Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Egyenletek, egyenlőtlenségek IV. Szöveges feladatok megoldásának lépései: 1. Értelmezzük a feladatot, az adatok között összefüggéseket keresünk és tervet készítünk. 2. Megválasztjuk az ismeretlent, majd a szövegben szereplő információk segítségével felírunk egy egyenletet (egyenlőtlenséget, egyenletrendszert). 3. Megoldjuk a felírt egyenletet (egyenlőtlenséget, egyenletrendszert). 4. Ellenőrizzük a megoldást a szövegbe való visszahelyettesítéssel. 5. Diszkusszió: Mennyi megoldása van a feladatnak és megoldható – e másképpen is a feladat? 6. A kérdésre szöveges választ adunk.
Szöveges feladatok típusai: Számjegyekkel kapcsolatos, helyiértékes feladatok Geometriával kapcsolatos, méréses feladatok Együttes munkavégzéssel kapcsolatos feladatok Kémiával kapcsolatos, keveréses feladatok Fizikával kapcsolatos, mozgásos feladatok Kamatos – kamat számítással kapcsolatos, százalékszámításos feladatok Egyéb, vegyes
Megjegyzés: Az ismeretlent a kérdés alapján célszerű megválasztani. Bizonyos típusoknál az egyenlet felírását megkönnyíti, ha előtte ábrát, illetve táblázatot készítünk a szövegben szereplő adatokkal. 𝑠
Egyes típusoknál különböző képletek alkalmazására van szükség, pl.: fizikában 𝑣 = 𝑡 .
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Két szám aránya 𝟐: 𝟑. Az egyik 𝟓 – tel nagyobb, mint a másik. Melyik ez a két szám? Megoldás: Legyen az egyik keresett szám 2𝑥, a másik pedig 3𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2𝑥 + 5 = 3𝑥. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5. Válasz: A keresett számok a 10 és a 15.
2. Gondoltam egy számot. Hozzáadtam 𝟒 – et. Az összeget megszoroztam 𝟐 – vel, majd az eredményből kivontam 𝟖 – at, s így ugyanazt a számot kaptam, mint amire gondoltam. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen a gondolt szám az 𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ∙ (𝑥 + 4) − 8 = 𝑥. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 0. Válasz: A gondolt szám a 0.
3. Egy tört nevezője 𝟓 – tel nagyobb a számlálójánál. Ha a tört számlálójához 𝟏𝟒 – et hozzáadunk, a nevezőjéből pedig 𝟏 – et elveszünk, akkor a tört reciprokával egyenlő nagyságú törtet kapunk eredményül. Melyik ez a tört? Megoldás: Legyen a tört számlálója 𝑥, a nevezője pedig 𝑥 + 5.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4. 4
Válasz: A gondolt tört a 9.
2
𝑥 + 14 𝑥+4
=
𝑥+5 𝑥
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 4. Ha egy szám 𝟏𝟓 % - ához hozzáadunk ez a szám?
𝟗 𝟓
– öt, akkor a szám 𝟏𝟖 % - át kapjuk. Melyik
Megoldás: Legyen a gondolt szám az 𝑥. 15
9
18
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ 100 + 5 = 𝑥 ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 60. Válasz: A gondolt szám a 60.
5. Egy tízforintost felváltunk 𝟏𝟎 és 𝟐𝟎 filléresekre. Hány darabot kapunk mindegyikből, ha összesen 𝟗𝟎 pénzdarabot kapunk vissza? Megoldás: Legyen a 10 filléresek száma 𝑥, a 20 filléreseké pedig 90 − 𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10𝑥 + 20 ∙ (90 − 𝑥) = 10 ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 80. Válasz: A 10 filléresekből 80 darabot, a 20 filléresekből pedig 10 darabot kapunk.
6. Albi és Béni pénzének aránya 𝟒: 𝟓. Ha Albi kap még 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, és Béni elkölt 𝟐𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, akkor ugyannyi pénze lesz a két fiúnak. Hány forintja volt eredetileg Albinak, illetve Béninek? Megoldás: Legyen Albi pénzének mennyisége 4𝑥, a Bénié pedig 5𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4𝑥 + 100 = 5𝑥 − 200. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 300. Válasz: Albinak 1200 𝐹𝑡 – ja, Béninek pedig 1500 𝐹𝑡 – ja volt.
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝟐 𝟑 𝟒
7. Anna, Bea és Cili zsebpénzének aránya 𝟑 : 𝟒 : 𝟓. Hány forintjuk van külön – külön, ha Bea és Anna pénzének a különbsége 𝟒𝟎 𝑭𝒕 – tal több Cili és Bea pénzének különbségénél? Megoldás: 2 3 4 Legyen Anna pénze 3 𝑥, Beáé 4 𝑥, a Cilié pedig 5 𝑥. 3
2
4
3
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4 𝑥 − 3 𝑥 = 5 𝑥 − 4 𝑥 + 40. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1200. Válasz: Annának 800 𝐹𝑡 – ja, Beának 900 𝐹𝑡 – ja, míg Cilinek pedig 960 𝐹𝑡 – ja van.
8. Négy CD lemezen összesen 𝟏𝟎𝟎𝟎 kötetnyi anyagot sikerült tárolni. Ha az elsőn 𝟏𝟓 – tel többet, a másodikon 𝟕𝟎 – nel kevesebbet, a harmadikon kétszer annyit, a negyediken pedig feleannyit tárolnánk, akkor mindegyik lemezen ugyanannyi kötet szerepelne. Hány kötet szerepel az egyes lemezeken külön – külön? Megoldás: Legyen az egyenlő kötetek száma 𝑥. 𝑥
Ekkor a lemezeken található kötetek száma: 𝑥 − 15; 𝑥 + 70; 2 ; 2𝑥. 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 15 + 𝑥 + 70 + 2 + 2𝑥 = 1000. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 210. Válasz: A lemezeken 195; 280; 105 és 420 kötet szerepel.
9. Egy apa kétszer annyi idős, mint a fia. Tíz évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint a fia. Hány éves most az apa és fia? Megoldás: Legyen a fiú életkora 𝑥, az apáé pedig 2𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ∙ (𝑥 − 10) = 2𝑥 − 10. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 20. Válasz: A fiú 20, az apa pedig 40 éves. 4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 10. Három testvér életkorának összege 𝟒𝟎 év. A középső 𝟑 évvel öregebb a legkisebbnél, de 𝟒 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Hány évesek külön – külön? Megoldás: Legyen a középső testvér életkora 𝑥, a legkisebbé 𝑥 − 3, a legidősebbé pedig 𝑥 + 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 − 3 + 𝑥 + 4 = 40. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 13. Válasz: A testvérek életkora 10; 13 és 17 év.
11. Egy apa azt mondja 𝟖 éves lányának: ,,Amikor annyi idős leszel, mint most én, akkor 𝟔𝟎 esztendős leszek.” Hány éves az apa? Megoldás: Legyen az apa életkora 𝑥. Ekkor az életkorok különbsége: 𝑥 − 8. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 − 8 = 60. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 34. Válasz: Az apa 34 éves.
