8. RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK 8.1. A rugalmasságtani peremérték feladat Adott: - a test/alkatrész alakja és méretei, - a test/alkatrész anyaga, - test/alkatrész terhelései és megtámasztásai. Keresett: u , F , A , u , a test szilárdságtani állapotait jellemző mennyiségek.
u ( x, y, z ) a test tetszőleges P ( x, y, z ) pontjának elmozdulás vektora, F ( x, y, z ) a test tetszőleges P ( x, y, z ) pontjában a feszültségi tenzor, A( x, y, z ) a test tetszőleges P ( x, y, z ) pontjában az alakváltozási tenzor, u ( x, y, z ) a test tetszőleges P ( x, y, z ) pontjában a fajlagos alakváltozási energia. Kérdés: Milyen általános összefüggések állnak fent ezek között az állapotjellemző mennyiségek között? Válasz: A rugalmasságtani egyenletek.
8.2. Az egyensúlyi egyenletek z
A
V r
x
O
dA dV
A vizsgált test tetszőleges alakú.
dA n dF = F ⋅ dA
A testből kiragadunk egy olyan V térfogatot, amelyet az A zárt felület határol és amely teljes egészében a vizsgált test belsejében helyezkedik el.
dF = qdV y
A (V ) környezetének mechanikai hatásait erőkkel vesszük figyelembe: - az elemi térfogaton megoszló erő: dF = q dV , - az elemi felületen megoszló erő: dF = ρ dA = F ⋅ n dA . dA A (V ) testrész egyensúlyban van: F = 0 =
∫ q dV + ∫
F ⋅ n dA .
( A)
(V )
Matematikai emlékeztető: a Gauss (kiejtése: gausz) - Osztrogradszkij-féle integrál átalakítási tétel:
∫
( A) 142
F ⋅ n dA =
∫
(V )
F ⋅ ∇ dV
A Hamilton-féle (kiejtése: hemilton), vagy nabla (kiejtése: nábla) differenciál operátor derék∂ ∂ ∂ szögű descartesi (kiejtése: dékárti) koordináta-rendszerben: ∇ = ex + e y + ez , ∂x ∂y ∂z Az integrál átalakítási tételt alkalmazva: F = 0 =
∫ ( F ⋅ ∇ + q ) dV .
(V )
Az integrálnak bármely (V ) választás esetén el kell tűnnie
⇒
az integrandusz zérus.
Az egyensúlyi egyenlet: F ⋅∇ + q =0 .
(vektor egyenlet ≡ 3 db skaláris egyenlet).
A skaláris egyenletek derékszögű descartesi (dékárti) koordináta-rendszerben: ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ρ x ex + ρ y e y + ρ z ez ⋅ ⎜ ex + e y + ez ⎟ + q = 0 . ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
(
)
⎡∂⎤ ⎢ ⎥ ⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ∂x ⎥ ⎡ qx ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥⎢ ∂ ⎥ Mátrix alakban felírva: ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢⎢ q y ⎥⎥ = ⎢⎢0 ⎥⎥ . ∂y ⎢τ zx τ zy σ z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ qz ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎣ ⎦⎢ ∂ ⎥ ⎢⎣ ∂z ⎥⎦ A mátrixszorzást elvégezve, három skaláris egyenletet kapunk: ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + qx = 0, ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + + + q y = 0, ∂x ∂y ∂z ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + + qz = 0. ∂x ∂y ∂z Egyensúlyi egyenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendszer/feszültségi állapot között. Az M O = 0 egyensúlyi egyenletből az F feszültségi tenzor szimmetriája vezethető le.
8.3. Kinematikai (geometriai/ kompatibilitási) egyenletek Q
uQ = u
∆u
dr
A test egy tetszőleges P pontjának elemi környezetét vizsgáljuk meg. A Q pont a P pont elemi környezetében helyezkedik el.
P
dr = dx ex + dy e y + dz ez .
uP 143
u = u ( x , y , z ) = u ( x , y , z ) ex + v ( x , y , z ) e y + w ( x , y , z ) ez .
Az elmozdulásmező:
A P ponthoz képest a Q pont elmozdulása: ∆u = uQ − uP = u − u P . Sorfejtés: u ( x, y , z ) =
+
uP merevtestszerű eltolás
∂u ∂x
dx + P
∂u ∂y
dy + P
∂u ∂z
dz + ( ( …………… P
magasabbrendű tagok
lineáris rész
Lineáris közelítés esetén: ∆u ≈ du =
∂u ∂x
P
∂u dx + ∂y ex ⋅ d r
))
P
∂u dy + ∂z ey ⋅ d r
P
dz . ez ⋅ d r
⎛ ∂u ⎞ ∂u ∂u ex + ey + ez ⎟ ⋅ d r = D ⋅ d r . Minden tagból d r -t kiemelve: du = ⎜ ∂y ∂z ⎝ ∂x ⎠ D =u ∇
Az elmozdulásmező derivált tenzora:
(Nem szimmetrikus tenzor).
