Verhóczki László
Riemann-geometria
el®adásjegyzet
ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék
A jegyzetben használt jelölések a sokaságokkal kapcsolatosan ui : Rm → R a természetes i-edik koordináta-függvény az Rm téren. M, N, B dierenciálható sokaságok. F(M ) az M sokaságon vett sima függvények gy¶r¶je. v(f ) a sokaságon vett f függvénynek a v érint®vektor szerinti iránymenti deriváltja. Tp M az M sokaság érint®tere a p pontban. (U, ξ) egy térkép a sokaságon az U térképtartománnyal és a ξ térképezéssel. xi = ui ◦ ξ : U → R a ξ térképezés i-edik koordináta-függvénye. ∂ Xi = a ξ térképezéshez tartozó i-edik alapvektormez® az U térképtartományon. ∂xi X(M ) az M sokaságon vett vektormez®k tere. Y (f ) az f ∈ F(M ) függvénynek az Y ∈ X(M ) vektormez® szerinti deriváltja. [Y, Z] az Y, Z vektormez®k Lie-zárójele. T M az M sokaság érint®nyalábja. µ : M → N dierenciálható leképezés. T µ : T M → T N a µ sima leképezés érint® leképezése (más szóval derivált leképezése). I az R számegyenes egy nyílt intervalluma. u : I → I identikus leképezés, azaz a természetes térképezés az I ⊂ R intervallumon, mint sokaságon. d d d (t) az u térképezés alapvektora a t ∈ I helyen (t) ∈ Tt I, (t)(f ) = f 0 (t) . du du du σ : I → M sima görbe az M sokaságon. d σ(t) ˙ = Tσ (t) σ görbe érint®vektora a t ∈ I helyen σ(t)(f ˙ ) = (f ◦ σ)0 (t) . du
1) Lineáris konnexiók vektornyalábokon
A brált nyaláb 1.1. De níció. Legyenek E, B, F dierenciálható sokaságok és π : E → B egy sima leképezés. Az (E, π, B, F ) négyest egy brált nyalábnak mondjuk, ha teljesül az alábbi
feltétel: Tetsz®leges p ∈ B pontnak van olyan U nyílt környezete B -ben és az E beli π −1 (U ) nyílt halmazon van olyan ϕ : π −1 (U ) → F sima leképezés, hogy a π × ϕ : π −1 (U ) → U × F leképezés, ahol fennáll π × ϕ(w) = (π(w), ϕ(w)) tetsz®leges w ∈ π −1 (U ) esetén, egy dieomor zmus. Az E sokaságot totáltérnek, a B sokaságot bázistérnek, az F sokaságot brumtípusnak nevezzük. A π sima leképezést (amely egy szubmerzió) a brált nyaláb projekciójának hívjuk.
Megjegyzés. Magát az E totálteret is szokás brált nyalábnak nevezni. A de nícióban szerepl® π × ϕ leképezést a nyaláb egy lokális trivializálásának mondjuk. Emellett az (π −1 (U ), π × ϕ) párra szokás használni a nyalábtérkép elnevezést is. Világos, hogy tetsz®leges p ∈ B esetén a π −1 (p) részsokaság dieomorf a brumtípust adó F sokasággal, hiszen a ϕ|π −1 (p) : π −1 (p) → F lesz¶kített leképezés egy dieomor znus. Emiatt a π −1 (p) = Fp részsokaságot a nyaláb p ∈ B ponthoz tartozó brumának mondjuk.
Megjegyzés. Tekintsük a π × ϕ : π −1 (U ) → U × F dieomor zmus ψ : U × F → π −1 (U ) inverz-leképezését. Ezt is szokás a nyaláb lokális trivializálásának nevezni. Célszer¶ még megjegyezni, hogy tetsz®leges (p, f ) ∈ U × F esetén fennáll π ◦ ψ(p, f ) = p.
1.2. De níció. Legyen adott egy (E, π, B, F ) brált nyaláb. Vegyünk olyan B -beli Uα nyílt halmazokat, melyekhez megadhatóak (π −1 (Uα ), π×ϕα ) nyalábtérképek. Amennyiben fennáll az ∪α∈A Uα = B összefüggés, akkor ezen nyalábtérképekr®l azt mondjuk, hogy együttesen egy nyalábatlaszt alkotnak.
1.3. De níció. Az (E, π, B, F ) brált nyaláb szelésén egy olyan Z : B → E sima leképezést értünk, amelyre fennáll π ◦ Z = idB . A vektornyaláb fogalma 1.4. De níció. Legyen adott egy (E, π, B, F ) brált nyaláb. Ezt vektornyalábnak mondjuk, ha az F brumtípus egy valós vektortér és a nyaláb brumai is valós vektorterek, továbbá teljesül az alábbi feltétel: A bázistér tetsz®leges pontjának van olyan U nyílt környezete B -ben és a π −1 (U ) nyílt halmazon van olyan (π −1 (U ), π × ϕ) nyalábtérkép, hogy bármely p ∈ U esetén a ϕ sima leképezésnek az Fp = π −1 (p) brumra vett lesz¶kítése egy lineáris izomor zmust ad az Fp és F vektorterek között.
Megjegyzés. A vektornyalábra vonatkozó kézenfekv® példa az úgynevezett triviális nyaláb. Legyen adott egy B sokaság és egy F vektortér. Vegyük az E = B × F szorzatsokaságot, melynek a {p} × F részsokaságain természetes módon adódik egy vektortér-struktúra. Ekkor a π : B × F → B természetes projekcióval az (E, π, B, F ) vektornyalábot kapjuk. 1
1.5. De níció. Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb. Ezt trivializálhatónak (illetve parallelizálhatónak) mondjuk, ha meg lehet adni a nyalábnak olyan Z1 , . . . , Zr : B → E szeléseit, hogy bármely p ∈ B pont esetén a Z1 (p), . . . , Zr (p) vektorok egy bázisát képezik az Fp vektortérnek. Megjegyzés.
Tegyük fel, hogy az (E, π, B, F ) vektornyaláb trivializálható (vagy más szóval parallelizálható). Jelölje r az F brumtípus dimenzióját. (Eszerint az F vektortér izomorf az Rr térrel.) Vegyük a fenti de níciónak megfelel® Z1 , . . . , Zr : B → E szeléseket és az F vektortér egy e1 , . . . , er bázisát. Tekintsük most azt a ϕ : E → F leképezést, melyet az alábbiak szerint értelmezünk. α Tetsz®leges Pr w ∈α E vektorhoz vegyük azon b (α = 1, . . . , r) számokat, melyekkel fennáll a w = Pα=1 b Zα (π(w)) egyenl®ség. A totáltér w elemének a ϕ szerinti képe legyen r α ϕ(w) = Világos, hogy ekkor a π × ϕ : E → B × F leképezés egy teljes α=1 b eα . térképezést ad a nyalábon.
A sokaság érint®nyalábja, mint vektornyaláb Korábbi tanulmányokból már ismeretes, hogy dierenciálható sokaságot kaphatunk az alábbi Állításban leírt konstrukció alkalmazásával. 1.1. Állítás. Legyen adva egy M halmaz és olyan { (Uα , ξα ) | α ∈ A } párok rendszere, ahol bármely α ∈ A mellett Uα ⊂ M és ξα : Uα → Rm egy injektív leképezés, továbbá igazak a következ®k: (1) ∪α∈A Uα = M . (2) Tetsz®leges α, β ∈ A esetén a ξα (Uα ∩ Uβ ) halmaz nyílt Rm -ben, és a ξβ ◦ ξα−1 : ξα (Uα ∩ Uβ ) ⊂ Rm → Rm leképezés C ∞ -osztályú, amennyiben Uα ∩ Uβ 6= ∅. (3) Az A indexhalmaz megszámlálható. (4) Bármely p, q ∈ M elemekhez vagy létezik olyan α ∈ A, hogy p, q ∈ Uα , vagy pedig vannak olyan α, β indexek, hogy fennáll p ∈ Uα , q ∈ Uβ és Uα ∩ Uβ = ∅. Ekkor az M egyértelm¶en tehet® dierenciálható sokasággá oly módon, hogy az adott (Uα , ξα ) párok mindegyike a dierenciálható struktúrát meghatározó teljes atlasznak egy térképe.
Bizonyítás.
Tetsz®leges α ∈ A indexnél a ξα : Uα → Rm injektív leképezésnek egy homeomor zmust kell adnia az M -beli Uα nyílt halmaz és az Rm -beli ξα (Uα ) nyílt halmaz között. Ez a feltétel már egyértelm¶en meghatározza az M -beli topológiát, amelynél egy V halmaz nyílt M -ben pontosan akkor, ha ξα (Uα ∩ V ) nyílt Rm -ben bármely α ∈ A mellett. A feltételek következtében M egy lokálisan euklideszi tér ezzel a topológiával, konkrétan az M egy m-dimenziós topologikus sokaság. Az (Uα , ξα ) párok az M topologikus sokaság térképei, és a (2) feltétel miatt a térképek C ∞ -kompatibilisek. Ily módon egyértelm¶en meghatároznak egy dierenciálható struktúrát. A (3) feltétel miatt az M topologikus tér megszámlálható bázisú, és a (4) feltétel következtében egy Hausdor-tér. Legyen adott egy M sima sokaság, amelynek dimenziója m. Tekintsük a sokaság pontjaiban értelmezett diszjunkt érint®terek T M = ∪p∈M Tp M unióját. Legyen π : T M → M az a leképezés, amelyre bármely p ∈ M pont és v ∈ Tp M érint®vektor esetén fennáll π(v) = p. 2
Vegyük egy (U, ξ) térképét az M sokaságnak. A ξ térképezés koordinát-függvényeire az x = ui ◦ ξ jelölést alkalmazzuk. Vezessük be a T U = ∪p∈U Tp M jelölést. Eszerint T U egy részhalmaza T M -nek. A ξ -hez rendeljük hozzá azt a ξ¯ : T U → R2m injektív leképezést, amelyre bármely w ∈ T U esetében fennáll ¯ ξ(w) = (x1 ◦ π(w), . . . , xm ◦ π(w), dx1 (w), . . . , dxm (w)). Közvetlen számolással ellen®rizhet®, hogy amennyiben az M -nek egy másik (V, η) tér¯ U ∩ T V ) = ξ(U ∩ V ) × Rm halmaz nyílt R2m -ben, képét vesszük és U ∩ V 6= ∅, akkor a ξ(T ¯ U ∩ T V ) → R2m leképezés C ∞ -osztályú. továbbá a η¯ ◦ ξ¯−1 : ξ(T i
1.6. De níció. Legyen { (Uα , ξα ) | α ∈ A } az M térképeib®l álló olyan atlasz, ahol az A indexhalmaz megszámlálható. Az ebb®l nyert { (T Uα , ξ¯α ) | α ∈ A } párok rendszere egyértelm¶en meghatároz egy topológiát és egy dierenciálható struktúrát az M érint®vektorainak T M halmazán. Ezt a T M dierenciálható sokaságot az M sokaság érint®nyalábjának mondjuk.