12. Egy kutya 𝟖𝟎 𝒎 távolságban meglát egy nyulat, és elkezdi üldözni. A két állat egyszerre kezd futni a kutyát a nyúllal összekötő egyenes mentén. A nyúl 𝟏𝟎 – et, a kutya 𝟗 – et ugrik másodpercenként. Mennyi idő alatt éri utol a kutya a nyulat, ha a kutyaugrás 𝟏 𝒎 hosszú, a nyúlugrás pedig csak 𝟖𝟎 𝒄𝒎? Megoldás: Legyen az eltelt idő 𝑥 másodperc. Ekkor a kutya által megtett út 9 ∙ 𝑥 ∙ 1 = 9𝑥, a nyúlé pedig 10 ∙ 𝑥 ∙ 0,8 = 8𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 9𝑥 = 80 + 8𝑥. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 80. Válasz: A kutya 80 𝑠 után éri utol a nyulat. 5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 13. Egy kirándulás során a költségeinket a következőképpen tudtuk fedezni. Az első nap 𝟏 elköltöttük pénzünk 𝟑 – át és még 𝟗𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, a második nap a megmaradt rész 𝟏
– át és még 𝟔𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, így az utolsó, harmadik napon 𝟏 𝟒𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot költöttünk el. Mennyi pénzt vittünk magunkkal a kirándulásra? 𝟑
Megoldás: Legyen az elvitt pénz mennyisége 𝑥. 1
2
Ekkor az első nap után maradt pénz mennyisége: 𝑥 − 3 𝑥 − 900 = 3 𝑥 − 900. 2
1
2
4
A második nap után pedig: 3 𝑥 − 900 − 3 ∙ (3 𝑥 − 900) − 600 = 9 𝑥 − 1 200. 4
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 1200 = 1 400. 9
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5 850. Válasz: A kirándulásra 5 850 𝐹𝑡 – ot vittünk magunkkal. 14. Egy háromnapos kerékpártúra első napján megtettük az út negyedét és még 𝟔 𝒌𝒎 – t, a második napon a hátralevő út harmadát és még 𝟐 𝒌𝒎 - t, így az utolsó napra 𝟒𝟒 𝒌𝒎 maradt. Milyen hosszú volt a kerékpártúra? Megoldás: Legyen a túra hossza 𝑥. 1
3
Ekkor az első nap után maradt út hossza: 𝑥 − 4 𝑥 − 6 = 4 𝑥 − 6. 3
1
3
1
A második nap után pedig: 4 𝑥 − 6 − 3 ∙ (4 𝑥 − 6) − 2 = 2 𝑥 − 6. 1
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 𝑥 − 6 = 44. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 100. Válasz: A kerékpártúra hossza 100 𝑘𝑚 volt. 15. Mennyi kézfogás történt a 𝟐𝟕 fős társaságban, ha mindenki mindenkivel kezet fogott? Megoldás: 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) 27 ∙ 26 Egy 𝑛 tagú társaságban kézfogás történik, így felírhatjuk a következőt: = 351. 2 2 Válasz: A 27 fős társaságban összesen 351 kézfogás volt. 6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 16. Egy traktor hátsó kerekének a sugara kétszer akkora, mint az első keréké. Ha az első kerék kerülete 𝟏 𝒎 – rel nagyobb, a hátsóé pedig 𝟏 𝒎 – rel kisebb volna, akkor az első kerék 𝟑𝟎𝟎 méteren ugyanannyit fordulna, mint a hátsó 𝟑𝟕𝟓 méteren. Mekkora a két kerék sugara? Megoldás: Legyen az első kerék sugara 𝑥, a hátsóé pedig 2𝑥. 300
375
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝜋 + 1 = 2 ∙ 2𝑥 ∙ 𝜋 − 1. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 0,48. Válasz: Az első kerék sugara 0,48 𝑚, a hátsóé pedig 0,96 𝑚.
17. Egy bilológiai kísérlet során két számítógéppel dolgozták fel az adatokat. Az egyik gép 𝟓𝟎𝟎 mintát tudott feldolgozni naponta, a másik pedig 𝟏 𝟎𝟎𝟎 – t. A két gép egymást követően folyamatosan dolgozva 𝟏𝟎 napi munkával 𝟖 𝟎𝟎𝟎 mintát értékelt. Hány mintát értékeltek külön – külön? Megoldás: Legyen az első gép munkanapjainak száma 𝑥, a másiké pedig 10 − 𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 500𝑥 + 1 000 ∙ (10 − 𝑥 ) = 8 000. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4. Válasz: Az első gép 2 000 darab mintát, a második pedig 6 000 darabot értékelt külön - külön.
18. Egy asztalos üzemnek a vártnál gyorsabb almaérés miatt a megrendelt gyümölcsládákat 𝟓 hét helyett 𝟒 hét alatt kellett elkészítenie, ezért napi 𝟏𝟕𝟓 ládával megemelte a termelést. Mennyi láda készült el az üzemben 𝟏 nap alatt, ha minden héten 𝟔 napot dolgoztak? Megoldás: Legyen a gyümölcsládák száma 𝑥. 𝑥
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 30 + 175 = 24. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 21 000. Válasz: Összesen 875 láda készült el egy nap alatt. 7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 19. Két rekeszben összesen 𝟗𝟎 𝒌𝒈 alma van. Mennyi alma van az egyes rekeszekben, ha tudjuk, hogy az első rekesz almáinak 𝟐𝟓 % - a a második rekesz almáinak 𝟐𝟎 % - a? Megoldás: Legyen az első rekeszben 𝑥, a másodikban pedig 90 − 𝑥 darab alma. 25
20
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ 100 = (90 − 𝑥 ) ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 40. Válasz: Az első rekeszben 40 darab, a másodikban pedig 50 darab alma van.
20. Elköltöttük pénzünk 𝟏𝟗 % - át, 𝟔 𝟖𝟓𝟗 𝑭𝒕 – ot. Mennyi pénzünk volt? Megoldás: Legyen az eredeti pénzünk mennyisége 𝑥. 19
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ 100 = 6 859. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 36 100. Válasz: Eredetileg 36 100 𝐹𝑡 volt.
21. A tej tömegének 𝟕, 𝟑 % - a tejszín. A tejszín tömegének 𝟔𝟐 % - a vaj. Hány 𝒌𝒈 tejből készíthető 𝟓 𝒌𝒈 vaj? Megoldás: Legyen a tej tömege 𝑥. 7,3
62
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ 100 ∙ 100 = 5. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 110,47. Válasz: Eredetileg 110,47 𝑘𝑔 tejre van szükség.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 22. Két üzemnek a terv szerint egy hónapban 𝟑𝟔𝟎 𝒅𝒃 szerszámgépet kellett készítenie. Az első üzem 𝟏𝟏𝟐 % - ra teljesítette a tervet, a második pedig 𝟏𝟏𝟎 % - ra, és így a két üzem egy hónap alatt 𝟒𝟎𝟎 𝒅𝒃 szerszámgépet gyártott. Hány szerszámgépet készített terven felül külön – külön a két üzem? Megoldás: Legyen az első üzem terve 𝑥, a másodiké pedig 360 − 𝑥. 112
110
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ 100 + (360 − 𝑥 ) ∙ 100 = 400. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 200. Válasz: Az első üzem 24 darabot, a második pedig 16 darabot készített terven felül.
23. Két brigád együtt 𝟖 𝟐𝟎𝟎 transzformátortekercset készített. Az ellenőrzés az egyik brigád által készített tekercseknek a 𝟐 % - át, a másikénak pedig 𝟑 % - át hibásan szigeteltnek találta, összesen 𝟐𝟏𝟔 darabot. Hány darab hibátlan tekercset készített mindegyik brigád? Megoldás: Legyen az első brigád termelése 𝑥, a másodiké pedig 8 200 − 𝑥. 2
3
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ 100 + (8 200 − 𝑥 ) ∙ 100 = 216. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 3 000. Válasz: Az első brigád 2 940 darab, a második pedig 5 044 darab hibátlant készített.
24. Egy vizsgán a tanuló az első 𝟐𝟎 kérdésből 𝟏𝟓 – re helyes választ adott. A további kérdések egy ötödére is helyesen válaszolt. Minden válaszra azonos pontszámot kapott, és így 𝟒𝟎 % - os eredményt ért el. Hány kérdés volt a vizsgán? Megoldás: Legyen az összes kérdés száma 𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 55. Válasz: A vizsgán összesen 55 kérdés volt. 9
𝑥 − 20 5
40
+ 15 = 𝑥 ∙ 100.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 25. Egy könyvkereskedő vásárolt két könyvet, majd eladta őket egyforma áron. Az egyiken 𝟐𝟎 % - ot nyert, a másikon 𝟐𝟎 % - ot veszített, így összesen 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal kapott kevesebbet értük, mint amennyiért vette őket. Mennyiért vette és adta el a könyveket? Megoldás: Legyen a könyvek eladási ára 𝑥. 𝑥
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1,2 + 0,8 = 2𝑥 + 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1 200. Válasz: A könyveket 1 200 𝐹𝑡 – ért adta el, s az első ára 1 000 𝐹𝑡, a másodiké 1 500 𝐹𝑡 volt.