A derivált tenzor felbontása (minden tenzor felbontható egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus részre): D=
(
)
(
)
1 1 T T D+D + D−D = A + Ψ. 2 2 szimmetrikus ferdeszimmetrikus rész rész
A forgató tenzor: a P pont elemi környezetének merevtestszerű szögelfordulását jellemzi. Ψ=
(
)
1 1 T D − D = (u ∇ − ∇ u ) 2 2
(ferdeszimmetrikus).
Az alakváltozási tenzor: a P pont elemi környezetének alakváltozását jellemzi. A=
(
)
1 1 T D + D = (u ∇ + ∇ u ) 2 2
(szimmetrikus).
Kis alakváltozások esetén ez a tenzoregyenlet a kinematikai/geometriai egyenlet. A tenzorok mátrixa részletesen kiírva:
⎡ ⎢ εx ⎢ 1 ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ γ yx ⎢2 ⎢ ⎢ 1 γ zx ⎢⎣ 2
144
1 γ xy 2
εy 1 γ zy 2
1 ⎤ γ xz 2 ⎥ ⎥ 1 ⎥ γ yz , 2 ⎥ ⎥ εz ⎥ ⎥⎦
⎡ ∂u ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ∂v ⎡⎣ D ⎤⎦ = ⎢ ⎢ ∂x ⎢ ∂w ⎢ ⎣ ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
∂u ⎤ ∂z ⎥⎥ ∂v ⎥ ⎥, ∂z ⎥ ∂w ⎥ ⎥ ∂z ⎦
⎡ ∂u ⎢ ∂x ⎢ ∂u T ⎡D ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ∂y ⎢ ⎢ ∂u ⎢⎣ ∂z
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z
∂w ⎤ ∂x ⎥⎥ ∂w ⎥ . ∂y ⎥ ⎥ ∂w ⎥ ∂z ⎥⎦
Az alakváltozási tenzor koordinátái (elemei): ⎡ ⎢ εx ⎢ ⎢1 ⎣⎡ A⎦⎤ = ⎢ 2 γ yx ⎢ ⎢ 1 γ zx ⎢⎣ 2
1 γ xy 2
εy 1 γ zy 2
⎡ ∂u 1 ⎤ ⎢ γ xz ⎥ ∂x ⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ γ yz = ⎢ ⎜ + ⎟ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎥ ⎢ ε z ⎥ ⎢ 1 ⎛ ∂w + ∂u ⎞ ⎥⎦ ⎢ ⎜ ⎟ ⎣ 2 ⎝ ∂x ∂z ⎠
1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎜ + ⎟ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ ∂v ∂y
1 ⎛ ∂w ∂v ⎞ + ⎟ ⎜ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠
1 ⎛ ∂u ∂w ⎞ ⎤ ⎜ + ⎟⎥ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎥ 1 ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎥ ⎜ + ⎟⎥ . 2 ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎥ ⎥ ∂w ⎥ ⎥ ∂z ⎦
Skaláris egyenletek: ∂u , ∂x ∂v εy = , ∂y ∂w εz = , ∂z
εx =
∂u ∂v + ∂y ∂x ∂v ∂w = + ∂z ∂y ∂u ∂w = + ∂z ∂x
γ xy = γ yx = γ yz = γ zy γ xz = γ zx
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
a szimmetria miatt hat skaláris egyenlet.
Kinematikai egyenletek: kapcsolat az alakváltozási tenzor és az elmozdulás vektor koordinátái között. (Az alakváltozási tenzor elemei nem függetlenek egymástól – a három elmozdulásmezőből származtathatók.)
8.4 Anyagegyenletek – általános Hooke törvény
σ Rm
R p0,2
ε
Az általános Hooke (kiejtése: huk) törvény a lineárisan rugalmas, izotróp anyagi viselkedést írja le. Lineárisan rugalmas: az alakváltozások és a feszültségek között lineáris függvénykapcsolat van. Izotróp: az anyagi viselkedés iránytól független. (Például a fémek esetében.) Lineárisan rugalmas alakváltozás esetén a szakító diagram lineáris szakaszán vagyunk.
