8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek

Készítette: Darabos Noémi Ágnes

Matematika „A” – 11. évfolyam – 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek

A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Tanári útmutató

2

Trigonometriai alapismeretek ismétlése (trigonometrikus függvények és transzformációik, szögfüggvények és a közöttük levő kapcsolatok). Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. 8 óra 11. évfolyam Tágabb környezetben: Alkalmazás fizikai, biológiai, kémiai törvényszerűségek leírására. Szűkebb környezetben: Függvények grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal; egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Ajánlott megelőző tevékenységek: Hegyesszögek szögfüggényei, a szögfüggvények kiterjesztése. Forgásszög szögfüggvényei, trigonometrikus függvények. Ajánlott követő tevékenységek: Szinusz- és koszinusztétel


A képességfejlesztés fókuszai

Tanári útmutató

3

Számolás, számlálás, számítás: Zsebszámológép biztos használata. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása. A mennyiségek folytonossága, fogalmának továbbfejlesztése. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásai számának a meghatározása. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége. Függvények grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal; egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása a függvény tulajdonságainak ismeretében. Másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenletek. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.

TÁMOGATÓ RENDSZER A modul mellékleteként készült a 8.1 kártyakészlet dominójátékhoz. Ezen kívül javasoljuk, hogy a tanár készítsen kártyákat diákkvartetthez, amelyeken A, B, C vagy D betű található. 4 fős csoportonként 1-1 ilyen kártyakészletre van szükség. ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő


Tanári útmutató

4

szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő trigonometrikus egyenleteket megoldani. Emelt szint Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni egyszerű feladatokban az addíciós összefüggéseket ( sin(α ± β ) , cos(α ± β ) , tg(α ± β ) ). JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Trigonometrikus függvények és transzformációik ismétlése Szögfüggvények közötti összefüggések ismétlése Trigonometrikus egyenletek megoldása a függvények grafikonjainak felhasználásával Trigonometrikus egyenletek megoldása a szögfüggvények közötti összefüggések felhasználásával Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek Feladatok megoldása Trigonometrikus egyenlőtlenségek Vegyes feladatok


Tanári útmutató

Modulvázlat

Lépések, tevékenységek

Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/Feladat/ Gyűjtemény

I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés) 1. A mintapélda közös megbeszélése. Szinus, koszinus, tangensfüggvény grafikonjának, valamint tulajdonságainak átismétlése (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, periodicitás, monotonitás, szélsőérték, paritás). 2. Szakértői mozaik. Egyszerű függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal és a függvények jellemzése. 3. Feladatok megoldása

Számolás, számítás. Kombinatív gondol- 1. mintapélda kodás. Induktív és deduktív következtetés. Számolás, számítás. Kombinatív gondol- 2–5. mintapélda kodás. Induktív és deduktív következtetés. 5. feladat 1–4. és 6.–7. feladatokból válogatva

II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés) 1. Dominójáték. A nevezetes szögek szögfüggvényeinek ismétlése. 2. A mintapéldák közös megbeszélése. Szögfüggvények közötti összefüggések ismétlése. 3. Szakértői mozaik. Szögfüggvények közötti összefüggések gyakorlása. 4. Feladatok megoldása

Számolás, számítás.

8.1 kártyakészlet

Kombinatív gondolkodás. Induktív és deduktív következtetés. Kombinatív gondolkodás. Induktív és deduktív következtetés.

6–7. mintapélda 10–13. feladat 8–9. és 14. feladatokból válogatva

5


III. Trigonometrikus egyenletek 1. A mintapéldák közös megbeszélése. Számolás, számítás, kombinatív gondolA grafikon segítségével megoldható egyszerű egyenletek. kodás. 2. Szakértői mozaik. Számolás, számítás, kombinatív gondolA grafikon segítségével megoldható egyszerű egyenletek megoldá- kodás. sának gyakorlása. 3. A mintapéldák közös megbeszélése. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. 4. Feladatok megoldása Trigonometrikus egyenletek megoldása a szögfüggvények közötti összefüggések felhasználásával 5. Szakértői mozaik. Számolás, számítás, kombinatív gondolEgyenletmegoldás szögfüggvényekre vonatkozó összefüggések kodás. felhasználásával. 6. A mintapélda közös megbeszélése. Számolás, számítás, kombinatív gondolEgyenletmegoldás a pótszögekre vonatkozó összefüggések felhasz- kodás. nálásával. 7. Feladatok megoldása

Tanári útmutató

8–10. mintapélda 15–18. feladat 11–13. mintapélda 19–31. feladatokból válogatva 14–17. mintapélda 18. mintapélda 32–35. feladatokból válogatva

Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek 8. A mintapéldák közös megbeszélése. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek. 9. Torpedójáték. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek megoldásának gyakorlása. 10. Feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek megoldása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése.

Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás.

19–21. mintapélda

Számolás, számítás. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás.

19–37. feladatokból válogatva

36. feladat

6


Tanári útmutató

IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek 1. A mintapéldák közös megbeszélése. Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása. 2. Vegyes feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése, gyakorlása.

Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. Számolás, számítás. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás.

22–24. mintapélda A 38–40., valamint a kimaradt feladatokból válogatva

V. Vegyes feladatok 1. Vegyes feladatok megoldása. Számolás, számítás. Rendszerezés, komKülönböző trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megol- binatív gondolkodás. dása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése, gyakorlása.

A 41–65., valamint a kimaradt feladatokból válogatva

7

Matematika „A” – 11. évfolyam

Tanári útmutató

8

I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés) Minden valós számnak mint radiánban megadott szögnek létezik szinusza, illetve koszinusza, valamint minden szöghöz pontosan egy szinusz-, illetve koszinuszérték tartozik. Ezért készíthetünk olyan függvényt, amely minden valós számhoz hozzárendeli azok szinuszát, illetve koszinuszát. Ismételjük át ezeknek a függvények a grafikonját, illetve legfontosabb tulajdonságaikat!

Mintapélda1 Készítsük el a következő függvények grafikonját, majd jellemezzük a függvényeket! a) f ( x ) = sin x

b) g (x ) = cos x

c) h( x ) = tg x

Megoldás: a)

Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; 1] 3. Zérushely:

sin x = 0 ⇒ x = kπ , k ∈ Z 4. Periódus: 2π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: −

Szigorúan monoton csökkenő:

π 2

π 2

+ 2lπ ≤ x ≤

+ 2mπ ≤ x ≤

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x =

π 2

+ 2nπ , n ∈ Z

Maximumérték: sin x = 1 Minimumhely: x =

3π + 2 sπ , s ∈ Z 2

Minimumérték: sin x = −1 7. Paritás: Páratlan, mert sin x = − sin (− x )

π 2

+ 2lπ , l ∈ Z

3π + 2mπ , m ∈ Z 2

8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek

b)

Tanári útmutató

Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; 1]

3. Zérushely:

sin x = 0 ⇒ x =

π 2

+ kπ , k ∈ Z

4. Periódus: 2π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton csökkenő: 2lπ ≤ x ≤ π + 2lπ , l ∈ Z Szigorúan monoton növekvő: π + 2mπ ≤ x ≤ 2π + 2mπ , m ∈ Z 6. Szélsőérték:

Maximumhely: x = 2nπ , n ∈ Z Maximumérték: cos x = 1 Minimumhely: x = π + 2sπ , s ∈ Z Minimumérték: cos x = −1 7. Paritás: Páros, mert cos x = − cos x c)

Jellemzés:

⎧π ⎫ 1. ÉT: R \ ⎨ + kπ ⎬, k ∈ Z ⎩2 ⎭ 2. ÉK: R 3. Zérushely: tg x = 0 ⇒ x = lπ , l ∈ Z 4. Periódus: π 5. Monotonitás:

π ⎤ π ⎡ Szigorúan monoton növekvő: ⎥ − + mπ ; + mπ ⎢, m ∈ Z 2 ⎦ 2 ⎣ 6. Szélsőérték: Nincs 7. Paritás: Páratlan, mert tg x = − tg (− x )

9


Tanári útmutató

10

Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása Alakítsunk ki négy fős csoportokat! Minden csoportban mindenki kap egy-egy kártyát. A kártyákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a legkönnyebb, a D pedig a legnehezebb. A munkacsoportok feldolgozzák a kapott mintapéldát, megoldják a 3. feladatból a megfelelő részt, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután közösen megbeszéljük a feladatokat. A trigonometrikus függvényekkel a fizikában is találkozhatunk. (Például a harmonikus rezgőmozgás, az elektromágneses rezgések, a hanghullámok tanulmányozásakor.) Azonban a gyakorlatban sokszor nem az egyszerű sin x vagy cos x függvény fordul elő, hanem ennél bonyolultabb, összetettebb alakokkal találkozunk, amelyek az alapfüggvényekből bizonyos függvénytranszformációval származtathatók.

