´ ak ´ Megoldatlan (elemi) matematikai problem ´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret ´ Balazs ´ Csikos
´ ELTE TTK Matematikai Intezet
´ ´ ´ Program, 2009.11.13. Orszagos Diakkutat oi
´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
1/9
´ ak ´ Megoldatlan (elemi) matematikai problem
´ ak ´ programban harom ´ ´ ¨ A Megoldatlan elemi matematikai problem temak orben ´ ´ problem ´ akat: ´ ajanlunk fel kutatasi ´ Balazs: ´ ´ geometriai problem ´ ak ´ Csikos Diszkret ˝ ´ Zarankiewicz problem ´ aja ´ Szonyi Tamas: ´ am: ´ ¨ ´ sorozatok Bessenyei Ad Kozepek es
¨ ˝ asok ´ ´ ´ ak ´ hatter ´ ´ ol, ˝ A jelen rovid eload csak ´ızel´ıto˝ ul A problem er ¨ szolgalnak. ´ ´ ˝ ˝ ´ ´ az ismert reszeredmenyekrol az elso ket alkalommal beszelunk ¨ ´ reszletesen. ´ ´ akat ´ Tovabbi problem is fel fogunk vetni.
´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
2/9
´ problema ´ Egy pakolasi ´ geometria egyik alapfeladata geometriai alakzatok valamilyen A diszkret ´ elrendezeseinek ´ ´ szempont szerinti optimalis a le´ırasa. ¨ ´ k darab r sugaru´ kort ¨ atfed ´ ´ nelk ´ ul ´ Pelda: Egy 1 sugaru´ korbe szeretnenk es ¨ ´ melyre ez lehetseges, ´ ´ milyen belepakolni. Melyik a legnagyobb rk sugar, es ´ elrendezessel? ´ korre ¨ ´ Keves a valaszok ismertek:
´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
3/9
k=5,6,...
¨ ¨ belefer, ´ akkor 7 is. Ha egy korbe 6 egyenlo˝ sugaru´ kor ´ 9 korre ¨ ¨ ok ¨ loty ¨ ognek, ¨ ´ elrendezes ´ nem 8 es a piros kor az optimalis ´ egyertelm u. ˝ ´ 12 korre ¨ ´ elrendezes ´ mar ´ csak tengelyesen 11 es az optimalis szimmetrikus. ´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
4/9
´ fedesi ´ problema ´ A dualis ¨ szeretnenk ´ k darab R sugaru´ korrel ¨ Egy 1 sugaru´ kort lefedni. Melyik a ´ melyre ez lehetseges, ´ ´ milyen elrendezessel? ´ legkisebb Rk sugar, es ´ ´ ¨ Az optimalis fedesek k ≤ 8 korre:
´ k = 6 eseten ´ csak tengelyes szimmetria! k = 5 es ´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
5/9
¨ uls ´ Egy kozb ¨ o˝ problema: ´ Hogyan lehet k darab ρ sugaru´ korrel ¨ Adott egy ρ sugar. a leheto˝ ´ ¨ ol? ˝ legnagyobb terulet lefedni egy 1 sugaru´ korb ¨ u˝ reszt ´ melyik ρ sugarn ´ al ´ vesz ´ el az optimalis ´ elrendezes ´ k = 5 eseten ´ ´ es ´ hogyan? forgasszimmetri aja
´ ´ ´ Egy segedprobl ema: Adott egy D tartomany. Hogyan kell elhelyezni egy adott ¨ ahhoz, hogy D-bol ˝ a leheto˝ legnagyobb terulet ´ sugaru´ kort fedje le? Mi ¨ u˝ reszt ´ egyszeru˝ tartomanyok, ´ ´ aul ´ egy haromsz ´ ¨ eseten? ´ a megoldas peld og
´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
6/9
´ A Fermat-Torricelli problema
Pierre de Fermat (1601-1665)
Evangelista Torricelli(1608-1647)
´ ´ ´ at: ´ Fermat egy Torricellihez ´ırt leveleben vetette fel az alabbi problem ´ ¨ csucsait ´ mert ´ Hol helyezkedik el a s´ıkon az a pont, melynek egy haromsz og ol ´ ´ ´ ¨ ´ tavols againak osszege minimalis? ´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
7/9
´ pont Az izogonalis ´ ara ´ Torricelli tobb ¨ megoldast ´ is adott. A megoldas ´ a haromsz ´ ¨ A problem og ´ pontja, ha letezik, ´ ´ ent ´ a haromsz ´ ¨ tompaszog ¨ u˝ csucsa. izogonalis egyebk og ´ ´ ¨ izogonalis ´ pontja az az I pont a haromsz ´ ¨ belsejeben, ´ Egy haromsz og og ˝ az oldalak egyenlo, ˝ 120◦ -os szog ¨ alatt latszanak. ´ melybol Pontosan akkor ´ ´ ¨ szogei ¨ ´ kisebbek. letezik ilyen pont, ha a haromsz og 120◦ -nal
´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
8/9
´ ´ anos´ ´ ´ A Fermat-Torricelli problema altal ıtasai ´ ´ ´ mert ´ Hol helyezkedik el a terben az a pont, melynek adott n terbeli ponttol ´ ´ ¨ ´ ´ est ´ tobben ¨ ´ ak ´ mar.) ´ tavols againak osszege minimalis? (Ezt a kerd vizsgalt ´ any ´ szakasz a terben. ´ Adott neh Hol helyezkednek el azok a P pontok, ´ a P pont altal ´ ´ ´ ¨ melyekre a szakaszok es meghatarozott haromsz ogek ¨ ´ terulet minimalis? ¨ osszege ´ ´ ´ ´ Specialis esetek, amikor explicit valasz varhat o: ´ A szakaszok szama kicsi. ´ ´ A szakaszok egy tetraeder elei. A szakaszok egys´ıkuak. ´ ´ anos ´ ´ esre ´ ´ ´ ´ egy Az altal kerd nem varhat o´ explicit valasz, az inkabb ´ algoritmikus problema: ´ ast ´ talalni, ´ ´ ponthoz fog Hogyan lehet egy olyan eljar mely egy optimalis ¨ ˝ ´ ´ egy optimalis ´ kozel´ıteni lehetoleg gyorsan, vagy minel gyorsabban talal pontot?
´ B. (ELTE TTK Matematikai Intezet) ´ Csikos
´ geometriai problem ´ ak ´ Diszkret
´ ´ ´ Program, 2009. Orszagos Diakkutat oi
9/9