26. Egy áru árát 𝟐𝟎 % - kal leszállították, majd 𝟐𝟎 % - kal felemelték, így az ára az eredeti áránál 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal kevesebb lett. Mennyibe került eredetileg az áru? Megoldás: Legyen az eredeti ár 𝑥. 20
20
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (1 − 100) ∙ (1 + 100) = 𝑥 − 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 2 500. Válasz: Eredetileg 2 500 𝐹𝑡 volt az ára.
27. Egy 𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – os TV árát először emelték 𝟓 % - kal, majd mivel nem kelt el, csökkentették 𝟏𝟎 % - kal. Mennyiért siekrült ígyeladni? Megoldás: Legyen a termék utolsó ára 𝑥. 5
10
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 80 000 ∙ (1 + 100) ∙ (1 − 100) = 𝑥. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 75 600. Válasz: Végül 75 600 𝐹𝑡- ért adták el a Tv - t.
10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 28. Egy brigád a munkaidő alatt 𝟏𝟎 % - kal túlteljesítette a tervét, majd túlórában további 𝟑𝟎𝟎 munkadarabot készített el. Mennyi volt a tervük, ha összesen 𝟏 𝟎𝟒𝟖 munkadarabot munkáltak meg? Megoldás: Legyen az eredeti terv 𝑥 darab munkadarab. 10
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (1 + 100) + 300 = 1 048. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 680. Válasz: Az eredeti terv 680 darab volt.
29. Egy háromszög két nagyobb szögének aránya 𝟐: 𝟑. A legkisebb szöge 𝟔𝟎° - kal kisebb a legnagyobbnál. Mekkorák a háromszög szögei? Megoldás: Legyen a legnagyobb szög 3𝑥, a középső 2𝑥, a legkisebb pedig 3𝑥 − 60. A belső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 − 60 + 2𝑥 + 3𝑥 = 180. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 30. Válasz: A háromszög szögeinek nagysága 30°; 60° és 90°.
30. Mekkora a háromszög belső szögeinek nagysága, ha a külső szögek aránya 𝟑: 𝟕: 𝟖? Megoldás: Legyen a legkisebb külső szög 3𝑥, a középső 7𝑥, a legnagyobb pedig 8𝑥. A külső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 + 7𝑥 + 8𝑥 = 360. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 20. Ezek alapján a háromszög külső szögei: 60°; 140°; 160°. Válasz: A háromszög belső szögeinek nagysága 120°; 40° és 20°.
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 31. Egy háromszög kerülete 𝟒𝟔 𝒄𝒎, két oldalának az aránya 𝟑: 𝟓. Mekkora ez a két oldal, ha a harmadik oldal 𝟔 𝒄𝒎? Van – e ilyen háromszög? Megoldás: Legyen a háromszög egyik oldala 3𝑥, a másik pedig 5𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 + 5𝑥 + 6 = 46. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5. Válasz: A háromszög oldalainak nagysága 6 𝑐𝑚; 15 𝑐𝑚 és 25 𝑐𝑚. Nincs ilyen háromszög, mert 15 + 6 < 25 (háromszög egyenlőtlenség).
32. Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei, ha az alapon fekvő szöge 𝟑𝟔° - kal nagyobb a szárak szögénél? Megoldás: Legyen az alapon fekvő szögeinek nagysága 𝑥, a szárszögé pedig 𝑥 − 36. A belső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 − 36 = 180. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 72. Válasz: A háromszög szögeinek nagysága 36°; 72° és 72°.
33. Egy 𝟏𝟐 𝒄𝒎 kerületű egyenlő szárú háromszögben az alap hossza a szárak hosszának 𝟐 a 𝟑 része. Mekkorák a háromszög oldalai? Megoldás: 2 Legyen a szárak hossza 𝑥, az alapé pedig 𝑥. 3
2
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 + 3 𝑥 = 12. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4,5. Válasz: A háromszög oldalainak nagysága 3 𝑐𝑚; 4,5 𝑐𝑚 és 4,5 𝑐𝑚.
12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 34. Mekkora a téglalap területe, ha kerülete 𝟏𝟐 𝒄𝒎, és az egyik oldalának hossza háromszorosa a másik oldal hosszának? Megoldás: Legyen a téglalap egyik oldalának hossza 𝑥, a másiké pedig 3𝑥. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ∙ (𝑥 + 3𝑥 ) = 12. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1,5. Ezek alapján a téglalap területe: 𝑇 = 1,5 ∙ 4,5 = 6,75 𝑐𝑚2 . Válasz: A téglalap területe 6,75 𝑐𝑚2 .
35. Egy trapéz magassága 𝟒, 𝟐 𝒄𝒎, két párhuzamos oldalának aránya 𝟐: 𝟑. Mekkorák a trapéz párhuzamos oldalai, ha területe 𝟏𝟔, 𝟖 𝒄𝒎𝟐 ? Megoldás: Legyen a rövidebb alap hossza 2𝑥, a nagyobb alapé pedig 3𝑥.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
2𝑥 + 3𝑥 2
∙ 4,2 = 16,8.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1,6. Válasz: A trapéz alapjainak hossza 3,2 𝑐𝑚 és 4,8 𝑐𝑚.
𝟏
36. Egy 𝟔 𝒄𝒎 oldalhosszúságú négyzet egyik oldalát 𝟑 részével megnöveltük, szomszédos oldalát annyival csökkentettük, hogy az így kapott téglalap területe ugyanannyi legyen, mint az eredeti négyzeté. Mennyivel csökkentettük ezt az oldalt? Megoldás: Legyen a csökkentés mértéke 𝑥. 1
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 62 = (6 + 3 ∙ 6) ∙ (6 − 𝑥 ). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 1,5. Válasz: A négyzet másik oldalát 1,5 𝑐𝑚 – rel csökkentettük. 13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 37. Egy háromszög 𝒃 oldala 𝟐 𝒄𝒎 – rel rövidebb, a 𝒄 oldala 𝟐 𝒄𝒎 – rel hosszabb, mint az 𝒂 oldal és 𝒃: 𝒄 = 𝟑: 𝟓. Mekkora a háromszög területe? Megoldás: Legyen az 𝑎 oldal hossza 𝑥, a 𝑏 oldalé 𝑥 − 2, a 𝑐 oldalé pedig 𝑥 + 2. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
𝑥−2 𝑥+2
3
= . 5
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 8. Ezek alapján a háromszög oldalai: 6 𝑐𝑚; 8𝑐𝑚 és 10 𝑐𝑚. Mivel 62 + 82 = 102 , így Pitagorasz – tétel szerint a háromszög derékszögű. Ekkor a háromszög területe: 𝑇 =
6∙8 2
= 24 𝑐𝑚2 .
Válasz: A háromszög területe 24 𝑐𝑚2 . 38. Mennyi átlója van egy szabályos 𝟑𝟖 szögnek? Megoldás: 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 38 ∙ (38 − 3) Egy 𝑛 oldalú sokszögnek átlója van, így felírhatjuk a következőt: = 665. 2 2 Válasz: A szabályos 38 szögnek összesen 665 átlója van. 39. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 𝟏𝟎. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 𝟑𝟔 – tal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 10 − 𝑥. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek
Egyesek
Szám
𝑥
10 − 𝑥
10𝑥 + 10 − 𝑥
10 − 𝑥
𝑥
10 ∙ (10 − 𝑥 ) + 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10𝑥 + 10 − 𝑥 = 10 ∙ (10 − 𝑥 ) + 𝑥 − 36. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 3. Válasz: A gondolt szám a 37. 14
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 40. Egy kétjegyű számban a tízesek helyén álló számjegy 𝟏 híján az egyesek helyén álló számjegy háromszorosa. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor 𝟐𝟕 – tel kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen az egyesek száma 𝑥, a tízeseké pedig 3𝑥 − 1. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek
Egyesek
Szám
3𝑥 − 1
𝑥
10 ∙ (3𝑥 − 1) + 𝑥
𝑥
3𝑥 − 1
10𝑥 + 3𝑥 − 1
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙ (3𝑥 − 1) + 𝑥 = 10𝑥 + 3𝑥 − 1 + 27. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 2. Válasz: A gondolt szám az 52.