A T M érint®nyalábbal kapcsolatosan megmutatjuk, hogy a (T M, π, M, Rm ) négyes egy vektornyalábot ad. Legyen (U, ξ) egy térképe az M sokaságnak. Tekintsük most azt a ϕ : T U → Rm leképezést, amelyre teljesül ϕ(w) = (dx1 (w), . . . , dxm (w)) tetsz®leges w ∈ T U ra. Ha veszünk p ∈ U pontot és ϕnek a Tp M re való lesz¶kítését, akkor nyilván fennáll Pm egy i ∂ (p) = (a1 , . . . , am ) bármely ai valós számokra. Ily módon a ϕ leképezésnek a ϕ i=1 ∂xi a brumokra (azaz a pontbeli érint®terekre) vett lesz¶kítései lineáris izomor zmusok.
Megjegyzés. A továbbiakban, amikor a T M érint®nyalábról szólunk, azon egy vektor¯ térképeket nyalábot értünk. A T M érint®nyalábon a fentiek során értelmezett (T U, ξ) fogjuk használni, melyeket az M sokaság (U, ξ) térképei alapján értelmeztünk. Mint ismeretes, ha a ξ térképezés koordinát-függvényei xi = ui ◦ ξ (i = 1, . . . , m), akkor az érint®nyalábon vett ξ¯ térképezés x ¯l = ul ◦ ξ¯ (l = 1, . . . , 2m) koordináta-függvényeire fenni i m+i i áll x ¯ = x ◦ π, x¯ = dx (i = 1, . . . , m). Megjegyzés.
Világos, hogy ha az M sokaságon veszünk egy Z ∈ X(M ) vektormez®t, akkor az egy szelését adja a T M érint®nyalábnak.
Megjegyzés.
Könny¶ belátni, hogy ha az M sokaság nem irányítható, akkor a T M érint®nyaláb nem lehet trivializálható.
Megjegyzés. Tekintsük az S 2 szférát, mint az R3 tér egy részsokaságát. Mint ismeretes, az S 2 irányítható, de ezen a szférán nem adható meg olyan sima érint®leges vektormez®, amely sehol sem t¶nik el. Ennek következtében az S 2 szféra T S 2 érint®nyalábja sem trivializálható.
3
További fogalmak vektornyalábokra Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb. Vegyük a nyaláb Y, Z : B → E szeléseit és egy f ∈ F(B) függvényt. Mivel a nyaláb brumai vektorterek ezért értelmezni lehet az Y + Z és f Y szeléseket, melyekre fennáll (Y + Z)(p) = Y (p) + Z(p) és (f Y )(p) = f (p) tetsz®leges p ∈ B pontra. Világos, hogy a vektornyaláb szelései egy modulust alkotnak a bázistéren vett sima függvények F(B) gy¶r¶je felett, továbbá egy vektorteret az R számtest felett. A továbbiakban a vektornyaláb szeléseinek terét (illetve modulusát) C(E) fogja jelölni.
Megjegyzés. Az F(B) gy¶r¶ feletti C(E) modulusnak pontosan akkor van bázisa, ha az E vektornyaláb trivializálható. 1.7. De níció. Legyen U a B bázistér egy nyílt részhalmaza. A vektornyalábnak az U nyílt részhalmazon vett lokális szelésén egy olyan Z : U → E sima leképezést értünk, amelyre teljesül π ◦ Z = idU . 1.8. De níció. Legyen U egy nyílt részhalmaz a B bázistérben. Ekkor EU = { w ∈ E | π(w) ∈ U } = π −1 (U ) egy nyílt részhalmaza E nek. Vegyük a lesz¶kítéssel nyert π|EU : EU → U sima leképezést, továbbá az Fp (p ∈ U ) részsokaságokon az eredeti vektortér-struktúrát. Világos, hogy ekkor az (EU , π|EU , U, F ) négyes egy vektornyalábot képez. Ezt a továbbiakban az E nyaláb U ⊂ B nyílt halmaz feletti résznyalábjának mondjuk.
ˆ π ˆ Fˆ ) vektornyalábok. Egy 1.9. De níció. Legyenek adva az (E, π, B, F ) és (E, ˆ , B, χ : E → Eˆ sima leképezést vektornyaláb-homomor zmusnak mondunk, ha teljesülnek az
alábbi feltételek: ˆ sima leképezés, hogy fennáll π (1) A bázisterek között van egy olyan µ : B → B ˆ ◦χ = µ◦π . (2) Tetsz®leges p ∈ B esetén χnek az Fp brumra vett lesz¶kítése egy lineáris leképezést ad az Fp vektortérb®l az Fˆµ(p) vektortérbe.
Megjegyzés. Vektornyaláb-izomor zmus esetében a fenti de nícióban szerepl® feltételeken túl a χ leképezést®l még azt is megköveteljük, hogy dieomor zmus legyen.
Világos, hogy egy vektornyaláb pontosan akkor parallelizálható, ha izomorf egy triviális nyalábbal.
Megjegyzés.
A M és N sima sokaságok között legyen adott egy µ : M → N sima leképezés. Ekkor a T µ : T M → T N érint®leképezés egy vektornyaláb-homomor zmust ad a T M és T N érint®nyalábok között.
A vektornyaláb kitüntetett térképezései Legyen adott az (E, π, B, F ) vektornyaláb. A továbbiakban a B bázistér dimenzióját jelölje m, az F brumtípus dimenzióját pedig r. Tekintsük a nyaláb egy olyan (π −1 (U ), π × ϕ) nyalábtérképét, ahol a B bázistérbeli U nyílt halmaz a B sokaság egy (U, ξ) térképének a tartománya. Vegyük észre, hogy megfelel® lesz¶kítéssel ez elérhet®. A szokásoknak megfelel®en a ξ térképezés koordinátafüggvényei legyenek xi = ui ◦ ξ (i = 1, . . . , m). Rögzítsünk az F vektortérben egy e1 , . . . , er bázist. Az F brumtípuson vett lineáris formák F ∗ terében a duális bázis legyen ε1 , . . . , εr . 4
Tekintsük most azt a ξ¯ : π −1 (U ) → Rm+r leképezést, ahol tetsz®leges w ∈ π −1 (U ) esetén fennáll
¯ ξ(w) = (x1 ◦ π(w), . . . , xm ◦ π(w), ε1 ◦ ϕ(w), . . . , εr ◦ ϕ(w))
(1.1)
¯ pár egy térképe a E totáltérnek. A ξ¯ térképezés koordinátaVilágos, hogy a (π −1 (U ), ξ) i i függvényeire az x ¯ = x ◦ π (i = 1, . . . , m), z α = εα ◦ ϕ (α = 1, . . . , r) jelölést fogjuk alkalmazni. Eszerint teljesül ui ◦ ξ¯ = x ¯i és um+α ◦ ξ¯ = z α . Vegyük a π × ϕ : EU → U × F dieomor zmus ψ : U × F → EU inverz-leképezését. Egy α ∈ {1, . . . , r} indexnél legyen Zα : U → E az a leképezés, amelyre tetsz®leges p ∈ U pontban fennáll Zα (p) = ψ(p, eα ). Az U tartományon ily módon értelmezett Z1 , . . . , Zr lokális szelésekre nyilván igaz az, hogy egy tetsz®leges p ∈ U pontban vett értékeik egy bázisát adják az Fp vektortérnek. ¯ térképet a Megjegyzés. Célszer¶ megjegyezni, hogy az E totáltéren vett (π −1 (U ), ξ)
vektornyaláb (π −1 (U ), π × ϕ) nyalábtérképe és a B bázistér (U, ξ) térképe, továbbá az F brumtípus egy e1 , . . . , er bázisa alapján értelmeztük. A továbbiakban rendre ilyen speci¯ térképeket fogunk alkalmazni a különböz® leképezések lokális koordinátaális (π −1 (U ), ξ) kifejezéseinek a leírására.
Az indukált vektornyaláb Legyen adott az (E, π, B, F ) vektornyaláb és egy N sokaságon vett µ : N → B sima leképezés. Tekintsük a µ∗ E = {(q, w) ∈ N × E | µ(q) = π(w) } halmazt, amely egy részhalmaza az N × E szorzatsokaságnak. Ezen adódik a % : µ∗ E → N természetes projekció, amelyre igaz %(q, w) = q bármely (q, w) ∈ µ∗ E esetén. Világos, hogy ezzel a projekcióval fennáll %−1 (q) = {q} × Fµ(q) , ahol q ∈ N . Ezen a halmazon pedig nyilván adódik egy természetes vektortér-struktúra. Belátható, hogy µ∗ E egy részsokasága az N × E szorzatsokaságnak. Jelölje n az N sokaság dimenzióját. Legyen ω : N × E → B × B az a sima leképezés, amelyre ˜ = { (p, p) | p ∈ B } részsokaságot, fennáll ω(q, w) = (µ(q), π(w)). Vegyük B × B -ben a B ∗ −1 ˜ amellyel fennáll µ E = ω (B). Könnyen igazolható, hogy ω egy transzverzálisan reguláris ˜ részsokasághoz. Emiatt a µ∗ E = ω −1 (B) ˜ halmaz egy olyan részsokaság leképezés a B N × E -ben, amelynek kodimenziója ugyancsak m. Ebb®l pedig már adódik, hogy µ∗ E egy zárt, (n + r)-dimenziós részsokaság N × E -ben. Legyen V egy olyan nyílt halmaza az N sokaságnak, amelyhez létezik olyan (π (U ), π × ϕ) nyalábtérkép, hogy µ(V ) ⊂ U . Tekintsük a %−1 (V ) halmazon azt a ϕˆ : %−1 (V ) → F leképezést, amelyre teljesül ϕ(q, ˆ w) = ϕ(w) bármely (q, w) ∈ %−1 (V ) esetén. Igazolható, hogy ekkor a % × ϕˆ : %−1 (V ) → V × F leképezés egy lokális trivializást ad a µ∗ E sokaságon. −1
A fent leírtak alapján a (µ∗ E, %, N, F ) négyes egy vektornyalábot ad. 1.10. De níció. A (µ∗ E, %, N, F ) vektornyalábot a µ : N → B sima leképezés által indukált vektornyalábnak nevezzük.
