Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy olyan, amikor nem is lehet?
Példa: Gergő és Dávid egyszerre olvassák a Hogyan rúgjunk gólt? című könyvet. Hétfőn kezdték el olvasni, szerdán pedig az iskolában megbeszélték, ki hol tart. Kiderült, hogy Dávid 30 oldallal többet olvasott. – Nekem még éppen kétszer annyi oldal van hátra, mint amennyit te már elolvastál – mondta Dávid. – Nekem pedig még 200 oldal van hátra – mondta Gergő. Hány oldalas a könyv? 1. Megoldás: Készítsünk ábrát!
Szöveges feladatok és Egyenletek Az ábráról leolvasható, hogy ha a 200 oldalból levesszük a 30 -at, éppen a Gergő által elolvasott rész kétszeresét kapjuk. Tehát Gergő (200−30):2 = 85 oldalt olvasott el. A könyv ennél 200 oldallal hosszabb, tehát 285 oldalas. Ellenörzés! 2. Megoldás: Jelöljük x -szel a Gergő által elolvasott oldalak számát, és készítsünk táblázatot!
Mivel ugyanazt a könyvet olvassák, a két esetben a könyv oldalainak a száma egyenlő, és felírhatjuk az egyenletet, amelyet mérlegelv segítségével már könnyen meg tudunk oldani.
A szöveges feladatokat egyenlettel, következtetéssel, rajzzal, esetleg próbálgatással is meg lehet oldani. Azt, hogy melyik módszert alkalmazzuk, mi dönthetjük el. Segítségünkre lehetnek a rajzok, s vannak olyan esetek, amikor egyik vagy másik módszert sokkal könnyebb használni.
Szöveges feladatok és Egyenletek Feladat: Melyik módszerrel érdemes számolni az alábbi feladatban? A hetedikesek Valentin-napon rózsát árultak az iskolában. A rózsák 20% -át és még 2 rózsát az ötödikesek, a maradék harmadánál 2 -vel kevesebbet pedig a hatodikosok vettek meg. A megmaradt rózsák kétharmadát a nyolcadikosok vették meg, és még így is maradt 50 szál rózsa. Hány rózsájuk volt összesen a hetedikeseknek?
Következtessünk visszafelé: 1/3 rész = 50 szál. Akkor 150 rózsa volt előtte. Tovább gondolva 148 rózsa volt a 2/3 rész. Azaz a hatodikosok vásárlása előtt 222 rózsa volt. Ugyanígy 224 rózsa a 80% a maradék Eredetileg tehát 280 rózsa volt. Egyenlettel megoldva egy törtes egyenletet kapunk, amivel bonyolultabb számolni
Szöveges feladatok és Egyenletek Feladat: Melyik módszerrel érdemes számolni az alábbi feladatban? Egy tóban élt néhány béka. A békák száma egy év alatt kettő híján a háromszorosára nőtt, egy újabb év elteltével pedig (az előző évihez képest) megötszöröződött. A harmadik évben annyival csökkent a számuk, amennyi béka eredetileg a tóban volt. Ekkor 12 -szer annyi béka volt a tóban, mint eredetileg, és még 6 . Hány béka volt eredetileg a tóban?
5(3 x − 2) − x = 12 x + 6 egyenlet írható fel.
Amiből: x = 8 Ennyi béka volt eredetileg. Mivel sokféle összefüggés volt az adatok közt ezt a feladatot következtetéssel nehezebb lett volna megoldani
Feladat (2013. május. 5+7pont) A munkavállaló nettó munkabérét a bruttó béréből számítják ki levonások és jóváírások alkalmazásával. Kovács úr bruttó bére 2010 áprilisában 200 000 forint volt. A 2010-ben érvényes szabályok alapján különböző járulékokra ennek a bruttó bérnek összesen 17%-át vonták le. Ezen felül a bruttó bérből személyi jövedelemadót is levontak, ez a bruttó bér 127%-ának a 17%-a volt. A levonások után megmaradó összeghez hozzáadtak 15 100 forintot adójóváírásként. Az így kapott érték volt Kovács úr nettó bére az adott hónapban. A) Számítsa ki, hogy Kovács úr bruttó bérének hány százaléka volt a nettó bére az adott hónapban! Szabó úr nettó bére 2010 áprilisában 173 015 forint volt. Szabó úr fizetésénél a levonásokat ugyanazzal az eljárással számították ki, mint Kovács úr esetében, de ebben a hónapban Szabó úr csak 5980 forint adójóváírást kapott.
B)Hány forint volt Szabó úr bruttó bére az adott hónapban? A) Kovács úr nettó bére: 200 000 – 34 000 – 43 180 + 15 100 = 137 920 Ft. Ez a bruttó bér 69%-a B) Egyenlettel: x-0,17x-0,17∙1,27x+5980 = 173015 X≈272000Ft.
Feladat 2. Egy apa háromszor annyi idős, mint a fia. 6 évvel ezelőtt éppen négyszer annyi idős volt, mint a fiú. Hány éves most apa és fia? 3. Egy este a kórházi ügyeletre érkező betegek kétheted részét kivizsgálásra bent
tartották, 70% -át kezelés után hazaengedték, 8 -an pedig képzelt betegnek bizonyultak, őket egyszerűen hazaküldték. Hányan jelentek meg ezen az estén az ügyeleten?
4. (2009. május 2 pont) Egy kisüzem 6 egyforma teljesítményű gépe 12 nap alatt gyártaná le a megrendelt csavarmennyiséget. Hány ugyanilyen teljesítményű gépnek kellene dolgoznia ahhoz, hogy ugyanennyi csavart 4 nap alatt készítsenek el? 5. (2010. május 3 pont) Hány fényév a 47,3 milliárd km, ha 1 fényév 9460 milliárd km? Írja le a számítás menetét!
Egyenletek • Egy egyenletben általában x jelöli a keresett számot. Ez az ismeretlen az egyenletben. • Amennyiben egy ilyen ismeretlen szerepel az egyenletben, akkor egy ismeretlenes egyenletről beszélünk. • Ha az ismeretlen az első hatványon szerepel, akkor az egyenlet első fokú vagy lineáris, ha a második hatványon szerepel, akkor másodfokú egyenletnek nevezzük. • Ha létezik olyan „x” szám, amelyre teljesül az egyenlet, akkor ezt, az egyenlet megoldásának vagy az egyenlet gyökének is nevezzük. • Beszélhetünk egy egyenlet alaphalmazáról, vagy az egyenlet értelmezési tartományáról, ami az a legbővebb halmaz amelyben a megoldást kereshetjük. Pl. 1/x+ 3 = 3/x -2/5 egyenlet alaphalmazát vizsgáljuk A nevezőben szereplő kifejezések nem vehetnek fel 0 értéket, amiből következik, hogy az alaphalmaz x elemeire fenn kell álljon, hogy x≠0, más valós értékeket viszont felvehet. Azaz halmazjelöléssel felírva az egyenlet a R 0 halmazon értelmezhető. Feladat: lineáris egyenletek 8-k-4., 8-k-5.
