér el az oszlopig és ekkor a sebessége 30

22

𝑚 𝑠

lesz.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝒎

𝒎

30. Egy gépkocsi 𝟏𝟎 𝒎 - t megtéve érte el a 𝟐 𝒔 sebességet. Ekkor 𝟐, 𝟔 𝒔𝟐 egyenletes gyorsulással (egyenes úton) növelni kezdte a sebességét, és indulási helyétől 𝟏𝟔𝟎 𝒎 távolságra elérte a végsebességét. Mennyi ideig gyorsított, és mekkora lett a végsebessége? Megoldás: A szövegben megadott adatok a következők: 𝑠0 = 10 𝑚, 𝑣0 = 2

𝑚 𝑠

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 160 = 10 + 2𝑡 +

, 𝑎 = 2,6 2,6 2

𝑚 𝑠2

, 𝑠 = 160 𝑚.

𝑡 2.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 13𝑡 2 + 20𝑡 − 1500 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑡1 = 10 és 𝑡2 = −11,5. Az 𝑡2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. A végsebességet pedig a következőképpen számíthatjuk ki: 𝑣 = 2 + 2,6 ∙ 10 = 28. Válasz: A kocsi 10 másodpercig gyorsított és 28

𝑚 𝑠

lett a végsebessége.

31. Legyen 𝒂 = 𝟓 és 𝒃 = 𝟏𝟐𝟓. Határozd meg 𝒂 és 𝒃 számtani, illetve mértani közepét! Megoldás: A közepek kiszámításához a következő képleteket kell használnunk. Az 𝑛 darab nem negatív szám számtani közepén a következőt értjük:

𝑎1 +𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 𝑛

.

Az 𝑛 darab nem negatív szám mértani közepén a következőt értjük: 𝑛√𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎𝑛 . Ezek alapján a megoldások:

Számtani közép: 𝐴 (𝑎; 𝑏) =

5+125 2

= 65.

Mértani közép: 𝐺 (𝑎; 𝑏) = √5 ∙ 125 = 25.

23

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 32. Egy 𝟐 𝒎 hosszú fonál segítségével képezzünk téglalapot. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a terület maximális legyen? Megoldás: Használjuk fel azt az összefüggést, hogy 𝑛 darab szám mértani közepe mindig kisebb vagy egyenlő, mint a számok számtani közepe. Legyen a téglalap egyik oldala 𝑥. Mivel a kerülete 2, ezért a másik oldal 1 − 𝑥 lesz. A téglalap területe ekkor: 𝑇 = 𝑥 ∙ (1 − 𝑥 ). A két oldalra írjuk fel a mértani és számtani közepek közötti összefüggést: √𝑥 ∙ (1 − 𝑥 ) ≤

𝑥+1−𝑥 2

. 1

Ezt rendezve a következőt kapjuk: 𝑥 ∙ (1 − 𝑥 ) ≤ 4. 1

Ebből következik, hogy a téglalap területe akkor lesz a legnagyobb, ha pontosan 4. 1

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (1 − 𝑥 ) = 4. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = 0. 1

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 𝑥 = 2. Válasz: A legnagyobb területű téglalap az

1 2

𝑚 oldalú négyzet lesz.

24

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 33. A 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete? Megoldás: 𝐾 𝑎+𝑏 A téglalap kerülete: 𝐾 = 2𝑎 + 2𝑏. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: = . 4

2

A téglalap területe: 𝑇 = 𝑎 ∙ 𝑏. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: √𝑇 = √𝑎 ∙ 𝑏. Ezek alapján a téglalap kerületének negyede a két oldal számtani közepével egyenlő, míg a terület négyzetgyöke éppen a két oldal mértani közepét adja eredményül. Írjuk fel a két oldal segítségével a számtani és mértani közepek közötti összefüggést: 𝐾

√100 ≤ 4 . Ezt rendezve a következőt kapjuk: 40 ≤ 𝐾. Ebből következik, hogy a téglalap kerülete akkor lesz a legkisebb, ha pontosan 40.

A terület képletéből fejezzük ki 𝑎-t, s a következőt kapjuk: 𝑎 =

100 𝑏

.