y tengely menti eltolás A jelűek feladata

Mintapélda2 Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az f (x ) = cos x − 2 függvényt! Módszertani megjegyzés: Megállapodás, hogy ha nem adjuk meg az értelmezési tartományt, akkor az a valós számoknak az a legbővebb halmaza, amelyen a függvény értelmezhető. Megoldás: Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; − 3] 3. Zérushely: cos x − 2 = 0 ⇒

cos x = 2 ⇒ nincs zérushelye 4. Periódus: 2π


Tanári útmutató

5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: π + k ⋅ 2π ≤ x ≤ 2π + k ⋅ 2π Szigorúan monoton csökkenő: 0 + l ⋅ 2π ≤ x ≤ π + l ⋅ 2π

k∈Z l∈Z

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x = k ⋅ 2π

k∈ Z

Maximumérték: f ( x ) = −1 Minimumhely: x = π + l ⋅ 2π

l∈Z

Minimumérték: f ( x ) = −3 7. Paritás: Páros

y tengely menti nyújtás / zsugorítás B jelűek feladata

Mintapélda3 Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az f (x ) = 2 sin x függvényt! Megoldás: Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 2; 2] 3. Zérushely:

2 sin x = 0 ⇒

sin x = 0 ⇒ x = k ⋅ π , k ∈Z 4. Periódus: 2π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: − Szigorúan monoton csökkenő:

π 2

π 2

+ k ⋅ 2π ≤ x ≤

+ l ⋅ 2π ≤ x ≤

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x =

π 2

+ k ⋅ 2π

k∈ Z

π 2

+ k ⋅ 2π

3π + l ⋅ 2π 2

k∈Z l∈ Z

11


Tanári útmutató

Maximumérték: f (x ) = 2 Minimumhely: x = −

π 2

+ l ⋅ 2π

l∈Z

Minimumérték: f ( x ) = −2 7. Paritás: Páratlan

x tengely menti eltolás C jelűek feladata

Mintapélda4 π⎞ ⎛ Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az f (x ) = sin ⎜ x − ⎟ függvényt! 4⎠ ⎝ Megoldás: Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; 1] 3. Zérushely:

π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ = 0 ⇒ 4⎠ ⎝

x=

π 4

+ k ⋅π

k∈Z

4. Periódus: 2π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő:

−π 3π + k ⋅ 2π ≤ x ≤ + k ⋅ 2π 4 4

Szigorúan monoton csökkenő:

3π 7π + l ⋅ 2π ≤ x ≤ + l ⋅ 2π 4 4

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x =

3π + k ⋅ 2π 4

k∈Z

Maximumérték: f ( x ) = 1 Minimumhely: x =

7π + l ⋅ 2π 4

Minimumérték: f ( x ) = −1 7. Paritás: nem páros, nem páratlan

l∈ Z

k∈Z l∈ Z

12


Tanári útmutató

x tengely menti nyújtás / zsugorítás D jelűek feladata

Mintapélda5 Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az f (x ) = cos 2 x függvényt! Megoldás: Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [− 1; 1] 3. Zérushely:

cos 2 x = 0 ⇒

x=

π 4

+k⋅

π

k∈Z

2

4. Periódus: π 5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő:

π 2

+ k ⋅π ≤ x ≤ π + k ⋅π

Szigorúan monoton csökkenő: 0 + l ⋅ π ≤ x ≤

π 2

+ l ⋅π

k∈Z l∈Z

6. Szélsőérték:

Maximumhely: x = k ⋅ π

k∈Z

Maximumérték: f ( x ) = 1 Minimumhely: x =

π 2

+ l ⋅π

l∈Z

Minimumérték: f ( x ) = −1 7. Paritás: Páros

Feladatok 1. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!

b) h( x ) = −2 sin x a) f ( x ) = sin x − 3 Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.

13


Tanári útmutató

14

2. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!

a) g ( x ) = − sin x

b) h( x ) = cos(− x )

Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.


π⎞ ⎛ a) f ( x ) = sin⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝

π⎞ ⎛ b) g (x ) = cos⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝

Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.


a) f ( x ) = sin 2 x

b) g ( x ) = sin

x x c) h( x ) = cos 2 2 Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.

5. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett követke-

ző függvényeket és a h függvényt jellemezd! A jelűek feladata a) f (x ) = sin x

g ( x ) = 2 sin x

h( x ) = 2 sin x − 2

g ( x ) = −2 cos x

h( x ) = 2 − 2 cos x

π⎞ ⎛ g ( x ) = cos⎜ x − ⎟ 2⎠ ⎝

π⎞ ⎛ h( x ) = cos⎜ x − ⎟ + 1 2⎠ ⎝

g ( x ) = sin 2 x

h(x ) = 2 sin 2 x

B jelűek feladata b) f ( x ) = cos x C jelűek feladata c) f ( x ) = cos x D jelűek feladata d) f (x ) = sin x


Tanári útmutató

Megoldás: A függvények jellemzése az ábráról leolvasható.

a)

b)

c)

d)


π⎞ ⎛ b) h( x ) = 2 sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. a) f ( x ) = sin 2 x − 1

15


Tanári útmutató

II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés) Nevezetes szögek szögfüggvényei 8.1. kártyakészlet alkalmazása

Módszertani megjegyzés: Dominó játék A nevezetes szögek szögfüggvényeinek felelevenítésére minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát. Feladatuk felfelé fordítva kirakni a dominókat úgy, hogy minden nevezetes szögfüggvényhez megtalálják a hozzá tartozó értéket. Ha nem emlékeznének, segítségül felrajzolhatjuk a nevezetes szögeket tartalmazó derékszögű háromszögeket.

sin 30°

cos

π 4

0

1 2

sin 2

π

−1

6

1 4

− cos 60°

π

tg 45°

2 2

tg

− ctg 45°

1

− ctg

45° 60°

π

− 3

3

3 2

− cos 45°

1 2

tg 2 60°

3

3 3

ctg 30°

α

sin α

cos α

tg α

1 2

3 2 2 2 1 2

3 3

3

1

1

3

3 3

−

6

30°

sin

π

π 6

π 4

π 3

2 2 3 2

−

2 2 3

ctg α

− sin 60°

cos 2

π 6

3

−

3 4

− tg 30°

ctg

π 2

3 2

−

3 3

16


Tanári útmutató

17

Pitagoraszi azonosság sin 2 α + cos 2 α = 1

Pótszögek szögfüggvényei sin α = cos(90° − α ) cos α = sin (90° − α ) tg α = ctg (90° − α ) α ≠ 90° + k ⋅ 180° k ∈ Z ctg α = tg (90° − α ) α ≠ l ⋅ 180° l ∈ Z

A tangens és kotangens szögfüggvényekre vonatkozó összefüggések tg α =

sin α cos α

ctg α =

cos α sin α

α ≠ 90° + k ⋅ 180° k ∈ Z α ≠ l ⋅ 180° l ∈ Z

Mintapélda6 A számológép használata nélkül állítsuk növekvő sorrendbe az alábbi kifejezések pontos értékeit! a) sin 2 130° − 2 + cos 2 130° ;

b) sin 63° − cos 27° ;

c) tg (− 115°) ⋅ ctg 65° ;

d) sin 2

π 12

+ sin 2

5π − 3. 12

Megoldás:

Csak a nevezetes azonosságokkal meghatározott értékeket fogadjuk el. a) sin 2 130° + cos 2 130° − 2 = 1 − 2 = −1 b) sin 63° − sin (90° − 27°) = sin 63° − sin 63° = 0 c) tg (180° − 115°) ⋅ ctg 65° = tg 65° ⋅ ctg 65° = 1


d) sin 2

Tanári útmutató

18

π

π ⎛ 6π 5π ⎞ 2 π + cos 2 ⎜ − + cos 2 − 3 = 1 − 3 = −2 ⎟ − 3 = sin 12 12 12 ⎝ 12 12 ⎠

d) < a) < b) < c)

Mintapélda7 Az α szög meghatározása nélkül számítsuk ki a többi szögfüggvényértéket, ha cos α = 0,8 ! Megoldás:

Minden α szögre teljesül, hogy sin 2 α + cos 2 α = 1 , ebből sin 2 α = 1 − cos 2 α . Behelyettesítve: sin 2 α = 1 − 0,8 2 = 0,36 , ebből sin α = 0,6 sin α 1 = 0,6

tg α 1 =

sin α 2 = −0,6

sin α 1 0,6 3 = = 0,75 = 4 cos α 1 0,8

ctg α 1 =

1 1 4 = = tg α 1 0,75 3

tg α 2 =

ctg α 2 =

sin α 2 − 0,6 3 = = −0,75 = − 4 cos α 2 0,8

1 1 4 = =− tg α 2 − 0,75 3

Feladatok 8. Keresd meg a párját (számológép használata nélkül)!

a) sin 420°

A) 1

b) cos(− 210°)

B)

c) tg 210°

C) − 1

d) ctg 660°

D)

e) ctg (−150°)

E) −

3 3

f) tg 300°

F) −

3 2

g) ctg 1935°

G)

h) tg (− 315°)

H) −

i) cos(− 300°)

I) − 3

2 2

3

3 3 1 2


j) sin (− 30°)

J)

3 2

k) cos 225°

K)

1 2

l) sin 135°

L) −

Tanári útmutató

19

2 2

Megoldás:

a) ↔ J),

b) ↔ F),

c) ↔ G),

d) ↔ E),

e) ↔ D),

f) ↔ I),

g) ↔ C),

h) ↔ A),

i) ↔ K),

j) ↔ H),

k) ↔ L),

l) ↔ B).

9. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke?

b) cos 2 330° − sin 2 150° ;

a) sin 11° ⋅ cos 79° + sin 79° ⋅ cos 11° ; 2

2

π π ⎞ ⎛ π π ⎞ ⎛ c) ⎜ sin + cos ⎟ + ⎜ sin − cos ⎟ . 10 ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝ 10 Megoldás:

a) sin 11° ⋅ sin 11° + cos11° ⋅ cos11° = sin 2 11° + cos 2 11° = 1 2

⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 1 ⎟ −⎜ ⎟ = b) ⎜⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 2 ⎝ ⎠ c) 2 Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása

A következő négy feladat megoldásához szakértői mozaik módszert javaslunk. A jelűek feladata 10. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, sin α pontos értékét, ha cos α = −0,6 !

Megoldás:

A trigonometrikus pitagorasz azonosságot alkalmazva: sin 2 α = 1 − (− 0,6 ) = 0,64 , 2

ebből sin α = 0,8 ⇒ sin α 1 = 0,8

sin α 2 = −0,8


Tanári útmutató

20

B jelűek feladata 11. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, cos α pontos értékét, ha sin α = 0,36 !

Megoldás:

cos 2 α = 1 − (0,36) = 0,8704 , 2

ebből

cos α = 0,933 ⇒ cos α 1 = 0,933

cos α 2 = −0,933

C jelűek feladata 12. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, tg α pontos értékét, ha cos α =

2 ! 3

Megoldás: 2

5 5 ⎛2⎞ sin 2 α = 1 − ⎜ ⎟ = , ebből sin α = 9 3 ⎝3⎠ 5 5 tg α 1 = 3 = 2 2 3

tg α 2 =

−

⇒ sin α 1 =

5 3

sin α 2 = −

5 3

5 3 =− 5 2 2 3

D jelűek feladata 3 13. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, ctg α pontos értékét, ha sin α = − ! 5

Megoldás: 2

16 4 4 ⎛ 3⎞ cos α = 1 − ⎜ − ⎟ = , ebből cos α = ⇒ cos α 1 = 25 5 5 ⎝ 5⎠

cos α 2 = −

2

4 4 ctg α 1 = 5 = − 3 3 − 5

4 5

4 4 ctg α 2 = 5 = 3 3 − 5 −

14. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki a többi szögfüggvényértéket, ha

a) sin α =

2 2 3

b) cos α = −

2 10 7

c) tg α =

Megoldás: 2

⎛2 2⎞ 1 1 ⎟ = a) cos α = 1 − ⎜⎜ ⇒ cos α 1 = ⎟ 9 3 ⎝ 3 ⎠ 2

cos α 2 = −

1 3

3 5


2 2 tg α 1 = 3 = 2 2 1 3 ctg α 1 =

1 2 2

=

Tanári útmutató

21

2 2 tg α 2 = 3 = −2 2 1 − 3

2 4

ctg α 2 = −

1 2 2

=−

2 4

Vagy felhasználható a következő derékszögű háromszög:

2

⎛ 2 10 ⎞ 9 3 ⎟ = ⇒ sin α 1 = b) sin α = 1 − ⎜⎜ − ⎟ 7 ⎠ 49 7 ⎝

sin α 2 = −

2

3 3 tg α 1 = 7 = 2 10 2 10 7 ctg α 1 =

2 10 3

3 7

3 7 =− 3 tg α 2 = 2 10 2 10 7

ctg α 2 = −

−

2 10 3


c) ctg α =

5 3

sin α 3 3 cos α = ⇒ sin α = cos α 5 5 cos α 1 =

5 34

sin 2 α = 1 −

cos α 2 = −

2

25 ⎛ 3 cos α ⎞ 2 2 ⇒ ⎜ ⎟ + cos α = 1 ⇒ cos α = 34 ⎝ 5 ⎠

5 34

25 9 3 = ⇒ sin α 1 = 34 34 34

sin α 2 = −


3 34


Tanári útmutató

22

III. Trigonometrikus egyenletek Azokat az egyenleteket és egyenlőtlenségeket, amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük. Ezeknek az egyenleteknek a megoldásához a tanult trigonometrikus azonosságok nyújtanak segítséget.

Mintapélda8 Oldjuk meg a sin x =

1 egyenletet a valós számok halmazán! 2

Megoldás: A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a sin x definíciója az egységsugarú körben, akár az f ( x ) = sin x függvény grafikonja.

Két különböző egységvektor van, amelyek második koordinátája tozó forgásszögek a sin x =

1 . Az ezekhez tar2

1 egyenlet megoldásai: 2 x1 = 30° + k ⋅ 360° k ∈ Z x2 = 150° + l ⋅ 360° l ∈ Z

A megoldások ívmértékben: x1 =

x2 =

π

+ k ⋅ 2π

k∈Z

5π + l ⋅ 2π 6

l∈Z

6

Ellenőrizhetjük, hogy x1 és x 2 valóban gyökei a sin x =

1 egyenletnek. 2


Tanári útmutató

23

Módszertani megjegyzés: Azokban a feladatokban, amelyekben nincs kimondva, hogy az eredményt fokban vagy radiánban várjuk, ott fogadjuk el a helyes megoldást, akár fokban, akár radiánban adja meg a tanuló, vagy jelezzük, hogy mit várunk. Az emelt szintű érettségin a valós számokon megoldandó trigonometrikus feladatok végeredményét radiánban kérik. Ha a feladatban radián szerepel, akkor a periódust is ívmértékben kell megadni, ha fokban mérik a szöget, akkor pedig fokban. Ha a tanár úgy látja, hogy a tanulók könnyebben dolgoznak fokokkal, akkor engedje meg, hogy az eredményt először fokban adják meg, még akkor is, ha a feladatban valós számok szerepelnek. Kívánjuk meg, hogy a végeredményt a feladatban előírtak szerint adják meg.

Mintapélda9 Oldjuk meg a 2 cos x + 3 = 0 egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás: Rendezzük az egyenletet: cos x = −

3 2

Két különböző egységvektor van, amelyek első koordinátája − zó forgásszögek a cos x = − Az egyenlet megoldásai:

3 egyenlet megoldásai: 2 x1 = 150° + k ⋅ 360° k ∈ Z x 2 = 210° + l ⋅ 360° l ∈ Z

A megoldások ívmértékben: x1 =

5π + k ⋅ 2π 6

k∈Z

x2 =

7π + l ⋅ 2π 6

l∈ Z

melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet.

3 . Az ezekhez tarto2


Tanári útmutató

24

Módszertani megjegyzés: A következő mintapéldában számológépet használunk, mert nem nevezetes szögre visszavezethető.

Mintapélda10 Oldjuk meg a 3tg x = − 5 egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás: Rendezzük az egyenletet: tg x = −

5 . 3

Számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével kapjuk a megoldást: A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a tg x definíciója az egységsugarú körben, akár az f ( x ) = tg x függvény grafikonja.

x ≈ − 36,7° + k ⋅180° k ∈ Z Ívmértékben: x ≈ − 0,64 + k ⋅ π k ∈ Z Ennek helyességéről az ellenőrzés során meggyőződhetünk. Megjegyzés: A trigonometrikus egyenletek gyökeit általában radiánban adjuk meg, mert az

valós szám, és a megoldásokat nagy részben ezen a halmazon keressük. Vigyázzunk a számológép DRG beállítására!

Feladatok Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása A következő négy feladat megoldásához szakértői mozaik módszert javaslunk.

A jelűek feladata 15. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség!


b) sin α = −

a) sin α = 0

Tanári útmutató

25

1 2

Megoldás: a) α 1 = 0°, α 2 = 180°, α 3 = 360° ;

b) α 1 = 210,° α 2 = 330° .

B jelűek feladata 16. Add meg azoknak az α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!

a) cos α = 0

b) cos α = −

2 3

Megoldás: a) α 1 =

π 2

, α2 =

3π ; 2

b) α1 ≈ 118,13°, α 2 ≈ 241,85° .