41. Egy kétjegyű szám számjegyeinek aránya 𝟑: 𝟐. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az új szám az eredeti felénél 𝟐𝟏 – gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen a tízesek száma 3𝑥, az egyeseké pedig 2𝑥. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek
Egyesek
Szám
3𝑥
2𝑥
10 ∙ 3𝑥 + 2𝑥
2𝑥
3𝑥
10 ∙ 2𝑥 + 3𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 3. Válasz: A gondolt szám a 96.
15
10 ∙ 3𝑥 + 2𝑥 2
= 10 ∙ 2𝑥 + 3𝑥 − 21.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 42. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege 𝟏𝟑. Ha a számot 𝟏𝟐 – vel osztjuk, akkor a hányados megegyezik a szám utolsó számjegyével, a maradék pedig ennél 𝟐 – vel kisebb. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 13 − 𝑥. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek
Egyesek
Szám
𝑥
13 − 𝑥
10𝑥 + 13 − 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10𝑥 + 13 − 𝑥 = 12 ∙ (13 − 𝑥 ) + 13 − 𝑥 − 2. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 7. Válasz: A gondolt szám a 76.
43. Egy háromjegyű szám számjegyei egymást közvetlenül követő természetes számok. Ha fordított sorrendben írjuk a számjegyeket, akkor az így képzett háromjegyű szám és az eredeti szám összege 𝟏𝟑𝟑𝟐. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen a százasok száma 𝑥, a tízeseké 𝑥 + 1, az egyeseké pedig 𝑥 + 2. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Százas
Tízesek
Egyesek
Szám
𝑥
𝑥+1
𝑥+2
100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 + 2
𝑥+2
𝑥+1
𝑥
100 ∙ (𝑥 + 2) + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 + 2 + 100 ∙ (𝑥 + 2) + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 = 1332. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5. Válasz: A gondolt szám az 567. 16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 44. Egy háromjegyű szám középső számjegye kétszerese az első számjegynek, az utolsó számjegye eggyel nagyobb, mint a középső számjegy. Ha fordított sorrendben írjuk a számjegyeket, akkor az így képzett háromjegyű szám és az eredeti szám különbsége 𝟑𝟗𝟔. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen a százasok száma 𝑥, a tízeseké 2𝑥, az egyeseké pedig 2𝑥 + 1. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Százas
Tízesek
Egyesek
Szám
𝑥
2𝑥
2𝑥 + 1
100𝑥 + 10 ∙ 2𝑥 + 2𝑥 + 1
2𝑥 + 1
2𝑥
𝑥
100 ∙ (2𝑥 + 1) + 10 ∙ 2𝑥 + 𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 100 ∙ (2𝑥 + 1) + 10 ∙ 2𝑥 + 𝑥 − [100𝑥 + 10 ∙ 2𝑥 + 2𝑥 + 1] = 396. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 3. Válasz: A gondolt szám a 367.
45. Egy kétjegyű számban 𝟑 – mal több egyes van, mint tízes. Ha a számjegyei közé számjegyeinek az összegét iktatjuk be harmadik jegyül, az eredeti szám 𝟏𝟏 – szeresét kapjuk. Melyik kétjegyű számból indultuk ki? Hány ilyen szám van? Megoldás: Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 𝑥 + 3. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Százas 𝑥
Tízesek
Egyesek
Szám
𝑥
𝑥+3
10𝑥 + 𝑥 + 3
𝑥+𝑥+3
𝑥+3
100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 𝑥 + 3) + 𝑥 + 3
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 11 ∙ (10𝑥 + 𝑥 + 3) = 100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 𝑥 + 3) + 𝑥 + 3. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 33 = 33. Ezek alapján bármilyen szám szerepelhet az 𝑥 helyén, ami a feladat szövegének megfelel. Válasz: A lehetséges számok a következők: 14; 25; 36. 17
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 46. Egy kerítés lefestése Péternek 𝟒 órájába telne. Ugyanezt a munkát András 𝟔 óra alatt végezné el. Mennyi idő alatt fejezik be együtt a kerítés lefestését? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 óra alatt 𝒙 óra alatt
András
Péter
6 óra
4 óra
1 6 𝑥 6
1 4 𝑥 4
𝑥
𝑥
6
4
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: + = 1. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 2,4. Válasz: Együtt 2,4 óra alatt végeznek a kerítés lefestésével.
47. Egy medencébe két csapon keresztül folyik a víz. Együtt 𝟏𝟎 óra alatt töltik meg a medencét. Ha az A csap egyedül 𝟏𝟓 óra alatt tölti meg a medencét, akkor a B csap egyedül mennyi idő alatt tölti azt meg? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 óra alatt 𝟏𝟎 óra alatt
A csap
B csap
15 óra
𝑥 óra
1 15 10 15
1 𝑥 10 𝑥
10
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 15 +
10 𝑥
= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 30. Válasz: A B csap egyedül 30 óra alatt töltené meg a medencét. 18
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 48. Egy apa 𝟏 óra 𝟒𝟎 perc alatt, felesége 𝟑 óra 𝟐𝟎 perc alatt, kisfia 𝟔 óra 𝟒𝟎 perc alatt ássa fel a kertjüket. Mennyi idő alatt készülnek el a kert felásásával, ha egyszerre mindhárman ásnak? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 perc alatt 𝒙 perc alatt
Apa
Anya
Fiú
100 perc
200 perc
400 perc
1 100 𝑥 100
1 200 𝑥 200
1 400 𝑥 400
𝑥
𝑥
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 100 + 200 + 400 = 1. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 57,14. Válasz: Együtt kb. 57 perc alatt végeznek a kert felásásával.
49. Egy kád az egyik csapról 𝟐𝟎 perc alatt, a másikról 𝟏𝟓 perc alatt telik meg. A lefolyót kinyitva 𝟏𝟔 perc alatt ürül ki. Mennyi ideig tart a kád feltöltése, ha mindklét csapot kinyitjuk, de a lefolyó is nyitva marad? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 perc alatt 𝒙 perc alatt
Első csap
Második csap
Lefolyó
20 perc
15 perc
16 perc
1 20 𝑥 20
1 15 𝑥 15
1 16 𝑥 16
𝑥
𝑥
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 20 + 15 − 16 = 1. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 18,46. Válasz: A kád kb. 18 perc alatt telik meg. 19
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 50. Egy víztároló két csövön át tölthető meg, mégpedig egyedül az első cső 𝟒 óra alatt, egyedül a második cső 𝟑 óra alatt tölthetné meg. Egy harmadik csövön keresztül a víztároló 𝟏 óra alatt ürül ki. Mennyi idő alatt ürül ki a tároló, ha mindhárom cső egyszerre van nyitva? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 óra alatt 𝒙 óra alatt
Első cső
Második cső
Harmadik cső
4 óra
3 óra
1 óra
1 4 𝑥 4
1 3 𝑥 3
1 1 𝑥 1
𝑥
𝑥
𝑥
4
3
1
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 + + − = 0. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 2,4. Válasz: A tároló 2,4 óra alatt ürül ki.
