Geometriai transzform´aci´ok 11 elemi geometriafeladat 10. B ´es C BDG Matekt´abor
2016. okt´ober 6.
R¨oviden a transzform´aci´okr´ol I
Tengelyes t¨ukr¨oz´es
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
2 / 87
R¨oviden a transzform´aci´okr´ol I I
Tengelyes t¨ukr¨oz´es K¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´es
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
2 / 87
R¨oviden a transzform´aci´okr´ol I I I
Tengelyes t¨ukr¨oz´es K¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´es Pont k¨or¨uli elforgat´as
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
2 / 87
R¨oviden a transzform´aci´okr´ol I I I I
Tengelyes t¨ukr¨oz´es K¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´es Pont k¨or¨uli elforgat´as P´arhuzamos eltol´as
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
2 / 87
R¨oviden a transzform´aci´okr´ol
I
Tengelyes t¨ukr¨oz´es K¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´es Pont k¨or¨uli elforgat´as P´arhuzamos eltol´as
I
K¨oz´eppontos hasonl´os´ag
I I I
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
2 / 87
R¨oviden a transzform´aci´okr´ol
I
Tengelyes t¨ukr¨oz´es K¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´es Pont k¨or¨uli elforgat´as P´arhuzamos eltol´as
I
K¨oz´eppontos hasonl´os´ag
I
Forgatva ny´ujt´as: S(E , FED∠, ED EF )
I I I
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
2 / 87
1. Feladat Az ABCDEF hatsz¨og oldalai p´arhuzamosak. Bizony´ıtsuk be, hogy ha BC − EF = ED − AB = AF − CD > 0, akkor a hatsz¨og sz¨ogei egyenl˝ok.
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
F
A B
Geometriai transzform´ aci´ ok
E C
2016. okt´ ober 6.
D
3 / 87
Megold´as F
A B
R P Q C
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
D
− → EF -et eltoljuk FA -ral ⇒P −→ AB -t eltoljuk BC -ral E ⇒Q −→ CD -t eltoljuk DE -ral ⇒R
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
4 / 87
F
A B
R P Q C
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
D
Az eltol´asok miatt BC − EF = PQ, AF − CD = PR ´es E ED − AB = RQ. Ezekr˝ol tudjuk, hogy egyenl˝oek ⇒ PQR4 szab´alyos
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
5 / 87
F
A B
R P Q C
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
D
⇒ a k´ek sz¨ogek 60◦-osak ⇒ a dupla sz¨ogek (k¨uls˝o sz¨ogek) E 120◦-osak ⇒ CDE ∠ = 120◦ ´es DCR∠ = DER∠ = 60◦. Ugyan´ıgy a t¨obbi paralelogramm´aban.
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
6 / 87
B
Teh´ at a hatsz¨ og minden sz¨ oge 120◦-os.
F
A R P
E Q
C
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
D
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
7 / 87
2. Feladat ABCD konvex n´egysz¨ogben AD = BC . Legyen CD oldal felez˝opontja E , AB oldal´e F . AD ´es FE egyenesek metssz´ek egym´ast H pontban, BC ´es FE egyenesek G pontban. Mutassuk meg, hogy: AHF ∠ = BGF ∠
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
8 / 87
Megold´as ABCD n´egysz¨og: H G E
D
A
C
F I
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
B 2016. okt´ ober 6.