5
A leképezés menti szelések (leképezés menti vektormez®k) Legyen adott az (E, π, B, F ) vektornyaláb. Vegyünk egy N sokaságot és egy µ : N → B sima leképezést a nyaláb B bázisterébe. 1.11. De níció. Az (E, π, B, F ) vektornyalábnak a µ leképezés mentén vett szelésén egy olyan Y : N → E dierenciálható leképezést értünk, amelyre teljesül π ◦ Y = µ.
Megjegyzés. Mivel a fenti de nícióban szerepl® Y : N → E függvény értékei vektorok, Y -ra szokás alkalmazni a µ leképezés menti vektormez® elnevezést is. Megjegyzés. Világos, hogy a µ leképezés mentén vett szelések egy modulust képeznek az N sokaságon vett sima függvények F(N ) gy¶r¶je felett. A továbbiakban erre a modulusra a Cµ (E) jelölést alkalmazzuk. Megjegyzés. Könny¶ belátni, hogy egy természetes megfeleltetést lehet létesíteni a µ leképezés mentén vett szelések és a (µ∗ E, %, N, F ) indukált nyaláb szelései között. Amennyiben Y egy szelés (más szóval vektormez®) µ mentén, akkor ennek megfelel azon Yˆ : N → µ∗ E szelés, amelyre fennáll Yˆ (q) = (p, Y (q)) tetsz®leges q ∈ N pontban. Megjegyzés. A továbbiakban az indukált nyaláb szeléseinek C(µ∗ E) terét azonosítjuk a µ leképezés mentén vett szelések Cµ (E) terével. A lineáris konnexió értelmezése Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb. Emlékezzünk rá, hogy a vektornyaláb szeléseinek terét C(E) jelöli. A továbbiakban a szelés elnevezés mellett a nyalábhoz tartozó vektormez® elnevezést is alkalmazzuk. A B bázistéren vett sima vektormez®k terére az X(B) jelölést használjuk, azonban célszer¶ itt megjegyezni, hogy fennáll X(B) = C(T B).
1.12. De níció. A vektornyalábon vett lineáris konnexión egy olyan ˆ ∈ X(B) vektorme∇ : X(B) × C(E) → C(E) leképezést értünk, amelyre tetsz®leges X, X z®k, Z, Zˆ ∈ C(E) szelések és f ∈ F(B) függvény esetén fennállnak az alábbi összefüggések: ˆ Z) = ∇(X, Z) + ∇(X, ˆ Z), (1) ∇(X + X, (2) ∇(f X, Z) = f · ∇(X, Z), ˆ = ∇(X, Z) + ∇(X, Z) ˆ , (3) ∇(X, Z + Z) (4) ∇(X, f Z) = f · ∇(X, Z) + (Xf ) Z . A ∇(X, Z) vektormez®t a Z szelés X szerinti kovariáns deriváltjának mondjuk. A továbbiakban a ∇(X, Z) helyett inkább a ∇X Z jelölést fogjuk alkalmazni a kovariáns deriváltra. Ez ugyanis egyértelm¶bben fejezi ki, hogy a Z szelésnek az X irányában vett kovariáns deriváltjáról van szó.
Megjegyzés. Könnyen lehet példát mutatni a kovariáns deriválásra. Tegyük fel, hogy az E vektornyaláb trivializálható. Eszerint léteznek olyan Z1 , . . . , Zr : B → E szelések, hogy tetsz®leges p ∈ B pontban a Z1 (p), . . . , Zr (p) vektorok egy bázisát adják az Fp brumnak, mint vektortérnek. Rögzítsük ezen Z1 , . . . , Zr ∈ C(E) szeléseket. Tetsz®leges X ∈ X(B) és Y ∈ C(E) esetén vegyük azon egyértelm¶en meghatározott Pr α α η ∈ F(B) (α = 1, . . . , r) függvényeket, melyekkel fennáll Y = α=1 η Zα . Könny¶ Pr α igazolni, hogy a ∇(X, Y ) = α=1 (Xη ) Zα összefüggéssel leírt ∇ : X(B) × C(E) → C(E)
leképezés egy kovariáns deriválást ad a vektornyalábon. 6
Ezen ∇ lineáris konnexió esetében tehát bármely X ∈ X(B) vektormez®vel fennáll ∇X Zα = 0 (α = 1, . . . , r). Emiatt a Zα szeléseket párhuzamosaknak mondjuk.
Megjegyzés.
Az egységosztás módszerét alkalmazva igazolható, hogy bármely vektornyalábon meg lehet adni egy lineáris konnexiót. A továbbiakban feltesszük, hogy a (E, π, B, F ) vektornyalábon adva van egy ∇ lineáris konnexió. A dudorfüggvény alkalmazásával igazolni lehet az alábbi kijelentést. ˆ ∈ X(B) vektormez®k és a nyaláb 1.2. Állítás. Legyenek adva a bázistéren olyan X, X ˆ , olyan Z, Zˆ ∈ C(E) szelései, hogy valamely U ⊂ B nyílt halmazon fennáll X|U = X|U ˆ . Ekkor tetsz®leges egy p ∈ U pontban fennáll (∇X Z)(p) = (∇ ˆ Z)(p) ˆ illetve Z|U = Z|U . X Mivel a ∇ : X(B) × C(E) leképezés az els® változójában F(B)-lineáris, könnyen igazolható az alábbi kijelentés is. ˆ ∈ X(B) vektormez®k és egy 1.3. Állítás. Legyenek adva a bázistéren az az X, X ˆ , akkor (∇X Z)(p) = Z ∈ C(E) szelés. Amennyiben egy p ∈ B pontban fennáll X(p) = X(p) (∇X Z)(p) teljesül. A fenti állítás alapján már értelmezni lehet egy szelésnek (a vektornyaláb egy vektormez®jének) a kovariáns deriváltját a bázistér egy érint®vektorára vonatkozóan. 1.13. De níció. Legyen adott egy Y ∈ C(E) sima szelése a vektornyalábnak és egy v ∈ Tp B (p ∈ B) érint®vektor. Vegyünk egy olyan X ∈ X(B) vektormez®t, amelyre fennáll X(p) = v . Az Y mez®nek a v vektor szerinti kovariáns deriváltján a ∇v Y = ∇X Y (p) vektort értjük.
A lineáris konnexió Christoelféle szimbólumai egy adott térképezésekre nézve Az 1.2. Állítás alapján, ha vesszük a B bázistér egy U nyílt részhalmazát, akkor a ∇ természetes módon meghatároz egy lineáris konnexiót az (EU , π|EU , U, F ) nyílt résznyalábon. Emiatt tetsz®leges X ∈ X(U ) és Z ∈ C(EU ) vektormez®k esetén de niálni tudjuk a ∇X Z ∈ C(EU ) szelést. Tekintsük a vektornyalábnak egy olyan (π −1 (U ), π × ϕ) nyalábtérképét, ahol az U térképtartománya a B egy ξ térképezésének. Az (U, ξ) térkép bázisvektormez®ire alkalmazzuk ∂ (i = 1, . . . , m) jelölést. Vegyük a brumtípust adó F vektortér egy e1 , . . . , er az Xi = ∂xi bázisát. Tekintsük a vektornyaláb azon Zα (α = 1, . . . , r) lokákis szeléseit az U tartomány felett, melyekre fennáll ϕ ◦ Zα (p) = eα tetsz®leges p ∈ B esetén. Fejezzük ki a ∇Xi Zα ∈ C(EU ) vektormez®t a P ∇Xi Zα = rβ=1 Γiβα · Zβ alakban a megfelel® Γiβα ∈ F(U ) függvényekkel. 1.14. De níció. A Γiβα : U → R (i = 1, . . . , m, α, β = 1, . . . , r) dierenciálható függvényeket a vektornyalábon vett ∇ lineáris konnexió Xi ∈ X(U ) és Zα ∈ C(EU ) lokális bázismez®kre vonatkozó Christoel-féle szimbólumainak nevezzük. A Christoel-féle szimbólumok ismeretében (lokálisan) írni P a lineáris konneP le tudjuk r i α xiót. Tekintsük a térképezés U tartományán vett Y = m η X , Z = i i=1 α=1 ζ Zα sima 7
vektormez®ket, ahol η i , ζ α ∈ F(U ). A kovariáns deriválás tulajdonságait felhasználva a
∇Y Z =
r m X r X X Y (ζ β ) + Γiβα · η i · ζ α Zβ
(1.2)
i=1 α=1
β=1
P ∂ β i összefüggést kapjuk, ahol Y (ζ β ) = m i=1 η · ∂xi (ζ ). P i i A Z ∈ C(EU ) lokális szelésnek egy p ∈ U pontban vett v = m i=1 a · Xi (p) (a ∈ R) érint®vektor szerinti kovariáns deriváltjára az (1.2) egyenl®ségb®l a ∇v Z =
r X
v(ζ β ) +
m X r X
Γiβα (p) · ai · ζ α (p) Zβ (p)
(1.3)
i=1 α=1
β=1
kifejezés adódik, amelyben ai = dxi (v). Az (1.3) összefüggés alapján már könnyen igazolható az alábbi kijelentés. Eszerint a ∇v Z kovariáns derivált csak attól függ, hogy a Z szelés miként változik egy a bázistérben vett olyan görbe mentén, amelynek érint®vektora éppen v . 1.4. Állítás. Legyen adott egy σ : I → B sima görbe és olyan Z, Zˆ ∈ C(E) vektormez®k, ˆ melyekre fennáll Z ◦ σ = Zˆ ◦ σ . Ekkor tetsz®leges t ∈ I helyen teljesül a ∇σ(t) ˙ Z = ∇σ(t) ˙ Z összefüggés.