51. Egy kád csupán a melegvizes csapból 𝟐𝟎 perc alatt telik meg, csak a hidegvizes csapból pedig 𝟐𝟓 perc alatt. Mennyi idő alatt telt meg a kád, ha a melegvizes csap 𝟒 perccel kevesebb ideig volt nyitva, mint a hidegvizes csap? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Melegvizes csap
Hidegvizes csap
20 perc
25 perc
1 20 𝑥 20
1 25 𝑥 25
𝟏 perc alatt 𝒙 perc alatt
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 13,3. Válasz: A kád kb. 13,3 perc alatt telt meg. 20
𝑥−4 20
𝑥
+ 25 = 1.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 52. Egy medencébe 𝟑 cső vezet. Az elsőn át 𝟐, 𝟓 óra alatt, a másodikon 𝟑 óra alatt, a harmadikon 𝟏, 𝟓 óra alatt telik meg a medence. Egy alkalommal mindhárom csövet együttesen működtetik, de 𝟐𝟐, 𝟓 perc után a harmadik csövet elzárják. Mennyi idő alatt telik meg így a medence? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 perc alatt 𝒙 perc alatt
Első cső
Második cső
Harmadik cső
150 perc
180 perc
90 perc
1 150 𝑥 150
1 180 𝑥 180
1 90 𝑥 90
𝑥
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 150 + 180 +
22,5 90
= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 61,36. Válasz: A medence kb. 61 perc alatt telik meg.
53. Egy medencét egy csap 𝟒 óra alatt tölt meg. A kifolyón 𝟑 óra alatt ürül ki a tele medence. Hány óra alatt lesz újra üres a medence, ha a csap megnyitása után 𝟑 órával véletlenül megnyitják a kifolyót, de a csapot nem zárják el? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 óra alatt 𝒙 óra alatt
Csap
Kifolyó
4 óra
3 óra
1 4 𝑥 4
1 3 𝑥 3
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4 − Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 12. Válasz: A medence 12 óra után lesz üres. 21
𝑥−3 3
= 0.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 54. Egy ház festését három festő külön – külön 𝟏𝟐, 𝟏𝟓 és 𝟐𝟎 óra alatt végezné el egyedül. Együtt kezdik a munkát, de a második festő 𝟏, 𝟓 órát, a harmadik pedig 𝟐 órát pihent közben. Mennyi idő alatt festették ki a házat? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 óra alatt 𝒙 óra alatt
Első festő
Második festő
Harmadik festő
12 óra
15 óra
20 óra
1 12 𝑥 12
1 15 𝑥 15
1 20 𝑥 20
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 12 +
𝑥 − 1,5 15
+
𝑥−2 20
= 1.
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 6. Válasz: A három festő 6 óra alatt festették ki a házat.
55. Szőlőtelepítés előtt a talajt meg kell forgatni. Erre a műveletre 𝟏𝟐 nap áll rendelkezésre. Napi 𝟏 𝒎𝟑 – rel többet sikerült megforgatni a tervezettnél, így 𝟖 nap alatt készült el a munka. Hány 𝒎𝟑 földet kellett megforgatni? Megoldás: Legyen a megforgatott föld mennyisége 𝑥. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.
𝟏 nap alatt
Tervezett
Valós
12 nap
8 nap
𝑥 12
𝑥 8
𝑥
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 12 + 1 = 8. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 24. Válasz: Összesen 24 𝑚3 földet kellett megforgatni. 22
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 56. Egy 𝟐𝟎𝟎 𝒈 𝟓 % - os sóoldathoz hány gramm 𝟏𝟐 % - os sóoldatot kell adnunk, hogy 𝟖 % - os sóoldatot kapjunk? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Első sóoldat
200
5
Második sóoldat
𝑥
12
Keverék
200 + 𝑥
8
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 200 ∙
Tömény anyag 5 100 12 𝑥∙ 100
200 ∙
(200 + 𝑥) ∙
5 100
+𝑥∙
12 100
8 100
= (200 + 𝑥) ∙
8
.
100
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 150. Válasz: 150 𝑔 sóoldatot kell hozzáadnunk.
57. Az 𝟏, 𝟑 𝒌𝒈 sóoldathoz 𝟎, 𝟖 𝒌𝒈 𝟏𝟓 % - os sóoldatot öntünk, így 𝟏𝟎 % - os sóoldat jön létre. Hány % - os volt az eredeti oldat? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Első sóoldat
1,3
𝑥
1,3 ∙
Második sóoldat
0,8
15
0,8 ∙
Keverék
2,1
10
𝑥
Tömény anyag 𝑥 100
15 100 10 2,1 ∙ 100
15
10
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1,3 ∙ 100 + 0,8 ∙ 100 = 2,1 ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 6,92. Válasz: 6,92 % - os volt az eredeti sóoldat.
23
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 58. Összekeverünk 𝟑 liter 𝟏𝟐 % - os, 𝟓 liter 𝟏𝟖 % - os és 𝟐 liter 𝟐𝟐 % - os alkoholt. Hány százalékos keveréket állítottunk elő? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Első alkohol
3
12
Második alkohol
5
18
Harmadik alkohol
2
22
Keverék
10
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ∙
12 100
+5∙
Tömény anyag 12 100 18 5∙ 100 22 2∙ 100 𝑥 10 ∙ 100 3∙
18 100
+2∙
22 100
= 10 ∙
𝑥
.
100
Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 17. Válasz: 17 % - os alkoholt állítottunk elő.
59. Összekevertünk kétféle narancslét. Az egyik 𝟔𝟎 % - os, a másik 𝟖𝟓 % - os volt. Hány litert vettünk belőlük, ha a keverék 𝟏𝟖 liter 𝟕𝟎 % - os narancslé lett? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Első narancslé
𝑥
60
𝑥∙
Második narancslé
18 − 𝑥
85
(18 − 𝑥) ∙
Keverék
18
70
60
Tömény anyag 60 100
85 100 70 18 ∙ 100
85
70
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ 100 + (18 − 𝑥) ∙ 100 = 18 ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 10,8. Válasz: 10,8 𝑙 60 % - os és 7,2 𝑙 85 % - os narancslevet kevertünk össze. 24
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 60. Mennyi vizet kell elpárologtatni 𝟏𝟎 liter 𝟒𝟎 % - os sóoldatból, hogy 𝟔𝟎 % - os sóoldatot kapjunk? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Sóoldat
10
40
Víz
𝑥
0
Maradék
10 − 𝑥
60
40
Tömény anyag 40 100 0 𝑥∙ 100 60 (10 − 𝑥) ∙ 100 10 ∙
0
60
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙ 100 − 𝑥 ∙ 100 = (10 − 𝑥) ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 3,3. Válasz: 3,3 𝑙 vizet kell elpárologtatni.
61. A 𝟏𝟐𝟎 𝒈 𝟖𝟎 % - os alkoholhoz 𝟖𝟎 𝒈 vizet adunk. Hány százalékos alkoholt kapunk? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Alkohol
120
80
Víz
80
0
Keverék
200
𝑥
80
Tömény anyag 80 100 0 80 ∙ 100 𝑥 200 ∙ 100 120 ∙
0
𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 120 ∙ 100 + 80 ∙ 100 = 200 ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 48. Válasz: 48 % - os alkoholt kapunk.
25
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 62. Van 𝟏𝟎 liter 𝟖𝟕° - os alkoholunk. Mennyi vizet kell hozzáöntenünk, hogy 𝟖𝟎° - os alkoholt kapjunk? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Alkohol
10
87
Víz
𝑥
0
Keverék
10 + 𝑥
80
87
Tömény anyag 87 100 0 𝑥∙ 100 80 (10 + 𝑥) ∙ 100 10 ∙
0
80
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙ 100 + 𝑥 ∙ 100 = (10 + 𝑥) ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 0,875. Válasz: 0,875 𝑙 vizet kell hozzáöntenünk.
63. A 𝟐, 𝟐 𝒌𝒈 𝟐𝟒 % - os kénsavoldatnak hány grammját kellene tiszta vízzel kicserélnünk, hogy 𝟏𝟓 % - os kénsavoldatot kapjunk belőle? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Kénsavoldat
2,2
24
Víz
𝑥
0
Keverék
2,2
15
24
Tömény anyag 24 100 0 𝑥∙ 100 15 2,2 ∙ 100 2,2 ∙
24
0
15
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2,2 ∙ 100 − 𝑥 ∙ 100 + 𝑥 ∙ 100 = 2,2 ∙ 100. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 0,825. Válasz: 825 𝑔 - ot kell kicserélnünk vízre.