C jelűek feladata 17. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! a) tg α =

3 3

b) tg α = −4

Megoldás: a) α 1 = 30°, α 2 = 210° ;

b) α1 ≈ 104,03° α 2 ≈ 284,03° .

D jelűek feladata 18. Add meg azoknak a 0 és 2π közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! a) ctg α = −

2 3

b) ctg α = 0

Megoldás: a) α1 ≈ 2,428, α 2 ≈ 5,569 ;

b) nincs ilyen szög.


Tanári útmutató

26

19. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) sin α = 0,6

b) sin α = 1,5

c) 8 sin α = 4

Megoldás: a) α 1 ≈ 36,87° + k ⋅ 360° k ∈ Z,

α 2 ≈ 143,13° + l ⋅ 360° l ∈ Z

b) nincs ilyen szög, mert minden x-re: − 1 ≤ sin x ≤ 1 c) α1 = 30° + k ⋅ 360° =

π 6

+ k ⋅ 2π

k ∈ Z,

α 2 = 150° + l ⋅ 360° =

5π + l ⋅ 2π 6

l∈ Z


a) cos α = −0,4

b) cos α =

3 2

c) 2 cos α + 1 = 0

Megoldás: a) α 1 ≈ 113,58° + k ⋅ 360° k ∈ Z, b) α1 = 30° + k ⋅ 360° =

π

c) α1 = 120° + k ⋅ 360° =

6

+ k ⋅ 2π

α 2 ≈ 246,42° + l ⋅ 360° l ∈ Z

α 2 = 330° + l ⋅ 360° =

11π + l ⋅ 2π 6

l∈ Z

k ∈ Z α 2 = 240° + l ⋅ 360° =

4π + l ⋅ 2π 3

l∈Z

k ∈ Z,

2π + k ⋅ 2π 3


a) tg x = 2,75

b) 2tg x = −3

c) 3tg x − 2 = 0

Megoldás: a) x ≈ 70,02° + k ⋅ 180° k ∈ Z b) x ≈ 123,69° + k ⋅ 180° k ∈ Z c) x ≈ 33,69° + k ⋅ 180° k ∈ Z

22. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) ctg x = −1,25

b) 2ctg x = 5


c) 3ctg x + 1 = 0


Tanári útmutató

27

Mintapélda11 Oldjuk meg

3 cos x = sin x egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás: Oszthatunk cos x -szel, mert cos x ≠ 0 , ui. sinx és cosx nem lehet egyszerre 0. 3=

sin x = tg x cos x

x = 60° + k ⋅ 180° =

π 3

+ k ⋅π

k∈Z

Ez valóban megoldása az egyenletünknek.

Mintapélda12 Oldjuk meg a 2 sin x cos x + 4 cos x = 3 cos x egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás: Rendezzük nullára az egyenletet: 2 sin x cos x + cos x = 0 Alakítsunk szorzattá: cos x(2 sin x + 1) = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért vagy cos x = 0 ⇒ vagy sin x = −

1 ⇒ 2

x1 = 90° + k ⋅ 180° =

π 2

x 2 = 210° + l ⋅ 360° =

+ k ⋅π

k∈Z

7π + l ⋅ 2π 6

x3 = 330° + m ⋅ 360° =

l ∈ Z,

11π + m ⋅ 2π 6

m∈ Z

Ez valóban megoldása az egyenletünknek.

Feladatok Megjegyzés: A feladatok megoldásához az ellenőrzés vagy az ekvivalens lépésekre való hivatkozás hozzátartozik. 23. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) cos x = 3 sin x

b) 2 cos x − sin x = 0


c) − 5 sin x + cos x = 3 cos x


Tanári útmutató


a) sin x(2 cos x − 1) = 0

b) 4 cos 2 x + cos x = 0

Megoldás: Nullára redukálunk. Szorzattá alakítunk. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. x1 = k ⋅ 180° = k ⋅ π

a) sin x = 0 ⇒ cos x =

1 ⇒ 2

x2 = 60° + l ⋅ 360° =

k∈ Z

π

+ l ⋅ 2π

3

x3 = 300° + m ⋅ 360° =

l ∈ Z,

5π + m ⋅ 2π 3

m∈ Z

b) (4 cos x + 1)cos x = 0 cos x = 0 ⇒ cos x = −

1 4

⇒

x1 = 90° + k ⋅ 180° =

π

+ k ⋅π

2

k∈Z

x2 ≈ 104,48° + l ⋅ 360° ≈ 0,59π + l ⋅ 2π l ∈ Z,

x3 ≈ 255,52° + m ⋅ 360° ≈ 1,42π + m ⋅ 2π m ∈ Z


a) sin 2 x =

1 9

b) 4 sin 2 x = 1

1 2

c) cos 2 x =

Megoldás: a) sin x =

1 ⇒ 3

x1 ≈ 19,47° + k ⋅ 360° k ∈ Z x 2 ≈ 160,53° + l ⋅ 360° l ∈ Z

x3 ≈ 199,47° + m ⋅ 360° m ∈ Z x 4 ≈ 340,53° + n ⋅ 360° n ∈ Z

b) sin x =

1 ⇒ 2

x1 = 30° + k ⋅ 180° =

π 6

x 2 = 150° + l ⋅ 180° = c) cos x =

1 2

⇒

x1 = 45° + k ⋅ 90° =

π 4

+ k ⋅π

5π + l ⋅π 6 +k⋅

π 2

k∈Z l∈Z k∈Z

28


Tanári útmutató

Mintapélda13

4π ⎞ ⎛ Oldjuk meg a 2 cos⎜ 3x − ⎟ + 1 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! 3 ⎠ ⎝

Megoldás: 4π ⎞ 1 ⎛ Rendezzük az egyenletet: cos⎜ 3x − ⎟=− 3 ⎠ 2 ⎝ Vezessünk be új változót: α = 3x − Ebből: cos α = −

1 2

α1 =

2π + k ⋅ 2π 3

3x1 −

4π 2π = + k ⋅ 2π 3 3

x1 =

4π 3

k∈ Z

2π k ⋅ 2π + 3 3

Az egyenlet megoldásai:

α1 =

4π + l ⋅ 2π 3

3x1 −

4π 4π = + l ⋅ 2π 3 3

x2 =

l∈Z

8π l ⋅ 2π + 9 3

x1 =

2π k ⋅ 2π 2π (k + 1) k ∈ Z + = 3 3 3

x2 =

8π l ⋅ 2π 2π (4 + 3l ) l ∈ Z + = 9 3 9

Ezek helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.

29


Tanári útmutató

30

Feladatok 26. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) sin (− 2 x ) = 0

b) sin (2 x + 25°) = 0,5261

Megoldás: a) x = k ⋅ 90° = k ⋅

π

k∈Z

2

b) x1 ≈ 3,37° + k ⋅ 180° k ∈ Z,

x 2 ≈ 61,63° + l ⋅ 180° l ∈ Z


5π ⎞ ⎛ b) cos⎜ x − ⎟ =1 4 ⎠ ⎝

a) cos 3 x = 0,5

Megoldás: a) x1 = 20° + k ⋅ 120° = b) x =

5π + k ⋅ 2π 4

π 9

+k⋅

2π 3

k ∈ Z,

x 2 = 100° + l ⋅ 120° =

k∈Z


a) tg 2 x =

π⎞ ⎛ b) tg ⎜ 2 x − ⎟ = −1 4⎠ ⎝

3 3

Megoldás: a) x = 15° + k ⋅ 90° = b) x =

π 2

+k⋅

π 2

π 12

+k⋅

π 2

k∈Z

k∈Z


a) ctg 3 x = 1

π⎞ ⎛ b) ctg ⎜ 2 x + ⎟ = − 3 6⎠ ⎝

Megoldás: a) x = 15° + k ⋅ 60° =

π 12

+k⋅

π 3

k∈Z

5π 2π +l⋅ 9 3

l∈ Z


b) x =

π 3

+k⋅

π 2

Tanári útmutató

31

k∈Z


π⎞ ⎛ a) 4 sin 2 ⎜ 2 x − ⎟ = 3 6⎠ ⎝

π⎞ ⎛ b) cos 2 ⎜ 3x + ⎟ = 1 2⎠ ⎝

Megoldás:

π⎞ 3 ⎛ a) sin ⎜ 2 x − ⎟ = 6⎠ 2 ⎝

⇒

π⎞ ⎛ b) cos⎜ 3x + ⎟ = 1 ⇒ 2⎠ ⎝

π

+ k ⋅π

k∈ Z

x2 =

5π + l ⋅π 12

l∈Z

x3 =

11π + m ⋅π 12

x4 =

3π + n ⋅π 4

x1 =

x=

4

π 6

+k⋅

π 3

m∈ Z n∈ Z

k∈Z

31. Határozd meg, hogy mely valós x számokra értelmezhetők a következő kifejezések!

a)

sin x

b)

1 sin x

c) 1 + cos x

d) 1 − sin 2 x

Megoldás: A négyzetgyök definíciója miatt: a) sin x ≥ 0 A határszögek: sin x = 0 ⇒ x1 = 0° = 0 x 2 = 180° = π Értelmezési k ⋅ 2π ≤ x ≤ π + k ⋅ 2π

tartomány:

k ⋅ 360° ≤ x ≤ 180° + k ⋅ 360° ,

vagy

k ∈Z

b) sin x > 0 A határszögek: sin x = 0 ⇒ x1 = 0° = 0 x2 = 180° = π Értelmezési k ⋅ 2π < x < π + k ⋅ 2π

c) 1 + cos x ≥ 0 ⇒

tartomány:

k ⋅ 360° < x < 180° + k ⋅ 360° ,

k ∈Z

cos x ≥ −1 ez minden valós számra telesül.