A konnexió leképezés Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb és azon egy ∇ lineáris konnexió. Vegyük az E totális tér T E érint®nyalábját. A továbbiakban jelölje % : T E → E a T E érint®nyaláb természetes projekcióját E -re. Mint ismeretes, a (T E, %, E, Rm+r ) négyes is egy vektornyalábot képez. Az alábbiak során megmutatjuk, hogy a ∇ kovariáns deriválás kifejezhet® egy vektornyaláb homomor zmus segítségével.
1.5. Állítás. Egyértelm¶en létezik egy olyan K : T E → E vektornyaláb homomor zmus, amellyel tetsz®leges Z szelés és v ∈ T B érint®vektor esetén fennáll ∇v Z = K ◦ T Z(v). Bizonyítás. Vegyük a korábban bevezetett (U, ξ) bázistérbeli térképet és a (π −1 (U ), π × ϕ) nyalábtérképet, továbbá az F brumtípus egy e1 , . . . , er bázisát. Ezekb®l az (1.1) összefüggés ¯ térképezést a totális téren, melynek koordináta-függvényei alapján nyerjük a (π −1 (U ), ξ) i i x¯ = x ◦ π (i = 1,P . . . , m) és z α = εα ◦ ϕ (α = 1, . . . , r). Fejezzük ki a v ∈ Tp B i ∂ érint®vektort a P v= m i=1 a ∂xi (p) alakban, a Z vektormez®nek az U -ra vett lesz¶kítését pedig a Z|U = rα=1 ζ α Zα formában a ζ α ∈ F(U ) függvényekkel. Ekkor a totáltéren vett speciális térképezés miatt fennáll z α ◦ Z = ζ α . Legyen a Z ∈ C(E) szelés p pontbeli értéke w, vagyis legyen w = Z(p). Ekkor azt kapjuk, hogy a T Z(v) ∈ Tw E vektorra igaz T Z(v)(¯ xi ) = v(¯ xi ◦Z) = v(xi ◦π◦Z) = v(xi ) = ai ,
illetve
T Z(v)(z α ) = v(z α ◦Z) = v(ζ α ) .
Ily módon a bázistétel alapján fennáll a
T Z(v) =
m X i=1
r X ∂ ∂ a (w) + v(ζ α ) α (w) i ∂ x¯ ∂z α=1 i
8
(1.4)
egyenl®ség. A totáltér egy w pontbeli Tw E érint®terében vegyünk egy u vektort, amely el®állítható a bázisvektorokból az r m X X ∂ i ∂ (w) + cα α (w) u= a i ∂ x¯ ∂z α=1 i=1 alakban valamely ai , cα ∈ R együtthatókkal. Tekintsük ezen a vektortéren azt a Kw = K|Tw E : Tw E → Fπ(w) lineáris leképezést, amelyre tetsz®leges u vektor esetében fennáll
Kw (u) =
r X β=1
β
c +
m X r X
Γiβα (p) · ai · z α (w) · Zβ (p).
(1.5)
i=1 α=1
Vegyük észre, hogy az (1.3), (1.4) és (1.5) összefüggések szerint csakis ezekkel a Kw (w ∈ E) leképezésekkel teljesül a ∇v Z = K ◦ T Z(v) egyenl®ség bármely v ∈ T B és Z ∈ C(E) esetén. A fentiekb®l egyúttal az is következik, hogy a Kw leképezés nem függ a térképezések megválasztásától. Világos, hogy a Kw (w ∈ E) leképezésekkel a teljes T E érint®nyalábon nyerünk egy K : T E → E vektornyaláb homomor zmust.
1.15. De níció. Az el®bbiek során értelmezett K : T E → E vektornyaláb homomor zmust a ∇ kovariáns deriváláshoz rendelt konnexió leképezésnek nevezzük. Megjegyzés. A K konnexió leképezésnek az E, B bázisterek közötti π : E → B leképezés felel meg, azaz teljesül π ◦ K = π ◦ %. A nyaláb érint®terének vertikális és horizontális alterei A továbbiakban feltesszük, hogy az (E, π, B, F ) vektornyalábon adva van egy ∇ lineáris konnexió. 1.16. De níció. A vektornyaláb w ∈ E pontbeli vertikális alterén a Tw E érint®tér Vw E = { u ∈ Tw E | T π(u) = 0 } alterét értjük. Alkalmazzuk az el®z®ekben is használt speciális térképezést. Könnyen adódik, hogy fennállnak a T π( ∂z∂α (w)) = 0 T π( ∂∂x¯i (w)) = ∂∂x¯i (π(w)),
∂ (w) (α = 1, . . . , r) vekegyenl®ségek. Eszerint a Vw E vertikális altér megegyezik a ∂z α torok által generált altérrel. Amennyiben a brumok érint®tereit, mint az E totáltér érint®tereinek az altereit tekintjük, akkor nyilván teljesül a Vw E = Tw Fπ(w) egyenl®ség.
1.17. De níció. A lineáris konnexióval ellátott vektornyaláb w ∈ E pontbeli horizontális alterén a Tw E érint®tér Hw E = { u ∈ Tw E | Kw (u) = 0 } alterét értjük. 1.6. Állítás. Tetsz®leges w ∈ E pontban a Tw E érint®tér a Vw E és Hw E alterek direkt összege.
Bizonyítás.
¯ nyalábtérképet. Az (1.5) kifejezés A továbbiakban is alkalmazzuk a speciális (π −1 (U ), ξ)
9
P Pr i ∂ α ∂ alapján egy w ∈ π −1 (U ) pontbeli u = m (w) + i i=1 a ∂ x α=1 c ∂z α (w) vektor a Tw E érin¯ t®térben akkor eleme a Hw E horizontális altérnek, ha az (a1 , . . . , am , c1 , . . . cr ) koordinátái kielégítik a β
c +
m X r X i=1
Γiβα (π(w))
· z (w) · ai = 0 α
(β = 1, . . . , r)
α=1
lineáris egyenletrendszert. Emiatt a Hw E horizontális altér m-dimenziós. Ismeretes, hogy az u vektor akkor vertikális, ha ai = 0 (i = 1, . . . , m) teljesül. Ebb®l viszont már következik, hogy az m-dimenziós Hw E horizontális altérnek és az r-dimenziós Vw E vertikális altérnek csupán a nullvektor a közös eleme.
A leképezés menti vektormez®k kovariáns deriváltja Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb és azon egy egy ∇ lineáris konnexió. Az el®z®ekben leírtaknak megfelel®en a ∇ kovariáns deriválás meghatároz egy K : T E → E konnexió leképezést. Tekintsünk egy µ : N → B sima leképezést és az általa indukált µ∗ E vektornyalábot. Mint ismeretes, az indukált nyaláb szeléseinek C(µ∗ E) terét azonosítani lehet a µ leképezés menti szelések (vagy más szóval a leképezés menti vektormez®k) Cµ (E) terével. Vegyünk egy Y : N → E szelést (más szóval vektormez®t) a µ leképezés mentén. Eszerint az Y sima leképezésre fennáll π ◦ Y = µ. Legyen v ∈ Tq N egy érint®vektor egy q ∈ N pontban. A K konnexió leképezés alapján értelmezni lehet az Y ∈ Cµ (E) mez® v irányú kovariáns deriváltját.
1.18. De níció. Az Y ∈ Cµ (E) vektormez®nek a v ∈ Tq N vektor szerinti kovariáns deriváltján az Fµ(q) brum ∇µv Y = K ◦ T Y (v) vektorát értjük. Megjegyzés. Az Y ∈ Cµ (E) mez® v szerinti kovariáns deriváltjára ∇µv Y mellett a ∇µ (v, Y ) jelölést is alkalmazni fogjuk. ¯ térképét, ahol Vegyük az (E, π, B, F ) vektornyaláb egy olyan kitüntetett (π −1 (U ), ξ) −1 µ(q) ∈ U . Ekkor a V = µ (U ) halmaz nyílt N -ben. Ha vesszük az Y mez®nek a V = µ−1 (U ) nyílt halmazra lesz¶kítését, akkor az valamely η α ∈ F(V ) függvényekkel Pr való α kifejezhet® az Y |V = α=1 η · (Zα ◦ µ) alakban. Vezessük be az Y (q) = w jelölést. A jól ismert bázistétel szerint a Tw E érint®tér T Y (v) vektora el®áll a T Y (v) =
m X i=1
r X ∂ ∂ T Y (v)(z α ) · α (w) T Y (v)(¯ x ) · i (w) + ∂ x¯ ∂z α=1 i
alakban. Mivel igaz x ¯i ◦ Y = xi ◦ µ és z α ◦ Y = η α , az alábbi kifejezést kapjuk
T Y (v) =
m X i=1
r X ∂ ∂ v(η α ) · α (w). T µ(v)(x ) · i (w) + ∂ x¯ ∂z α=1 i
Az (1.5) összefüggés alapján a ∇µv Y = K ◦ T Y (v) kovariáns deriváltra fennáll
∇µv Y
=
r X β=1
β
v(η ) +
m X r X
Γiβα (µ(q)) · dxi (T µ(v)) · η α (q) · Zβ (µ(q)) .
i=1 α=1
10
(1.6)
Pm Ha felhasználjuk a T µ(v) = dxi (T µ(v)) · ∂x∂ i (µ(q)) kifejezést, akkor a ∇T µ(v) Zα = i=1 Pm β Pr i i=1 Γi α (µ(q)) · dx (T µ(v)) · Zβ (µ(q)) egyenl®ség adódik. Emiatt az (1.6) egyenβ=1 l®ségb®l már következik, hogy a ∇µv Y = K ◦ T Y (v) kovariáns deriváltra teljesül
∇µv Y
=
r X
β
v(η ) · Zβ (µ(q)) +
r X
(1.7)
η α (q) · ∇T µ(v) Zα .