26
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 64. Az 𝟓 liter 𝟓𝟎 ℃ - os vízhez 𝟐𝟎 liter 𝟖𝟎 ℃ - os vizet keverünk. Mekkora lesz a keverék hőmérséklete? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Hőmérséklet
Első víz
5
50
5 ∙ 50
Második víz
20
80
20 ∙ 80
Keverék
25
𝑥
25𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 ∙ 50 + 20 ∙ 80 = 25𝑥. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 74. Válasz: 74 ℃ - os lesz a keverék hőmérséklete.
65. A 𝟑 liter 𝟏𝟒𝟎 𝑭𝒕 egységárú üdítőitalhoz 𝟓 liter 𝟐𝟎𝟎 𝑭𝒕 egységárú italt kevernek. Mekkora lesz a keverék egységára? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Egység ár
Első víz
3
140
3 ∙ 140
Második víz
5
200
5 ∙ 200
Keverék
8
𝑥
8𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ∙ 140 + 5 ∙ 200 = 8𝑥. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 177,5. Válasz: 177,5 𝐹𝑡 lesz a keverék egységára.
27
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 66. Egy turistacsoprot egy hegycsúcsra felfelé menet 𝟓 óra alatt, lefelé – mivel óránként 𝟏 𝒌𝒎 – rel többet tesznek meg – ugyanezt az utat 𝟒 óra alatt teszi meg. Mekkora utat járnak be a túra során? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Felfelé
5
𝑥
5𝑥
Lefelé
4
𝑥+1
4 ∙ (𝑥 + 1)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5𝑥 = 4 ∙ (𝑥 + 1). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4. Ezek alapján a hegycsúcsra vezető út hossza: 5 ∙ 4 = 20. Válasz: A túra során összesen 40 𝑘𝑚 – t tesznek meg oda - vissza.
67. Egy hajó két kikötő között lefelé 𝟑, 𝟓 óra, felfelé 𝟓 óra alatt teszi meg az utat. A folyó 𝒌𝒎 sebessége 𝟑 𝒉 . Hány kilométerre van egymástól a két kikötő? Megoldás: Legyen a hajó sebessége 𝑥. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Felfelé
5
𝑥−3
5 ∙ (𝑥 − 3)
Lefelé
3,5
𝑥+3
3,5 ∙ (𝑥 + 3)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 ∙ (𝑥 − 3) = 3,5 ∙ (𝑥 + 3). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 17. Válasz: A két kikötő távolsága 70 𝑘𝑚. 28
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 68. Egy hajó két végállomása közti utat 𝟒 óra 𝟒𝟎 perc alatt tette meg oda – vissza. A 𝒌𝒎 𝒌𝒎 sebessége a folyón lefelé menet 𝟏𝟔 𝒉 volt, a folyón felfelé pedig 𝟏𝟐 𝒉 . Milyen messze van egymástól a két végállomás? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Felfelé
𝑥
12
12𝑥
Lefelé
14 −𝑥 3
16
16 ∙ (
14 − 𝑥) 3
14
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 12𝑥 = 16 ∙ ( 3 − 𝑥). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 2,67. Válasz: A két végállomás távolsága 32 𝑘𝑚.
𝒌𝒎
69. Egy folyón fölfelé haladva 𝟖 𝒉 - val kisebb egy hajó sebessége, mint felfelé haladva. A két kikötő között felfelé 𝟏𝟓 óráig, lefelé 𝟏𝟎 óráig tart az út. Hány kilométert tesz meg ez a hajó fölfelé és lefelé óránként? Milyen távol van egymástól a két kikötő? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Felfelé
15
𝑥
15𝑥
Lefelé
10
𝑥+8
10 ∙ (𝑥 + 8)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 15𝑥 = 10 ∙ (𝑥 + 8). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 16.
Válasz: A két kikötő távolsága 240 𝑘𝑚, s a hajó sebessége felfelé 16
29
𝑘𝑚
𝑘𝑚
ℎ
ℎ
, lefelé pedig 24
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝒎
𝒎
70. Egy 𝟓𝟎 𝒔 sebességgel haladó test és egy 𝟏𝟐 𝒔 sebességgel haladó test egy helyről, egy időben indulva egy irányba mozog. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 𝟐𝟎𝟗 𝒎? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Első test
𝑥
50
50𝑥
Második test
𝑥
12
12𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 50𝑥 = 12𝑥 + 209. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5,5. Válasz: A két test 5,5 másodperc múlva lesz 209 𝑚 – re egymástól.
𝒎
𝒎
71. Egy 𝟑𝟔 𝒔 és egy 𝟐𝟎 𝒔 sebességgel haladó test ugyanarról a helyről, egy időben indulva ellenkező irányba haladva távolodik egymástól. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 𝟓𝟕𝟒 𝒎? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Első test
𝑥
36
36𝑥
Második test
𝑥
20
20𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 36𝑥 + 20𝑥 = 574. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 10,25. Válasz: A két test 10,25 másodperc múlva lesz 574 𝑚 – re egymástól.
30
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 72. Egy 𝟓, 𝟑 𝒌𝒎 hosszú ellipszis alakú ügetőpálya startpontjától egyszerre indul el két 𝒌𝒎 zsoké egymással ellenkező irányban. Az egyik átlagsebessége 𝟏𝟐, 𝟓 𝒉 , a másiké 𝟏𝟒
𝒌𝒎 𝒉
. Mennyi idő múlva találkoznak?
Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Első zsoké
𝑥
12,5
12,5𝑥
Második zsoké
𝑥
14
14𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 12,5𝑥 + 14𝑥 = 5,3. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 0,2. Válasz: A két zsoké 12 perc múlva találkozik egymással.
73. Egy 𝟒𝟎𝟎 𝒎 hosszú kör alakú futópályán ugyanazon helyről, egyirányba, egyszerre 𝒎 𝒎 indul két futó. Az egyik átlagsebessége 𝟓 𝒔 , a másiké 𝟒 𝒔 . Mennyi idő múlva körözi le a gyorsabban futó a lassúbbat? Hány métert tesznek meg ezalatt az idő alatt? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Első futó
𝑥
5
5𝑥
Második futó
𝑥
4
4𝑥
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5𝑥 = 4𝑥 + 400. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 400. Válasz: A futók 400 𝑠 múlva találkoznak, s addig 2 000 𝑚 – t, illetve 1 600 𝑚 – t tesznek meg.
31
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 74. Két kocogó ugyanazon a pályán fut végig. Az egyik, aki percenként 𝟑𝟔𝟎 𝒎 – t fut, 𝒎 𝟓 másodperccel később indul, és két perccel előbb ér célba. A másik sebessége 𝟒 𝒔 . Milyen hosszú a pálya? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Első kocogó
𝑥
6
6𝑥
Második kocogó
𝑥 + 125
4
4 ∙ (𝑥 + 125)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 6𝑥 = 4 ∙ (𝑥 + 125). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 250. Válasz: A pálya hossza 1 500 𝑚.
75. Két úszó átúszik egy tavat. Az egyik 𝟕𝟎 𝒎 – t, a másik 𝟔𝟎 𝒎 – t úszik percenként. A gyorsabb 𝟑 perccel előbb ér célba. Milyen széles a tó, és hány perc alatt ússzák át? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Idő (𝒕)
Sebesség (𝒗)
Út (𝒔)
Első úszó
𝑥
70
70𝑥
Második úszó
𝑥+3
60
60 ∙ (𝑥 + 3)
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 70𝑥 = 60 ∙ (𝑥 + 3). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 18. Válasz: A tó 1 260 𝑚 széles, s az egyik 18 perc alatt, a másik pedig 21 perc alatt ússza át.