Értelmezési tartomány: R d) 1 − sin 2 x ≥ 0 ⇒

cos 2 x ≥ 0 ez minden valós számra telesül.

Értelmezési tartomány: R

vagy


Tanári útmutató

32

Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása A következő négy mintapélda feldolgozásához szakértői mozaik módszert javaslunk. A jelűek feladata

Mintapélda14

Oldjuk meg a sin (3 x − 20°) = sin ( x + 100°) egyenletet! Megoldás: Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlőek: II. eset

I. eset

Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illetódus egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszöröséegymástól:

vel térnek el egymástól:

3x − 20° = x + 100° + k ⋅ 360° k ∈ Z

3 x − 20° = 180° − ( x + 100°) + l ⋅ 360° l ∈ Z

2 x = 120° + k ⋅ 360°

4 x = 100° + l ⋅ 360°

x = 60° + k ⋅ 180°

x = 25° + l ⋅ 90°


x1 = 60° + k ⋅ 180° k ∈ Z x2 = 25° + l ⋅ 90° l ∈ Z

Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg. B jelűek feladata


Tanári útmutató

33

Mintapélda15

π⎞ 2π ⎞ ⎛ ⎛ Oldjuk meg a cos⎜ 2 x + ⎟ = cos⎜ x − ⎟ egyenletet a valós számok halmazán! 6⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ Megoldás:Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek koszinuszai egyenlőek: II. eset

I. eset

Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás ellentettje, illetve csak ódus egész számú többszörösével térnek el a periódus egész számú többszörösével térnek el egymástól:

egymástól: 2x +

π

x=−

6

= x−

2π + k ⋅ 2π 3

k ∈Z

2x +

5π + k ⋅ 2π 6

3x = x=


x1 = − x2 =

π

2π ⎞ ⎛ = −⎜ x − ⎟ + l ⋅ 2π 6 3 ⎠ ⎝

π 2

π 6

5π + k ⋅ 2π 6

π 6

+

l ⋅ 2π 3

+ l ⋅ 2π

+

l ⋅ 2π 3

k ∈Z l ∈Z

Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg. C jelűek feladata

l ∈Z


Tanári útmutató

34

Mintapélda16

Oldjuk meg a tg (8 x − 42°) = tg (5 x + 132°) egyenletet! Megoldás: Két szög tangense csak akkor egyenlő, ha a két szög megegyezik, illetve csak a periódus

egész

számú

többszörösével

térnek

el

egymástól:

8 x − 42° = 5 x + 132° + k ⋅ 180° k ∈ Z 3 x = 174° + k ⋅ 180° x = 58° + k ⋅ 60°


x = 58° + k ⋅ 60° k ∈ Z, melyek igazzá is teszik az ere-

deti egyenletet. D jelűek feladata

Mintapélda17

7π ⎞ ⎞ ⎛ 2π ⎛ Oldjuk meg a sin ⎜ 6 x − − 2 x ⎟ egyenletet a valós számok halmazán! ⎟ = sin ⎜ 5 ⎠ ⎠ ⎝ 5 ⎝ Megoldás: II. eset

I. eset

Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illetódus egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszörösével térnek el egymástól:

egymástól: 6x −

7π 2π = − 2 x + k ⋅ 2π 5 5

8x =

9π + k ⋅ 2π 5

k∈Z

6x −

7π ⎞ ⎛ 2π =π −⎜ − 2 x ⎟ + l ⋅ 2π 5 ⎠ ⎝ 5

4 x = π + l ⋅ 2π

x=

π 4

+l⋅

π 2

l∈ Z


x=

Tanári útmutató

9π π +k⋅ 40 4 x1 =


9π π +k⋅ 40 4

x2 =

π 4

+l⋅

π 2

k∈ Z l∈ Z

Ellenőrizzük, hogy x1 és x 2 valóban gyökei az eredeti egyenletnek.

Feladatok 32. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) sin 2 x = sin x

π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ b) sin ⎜ 2 x + ⎟ = sin ⎜ x − ⎟ 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝

c) cos 3 x = cos x

d) cos 4 x = cos(25° − x )

Megoldás: a) x1 = k ⋅ 360° = k ⋅ 2π b) x1 =

3π + k ⋅ 2π 2

k ∈ Z,

c) x1 = k ⋅ 180° = k ⋅ π d) x1 =

k ∈ Z,

k ∈ Z,

335° + k ⋅ 120° k ∈ Z, 3

x2 = 60° + l ⋅ 120° = x2 =

5π l ⋅ 2π + 18 3

x2 = l ⋅ 90° =

l ⋅π 2

π 3

+

l ⋅ 2π 3

l∈Z l∈Z

x2 = 5° + l ⋅ 72° l ∈ Z


a) tg 2 x = tg x

b) tg 5 x = tg 3x

c) tg 6 x = tg (2 x + 70°)

l∈Z

35


Tanári útmutató

36

Megoldás: a) x = k ⋅ 180° = k ⋅ π b) x = k ⋅ 90° = k ⋅

π 2

k∈Z k∈Z

c) x = 17,5° + k ⋅ 45° k ∈ Z


a) sin 3 x = − sin 5 x

b) cos 2 x = − cos 6 x

Megoldás: a) x1 = b) x1 =

kπ 4

π 8

+

k ∈ Z, kπ 4

x2 = −

k ∈ Z,

x2 =

π 2

lπ 4

+ l ⋅π

l∈ Z

l∈Z

Mintapélda18

Oldjuk meg a sin (3 x + 20°) = cos x egyenletet! Megoldás: Az egyenlet mindkét oldalát úgy alakítjuk át, hogy mindkét oldalon azonos szögfüggvények szerepeljenek. Felhasználjuk, hogy egy szög koszinusza megegyezik pótszögének szinuszával: sin (3 x + 20°) = sin (90° − x )

Fordítva is gondolkodhatunk. Egy szög szinusza megegyezik pótszögének koszinuszával: cos(90° − 3 x − 20°) = cos x . Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlők: I. eset

II. eset

Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illetódus egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszöröséegymástól:

vel térnek el egymástól:

3x + 20° = 90° − x + k ⋅ 360° k ∈ Z

3 x + 20° = 180° − (90° − x ) + l ⋅ 360° l ∈ Z

4 x = 70° + k ⋅ 360°

2 x = 70° + l ⋅ 360°

x = 17,5° + k ⋅ 90° k ∈ Z

x = 35° + l ⋅ 180° l ∈ Z


Tanári útmutató

37

x1 = 17,5° + k ⋅ 90° k ∈ Z


x2 = 35° + l ⋅ 180° l ∈ Z

A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.

Feladatok 35. Oldd meg a következő egyenleteket! (A megoldáshoz használd fel a pótszögek szög-

függvényei közötti összefüggéseket!)