α=1
β=1
Megjegyzés. A leképezés menti vektormez® (más szóval szelés) kovariáns deriváltját a
szakirodalomban szokás automatikusan az (1.7) egyenlettel de niálni.
Az (1.7) összefüggés alapján már könnyen igazolható az alábbi kijelentés.
1.7. Állítás. Tetsz®leges Y ∈ Cµ (E) mez®, f ∈ F(N ) függvény és v ∈ Tq N vektor esetén teljesül ∇µv (f Y ) = v(f ) · Y (q) + f (q) · ∇µv Y . Megjegyzés. A kés®bbiek során majd ki fogjuk használni az alábbi kapcsolatot. Amennyiben a vektornyalábnak vesszük egy Z ∈ C(E) szelését, akkor a Z ◦ µ : N → E leképezés egy vektormez®t ad µ mentén. Az 1.18. De nícióból adódik, hogy ennek egy v ∈ Tq N vektor irányában vett kovariáns deriváltjára igaz ∇µv (Z ◦ µ) = ∇T µ(v) Z, vagyis ∇µ (v, Z ◦ µ) = ∇(T µ(v), Z).
A fenti megjegyzés egy általánosításának fogható fel a következ® állítás. 1.8. Állítás. Legyen adott egy P dierenciálható sokaság és egy λ : P → N sima leképezés. Tekintsünk egy Y ∈ Cµ (E) szelést és az abból nyert Y ◦ λ : P → E vektormez®t a µ ◦ λ : P → B leképezés mentén. Ekkor tetsz®leges v ∈ Tp P (p ∈ P ) vektorral fennáll µ ∇µ◦λ vagyis ∇µ◦λ (v, Y ◦ λ) = ∇µ (T λ(v), Y ). v (Y ◦ λ) = ∇T λ(v) Y,
Bizonyítás.
Akárcsak az el®bbi megjegyzés, ez az állítás következik az 1.18. De nícióból és az érint® leképezésre vonatkozó láncszabályból: µ ∇µ◦λ v (Y ◦ λ) = K ◦ T (Y ◦ λ)(v) = K ◦ T Y (T λ(v)) = ∇T λ(v) Y.
Természetesen de niálni lehet a µ : N → B leképezés menti vektomez®k kovariáns deriváltját az N sokaságon vett vektormez®kre vonatkozóan is. 1.19. De níció. Tekintsünk az N sokaságon egy A ∈ X(N ) vektormez®t. Az Y ∈ Cµ (E) vektormez® A szerinti kovariáns deriváltján a ∇µA Y = K ◦ T Y ◦ A leképezés menti mez®t értjük. Világos, hogy a ∇µA Y ∈ Cµ (E) vektormez®re tetsz®leges q ∈ N pontban teljesül (∇µA Y )(q) = ∇µA(q) Y . Az (1.6) összefüggés alapján ki tudjuk fejezni a ∇µA Y mez® V = µ−1 (U ) nyílt halmazra vett lesz¶kítését a Zβ ◦ µ (β = 1, . . . , r) lokális bázismez®kkel:
∇µA Y
|V =
r X β=1
β
A(η ) +
m X r X
(Γiβα ◦ µ) · (dxi ◦ T µ ◦ A) · η α ) (Zβ ◦ µ) .
i=1 α=1
11
(1.8)
Az eddig végzett vizsgálatok eredményei alapján már könnyen igazolni lehet az alábbi kijelentést a µ : N → B sima leképezés menti vektormez®k kovariáns deriváltjával kapcsolatban. 1.9. Állítás. Tekintsük a ∇µ : X(N ) × Cµ (E) → Cµ (E) leképezést, amelyet a ∇µ (A, Y ) = K ◦ T Y ◦ A egyenlet ír le. Ekkor tetsz®leges A, Aˆ ∈ X(N ), Z, Zˆ ∈ C(E) vektormez®k és f ∈ F(N ) függvény esetén teljesülnek az alábbi összefüggések: ˆ Y ) = ∇µ (A, Y ) + ∇µ (A, ˆ Y ), (1) ∇µ (A + A, µ µ (2) ∇ (f A, Y ) = f · ∇ (A, Y ), (3) ∇µ (A, Y + Yˆ ) = ∇µ (A, Y ) + ∇µ (A, Yˆ ), (4) ∇µ (A, f Y ) = f · ∇µ (A, Y ) + (Af ) Y .
A görbe menti vektormez® kovariáns deriváltja A továbbiakban is feltesszük, hogy a (E, π, B, F ) vektornyalábon adva van egy ∇ lineáris konnexió, melynek megfelel a K : T E → E konnexió-leképezés. Legyen I egy nyílt intervallum R-ben. Vegyünk egy σ : I → B sima görbét a bázistérben és egy Y ∈ Cσ (E) vektormez®t σ mentén. Eszerint az Y : I → E sima leképezésre fennáll π ◦ Y = σ . d 1.20. De níció. A σ menti Y mez®nek a (t) ∈ Tt I vektor szerinti kovariáns deriváltján du d (t)) vektorát értjük. a Fσ(t) brum ∇σd (t) Y = K ◦ T Y ( du du
Megjegyzés. Ha veszünk egy Y : I → E görbét a totáltérben, akkor ez egy vektormez® a bázistérbeli σ = π ◦ Y görbe mentén. Tehát Y egyértelm¶en meghatározza a σ görbét, amely felett egy vektormez®t képez. Emiatt a ∇σd (t) Y kovariáns deriváltra az Y 0 (t) du jelölést is alkalmazni fogjuk, továbbá a Y 0 (t) vektort az Y mez® t helyen vett kovariáns deriváltjának is mondjuk.
Megjegyzés.
Tekintsünk egy Z ∈ X(M ) vektormez®t az M sokaságon. Ekkor Z ◦ σ egy vektormez® σ mentén. A láncszabály következtében a kovariáns deriváltra fennáll a (Z ◦ σ)0 (t) = ∇σ(t) ˙ Z összefüggés.
DY A szakirodalomban a görbe menti Y mez® kovariáns deriváltjára a dt jelölést is szokták alkalmazni. Ebben a jegyzetben ezt nem használjuk.
Megjegyzés.
¯ térképét az E totáltérnek. Tegyük Ismét alkalmazzunk egy kitüntetett (π −1 (U ), ξ) fel, hogy az U ⊂ B térképtartomány tartalmazza a σ görbe pályáját. Tekintsük az (U, ξ) térképhez tartozó σi = xi ◦ σ (i = 1, . . . , m) valós függvényeket az I intervallumon. d (t)), t ∈PI . Vegyük most azon Evidens, hogy ezekkel fennáll σi0 (t) = dxi (σ(t)) ˙ = dxi ◦T σ( du ηα : I → R (α = 1, . . . , r) függvényeket, melyekkel teljesül Y (t) = rα=1 ηα (t) · Zα ◦ σ(t). Ekkor az (1.6) összefüggés alapján az Y 0 (t) kovariáns derivált kifejezhet® a ∇σd (t) Y = du
r X β=1
ηβ0 (t) +
m X r X
Γiβα (σ(t)) · σi0 (t) · ηα (t) Zβ (σ(t)) .
i=1 α=1
egyenlettel. 12
(1.9)
Az alábbiakban megadjuk a párhuzamos vektormez® kézenfekv® fogalmát. 1.21. De níció. A σ : I → B görbe mentén vett Y ∈ Cσ (E) vektormez®t párhuzamosnak mondjuk, ha fennáll Y 0 (t) = 0 tetsz®leges t ∈ I helyen.
1.10. Állítás. Legyen adott egy σ : I → B sima görbe és egy rögzített σ(t0 ) ponthoz tartozó Fσ(t0 ) brumban egy w vektor. Ekkor egyértelm¶en létezik egy Y párhuzamos vektormez® σ mentén, amelyre teljesül Y (t0 ) = w. Bizonyítás. A fentiek levezetett (1.9) összefüggés szerint az σ görbe mentén vett Psorán r Y (t) = α=1 ηα (t) · Zα ◦ σ(t) vektormez® párhuzamos akkor és csak akkor, ha a komponensfüggvényei kielégítik az P Pm β 0 ηβ0 (t) + rα=1 i=1 Γi α (σ(t)) · σi (t) · ηα (t) = 0 (β = 1, . . . , r)
egyenleteket. Emiatt a dierenciálegyenlet-rendszerek elméletéb®l már következik a kimondott állítás. Korábban már említettük, hogy ha veszünk egy Y : I → E sima leképezést egy I valós intervallumon, akkor az egy vektormez®t ad a bázistérben nyert σ = π ◦ Y görbe mentén. Az 1.20. De nícióból azonnal következik az alábbi kijelentés. 1.11. Állítás. Az Y : I → E vektormez® párhuzamos a σ = π ◦ Y görbe mentén akkor és csak akkor, ha a totáltérbeli Y görbe horizontális, azaz tetsz®leges t ∈ I helyen az Y érint®vektorára fennáll Y˙ (t) ∈ HY (t) E .
13
2) Kovariáns deriválás az érint®nyalábon
Ebben a fejezetben egy sokaság érint®nyalábján vett kovariáns deriválást tanulmányozunk. Vegyünk egy m-dimenziós M sokaságot, annak T M érint®nyalábját és a π : T M → M természetes projekciót. Mint ismeretes, a (T M, π, M, Rm ) négyes egy vektornyalábot ad. Legyen adva ezen a vektornyalábon egy ∇ lineáris konnexió, melyet egyúttal az M sokaságon vett kovariáns deriválásnak is szokás nevezni. Nyilván alkalmazhatjuk az el®z® fejezet eredményeit. Azonban a helyzet most speciális abban a tekintetben, hogy az érint®nyaláb szeléseinek C(T M ) tere azonos az M sokaságon (mint bázistéren) vett sima vektormez®k X(M ) terével. Ily módon a ∇ kovariáns deriválás két tetsz®leges Y, Z ∈ X(M ) vektormez®höz rendel egy harmadik ∇Y Z vektormez®t az M sokaságon. Ezen fejezet célja annak igazolása, hogy a ∇ lineáris konnexió egyértelm¶en meghatároz egy vektormez®t a T M érint®nyalábon, melyet a ∇ spray-mez®jének mondunk. Látni fogjuk, hogy a spray-mez® szoros kapcsolatban áll az M -beli geodetikus görbékkel. A spray-mez® alapján lehet értelmezni az exponenciális leképezést, amely alapvet® szerepet játszik a Riemann-sokaságok vizsgálatában.