Ezt helyettesítsük be a kerület képletébe, s a következő egyenletet kapjuk: 40 = 2 ∙

100 𝑏

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑏2 − 20𝑏 + 100 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 𝑏 = 10. Visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy 𝑏 = 10 esetén 𝑎 = 10. Válasz: A 40 𝑐𝑚 kerületű, vagyis 10 𝑐𝑚 oldalú négyzetnek lesz a legkisebb a kerülete.

25

+ 2𝑏.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 34. Adj meg olyan 𝒇 (𝒙) másodfokú függvényt, amelynek maximuma a (𝟒; −𝟑) pont, illetve egy olyan 𝒈 (𝒙) függvényt, melynek minimuma van az (𝟏; 𝟎) pontban! Megoldás: A szélsőérték meghatározásához előbb teljes négyzetté kell alakítanunk a másodfokú kifejezést. Általános alakot használva a következőt kapjuk: 𝑏

2

𝑏2

𝑏

2

𝑏2

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ [(𝑥 + 2𝑎) − 4𝑎2 ] + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 + 2𝑎) − 4𝑎 + 𝑐. 𝑏2

𝑏

A függvénynek az 𝑥 = − 2𝑎 helyen lesz szélsőértéke, s ennek az értéke: 𝑦 = − 4𝑎 + 𝑐. Ha az 𝑎 > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, így a szélsőérték minimum, ha az 𝑎 < 0, akkor a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, így a szélsőérték maximum.

Tekintsük az első esetet. Mivel a feladat szerint maximuma lesz a függvénynek, ezért 𝑎 < 0. Az értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen 𝑎 = −1. Ezek alapján a függvény hozzárendelési szabálya a következőképpen adódik: 𝑓 (𝑥 ) = (−1) ∙ (𝑥 − 4)2 − 3 = −(𝑥 2 − 8𝑥 + 16) − 3 = −𝑥 2 + 8𝑥 − 19.

Tekintsük most a második esetet. Mivel a feladat szerint minimuma lesz a függvénynek, ezért 𝑎 > 0. Az értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen 𝑎 = 1. Ezek alapján a függvény hozzárendelési szabálya a következőképpen adódik: 𝑔 (𝑥 ) = 1 ∙ (𝑥 − 1)2 − 0 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1.

26

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 35. Határozd meg az 𝒇 (𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 függvény szélsőértékeit, ha 𝒙 ∈ ℝ, illetve ha 𝒙 ∈ [−𝟑; −𝟐] vagy 𝒙 ∈ [𝟎; 𝟏]! Megoldás: A szélsőértékeket meghatározhatjuk anélkül is, hogy ábrázolnánk a függvényt. Mivel az 𝑥 2 együtthatója egy pozitív szám, így a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, vagyis minimuma van. Alakítsuk teljes négyzetté a függvény hozzárendelési szabályát: 2𝑥 2 + 4𝑥 − 6 = 2 ∙ (𝑥 2 + 2𝑥 ) − 6 = 2 ∙ [(𝑥 + 1)2 − 1] − 6 = 2 ∙ (𝑥 + 1)2 − 8

Tekintsük az első esetet, ahol bármilyen 𝑥 értéket felvehet a függvény. Mivel a kapott alakban (𝑥 + 1)2 ≥ 0, ezért a legkisebb értéket akkor kapjuk, ha 𝑥 + 1 = 0. Ebből kapjuk, hogy a függvény minimumának helye: 𝑥 = −1. A függvény minimumának értékét pedig a teljes négyzetes alak második tagja adja meg, mert a transzformáció során a függvényt az 𝑦 tengely mentén azzal az értékkel toljuk el. Ezek alapján a függvény minimumának értéke: 𝑦 = −8.

Tekintsük most a második esetet, vagyis az 𝑥 ∈ [−3; −2] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maximuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az 𝑦 értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott 𝑥 értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A maximumának helye 𝑥 = −3 és értéke 𝑦 = 2 ∙ (−3)2 + 4 ∙ (−3) − 6 = 0. A minimumának helye 𝑥 = −2 és értéke 𝑦 = 2 ∙ (−2)2 + 4 ∙ (−2) − 6 = −6.