π⎞ 5π ⎞ ⎛ ⎛ b) cos⎜ x − ⎟ = sin ⎜ x + ⎟ 6 ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝

a) sin 3 x = cos x Megoldás: a) x1 = 22,5° + k ⋅ 90° = b) x1 =

π 2

+ k ⋅π

π 8

+k⋅

π 2

k ∈ Z,

x 2 = 45° + l ⋅ 180° =

π 4

+ l ⋅π

l∈Z

k∈ Z

Mintapélda19 Oldjuk meg a tg 2 x −

4 tg x + 1 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! 3

Megoldás: Az egyenletnek csak ott van értelme, ahol a cos x ≠ 0 , azaz x ≠

π 2

+ k ⋅π

k∈Z

Ez tg x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az tg x = y új ismeretlent, ekkor y 2 − így kapott másodfokú egyenletet: y1 = 3

tg x = 3 ⇒ tg x =

3 3

⇒

x1 = 60° + k ⋅ 180° = x2 = 30° + k ⋅ 180° =

y2 =

π 3

π 6

4 y + 1 = 0 , majd oldjuk meg az 3

3 . 3

+ k ⋅π

k∈Z

+ k ⋅π

k∈Z


Tanári útmutató

38

Mintapélda20 Oldjuk meg a 8 + 7 cos x = 6 sin 2 x egyenletet! Megoldás: A pitagoraszi összefüggés alapján: sin 2 x = 1 − cos 2 x Ezt helyettesítsük be az eredeti egyenletbe: 8 + 7 cos x = 6(1 − cos 2 x ) Rendezzük az egyenletet: 6 cos2 x + 7 cos x + 2 = 0 Ez cos x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = cos x új ismeretlent, ekkor 6 y 2 + 7 y + 2 = 0 majd oldjuk meg az így kapott másodfokú egyenletet: y1 = − cos x = −

cos x = −

1 ⇒ 2

2 ⇒ 3

1 2

y2 = −

2 3

x1 = 120° + k ⋅ 360° =

2π + k ⋅ 2π 3

k∈Z

x2 = 240° + l ⋅ 360° =

4π + l ⋅ 2π 3

l∈ Z

x3 ≈ 131,81° + m ⋅ 360° m ∈ Z x 4 ≈ 288,19° + n ⋅ 360° n ∈ Z

Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg.

Mintapélda21 Oldjuk meg a

3 cos x = 2 sin x − 1 egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás: Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: 3 cos 2 x = 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, ezért bővülhet a gyökök halmaza, és hamis gyökök léphetnek fel. Ezért fontos, hogy a kapott értékeket ellenőrizzük. Mivel cos2 x = 1 − sin 2 x , ezért 3(1 − sin 2 x ) = 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 Rendezzük az egyenletet: 7 sin 2 x − 4 sin x − 2 = 0 Ez sin x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = sin x új ismeretlent, ekkor 7 y 2 − 4 y − 2 = 0 majd oldjuk meg az így kapott másodfokú egyenletet: y1 = 0,8918 sin x = 0,8918 ⇒

y2 = −0,3204 .

x1 ≈ 63,10° + k ⋅ 360° k ∈ Z x 2 ≈ 116,90° + l ⋅ 360° l ∈ Z

sin x = −0,3204 ⇒

x3 ≈ 341,31° + m ⋅ 360° m ∈ Z


Tanári útmutató

39

x 4 ≈ 198,69° + n ⋅ 360° n ∈ Z

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy x1 és x 4 valóban gyökei az eredeti egyenletnek, x 2 és x3 azonban nem. Ez abból is látható, hogy ezekre az értékekre sin x és cos x előjele különböző, továbbá 2 sin x 2 > 1 .

Feladatok Módszertani megjegyzés: Torpedójáték A játékban páros számú csoportra bontjuk az osztályt, majd megbeszéljük, hogy melyek a szembenálló csoportok. A csoportok egy-egy hadiflottának a parancsnokai; céljuk az ellenfél flottájának elsüllyesztése. Az első teendő a flotta elhelyezése a bal oldali 10x10-es táblán úgy, hogy a többi csoport ne láthassa. Minden csoportnak 3 db 1-mezős, 2 db 2-mezős, 1-1 db 3-, 4- és 5 mező nagyságú hajója van (a 2 vagy többmezős hajóknak a mezőknek legalább egy oldalával érintkezniük kell). Ügyeljünk arra, hogy az elhelyezett hajók ne érintsék egymást. Ha az összes csoport minden hajóját elhelyezte, kezdődhet a munka. Minden csoportnak az a feladata, hogy a 36. feladatot legjobb tudása szerint megoldja. Minden jó feladatért adjunk 5 torpedót. Ha a feladatok megoldása nem tökéletes, de bizonyos része értékelhető adhatunk érte résztöltényeket is. Ezután összegezzük, hogy melyik csoport hány lövéssel rendelkezik, majd kezdődhet az ütközet. A csoportok felváltva indítják a torpedóikat, és bemondják az éppen célzott mezőt (pl. C2). Válaszul az ellenfél bemondja, hogy sikeres volt-e a találat (pl.: nem talált, talált, süllyedt). A jobb oldali táblán jelölhetik a csoportok az ellenfél flottájának elhelyezkedését. A játék nyertese az a csoport, aki előbb lövi ki az ellenfél összes hajóját. Természetesen aki nem akarja a torpedót használni, az frontális munka formájában is megoldhatja az ott található egyenleteket.


A B C D E

F

40

Tanári útmutató

G H I

J

A B C D E

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

F

G H I

J

36. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

a) 2 sin 2 x + 9 sin x − 5 = 0

b) 5 + 8 cos x = 4 cos 2 x

c) 3 cos 2 x + 2 − cos x = 5 cos x + 11

d) cos 2 x + 7 cos x = sin 2 x + 3

e) 5 sin 2 x + cos 2 x + 2 = 4 3 sin x

f) (3 sin x − 2 ) ⋅ (sin x − 1) = −4

g) 3tg x = 2 cos x

h) tg x + ctg x = 2

i) ctg x = 3 − tg x

j) sin x − 1 = cos x

Megoldás: a) x1 = 30° + k ⋅ 360° =

π 6

b) x1 = 120° + k ⋅ 360° =

+ k ⋅ 2π

2π + k ⋅ 2π 3

c) x1 = 180° + k ⋅ 360° = π + k ⋅ 2π

k ∈ Z, x2 = 150° + l ⋅ 360° =

5π + l ⋅ 2π 6

k ∈ Z, x2 = 240° + l ⋅ 360° =

l∈Z

4π + l ⋅ 2π 3

l∈ Z

k∈Z

d) Alkalmazzuk a sin 2 x + cos 2 x = 1 pitagoraszi összefüggést! Megoldjuk az így kapott másodfokú egyenletet.

x1 = 60° + k ⋅ 360° =

π 3

+ k ⋅ 2π

k ∈ Z, x2 = 300° + l ⋅ 360° =

5π + l ⋅ 2π 3

l∈ Z

e) Alkalmazzuk a sin 2 x + cos 2 x = 1 pitagoraszi összefüggést! Megoldjuk az így kapott másodfokú egyenletet.

x1 = 60° + k ⋅ 360° =

π

x2 = 120° + l ⋅ 360° =

3

+ k ⋅ 2π

2π + l ⋅ 2π 3

f) Nincs olyan valós szám, amely az egyenletet kielégíti.

k ∈ Z, l∈ Z


g) Alkalmazzuk a tg x =

π 6

h) Alkalmazzuk a ctg x =

+ k ⋅ 2π

π 2

+ k ⋅π

k∈Z

k ∈ Z, x2 = 150° + l ⋅ 360° =

5π + l ⋅ 2π 6

l∈Z

1 azonosságot! tg x

sin x ≠ 0, cos x ≠ 0 , azaz x ≠ k ⋅ 90° = k ⋅

x1 = 45° + k ⋅180° =

41

sin x azonosságot! cos x

cos x ≠ 0 , azaz x ≠ 90° + k ⋅ 180° =

x1 = 30° + k ⋅ 360° =

Tanári útmutató

π 2

k∈Z

π + k ⋅π k ∈ Z 4

i) sin x ≠ 0, cos x ≠ 0 , azaz x ≠ k ⋅ 90° = k ⋅

π 2

k∈Z

x1 ≈ 20,91° + k ⋅180° k ∈ Z, x2 ≈ 69,09° + l ⋅180° l ∈ Z

j) Négyzetre emelünk. x1 = k ⋅ 360° = k ⋅ 2π k ∈ Z, x2 = 90° + l ⋅ 360° =

π + l ⋅ 2π l ∈ Z 2

37. Derékszögű háromszögben az α hegyesszögre teljesül, hogy tg α + ctg α = 3,1114 .

Határozd meg az α szöget?

Megoldás: ctg α =

1 , y = tg α , ekkor y 2 − 3,1114 y + 1 = 0 ⇒ tg α

α 1 ≈ 70°, α 2 ≈ 20°

y1 ≈ 2,7474,

y 2 ≈ 0,364 .


Tanári útmutató

42

IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek Megjegyzés: Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásakor célszerű először megkeresni a határszögeket, majd ezután az egységkörön szemléltetni a megoldást.

Mintapélda22 Oldjuk meg a cos 2 x ≤

3 egyenlőtlenséget! 2

Megoldás: Legyen 2 x = α . A határszögek: cos α =

3 2

30° + k ⋅ 360° ≤ 2 x ≤ 330° + k ⋅ 360° , vagy

⇒ α1 = 30° =

π 6

+ k ⋅ 2π ≤ 2 x ≤

π 6

α 2 = −30° = −

11π + k ⋅ 2π 6

π 6

k ∈Z

Az egyenlőtlenség megoldása:

15° + k ⋅ 180° ≤ x ≤ 165° + k ⋅ 180° , vagy

π 12

+ k ⋅π ≤ x ≤

11π + k ⋅π 12

k ∈Z

Megjegyzés: A határszögeket elég az első négy negyedben meghatározni, de utána ne feled-

kezzünk meg a periodicitásról.