32
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Egyenletrendszerrel megoldható feladatok
76. Egy szállodában kétágyas és háromágyas szobák vannak. Hány kétágyas és hány háromágyas szoba van a szállodában, ha egyszerre 𝟏𝟓𝟎 vendéget tudnak elszállásolni benne, és a szobák száma 𝟓𝟓? Megoldás: Legyen a két ágyas szobák száma 𝑥, a három ágyasoké pedig 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2𝑥 + 3𝑦 = 150 } 𝑥 + 𝑦 = 55 A behelyettesítő módszer segítségével a megoldás 𝑥 = 15 és 𝑦 = 40. Válasz: A szállodában 15 darab kétágyas és 40 darab háromágyas szoba található.
77. Tizenhat év múlva az apa kétszer idősebb lesz fiánál. Hány évesek most, ha 𝟒 évvel ezelőtt az apa hatszor annyi idős volt, mint a fia? Megoldás: Legyen az apa életkora 𝑥, a fiáé pedig 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑥 + 16 = 2 ∙ (𝑦 + 16) } 𝑥 − 4 = 6 ∙ (𝑦 − 4) A zárójelek felbontása után, behelyettesítő módszer segítségével a megoldás 𝑥 = 34 és 𝑦 = 9. Válasz: Az apa most 34 éves, a fiú pedig 9 éves.
33
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 78. A fizikaterembe padokat állítanak be. Ha minden padba két tanulót ültetnek, akkor 𝟖 tanulónak nem jut hely. Ha viszont minden padba 𝟑 tanuló ül, akkor 𝟕 hely üresen marad. Hány padot állítanak a terembe és hány tanuló van az osztályban? Megoldás: Legyen a padok száma 𝑥, a tanulók száma 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2𝑥 + 8 = 𝑦 } 3𝑥 − 7 = 𝑦 Az összehasonlító módszer segítségével a megoldás 𝑥 = 15 és 𝑦 = 38. Válasz: A teremben 15 pad áll és az osztályba összesen 38 tanuló jár.
79. Egy rakomány meghatározott időn belüli elszállításához több egyforma teherautóra van szükség. Ha 𝟐 kocsival kevesebb lenne, akkor a szállítás két órával tovább tartana. Ha viszont 𝟒 autóval több lenne, a szállítást a megszabott időnél két órával hamarabb tudnák elvégezni. Hány teherautó végzi a szállítást, és mennyi idő alatt kell készen lenniük? Megoldás: Legyen a teherautók száma 𝑥, az elszállításhoz szükséges idő 𝑦 óra. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: (𝑥 − 2) ∙ (𝑦 + 2) = 𝑥𝑦 } (𝑥 + 4) ∙ (𝑦 − 2) = 𝑥𝑦 A zárójelbontás után, az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás 𝑥 = 8 és 𝑦 = 6. Válasz: Összesen 8 teherautó végzi a szállítást és ehhez 6 órára van szükségük.
34
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 80. Ha egy téglalap két párhuzamos oldalpárját egyidejűleg 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel növeljük, akkor területe 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 – rel lesz nagyobb, ha viszont egyik párhuzamos oldalpárját 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel csökkentjük, a másik oldalpárt pedig 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel növeljük, akkor területe 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 – rel lesz kisebb. Mekkorák a téglalap oldalai? Megoldás: Legyen a téglalap egyik oldalának hossza 𝑥, a másiké pedig 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: (𝑥 + 10) ∙ (𝑦 + 10) = 𝑥𝑦 + 1000 } (𝑥 − 10) ∙ (𝑦 + 10) = 𝑥𝑦 − 400 A zárójelbontás után, az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás 𝑥 = 30 és 𝑦 = 60. Válasz: A téglalap oldalai 30 𝑐𝑚 és 60 𝑐𝑚 hosszúak.
81. Egy háromszög egyik külső szöge 𝟏𝟑𝟎°, a nem mellette fekdvő két belső szög különbsége 𝟏𝟎°. Mekkorák a háromszög szögei? Megoldás: Legyen a két belső szög 𝛼 és 𝛽, amelyek nem a megadott külső szög mellett fekszenek. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝛼 + 𝛽 = 130 } 𝛼 − 𝛽 = 10 Az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás 𝛼 = 70 és 𝛽 = 60. Válasz: A háromszög szögei 50°; 60° és 70°.
35
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 82. Ha egy derékszögű háromszög egyik befogóját 𝟐 𝒄𝒎 – rel, a másikat 𝟓 𝒄𝒎 – rel megnöveljük, az így létrejött háromszög területe 𝟓𝟏 𝒄𝒎𝟐 – rel több lesz. Ha viszont mindkét befogót 𝟐 𝒄𝒎 – rel csökkentjük, a területe 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐 – rel kisebb lesz. Mekkorák a befogók? Megoldás: Legyen a háromszög egyik befogójának hossza 𝑥, a másiké pedig 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: (𝑥 + 2) ∙ (𝑦 + 5) 2 (𝑥 − 2) ∙ (𝑦 − 2) 2
= =
𝑥𝑦 2 𝑥𝑦 2
+ 51 − 32
}
A zárójelbontás után, az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás 𝑥 = 8 és 𝑦 = 26. Válasz: A háromszög befogói 8 𝑐𝑚 és 26 𝑐𝑚 hosszúak.
83. Alkothat – e háromszöget az a három szakasz, amelyek páronként vett összege 𝟒𝟐 𝒄𝒎, 𝟐𝟖 𝒄𝒎 és 𝟐𝟎 𝒄𝒎? Megoldás: Legyen a háromszög oldalainak hossza 𝑥; 𝑦 és 𝑧. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑥 + 𝑦 = 42 𝑥 + 𝑧 = 28 } 𝑦 + 𝑧 = 20 A behelyettesítő módszerrel a megoldás 𝑥 = 25; 𝑦 = 17 és 𝑧 = 3. Válasz: A háromszög egyenlőtlenség miatt nincs ilyen háromszög (3 + 17 < 25).
36
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 84. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 𝟏𝟐. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor 𝟏𝟖 – cal kisebb számot kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám? Megoldás: Legyen az első számjegy 𝑥, a második 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑥 + 𝑦 = 12 } 10𝑥 + 𝑦 = 10𝑦 + 𝑥 + 18 A behelyettesítő módszerrel a megoldás 𝑥 = 8 és 𝑦 = 6. Válasz: A keresett szám a 86.
85. Ha egy kétjegyű számot elosztunk a számjegyeinek felcserélésével kapott számmal, akkor a hányados 𝟒, a maradék 𝟑 lesz. Ha ugyanezt a számot a számjegyek különbségével osztjuk el, akkor a hányados 𝟏𝟏, a maradék 𝟓 lesz. Melyik ez a szám? Megoldás: Legyen az első számjegy 𝑥, a második 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 10𝑥 + 𝑦 = 4 ∙ (10𝑦 + 𝑥 ) + 3 } 10𝑥 + 𝑦 = 11 ∙ (𝑥 − 𝑦) + 5 A zárójelek felbontása után, a behelyettesítő módszerrel a megoldás 𝑥 = 7 és 𝑦 = 1. Válasz: A keresett szám a 71.
37
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 86. Két csapon át 𝟏𝟓 óra alatt telik meg egy medence. Ha az első csapot csak 𝟔 órán át tartjuk nyitva, akkor a második csapot 𝟑𝟎 órán át nyitva kell tartanunk ahhoz, hogy megtöltsük a medencét. Hány óra alatt telik meg a medence, ha csak az első, illetve csak a második csapot nyitjuk meg? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Legyen az első csap töltési ideje 𝑥 óra, a másodiké pedig 𝑦 óra. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Első csap
Második csap
𝑥 óra
𝑦 óra
1 𝑥
1 𝑦
𝟏 óra alatt
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 15 𝑥 6 𝑥
+ +
15 𝑦 30 𝑦
=1 } =1
1
1
Vezessünk be új ismeretlent: 𝑎 = 𝑥 és 𝑏 = 𝑦. 15𝑎 + 15𝑏 = 1 } 6𝑎 + 30𝑏 = 1 1
1
Az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás 𝑎 = 24 és 𝑏 = 40. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer megoldása 𝑥 = 24 és 𝑦 = 40. Válasz: Az első csap egyedül 24 óra alatt, a második pedig 40 óra alatt töltené meg a medencét.