Az általános Hooke törvény két, egymással egyenértékű alakja:
α ) A=
ν FI ⎞ 1 ⎛ F− E , ⎜ 2G ⎝ 1 + ν ⎟⎠
⎛ ⎝
β ) F = 2G ⎜ A +
ν AI ⎞ E . 1 − 2ν ⎟⎠
Az egyenletekben szereplő mennyiségek jelentése:
G − csúsztató rugalmassági modolus ⎫ ⎬ anyagjellemzők , ν − Poisson tényező ⎭ FI − a feszültségi tenzor
⎫ ⎬ első skalár invariánsa , AI − az alakváltozási tenzor ⎭
145
⎡1 0 0 ⎤ ⎡⎣ E ⎤⎦ = ⎢ 0 1 0 ⎥ az egységtenzor. ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ Az α ) alak skaláris egyenletei:
ν 1 ⎡ ⎤ σx − σx +σy +σz ⎥ , ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦ ν 1 ⎡ ⎤ εy = σy − σx +σ y +σz ⎥ , ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦
εx =
εz =
(
)
γ xy =
(
)
γ yz =
1 ⎡ ν ⎤ σz − σx +σy +σz ⎥ , ⎢ 2G ⎣ 1+ v ⎦
(
)
γ xz =
τ yx
,
G
τ yz
,
G
τ xz G
.
A β ) alak skaláris egyenletei:
⎡ ⎣
σ x = 2G ⎢ε x + ⎡ ⎣
σ y = 2G ⎢ε y + ⎡ ⎣
σ z = 2G ⎢ε z +
ν
x
⎤ + εy + εz ⎥ , ⎦
τ xy = G γ xy ,
x
⎤ + εy +εz ⎥ , ⎦
τ yz = G γ yz ,
x
⎤ + εy + εz ⎥ , ⎦
τ xz = G γ xz .
(ε 1 − 2ν ν
(ε 1 − 2ν ν
(ε 1 − 2ν
)
)
)
Anyagegyenletek: kapcsolat az alakváltozási jelemzők és a feszültségek között.
8.5. Peremfeltételek z
Dinamikai peremfeltétel: F ⋅ n = p0 .
dA
Au
x
n
p0
A p0 előírt (ismert) felületi terhelés az Ap -n. Kinematikai peremfeltétel: u = u0 .
O
Ap y
Az u0 előírt (ismert) elmozdulás az Au -n.
8.6. A rugalmasságtani peremérték feladat megoldása Egzisztencia és unicitás: Bebizonyítható, hogy a rugalmasságtani egyenleteknek adott peremfeltételek mellett egy és csak egy megoldása létezik. Egzakt megoldás: A keresett mezők (függvények) minden rugalmasságtani egyenletet és peremfeltételt kielégítenek. Közelítő megoldás: A keresett mezők (függvények) a rugalmasságtani egyenletetek és peremfeltételek nem minden egyenletét elégítik ki. 146
8.7. A kompatibilitási (összeférhetőségi) egyenlet más alakjai a) A Saint-Venant (kiejtése: szan-venan) – féle kompatibilitási egyenlet: Tenzoriális alak: ∇ × A ×∇ = 0 . Skaláris egyenletek a derékszögű descartesi koordináta-rendszerben (DDKR-ben): 2 ∂ 2ε x ∂ ε y = + 2 , ∂x ∂y ∂y 2 ∂x
∂ ⎛ ∂γ xy ∂γ xz ∂γ yz ⎞ ∂ 2ε x , + − ⎜ ⎟=2 ∂x ⎝ ∂z ∂y ∂x ⎠ ∂y∂z
∂ 2γ yz
2 ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xy ∂γ zx ⎞ ∂ ε y , + − ⎜ ⎟=2 ∂y ⎝ ∂x ∂z ∂y ⎠ ∂z∂x ∂ ⎛ ∂γ zx ∂γ yz ∂γ xy ⎞ ∂ 2ε x . + − ⎜ ⎟=2 ∂z ⎝ ∂y ∂x ∂z ⎠ ∂x∂y
∂ 2γ xy
∂y ∂z
=
∂ 2ε y ∂z 2
∂ 2ε + 2z , ∂y
∂ 2γ xz ∂ 2ε z ∂ 2ε x = + 2 , ∂z ∂x ∂x 2 ∂z
Fizikai tartalom: az alakváltozási tenzor koordinátái nem függetlenek egymástól. b) A Beltrami-Michell (kiejtése: beltrámi-micsel) féle kompatibilitási egyenlet: A Saint-Venant – féle kompatibilitási egyenletbe behelyettesítjük a Hooke-törvényt és q =0. Tenzoriális alak:
(1 + ν ) ∆ F + ∇
∇FI = 0 .