27

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Tekintsük most a harmadik esetet, vagyis az 𝑥 ∈ [0; 1] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maximuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az 𝑦 értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott 𝑥 értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A minimumának helye 𝑥 = 0 és értéke 𝑦 = 2 ∙ 02 + 4 ∙ 0 − 6 = −6. A maximumának helye 𝑥 = 1 és értéke 𝑦 = 2 ∙ 12 + 4 ∙ 1 − 6 = 0.

Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot:

28

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 36. Határozd meg az 𝒇 (𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 függvény szélsőértékeit, ha 𝒙 ∈ ℝ, illetve ha 𝒙 ∈ [−𝟐; 𝟎] vagy 𝒙 ∈ [𝟐; 𝟑]! Megoldás: A szélsőértékeket meghatározhatjuk anélkül is, hogy ábrázolnánk a függvényt. Mivel az 𝑥 2 együtthatója egy negatív szám, így a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, vagyis maximuma van. Alakítsuk teljes négyzetté a függvény hozzárendelési szabályát: −𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = −(𝑥 2 − 2𝑥 ) + 3 = −[(𝑥 − 1)2 − 1] + 3 = −(𝑥 − 1)2 + 4

Tekintsük az első esetet, ahol bármilyen 𝑥 értéket felvehet a függvény. Mivel a kapott alakban (𝑥 − 1)2 ≥ 0, ezért a legnagyobb értéket akkor kapjuk, ha 𝑥 − 1 = 0. Ebből kapjuk, hogy a függvény minimumának helye: 𝑥 = 1. A függvény minimumának értékét pedig a teljes négyzetes alak második tagja adja meg, mert a transzformáció során a függvényt az 𝑦 tengely mentén azzal az értékkel toljuk el. Ezek alapján a függvény minimumának értéke: 𝑦 = 4.

Tekintsük most a második esetet, vagyis az 𝑥 ∈ [−2; 0] értékeket. Mivel az intervallum a függvény maximumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maximuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az 𝑦 értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott 𝑥 értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A minimumának helye 𝑥 = −2 és értéke 𝑦 = (−1) ∙ (−2)2 + 2 ∙ (−2) + 3 = −5. A maximumának helye 𝑥 = 0 és értéke 𝑦 = (−1) ∙ 02 + 2 ∙ 0 + 3 = 3.

29

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Tekintsük most a harmadik esetet, vagyis az 𝑥 ∈ [2; 3] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maximuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az 𝑦 értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott 𝑥 értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A maximumának helye 𝑥 = 2 és értéke 𝑦 = (−1) ∙ 22 + 2 ∙ 2 + 3 = 3. A minimumának helye 𝑥 = 3 és értéke 𝑦 = (−1) ∙ 32 + 2 ∙ 3 + 3 = 0.

Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot:

30

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 37. Bontsd fel a 𝟑𝟎-at két szám összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege a lehető legkisebb legyen! Megoldás: Legyen az egyik szám 𝑥, a másik pedig 30 − 𝑥. Ekkor a két szám négyzetösszege: 𝑥 2 + (30 − 𝑥)2 . Tekintsük ezt úgy, mint egy függvény és keressük meg a minimumát. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + (30 − 𝑥 )2 = 𝑥 2 + 900 − 60𝑥 + 𝑥 2 = 2𝑥 2 − 60𝑥 + 900 = = 2 ∙ (𝑥 2 − 30𝑥 ) + 900 = 2 ∙ [(𝑥 − 15)2 − 225] + 900 = 2 ∙ (𝑥 − 15)2 + 450. Ezek alapján a függvénynek az 𝑥 = 15 helyen lesz minimuma. Válasz: Akkor lesz a legkisebb a tagok négyzetösszege, ha a két szám 15 - 15 lesz.

38. Bizonyítsd be, hogy egy pozitív számnak és reciprokának összege nem kisebb 𝟐-nél! Megoldás: Legyen a feladatnak megfelelő szám 𝑥 (𝑥 > 0). 1

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: 𝑥 + 𝑥 ≥ 2. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk: 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 ≥ 0. Az egyenlőtlenség bal oldala nevezetes azonossággal szorzattá alakítható: (𝑥 − 1)2 ≥ 0. Mivel bármely valós szám négyzete nem negatív, így az egyenlőtlenség mindig teljesül. Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha 𝑥 = 1.

31