Tanári útmutató

43

Mintapélda23 Oldjuk meg a 2 sin x cos x < sin x egyenlőtlenséget!

Megoldás: Rendezzük

az

egyenlőtlenséget,

úgy

hogy

a

jobb

oldalon

0

legyen:

2 sin x cos x − sin x < 0 Kiemelünk sin x -et: sin x(2 cos x − 1) < 0 Egy két tényezős szorzat akkor negatív, ha tényezői ellenkező előjelűek, ezért a következő két eset fordulhat elő: I. eset: Ha sin x > 0 és 2 cos x − 1 < 0 sin x > 0

A határszögek: sin x = 0 ⇒ x1 = 0° = 0 x2 = 180° = π

0° + k ⋅ 360° < x < 180° + k ⋅ 360° , vagy k ⋅ 2π < x < π + k ⋅ 2π cos x <

k ∈Z

1 2

A határszögek: cos x =

1 2

⇒

x1 = 60° =

60° + k ⋅ 360° < x < 300° + k ⋅ 360° , vagy A két intervallum metszete:

π

π 3

3

x 2 = 300° =

+ k ⋅ 2π < x <

5π 3

5π + k ⋅ 2π 3

k ∈Z


Tanári útmutató

60° + k ⋅ 360° < x < 180° + k ⋅ 360° , vagy

π 3

+ k ⋅ 2π < x < π + k ⋅ 2π

k ∈Z

II. eset: Ha sin x < 0 és 2 cos x − 1 > 0 sin x < 0

A határszögek: sin x = 0 ⇒ x1 = 180° = π

x 2 = 360° = 2π

180° + k ⋅ 360° < x < 360° + k ⋅ 360° , vagy π + k ⋅ 2π < x < 2π + k ⋅ 2π cos x >

k ∈Z

1 2

A határszögek: cos x =

1 2

⇒

x1 = 60° =

60° + k ⋅ 360 > x > −60° + k ⋅ 360° , vagy A két intervallum metszete:

π 3

π 3

x 2 = −60° = −

+ k ⋅ 2π > x > −

π 3

π 3 + k ⋅ 2π

k ∈Z

44


300° + k ⋅ 360 < x < 360° + k ⋅ 360° , vagy

Tanári útmutató

5π + k ⋅ 2π < x < 2π + k ⋅ 2π 3

k ∈Z

Összefoglalva, az egyenlőtlenség megoldása:

60° + k ⋅ 360° < x < 180° + k ⋅ 360° , vagy 300° + k ⋅ 360 < x < 360° + k ⋅ 360° , vagy

π 3

+ k ⋅ 2π < x < π + k ⋅ 2π

k ∈Z

5π + k ⋅ 2π < x < 2π + k ⋅ 2π 3

Mintapélda24 Oldjuk meg a tg (3x + 15°) > 1 egyenlőtlenséget!

Megoldás: Értelmezési tartomány: x ≠ 25° + k ⋅ 60° k ∈ Z Legyen α = 3 x + 15° . A határszög: tg α = 1 ⇒ α = 45°

Ebből: 45° + k ⋅ 180° < 3x + 15° < 90° + k ⋅ 180° k ∈ Z

k ∈Z

45


Tanári útmutató

46

30° + k ⋅ 180° < 3x < 75° + k ⋅ 180° k ∈ Z Az egyenlőtlenség megoldása: 10° + k ⋅ 60° < x < 25° + k ⋅ 60° k ∈ Z Ezt mutatja az első négy negyedben az alábbi ábra:

Feladatok 38. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket, majd keresd meg a feladathoz tartozó áb-

rát! a) sin x ≥ 0

A)

1 2

B)

b) cos x <

c) sin x ≤ −

3 2

C)


d) cos x > −

Tanári útmutató

D)

2 2

e) tg x > 3

E)

f) ctg x ≤ −1

F)

Megoldás: a) A határszögek: sin x = 0 ⇒ x1 = 0° = 0 x2 = 180° = π

k ⋅ 360° ≤ x ≤ 180° + k ⋅ 360° , vagy k ⋅ 2π ≤ x ≤ π + k ⋅ 2π b) A határszögek: cos x =

1 2

⇒

x1 = 60° =

60° + k ⋅ 360 < x < 300° + k ⋅ 360° , vagy c) A határszögek: sin x = −

3 2

⇒

π 3

2 2

⇒

3

x 2 = 300° =

+ k ⋅ 2π < x <

x1 = 240° =

240° + k ⋅ 360° ≤ x ≤ 300° + k ⋅ 360° , vagy d) A határszögek: cos x = −

π

k ∈Z

4π 3

5π 3

5π + k ⋅ 2π 3

x 2 = 300° =

k ∈Z

5π 3

4π 5π + k ⋅ 2π ≤ x ≤ + k ⋅ 2π 3 3

x1 = 135° =

3π 4

x 2 = −135° = −

3π 4

k ∈Z

47


Tanári útmutató

− 135° + k ⋅ 360 < x < 135° + k ⋅ 360° , vagy − e) A határszög: tg x = 3 ⇒

f) A határszög: ctg x = −1 ⇒

k ∈Z

π

x = 60° =

60° + k ⋅ 180° < x < 90° + k ⋅ 180° , vagy

3π 3π + k ⋅ 2π < x < + k ⋅ 2π 4 4

3

π

+ k ⋅π ≤ x ≤

3

x = 135° =

135° + k ⋅ 180° ≤ x ≤ 180° + k ⋅ 180° , vagy

π 3

+ k ⋅π

k ∈Z

3π 4 3π + k ⋅π ≤ x ≤ π + k ⋅π 4

k ∈Z

39. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!

a) sin x >

1 2

b) cos x ≤

3 2

c) sin 2 x <

1 2

d) cos 2 x ≥

3 4

Megoldás: a) 30° + k ⋅ 180° < x < 150° + k ⋅ 180° , vagy b) 30° + k ⋅ 180° ≤ x ≤ 150° + k ⋅ 180° , vagy

π 6

π 6

c) − 45° + k ⋅ 180° < x < 45° + k ⋅ 180° , vagy − d) − 30° + k ⋅ 180° ≤ x ≤ 30° + k ⋅ 180° , vagy −

+ k ⋅π < x <

5π + k ⋅π 6

k ∈Z

+ k ⋅π ≤ x ≤

5π + k ⋅π 6

k ∈Z

π 4

π 6

+ k ⋅π < x < + k ⋅π ≤ x ≤

π 4

π 6

+ k ⋅π

k ∈Z

+ k ⋅π

k ∈Z


a) sin 2 x ≥ −

1 2

b) cos 3 x ≤ −

2 2

Megoldás: a) − 15° + k ⋅ 180° ≤ x ≤ 105° + k ⋅ 180° , vagy másképp −

π 12

+ k ⋅π ≤ x ≤

7π + k ⋅π 12

k ∈Z

b) 45° + k ⋅ 120° ≤ x ≤ 75° + k ⋅ 120° , vagy

π 4

+

k ⋅ 2π 5π k ⋅ 2π ≤x≤ + 3 12 3

k ∈Z

48


Tanári útmutató

49

V. Vegyes feladatok 41. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! 1 b) f ( x ) = cos x 2 Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.

a) g (x ) = cos x + 2


b) g ( x ) = tg x

a) f ( x ) = tg (− x )

Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. 43. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!

π⎞ ⎛ b) i ( x ) = cos⎜ x + ⎟ + 1 3⎠ ⎝ Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. a) g ( x ) = 3 cos 2 x

44. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? 3 + tg

π

4 ⋅ tg π ; π 6 sin 3

a) (tg 45° + cos 60°) ⋅ sin 30° ;

b)

c) sin 70° − tg 55° ⋅ ctg 55° − cos 20° ;

d) sin 2 35° − 2 sin 35° ⋅ cos 55° + cos 2 55° .