A Laplace (kiejtése: laplasz) – féle differenciál operátor DDKR-ben: ∂2 ∂2 ∂2 ∆ =∇ ⋅ ∇ = 2 + 2 + 2 . ∂x ∂y ∂z Skaláris egyenletek a DDKR-ben:
(1 + ν ) ∆σ x +
∂ 2 FI = 0, ∂x 2
(1 + ν ) ∆τ xy +
∂ 2 FI = 0, ∂x∂y
(1 + ν ) ∆σ y +
∂ 2 FI = 0, ∂y 2
(1 + ν ) ∆τ yz +
∂ 2 FI = 0, ∂y∂z
(1 + ν ) ∆σ z +
∂ 2 FI = 0, ∂z 2
(1 + ν ) ∆τ xz +
∂ 2 FI = 0. ∂x∂z
Fizikai tartalom: Az alakváltozási jellemzők közötti összefüggések következtében a feszültségi tenzor elemei között a fenti összefüggések állnak fenn.
8.8. Gyakorló feladatok a rugalmasságtani egyenletekre 8.8.1. feladat: Az általános Hooke törvény Adott: A izotróp, lineárisan rugalmas test P pontjában a feszültségi állapot: σ x = 70 MPa , σ y = 50 MPa , σ z = 10 MPa , τ zx = τ xz = 40 MPa , továbbá az anyagi viselkedést jel-
lemző mennyiségek ν = 0,3 , G = 0,8×105 MPa . 147
Feladat: A P pont alakváltozási állapotának meghatározása és szemléltetése elemi triéderen. Kidolgozás: Az általános Hooke-törvény: A = 1 ⎛⎜ F − ν FI E ⎞⎟ . 2G 1 +ν ⎝
ν
FI = σ x + σ y + σ z = 70+50+10 =130 MPa , -5
εx =
10 ( 70-30 ) =2,5×10-4 , 1,6
γ xy = γ yx =
εy =
10-5 ( 50 - 30 ) = 1, 25×10-4 , 1,6
γ yz = γ zy =
εz =
10-5 (10-30 ) =-1,25×10-4 , 1,6
γ xz = γ zx =
⎠
1 +ν τ yx G
τ yz G
τ xz G
FI =
0,3 130=30 MPa . 1+0,3
=0, =0,
=
40 =5×10-4 . 5 0,8×10
Az alakváltozási tenzor: ⎡ ⎢ εx ⎢ ⎡ A ⎤ = ⎢ 1τ ⎣⎢ P ⎦⎥ ⎢ 2 yx ⎢ ⎢ 1 τ zx ⎢⎣ 2
1 τ xy 2
εy 1 τ zy 2
1 ⎤ τ xz 2 ⎥ ⎡ 2,5 0 2,5 ⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎢ τ yz = ⎢ 0 1,25 0 ⎥⎥ × 10−4 ⎥ 2 ⎥ ⎢⎣ 2,5 0 -1,25⎥⎦ εz ⎥ ⎥⎦
1,25 5 2,
2,5 5 2,
ex
×10 −4 ez
P e y 1,25
8.8.2. feladat: Az általános Hooke törvény Adott: A test tetszőleges P pontja, ahol az alábbi mennyiségek ismertek: ε x = 22 ⋅ 10−5 ,
ε y = −2 ⋅ 10−5 , γ xy = 24 ⋅ 10−5 , ρ z = (40 ex − 48 ey + 40 ez ) MPa, G = 80 ⋅ 103 MPa, ν = 0, 25 . Feladat: a) Az A P alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása. b) Az F
P
feszültségi tenzor mátrixának meghatározása.