A lineáris konnexió adott térképezéshez tartozó Christoel-szimbólumai A továbbiakban a kovariáns deriválás koordinátakifejezéseit vesszük. Tekintsük M nek egy (U, ξ) térképét az xi = ui ◦ ξ (i = 1, . . . , m) koordináta-függvényekkel. A térképezés ∂ (i = 1, . . . , m) jelölést. Fejezzük bázisvektormez®ire ez esetben is alkalmazzuk az Xi = ∂xi Pm ki a ∇Xi Xj ∈ X(U ) vektormez®t a ∇Xi Xj = k=1 Γikj · Xk alakban a Γikj ∈ F(U ) sima függvényekkel. 2.1. De níció. A Γikj : U → R (i, j, k = 1, . . . , m) dierenciálható függvényeket az érint®nyalábon vett ∇ kovariáns deriválás (U, ξ) térképre vonatkozó Christoelféle szimbólumainak nevezzük. Az el®z® fejezetben leírtaknak megfelel®en a Christoelféle szimbólumokkal (lokálisan) P le tudjuk írni a kovariáns U tartományán vett Pm i deriválást. Tekintsük a térképezés i i i Y = m η X , Z = ζ X sima vektormez®ket, ahol η , ζ ∈ F(U ) (i = 1, . . . , m). i i i=1 i=1 A kovariáns deriválás tulajdonságait felhasználva a
∇Y Z =
m X
k
Y (ζ ) +
m X m X
Γikj
i
·η ·ζ
j
Xk
(2.1)
i=1 j=1
k=1
P k i ∂ζ k összefüggést kapjuk. Célszer¶ itt megjegyezni, hogy fennáll Y (ζP )= m i=1 η · ∂xi . m i i A Z ∈ X(U ) vektormez®nek egy p ∈ U pontban vett v = i=1 a · Xi (p) (a ∈ R) érint®vektor szerinti kovariáns deriváltjára a ∇v Z =
m X m X k=1
k
v(ζ ) +
i=1
m m X X i=1 j=1
kifejezés adódik, amelyben ai = dxi (v). 14
Γikj (p) · ai · ζ j (p) Xk (p)
(2.2)
A kovariáns deriváláshoz rendelt konnexió leképezés Tekintsük most a T M érint®nyaláb T (T M ) érint®nyalábját. Ez esetben a T (T M ) érint®nyalábnak a T M sokaságra vett természetes projekcióját jelölje %. A ∇ kovariáns deriválásnak az 1.5. Állítás szerint egyértelm¶en megfelel egy olyan K : T (T M ) → T M vektornyaláb homor zmus, amellyel tetsz®leges v ∈ T M érint®vektor és Z ∈ C(T M ) = X(M ) vektormez® esetén fennáll ∇v Z = K ◦ T Z(v). Célszer¶ megemlíteni, hogy a K leképezésre és a % : T (T M ) → T M természetes projekcióra teljesül π ◦ K = π ◦ %.
2.2. De níció. A K : T (T M ) → T M vektornyaláb homor zmust a ∇ kovariáns deriváláshoz tartozó konnexió leképezésnek nevezzük.
¯ térképet, melyet A K leképezés leírásához a T M érint®nyalábon vegyük azt a (T U, ξ) az M sokaság (U, ξ) térképei alapján értelmeztünk az el®z® fejezetben. Mint ismeretes, ¯ térképezés x¯l = ul ◦ ξ¯ (l = 1, . . . , 2m) koordináta-függvényeire fennáll ezen speciális (T U, ξ) x¯i = xi ◦ π, x¯m+i = dxi (i = 1, . . . , m). Tekintsünk egy w ∈ T M vektort, amelynél a π(w) = p pont eleme az U tartománynak. A K konnexió leképezésnek a Kw = K|Tw (T M ) lesz¶kítése, amely a Tw (T M ) érint®térnek egy lineáris leképezése a Tp M érint®térbe, egyszer¶en felírható az (U, ξ) térképezéshez tartozó Christoel-szimbólumok alapján. Az (1.5) összefüggés szerint tetsz®leges u=
m X i=1
m
ai
X ∂ ∂ (w) + ci m+i (w) i ∂ x¯ ∂ x¯ i=1
vektor esetében fennáll
Kw (u) =
m X k=1
k
c +
m X m X
Γikj (π(w)) · ai · dxj (w) · Xk (π(w)) .
(2.3)
i=1 j=1
Ahogyan az el®z® fejezetben is tettük tetsz®leges w ∈ T M pontban a Tw (T M ) érint®térnek értelmezni lehet a Vw (T M ) vertikális és Hw (T M ) horizontális altereit.
2.3. De níció.
Legyen α egy rögzített valós szám. A hα : T M → T M leképezést, amelynél tetsz®leges w ∈ T M vektorra fennáll hα (w) = α w, a T M vektornyalábon vett α arányú homotéciának (vagy más szóval nyújtásnak) mondjuk. A megfelel® koordináta kifejezések alapján könnyen igazolható az alábbi kijelentés. 2.1. Állítás. A K konnexió leképezésre teljesül hα ◦ K = K ◦ T hα .
A leképezés menti vektormez®k kovariáns deriváltja Legyen adva egy N sokaság és azon egy µ : N → M sima leképezés. Vegyük a µ által indukált µ∗ (T M ) vektornyalábot. Mint ismeretes, az indukált nyaláb szeléseinek C(µ∗ (T M )) terét azonosítani lehet a µ leképezés menti vektormez®k Cµ (T M ) terével. Vegyünk egy Y : N → T M vektormez®t a µ leképezés mentén. Ez azt jelenti, hogy az Y sima leképezésre fennáll π ◦ Y = µ. Legyen v ∈ Tq N egy érint®vektor egy q ∈ N pontban. Az el®z® fejezetben leírtaknak megfelel®en értelmezzük az Y mez® v szerinti 15
kovariáns deriváltját. 2.4. De níció. Az Y ∈ Cµ (T M ) vektormez®nek a v ∈ Tq N vektor szerinti kovariáns deriváltján a Tµ(q) M érint®tér ∇µv Y = K ◦ T Y (v) vektorát értjük. A továbbiakban is alkalmazzuk az M -beli (U, ξ) térképezést. Ekkor a V = µ−1 (U ) halmaz nyílt N -ben. VegyükPaz Y mez®nek a V = µ−1 (U ) nyílt halmazra való lesz¶kítését és azt fejezzük ki az Y |V = ri=1 η i ·(Xi ◦µ) alakban a megfelel® η i ∈ F(V ) függvényekkel. Alkalmazva az Y (q) = w jelölést az (1.6) összefüggés alapján fennáll
∇µv Y
=
m X
k
v(η ) +
m X m X
Γikj (µ(q)) · dxi (T µ(v)) · η k (q) Xk (µ(q)) .
(2.4)
i=1 j=1
k=1
Az (1.7) egyenletnek pedig megfelel a
∇µv Y
=
m X
i
v(η ) · Xi (µ(q)) +
i=1
m X
η j (q) · ∇T µ(v) Xj .
(2.5)
j=1
összefüggés.
Megjegyzés.
A leképezés menti vektormez® kovariáns deriváltját a szakirodalomban szokás automatikusan a (2.5) egyenlettel de niálni.
Az 1.8. Állításnak megfelel®en igaz a következ® kijelentés. Legyen adott egy P dierenciálható sokaság és egy λ : P → N sima leképezés. Tekintsünk egy Y ∈ Cµ (T M ) mez®t és az abból nyert Y ◦ λ : P → T M vektormez®t a µ ◦ λ : P → M leképezés mentén. Ekkor tetsz®leges v ∈ Tp P (p ∈ P ) vektorral fennáll ∇vµ◦λ (Y ◦ λ) = ∇µT λ(v) Y , azaz ∇µ◦λ (v, Y ◦ λ) = ∇µ (T λ(v), Y ).
A görbe menti vektormez®k kovariáns deriváltja. A geodetikus görbék Vegyünk egy σ : I → M sima görbét és egy Y ∈ Cσ (T M ) vektormez®t a σ mentén. d (t) ∈ Tt I vektor szerinti kovariáns Az 1.20. De níciónak megfelel®en az Y mez®nek a du d deriváltján a Tσ(t) M érint®tér ∇σd (t) Y = K ◦ T Y ( du (t)) vektorát értjük. A kovariáns du
deriváltat ∇σd (t) Y mellett Y 0 (t) is jelölni fogja a továbbiakban. Az 1.21. De níció alapján du pedig értelmezhet® az Y mez® párhuzamossága. Tegyük fel, hogy az (U, ξ) térképre fennáll σ(I) ⊂ U . Vegyük σ -nak az (U, ξ) térképhez tartozó σi = xi ◦ σ (i = 1, . . . , m) koordináta-függvényeit, továbbá azon ηi : I → R függPm vényeket, melyekkel teljesül Y (t) = i=1 ηi (t) · Xi ◦ σ(t). Világos, hogy a σi függvényekre d fennáll σi0 (t) = dxi (σ(t)) ˙ = dxi ◦ T σ( du (t)), t ∈ I . Ekkor az (1.9) összefüggés alapján az 0 Y (t) kovariáns derivált kifejezhet® a σ
∇ d (t) Y = du
m X k=1
ηk0 (t)
+
m X m X
Γikj (σ(t)) · σi0 (t) · ηj (t) Xk (σ(t)) .
i=1 j=1
egyenlettel. 16
(2.6)
Az alábbiakban megadjuk a geodetikus görbe fogalmát. 2.5. De níció. A σ : I → M sima görbét geodetikusnak mondjuk, ha a σ˙ : I → T M vektormez® párhuzamos σ mentén, vagyis ha fennáll (σ) ˙ 0 (t) = 0 tetsz®leges t ∈ I helyen. A (2.6) egyenletb®l már következik, az alábbi kijelentés. 2.2. Állítás. Legyen adott egy σ : I → M sima görbe, amelyre fennáll σ(I) ⊂ U . A σ sima görbe pontosan akkor geodetikus, ha a σk = xk ◦ σ (k = 1, . . . , m) koordináta függvények kielégítik a
σk00 (t)
+
m X m X
Γikj ◦ σ(t) · σi0 (t) σj0 (t) = 0
(k = 1, . . . , m)
(2.7)
i=1 j=1
másodrend¶ dierenciálegyenlet-rendszert. Egy γ : I → M geodetikus görbét maximálisnak mondunk, ha nincs olyan σ : J → M geodetikus, amelyre I ⊂ J, I 6= J és σ|I = γ egyaránt teljesül. A dierenciálegyenletrendszerek elméletéb®l következik az alábbi eredmény. 2.3. Állítás. Legyen adva az M sokaság egy tetsz®leges v ∈ Tp M (p ∈ M ) érint®vektora. Egyértelm¶en létezik egy olyan γ : I → M maximális geodetikus, amelyre fennáll γ(0) = p és γ(0) ˙ = v.