Megoldás: a) (1 + 0,5) ⋅ 0,5 = 0,75 b)

3 +1 3 2

⋅

3 8 = 3 3

c) sin 70° − 1 − sin 70° = −1 d) (sin 35° − cos 55°) = (sin 35° − sin 35°) = 0 2

2


Tanári útmutató

50

45. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! 3 2

a) sin α =

b) sin α = −

2 2

Megoldás: a) α 1 = 60,° α 2 = 120°

b) α 1 = 225,° α 2 = 315°

46. Add meg azoknak a 0 és 2π közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! a) cos α =

1 2

b) cos α = −1


π 3

, α2 =

5π 3

b) α = π

47. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! b) tg α = − 3

a) tg α = −1

Megoldás: a) α 1 = 135°, α 2 = 315°

b) α 1 = 120,° α 2 = 300°

48. Add meg azoknak a 0 és 2π közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség! d) ctg α = 3

a) ctg α = 1


π 4

, α2 =

5π 4

b) α 1 =

π 6

, α2 =

7π 6


Tanári útmutató

51


b) sin α = −0,7231

a) sin α = 1

c) 2 sin α − 3 = 0

Megoldás: a) α = 90° + k ⋅ 360° =

π

+ k ⋅ 2π

2

k∈Z

b) α 1 ≈ 313,69° + k ⋅ 360° k ∈ Z, c) α1 = 60° + k ⋅ 360° =

π 3

+ k ⋅ 2π

α 2 ≈ 226,31° + l ⋅ 360° l ∈ Z

α 2 = 120° + l ⋅ 360° =

k ∈ Z,

2π + l ⋅ 2π 3


b) cosα = 0,3492

a) cos α = −3

c) 3 cos α − 3 = 0

Megoldás: a) nincs ilyen szög, mert minden x-re: − 1 ≤ cos x ≤ 1 b) α 1 ≈ 69,56° + k ⋅ 360° k ∈ Z,

α 2 ≈ 290,44° + l ⋅ 360° l ∈ Z

c) α 1 ≈ 54,74° + k ⋅ 360° k ∈ Z

α 2 ≈ 305,26° + l ⋅ 360° l ∈ Z

51. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:

a) cos x ⋅ sin x = − sin x

3 4

b) 3 cos 2 x =

c) 3 sin 2 x =

Megoldás: a) Nullára redukálunk. Szorzattá alakítunk. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

sin x = 0 ⇒

x1 = k ⋅ 180° = k ⋅ π

cos x = −1 ⇒

x2 = 180° + k ⋅ 360° = π + k ⋅ 2π

b) cos x =

1 2

⇒

k ∈Z

x1 = 60° + k ⋅ 180° =

π

x 2 = 120° + l ⋅ 180° = c) sin x =

3 2

⇒

nincs megoldás

3

k∈Z

+ k ⋅π

2π + l ⋅π 3

k∈Z l∈Z

9 2

l∈Z


Tanári útmutató

52


a) sin 3x = −

π⎞ ⎛ b) 2 sin ⎜ x + ⎟ − 2 = 0 8⎠ ⎝

1 2

Megoldás: a) x1 = 110° + k ⋅ 120° k ∈ Z, b) x1 =

π 8

+ k ⋅ 2π

x2 = 70° + l ⋅ 120° l ∈ Z

k ∈ Z,

x2 =

5π + l ⋅ 2π 8

l∈Z


b) 3 cos(2 x + 15°) = 5

a) cos(− 4 x ) = 1

Megoldás: a) x = k ⋅ 90° k ∈ Z b) x1 ≈ 13,41° + k ⋅ 180° k ∈ Z,

x 2 ≈ 151,60° + l ⋅ 180° l ∈ Z


π⎞ ⎛ a) tg ⎜ 3x + ⎟ = 3 6⎠ ⎝

2π ⎛ b) ctg ⎜ x − 3 ⎝

3 ⎞ ⎟= ⎠ 3

Megoldás: a) x =

π 18

+k⋅

π 3

k ∈ Z;

b) x = k ⋅ π

k ∈ Z.

55. Egy háromszög α szögére a következő összefüggést kaptuk: sin (α + 30°) = 0,8192 .

a) Mekkora lehet α ?

b) Mekkora a harmadik. szög, ha a háromszög derékszögű?

Megoldás: a) α 1 ≈ 25°, α 2 ≈ 95° ;

b) α ≈ 25° .

56. Egy derékszögű háromszög α és β hegyesszögeire fennáll, hogy

sin α + cos β = 1,2856 . Mekkorák a háromszög hegyesszögei? Megoldás: sin α + cos(90° − α ) = sin α + sin α = 2 sin α

α ≈ 40,° β ≈ 50°

⇒ sin α = 0,6428


Tanári útmutató

53

57. Igazoljuk, hogy minden derékszögű háromszögben sin α + cos α > 1 (α < 90°) !

Megoldás: Derékszögű háromszögben sin α + cos α =

a b a+b + = (a és b befogók, c az átfogó). c c c

A háromszög egyenlőtlenség miatt a + b > c , ezért

a+b > 1 , vagyis sin α + cos α > 1 . c

58. Egy háromszög területe 94,64 cm2, két oldala 15 cm és 22 cm. Mekkora lehet a két

oldal által közbezárt szög?

Megoldás: T=

a ⋅ b ⋅ sin γ 2

⇒ 94,64 =

15 ⋅ 22 ⋅ sin γ 2

⇒ sin γ = 0,5736 ⇒

γ 1 ≈ 35,° γ 2 ≈ 145°

59. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza14 cm, a másik oldalhoz tartozó magasság

hossza 5,92 cm. Mekkorák a paralelogramma szögei?

Megoldás: sin α =

5,92 ≈ 0,4229 ⇒ 14

γ 1 ≈ 25°, γ 2 ≈ 155°

60. Egy 5 m hosszú létrát a ház falának támasztottak, úgy hogy a lába 1,5 m-re volt a fal-

tól. Mekkora szöget zár be a létra a talajjal? Milyen magasan van létra a falhoz támasztva?

Megoldás: cos α =

1,5 = 0,3 ⇒ α ≈ 72,54° 5

sin 72,54° =

x 5

⇒ x ≈ 4,77 m

61. Sík terepen egy férfitől 50 m távolságban van egy 30 m magas torony. Mekkora szög-

ben látja a férfi a tornyot, ha szemmagassága 180 cm-re van a földtől?


Tanári útmutató

Megoldás: tg α =

1,8 = 0,036 ⇒ α ≈ 2,06° 50

30 − 1,8 28,2 = = 0,564 50 50 β ≈ 29,42°

tg β =

α + β = 2,06° + 29,42° = 31,48° Megjegyzés: Az ábra nem méretarányos.

62. Egy pontra ható két, egymásra merőleges erő nagysága F1 = 570 N,

F2 = 830 N .

Mekkora az eredő erő nagysága és F1 -gyel bezárt szöge!

Megoldás: tg α =

F =

830 ≈ 1,4561 ⇒ α ≈ 55,52° 570

830 ≈ 1006,89 N sin 55,52°


3π ⎞ π⎞ ⎛ ⎛ b) cos⎜ 2 x − ⎟ = cos⎜ 3 x + ⎟ 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝

a) sin 3 x = sin ( x + 18°)

Megoldás: a) x1 = 9° + k ⋅ 180° k ∈ Z,

x2 = 40,5° + l ⋅ 90° l ∈ Z

b) x1 = k ⋅ 2π

x2 =

k ∈ Z,

π 5

+

l ⋅ 2π 5

l∈ Z


a) cos 2 x = sin 5 x

b) sin ( x + 15°) = cos( x − 20°)

Megoldás: a) x1 =

90° k ⋅ 360° π k ⋅ 2π + = + 7 7 14 7

b) x1 = 47,5° + k ⋅ 180° k ∈ Z

k ∈ Z, x2 = 30° + l ⋅ 120° =

π 6

+

l ⋅ 2π 3

l∈Z

54


Tanári útmutató


a) (sin x + 1) cos x > 0

b) sin 3 x ≥ sin x

c) cos 2 x < 2 ⋅ cos x

Megoldás: a) − 90° + k ⋅ 360° < x < 90° + k ⋅ 360° , vagy −

π 2

+ k ⋅ 2π < x <

π 2

+ k ⋅ 2π

b) 180° + k ⋅ 360° ≤ x ≤ 360° + k ⋅ 360° , vagy π + k ⋅ 2π ≤ x ≤ 2π + k ⋅ 2π c) − 90° + k ⋅ 360° < x < 90° + k ⋅ 360° , vagy −

π 2

+ k ⋅ 2π < x <

π 2

+ k ⋅ 2π

k ∈Z k ∈Z k ∈Z

55


Tanári útmutató

56

Kislexikon sin 2 α + cos 2 α = 1

Pitagoraszi azonosság:

Pótszögek szögfüggvényei sin α = cos(90° − α ) cos α = sin (90° − α )

tg α = ctg (90° − α ) α ≠

π + k ⋅ π k ∈Z 2

ctg α = tg (90° − α ) α ≠ l ⋅ 180° l ∈ Z

Összefüggés egy szög tangense és kotangense között

1 ctg α 1 ctg α = tg α tg α =

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ α ≠ k ⋅ 90° k ∈ Z ⎪ ⎪⎭

tg α ⋅ ctg α = 1

Trigonometrikus egyenlet (egyenlőtlenség): Az olyan egyenleteket és egyenlőtlenségeket,

amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük. Megjegyzés: A fogalmak definíciói részletesebben a 10. évfolyam 11. moduljának kislexi-

konában találhatók.

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

Recommend Documents