Kidolgozás: a) Az A P alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása: Az alakváltozási tenzor mátrixa az ismert és ismeretlen értékekkel: ⎡ 1 ⎤⎥ −5 ⎢ 1210 ⋅ −5 γ xz ⎥ ⎢ 22 ⋅ 10 ⎢ 2 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥⎥ ⎡ A ⎤ = ⎢⎢ 1210 ⋅ −5 −210 ⋅ −5 γ yz ⎥ . P ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ 1 γ zx γ zy ε z ⎥⎥ ⎢ 2 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ A ρz feszültségi vektor koordinátái: τ xz = 40 MPa , τ yz = −48 MPa , σ z = 40 MPa . Az általános Hooke törvényből:
148
τ xz
τ yz
−48 = −60 ⋅ 10−5 . 3 G G 80 ⋅ 10 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ν ν ⎥ ⇒ σ z = 2 G ⎢⎢ε z + AI ⎥ = 2 G ⎢ε z + (ε x + ε y + ε z ) ⎥ ⎢ ⎥ 1− 2ν 1− 2ν ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 − 2ν ν εz = σz − (ε x + ε y ) = 2 G (1 − ν ) 1 −ν 1 − 2 ⋅ 0, 25 0, 25 = 40 − (22 ⋅ 10−5 − 2 ⋅ 10−5 ) = 10 ⋅ 10−5 . 3 2 ⋅ 80 ⋅ 10 (1 − 0, 25) 1 − 0, 25
γ xz =
=
40 = 50 ⋅ 10−5 . 3 80 ⋅ 10
γ yz =
=
z
Az alakváltozási tenzor:
30
⎡ 22 12 25 ⎤ ⎡ A P ⎤ = ⎢12 −2 −30⎥ 10−5 ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 25 −30 10 ⎥⎦
25 25 x
b) Az F
P
10
× 10 −5
ez
ey
P
ex 12
22
12
2
y
30
feszültségi tenzor mátrixának meghatározása:
⎡ ⎤ ν F P = 2 G ⎢A P + AI E ⎥ . 1− 2ν ⎣ ⎦ −5 AI = ε x + ε y + ε z = 22 ⋅ 10 − 2 ⋅ 10−5 + 10 ⋅ 10−5 = 30 ⋅ 10−5 . Behelyettesítve: ⎧ ⎡ 22 12 25 ⎤ ⎡ F P ⎤ = 2 ⋅ 8 ⋅ 104 ⎨⎪ ⎢12 −2 −30⎥ 10−5 + ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ 25 −30 10 ⎥ ⎦ ⎩⎣ ⎡1 0 0⎤ ⎫ ⎡59, 2 19, 2 40 ⎤ 0, 25 ⎪ −5 ⎢ 30 ⋅ 10 0 1 0⎥ ⎬ = ⎢19, 2 20, 8 −48⎥ MPa. + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 − 2 ⋅ 0, 25 ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎪⎭ ⎢⎣ 40 −48 40 ⎥⎦ A feszültségi állapot szemléltetése: z 40
48
40
20,8 19, 2
x
[MPa]
y
59,2
149
8.8.3. feladat: Az általános Hooke törvény
z
Adott:
20
A P pontbeli elemi kockán a feszültségi állapot, valamint G = 40 GPa = 4 ⋅ 104 MPa és ν = 0, 25 .
[MPa ] 20
40 P
60
y
30
x
10
Feladat: A P pontbeli alakváltozási állapot meghatározása. Kidolgozás: ⎡ −10 30 40 ⎤ A test P pontjában az F P feszültségi tenzor mátrixa: ⎡ F P ⎤ = ⎢⎢ 30 60 −20 ⎥⎥ MPa. ⎣ ⎦ ⎢⎣ 40 −20 −20 ⎥⎦ A test P pontjában az alakváltozási koordináták: τ τ 30 τ 40 −20 = −5 ⋅ 10−4 , γ xy = xy = = 7, 5 ⋅ 10−4 , γ xz = xz = = 10 ⋅ 10−4 , γ yz = yz = 4 4 4 G 4 ⋅ 10 G 4 ⋅ 10 G 4 ⋅ 10 FI = σ x + σ y + σ z = −10 + 60 − 20 = 30 MPa,
εx =
⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 FI ⎥⎥ = ⎢σ x − 2 G ⎢⎣ 1 + ν ⎥⎦ 2 ⋅ 4 ⋅ 104
0, 25 ⎡ ⎤ −4 ⎢ −10 − 1 + 0, 25 30 ⎥ = −2 ⋅ 10 , ⎣ ⎦
εy =
⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 FI ⎥⎥ = ⎢σ y − 2 G ⎢⎣ 1 + ν ⎥⎦ 2 ⋅ 4 ⋅ 104
0, 25 ⎡ ⎤ −4 ⎢ 60 − 1 + 0, 25 30 ⎥ = 6, 75 ⋅ 10 , ⎣ ⎦
εz =
⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 FI ⎥⎥ = ⎢σ z − 2 G ⎢⎣ 1 + ν ⎥⎦ 2 ⋅ 4 ⋅ 104
0, 25 ⎡ ⎤ −4 ⎢ −20 − 1 + 0, 25 30 ⎥ = −3, 25 ⋅ 10 . ⎣ ⎦
150