A lineáris konnexió spray-mez®je Az alábbiak során megmutatjuk, hogy a K konnexió leképezés meghatároz egy vektormez®t a T M érint®nyalábon. 2.4. Állítás. A T M érint®nyalábon egyértelm¶en létezik egy olyan S ∈ X(T M ) vektormez®, amelyre teljesül T π ◦ S = idT M és K ◦ S = 0.
Bizonyítás. A T M érint®nyaláb T U nyílt halmazán vegyünk egy S ∈ X(T U ) vektormez®t. Ezt valaP l ∂ mely ζ l : T U → R (l = 1, . . . , 2m) sima függvényekkel ki lehet fejezni az S = 2m α=1 ζ ∂ x¯l alakban. Azt vizsgáljuk, hogy az S mikor felel meg az állításban szerepl® két feltételnek. ∂ ∂ Mint ismeretes, tetsz®leges w ∈ T U helyen fennáll T π (w) = (π(w)) és ∂ x¯i ∂xi Pm i ∂ ∂ Tπ = 0 . Ily módon a T π(S(w)) = (π(w)) összefüggéshez jui=1 ζ (w) m+i ∂ x¯ (w) ∂xi Pm ∂ i tunk. Mivel w = i=1 dx (w) · ∂xi (π(w)), T π(S(w)) = w pontosan akkor teljesül, ha igaz ζ i (w) = dxi (w) = x ¯m+i (w). Ebb®l már adódik, hogy az els® feltétel következtében a i ζ ∈ F(T U ) (i = 1, . . . , m) függvényekre fennáll ζ i = x¯m+i = dxi . Tekintsük most a konnexió-leképezésre vonatkozó P P Pm m+k k i j K(S(w)) = m (w) + m k=1 ζ i=1 j=1 Γi j (π(w)) · ζ (w) · dx (w) Xk (π(w))
összefüggést. Ebb®l az következik, hogy T π(Z(w)) = w és K(S(w)) = 0 fennállása esetén teljesül (k = 1, . . . , m) k
ζ (w) = x¯
m+k
(w),
ζ
m+k
(w) = −
m X m X i=1 j=1
17
Γikj (π(w)) · dxi (w) · dxj (w) .
Mivel az S mez® kifejezésében szerepl® ζ l függvények a két feltétel alapján egyértelm¶en meghatározottak, így az S vektormez® létezése is egyértelm¶.
Megjegyzés. A fenti bizonyítás szerint az S spray-mez®nek a T U -ra való lesz¶kítése ¯ térképezés bázisvektormez®ivel az felírható a (T U, ξ) m X
m
m
m
∂ XX X ∂ k i j S|T U = dx − Γ ◦ π · dx · dx ∂ x¯k k=1 i=1 j=1 i j ∂ x¯m+k k=1 k
(2.8)
egyenlettel.
2.6. De níció. A T M érint®nyalábon vett azon S ∈ X(T M ) vektormez®t, amelyre fennáll K ◦ S = 0 és T π ◦ S = idT M , a ∇ lineáris konnnexió spray-mez®jének mondjuk. Legyen adva egy olyan σ : I → M sima görbe, amelynek σ(I) pályája benne van egy (U, ξ) térkép U tartományában. Vegyük a σ˙ : I → T M görbét, amelyre nyilván fennáll π ◦ σ˙ = σ . Könny¶ belátni, hogy ennek az érint®nyalábon vett σ˙ görbének az érint®vektorára fennáll
σ ¨ (t) =
m X i=1
m
σi0 (t)
X ∂ ∂ 00 ( σ(t)) ˙ + (σ(t)). ˙ σ (t) i m+i ∂ x¯i ∂ x ¯ i=1
A fenti összefüggés és (2.8) alapján már nem nehéz igazolni az alábbi állítást, amely a geodetikusok és a spray-mez® kapcsolatáról szól. 2.5. Állítás. A spray-mez®re vonatkozóan igazak az alábbi kijelentések. (1) Egy σ : I → M sima görbe geodetikus akkor és csak akkor, ha σ˙ : I → T M egy integrálgörbéje az S spray-mez®nek. (2) Amennyiben a ϕ : I → T M sima leképezés egy integrálgörbéje az S spray-mez®nek, akkor a σ = π ◦ ϕ görbe egy geodetikust ad M -ben és fennáll σ˙ = ϕ. Korábban már értelmeztük a hα : T M → T M homotéciát egy α ∈ R számmal, amely az α arányú nyújtást adja az érint®nyalábon. 2.6. Állítás. A ∇ kovariáns deriválás S ∈ X(T M ) spray-mez®jére teljesül az S ◦ hα = α · (T hα ◦ S) összefüggés.
A vektormez®höz rendelt maximális folyam A továbbhaladás érdekében teszünk egy kitér®t az érint®nyalábon vett kovariáns deriválás tanulmányozásában. Az Rm euklideszi térben vegyünk egy U nyílt halmazt és azon egy olyan F : U → Rm vektorfüggvényt, amely C ∞ -osztályú. 2.7. De níció. Egy σ : I → U ⊂ Rm sima görbét az F vektorfüggvény integrálgörbéjének mondunk, ha tetsz®leges t ∈ I helyen fennáll σ 0 (t) = F ◦ σ(t).
18
A dierenciálegyenlet-rendszerek elméletéb®l ismeretes az alábbi alapvet® tétel. 2.7. Tétel. Legyen adott egy U nyílt összefügg® tartomány Rm ben, és azon egy C ∞ osztályú F : U → Rm függvény. Tetsz®leges a ∈ U pont esetén van olyan W ⊂ U nyílt környezete a-nak és olyan J (0 ∈ J) nyílt intervallum, hogy megadható egy C ∞ -osztályú ψ : W × J → Rm leképezés, amelyre igaz a következ®: Bármely b ∈ W és t ∈ J esetén fennállnak a ψ(0, b) = b és ∂1 ψ(t, b) = F ◦ ψ(t, b) egyenl®ségek.
Megjegyzés. Tekintsük a fenti tételt. Rögzített b ∈ U és t ∈ J értékek mellett vezessük be a ψb : J → U ⊂ Rm és ψt : W → U ⊂ Rm leképezéseket, ahol ψb (t) = ψ(t, b) és ψt (b) = ψ(t, b). A ψb sima görbe sebességvektorára fennáll 1 1 ψb0 (t) = lim (ψb (t + h) − ψb (t)) = lim (ψ(t + h, b) − ψ(t, b)) = ∂1 ψ(t, b) = F ◦ ψb (t). h→0 h h→0 h Eszerint ψb (b ∈ W ) integrálgörbéje az F vektorfüggvénynek. Az integrálgörbék alkalmazásával igazolható, hogy amennyiben a t, τ ∈ J számokra igaz t + τ ∈ J , akkor fennáll ψt+τ = ψt ◦ ψτ . A 2.7. Tételt a térképezések alkalmazásával átvihetjük a sima sokaságok esetére. Ehhez azonban be kell vezetnünk egy jelölést. Legyen J egy valós intervallum és N egy sokaság. A J × N szorzatsokágban vegyük az ωq : J → J × N (q ∈ M ) sima görbét, amelyre igaz ∂ (τ, q). ωq (t) = (t, q). Ezen görbe τ ∈ J helyen vett ω˙ q (τ ) érint®vektorát jelölje ∂t
2.8. Tétel. Legyen adott egy N dierenciálható sokaság és azon egy Y vektormez®. Ekkor tetsz®leges p ∈ N ponthoz van olyan W nyílt környzet és J (0 ∈ J) nyílt intervallum, hogy a J × W szorzatsokaságon megadható egy olyan Φ : J × W → N sima leképezés, amelyre bármely q ∈ W és τ ∈ J esetén igazak a következ®k: ∂ (τ, q)) = Y ◦ Φ(τ, q) Φ(0, q) = q, T Φ( ∂t Megjegyzés.
A 2.8. Tételben szerepl® Φ : J × W → N sima leképezést az Y vektormez® egy lokális folyamának mondjuk. Amennyiben egy q ∈ W ponthoz vesszük a ϕq (t) = Φ(t, q) egyenlettel leírt ϕq : J → N görbét, akkor az egy integrálgörbéje az Y vektormez®nek. Rögzített t ∈ J érték mellett tekintsük a Φt : W → N lokális dieomor zmust, amelyet a Φt (q) = Φ(t, q) egyenlettel adunk meg. Ezt a Φt leképezést a lokális folyam t pillanathoz tartozó stádiumának nevezzük. Alkalmazni fogjuk majd az alábbi tételt is, amely az el®z®ek alkalmazásával igazolható. Az Y ∈ X(N ) vektormez® egy integrálgörbéjét akkor mondjuk maximálisnak, ha az nem terjeszthet® ki egy b®vebb intervallumra. 2.9. Tétel. Legyen adott egy N sokaság és azon egy Y vektormez®. Tetsz®leges p ∈ N pont esetében legyen ϕp : Jp → N az a maximális integrálgörbe az Y mez®höz, amelyre fennáll ϕp (0) = p. Ezen Jp (p ∈ N ) intervallumokkal vegyük a V = ∪p∈N Jp ×{p} halmazt az R×N szorzatsokaságban, továbbá azt a Φ : V → N leképezést, melyet a Φ(p, t) = ϕp (t) összefüggéssel értelmezünk. Ekkor V egy nyílt részhalmaza az R × N sokaságnak és a Φ : V → N leképezés dierenciálható. 19
2.8. De níció. A fenti tételben szerepl® Φ : V ⊂ R × N → N sima leképezést az Y vektormez® maximális folyamának nevezzük.