38
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 87. Két munkás készít egy munkadarabot. Ha az első munkás 𝟗 órát dolgozik, a második 𝟏𝟓 órát, akkor időre elkészülnek. Akkor is időre készen lesznek, ha az első 𝟏𝟔 órát, a másik 𝟏𝟎 órát dolgozik. Mennyi idő alatt végeznének külön – külön? Megoldás: Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk. Legyen az első munkás ideje 𝑥 óra, a másodiké pedig 𝑦 óra. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Első munkás
Második munkás
𝑥 óra
𝑦 óra
1 𝑥
1 𝑦
𝟏 óra alatt
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 9 𝑥 16 𝑥
+ +
15 𝑦 10 𝑦
=1
} =1
1
1
Vezessünk be új ismeretlent: 𝑎 = 𝑥 és 𝑏 = 𝑦. 9𝑎 + 15𝑏 = 1 } 16𝑎 + 10𝑏 = 1 Az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás 𝑎 =
1 30
és 𝑏 =
7
.
150
Visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer megoldása 𝑥 = 30 és 𝑦 =
150 7
≈ 21,4.
Válasz: Az első munkás egyedül 30 óra alatt, a második pedig kb. 21,4 óra alatt végezne.
39
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 88. Bizonyos mennyiségű 𝟕𝟖 %, illetve 𝟓𝟖 % vasat tartalmazó ércet összekeverve 𝟔𝟐 % vasat tartalmazó keveréket kapunk. Ha mindkét fajta ércből még 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓 𝒌𝒈 – ot hozzáteszünk a keverékhez, akkor 𝟔𝟑, 𝟐𝟓 % - os lesz, Mennyi ércet tartalmaz a keverék az egyes fajtákból? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Első sóoldat
𝑥
78
Második sóoldat
𝑦
58
Keverék
𝑥+𝑦
62
Tömény anyag 78 100 58 𝑦∙ 100 62 (𝑥 + 𝑦) ∙ 100 𝑥∙
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 78
78
58
62
𝑥 ∙ 100 + 𝑦 ∙ 100 = (𝑥 + 𝑦) ∙ 100 58
(𝑥 + 15) ∙ 100 + (𝑦 + 15) ∙ 100 = (𝑥 + 15 + 𝑦 + 15) ∙
63,25} 100
Az egyenletek rendezése után, a behelyettesítő módszerrel a megoldás 𝑥 = 22,8 és 𝑦 = 91,2. Válasz: Összesen 22,8 𝑘𝑔 78 % - os és 91,2 𝑘𝑔 58 % - os ércet tartalmaz a keverék a fajtákból.
40
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 89. Hány liter 𝟒𝟎 % - os alkoholhoz hány liter 𝟔𝟎 % - os alkoholt kell öntenünk, hogy 𝟐𝟎 liter 𝟓𝟓 % - os alkoholt kapjunk? Megoldás: Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Mennyiség
Töménység
Első sóoldat
𝑥
40
Második sóoldat
𝑦
60
Keverék
20
55
Tömény anyag 40 100 60 𝑦∙ 100 55 20 ∙ 100 𝑥∙
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑥 + 𝑦 = 20 40
60
55
𝑥 ∙ 100 + 𝑦 ∙ 100 = 20 ∙ 100
}
A behelyettesítő módszerrel a megoldás 𝑥 = 5 és 𝑦 = 15. Válasz: Összesen 5 𝑙 40 % - os és 15 𝑙 60 % - os alkoholt kell összekevernünk.
90. Két, egymástól 𝟗 𝒌𝒎 távolságra levő pontból egyszerre indul el egy – egy kerékpáros. Ha egymással szembe mennek, 𝟐𝟎 perc múlva, ha egy irányban haladnak, 𝟑 óra múlva találkoznak. Mekkora a sebességük? Megoldás: Legyen az egyik sebessége 𝑥, a másiké pedig 𝑦. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 1
1
𝑥 + 3𝑦 = 9 3 } 3𝑥 = 9 + 3𝑦 A behelyettesítő módszerrel a megoldás: 𝑥 = 15 és 𝑦 = 12.
Válasz: Az egyik kerékpáros sebessége 15
𝑘𝑚 ℎ
, a másiké pedig 12
41
𝑘𝑚 ℎ
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 91. Egy motorcsónak 𝟒𝟎 𝒌𝒎 – t megy felfelé a folyón, majd visszafordul és visszatér kiindulási helyére. Ezt az utat az indulástól számítva 𝟖 óra alatt tette meg. Ugyanekkora sebességgel haladva más alkalommal 𝟏𝟎 𝒌𝒎 – t tett meg felfelé és 𝟒 𝒌𝒎 – t lefelé, összesen 𝟏, 𝟓 óra alatt. Mekkora a csónak sebessége állóvízben és mekkora a folyó sebessége? Megoldás: Legyen a csónak sebessége 𝑥, a folyóé pedig 𝑦. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Út (𝒔)
Sebesség (𝒗)
Első út felfelé
40
𝑥−𝑦
Első út lefelé
40
𝑥+𝑦
Második út felfelé
10
𝑥−𝑦
Második út lefelé
4
𝑥+𝑦
Idő (𝒕) 40 𝑥−𝑦 40 𝑥+𝑦 10 𝑥−𝑦 4 𝑥+𝑦
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 40 𝑥−𝑦 10
40
+ 𝑥+𝑦 = 8 4
3}
+ 𝑥+𝑦 = 2 𝑥−𝑦
1
1
Vezessünk be új ismeretlent: 𝑎 = 𝑥 − 𝑦 és 𝑏 = 𝑥 + 𝑦. 40𝑎 + 40𝑏 = 8 3 } 10𝑎 + 4𝑏 = 2 7
1
Az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás 𝑎 = 60 és 𝑏 = 12. Ezt visszahelyettesítve a következő egyenletrendszer adódik: 1 𝑥−𝑦 1
7
= 60 1
= 12 𝑥+𝑦
}
Az egyenletek rendezése után, a behelyettesítő módszerrel a megoldás 𝑥 =
Válasz: A folyó sebessége kb. 1,71
𝑘𝑚
𝑘𝑚
ℎ
ℎ
, a csónaké pedig kb. 10,28 42
.
72 7
és 𝑦 =
12 7
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝒌𝒎
𝒌𝒎
𝒌𝒎
92. Egy gépkocsi a vízszintes úton 𝟖𝟎 𝒉 , az emelkedőn 𝟔𝟎 𝒉 , a lejtőn 𝟏𝟎𝟎 𝒉 sebességgel halad. A 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒎 hosszú utat oda 𝟓 óra, vissza 𝟓 óra 𝟏𝟔 perc alatt teszi meg. Milyen hosszúak az egyes útszakaszok? Megoldás: Legyen odafele a vízszintes út hossza 𝑥, az emelkedőé 𝑦, a lejtőé pedig 𝑧. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Odafele
Út (𝒔)
Sebesség (𝒗)
Vízszintes
𝑥
80
Emelkedő
𝑦
60
Lejtő
𝑧
100
Visszafele
Út (𝒔)
Sebesség (𝒗)
Vízszintes
𝑥
80
Emelkedő
𝑧
60
Lejtő
𝑦
100
Idő (𝒕) 𝑥 80 𝑦 60 𝑧 100
Idő (𝒕) 𝑥 80 𝑧 60 𝑦 100
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑥 80 𝑥 80
𝑦
𝑧
+ 60 + 100 = 5 +
𝑧 60
+
𝑦 100
=
79 15
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 400 } A behelyettesítő módszerrel a megoldás 𝑥 = 240; 𝑦 = 60 és 𝑧 = 100. Válasz: Az úton odafelé 240 𝑘𝑚 vízszintes, 60 𝑘𝑚 emelkedő és 100 𝑘𝑚 lejtő volt.
43