Megjegyzés.
Egy Y ∈ X(N ) vektormez®t teljesnek mondunk, ha az összes maximális integrálgörbéje a teljes R számegyenesen van értelmezve. Igazolható, hogy amennyiben az N sokaság kompakt, akkor bármely Y ∈ X(N ) vektormez® teljes.
Az exponenciális leképezés A továbbiakban ismét egy olyan M sokaságot tanulmányozunk, amelynek T M érint®nyalábján adva van egy ∇ lineáris konnexió. A ∇ egyértelm¶en meghatároz egy K : T (T M ) → T M konnexió-leképezést és egy S ∈ X(T M ) spray-mez®t. Tetsz®leges w ∈ T M esetén legyen ϕw : Jw → T M az a maximális integrálgörbe az S vektormez®höz, amelyre fennáll ϕw (0) = w. Korábban már beláttuk, hogy a γw = π ◦ ϕw : Jw → T M görbe egy geodetikust ad M -ben, továbbá teljesül γ˙ w = ϕw . Az S ∈ X(T M ) vektormez®re vonatkozó 2.6. Állítás felhasználásával igazolható az alábbi kijelentés. 2.10. Állítás. Egy w ∈ T M érint®vektorhoz vegyük az S spray-mez® ϕw : Jw → T M maximális integrálgörbéjét. Ekkor tetsz®leges α ∈ R valós szám esetén az αw kezd®pontú integrálgörbére teljesül ϕαw (t) = α · ϕw (α t).
Megjegyzés. A fenti 2.10. Állításból következik, hogy az α w (α w 6= 0) vektorhoz tartozó maximális integrálgörbe intervallumára fennáll Jα w = α1 · Jw . A 2.9. Tételnek megfelel®en tekintsük most az S ∈ X(T M ) spray-mez® Φ : V ⊂ R × T M → T M maximális folyamát. Mint ismeretes, tetsz®leges w ∈ T M esetében fennáll (R × {w}) ∩ V = Jw × {w}, továbbá Φ(w, t) = ϕw (t). Tekintsük most a T M érint®nyaláb T M = { w ∈ T M | 1 ∈ Jw } részhalmazát. Erre nyilván fennáll V ∩ ({1} × T M ) = {1} × T M . Belátható, hogy T M egy nyílt halmaz T M -ben és tartalmazza az M összes érint®terének nullvektorát. 2.9. De níció. A ∇ kovariáns deriváláshoz tartozó exponenciális leképezésen azt az Exp : T M → M függvényt értjük, amelyet az Exp(w) = π ◦ Φ(1, w) összefüggés ír le tetsz®leges w ∈ T M esetén. Vegyük azt a ι : T M → V ⊂ R × T M injekciót, melyet a ι(w) = (1, w) összefüggés ír le. A T M -beli T M nyílt halmazon értelmezett exponenciális leképezés felírható az Exp = π ◦ Φ ◦ ι alakban. Ebb®l a kifejezésb®l azonnal adódik, hogy Exp egy sima leképezés. Válasszunk ki egy p ∈ M pontot. Vegyük a Tp M -beli Tp M = Tp M ∩T M nyílt halmazt. Világos, hogy amennyiben w ∈ Tp M teljesül, akkor fennáll τ w ∈ Tp M bármely τ ∈ [0, 1] számmal. 2.10. De níció. Az M sokaság p pontjában vett Expp exponenciális leképezésen az Exp leképezésnek a Tp M halmazra történ® lesz¶kítését értjük. Az exponenciális leképezés és a geodetikusok kapcsolatára világít rá a következ® eredmény. 20
2.11. Állítás. Egy w ∈ Tp M vektorhoz tekintsük azt a γ : [0, 1] → M leképezést, amelyet a γ(t) = Expp (tw), t ∈ [0, 1] összefüggés ír le. Ekkor γ egy geodetikus görbe és fennáll γ(0) ˙ = w. Jelölje 0p a Tp M érint®tér nullvektorát. Vegyük a Tp M és T0p (Tp M ) vektorterek természetes azonosítását, melyet írjon le az I0p : Tp M → T0p (T M ) lineáris izomor zmus. 2.12. Állítás. Az Expp : Tp M → M leképezés 0p pontbeli érint®leképezésre fennáll T0p Expp ◦ I0p = idTp M . A fenti állítás szerint a T Expp érint®leképezés az 0p ∈ Tp M pontban egy lineáris izomor zmus. Emiatt igaz a következ®. 2.13. Állítás. Az 0p nullvektornak van olyan U nyílt környezete a Tp M érint®térben, hogy az Expp exponenciális leképezésnek az U -ra való lesz¶kítése egy dieomor zmust ad U és az M -beli Expp (U ) nyílt halmaz között.
A kovariáns deriváláshoz rendelt torzió tenzor és görbületi tenzor A továbbiakban is feltesszük, hogy az M sokaság T M érint®nyalábján adva van egy ∇ lineáris konnexió. Tekintsük azon T : X(M ) × X(M ) → X(M ) leképezést, amelyet a T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] kifejezés ír le tetsz®leges X, Y ∈ X(M ) vektormez®kre. Könnyen ellen®rizhet®, hogy T egy F(M )-lineáris leképezést ad, azaz tetsz®leges f ∈ F(M ) függvénnyel és X, Y ∈ X(M ) vektormez®kkel fennáll
T (f X, Y ) = f · T (X, Y ) = T (X, f Y ). Innen már adódik, hogy T egy (1, 2) típusú tenzormez® az M sokaságon. 2.11. De níció. Az (1,2) típusú T tenzormez®t a ∇ kovariáns deriválás torzió tenzorának nevezzük.
Megjegyzés. Világos, hogy T a változóira nézve antiszimmetrikus, azaz T (X, Y ) + T (Y, X) = 0 teljesül. Amennyiben egy (U, ξ) térkép bázisvektormez®it vesszük, akkor a torzió tenzorra a P k k T (Xi , Xj ) = ∇Xi Xj − ∇Xj Xi = m k=1 Γi j − Γj i · Xk lokális kifejezést kapjuk.
Megjegyzés.
A ∇ kovariáns deriválást torziómentesnek mondjuk, ha a torzió tenzora elt¶nik. Emiatt torziómentes ∇ esetén a Christoel-szimbólumok a két alsó indexre nézve szimmetrikusak, azaz fennáll Γikj − Γjki . Vegyük azt az R : X(M ) × X(M ) × X(M ) → X(M ) leképezést, amelynél fennáll R(X, Y, Z) = ∇X (∇Y Z) − ∇Y (∇X Z) − ∇[X,Y ] Z tetsz®leges X, Y, Z ∈ X(M ) mez®kre. Közvetlen számolással ellen®rizhet®, hogy R egy (1,3) típusú tenzormez®. 2.12. De níció. Az (1,3) típusú R tenzormez®t a ∇ lineáris konnexió görbületi tenzorának mondjuk.
Megjegyzés. Világos, hogy az R görbületi tenzor az els® két változójában antiszimmetrikus, vagyis igaz R(X, Y, Z) + R(Y, X, Z) = 0. 21
Megjegyzés.
A szakirodalomban általánosan elterjedt az a formalizmus, hogy az R görbületi tenzornak az X, Y, Z ∈ X(M ) vektormez®kön nyert értékét R(X, Y, Z) helyett inkább R(X, Y )Z jelöli.
Megjegyzés.
tenzorra az
Amennyiben egy (U, ξ) térkép bázisvektormez®it vesszük, akkor a torzió
Pm Pm ∂ ∂ a l a l l l R(Xi , Xj )Xk = l=1 (Γ ) − j (Γi k ) + a=1 Γi a Γj k − Γj a Γi k · Xl ∂xi j k ∂x lokális kifejezést kapjuk.
Tenzormez®k kovariáns deriváltja Tekintsünk az M sokaságon egy (1, r) típusú Q : X(M )r → X(M ) tenzormez®t és egy X ∈ X(M ) vektormez®t. Mint ismeretes, Q tetsz®leges p ∈ M pontban meghatároz egy Qp : (Tp M )r → Tp M r-lineáris leképezést a Tp M érint®téren. Vegyük azt a ∇X Q : X(M )r → X(M ) leképezést, ahol fennáll
(∇X Q) (Y1 , . . . , Yr ) = ∇X (Q(Y1 , . . . , Yr )) −
r X
Q(Y1 , . . . , ∇X Yi , . . . , Yr )
i=1
bármely Y1 , . . . , Yr ∈ X(M ) vektormez®k esetén. Könnyen ellen®rizhet®, hogy ez a leképezés F(M )lineáris, tehát a ∇X Q is egy (1, r) típusú tenzormez®. 2.13. De níció. A Q tenzormez®nek az X ∈ X(M ) vektormez® szerinti kovariáns deriváltján a fenti összefüggéssel értelmezett ∇X Q tenzormez®t értjük.
Megjegyzés. Analóg módon lehet értelmetni a (0, r) típusú tenzormez®k kovariáns deriváltját is.
2.14. De níció. A Q tenzormez®t párhuzamosnak mondjuk, ha tetsz®leges X ∈ X(M ) esetén fennáll ∇X Q = 0. Tekintsük most azt a ∇Q : X(M )r+1 → X(M ) leképezést, amelyet a
∇Q (Y1 , . . . , Yr+1 ) = (∇Yr+1 Q)(Y1 , . . . , Yr ) kifejezés ír le, ahol Y1 , . . . , Yr+1 ∈ X(M ) tetsz®leges vektormez®k. Evidens, hogy a ∇Q leképezés egy (1, r + 1) típusú tenzormez®t ad. 2.15. De níció. A ∇Q tenzormez®t a Q kovariáns deriváltjának mondjuk.
22