9 / 87
E ´es F felez˝opont: H G E
D
A I
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
F
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
10 / 87
Toljuk el CB szakaszt CA vektorral ⇒ AI . H G E
D
A I
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
F
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
11 / 87
BCAI paralelogramma. F felez˝opontja AB szakasznak, ´ıgy CI -nek is. H G E
D A I 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
F
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
12 / 87
CDI 4-ben EF k¨oz´epvonal ⇒ EF kDI H G E
D
A I
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
F
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
13 / 87
EF kDI ´es CBkAI ⇒ BGF ∠ = AID∠ H G E
D
A I 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
F
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
14 / 87
AI = BC = AD ⇒ AID∠ = ADI ∠ H G E
D
A I
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
F
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
15 / 87
EF kDI ⇒ AHF ∠ = ADI ∠ = AID∠ = BGF ∠ H G E
D
A I 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
F
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
16 / 87
3. Feladat ABCD n´egysz¨ogben legyen AD oldal felez˝opontja M, BC oldal´e N. Ha 2MN = AB + CD, akkor bizony´ıtsuk be, hogy AB k CD
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
17 / 87
Megold´as M ´es N felez˝opont: C D N
M A 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
B Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
18 / 87
Indirekt: Tegy¨uk fel, hogy: 2MN = AB + CD, de AB 6k CD
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
19 / 87
T¨ukr¨ozz¨uk az ´abr´at N pontra. C D N
M A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
B
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
20 / 87
2MN = MM 0 ⇒ AB + CD = CD + A0C > A0D A’
C D M’ M A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
N B
Geometriai transzform´ aci´ ok
D’
2016. okt´ ober 6.
21 / 87
4. Feladat B
Egy ABC szab´alyos h´aromsz¨ogben van egy P pont u´gy, hogy PC = 3, PA = 4 ´es PB = 5 Mekkora a h´aromsz¨og ker¨ulete?
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
5
A
Geometriai transzform´ aci´ ok
4
P
3 C
2016. okt´ ober 6.
22 / 87
1. Megold´as Szab´alyos h´aromsz¨og Ha egy szab´alyos h´aromsz¨ognek tudjuk a oldal´at, akkor a h´ aromsz¨og √ 2 3 ter¨ulete a·m 2 = a 4 . Ha a ter¨uleteqT, akkor meg az oldala √43 T . 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
a
m
A
Geometriai transzform´ aci´ ok
D
B
f
2016. okt´ ober 6.
23 / 87
Forgassuk el BPC 4-et C pont k¨or¨ul 60◦-kal. ⇒ B 0. ´Igy keletkezett egy B 0CP szab´alyos, ´es egy B 0CA 3, 4, 5 oldal´u h´aromsz¨og.
B
5
P
3
4 A
C 3 3
5 B0 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
24 / 87
´ Ugyan´ ıgy 60◦-kal forgassuk el CPA4-et, A k¨or¨ul, ´es APB4-et B k¨or¨ul. ´Igy keletkezik egy hatsz¨og, aminek a ter¨ulete az eredeti h´aromsz¨og ter¨ulet´enek k´etszerese. 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
B 3
5
C0
A 5 5
4
4 4
4 P
3
A
Geometriai transzform´ aci´ ok
C 3 3
5 B0
2016. okt´ ober 6.
25 / 87
Keletkezett h´arom szab´alyos, ´es h´arom 3,4,5 oldal´u 4, melyeknek egyenk´ent tudjuk a ter¨ulet´et. √ √ √ 3 3 3 3·6+9 + 16 + 25 = 4 4 4 √ √ 3 3 = 18 + 50 = 18 + 25 4 2
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
26 / 87
√
18 + 25 23 T4 = 2 s √ 4 18 + 25 23 ⇒a= √ · = 2 3 s √ 4 36 + 25 3 = √ · = 4 3
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
27 / 87
s
√
4 36 + 25 3 √ · = 4 3 s √ 36 3 + 25 · 3 = = 3 q √ = 12 3 + 25 q √ K4 = 3 · 12 3 + 25
=
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
28 / 87
2. Megold´as A
APC 4-et elforgatjuk C k¨or¨ul −60◦-kal.
4 P
3 3
60◦
C
5 4
3
B
P’
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
29 / 87
2. Megold´as A
APC 4-et elforgatjuk C k¨or¨ul −60◦-kal.
4 P
3 3
60◦
C
5 4
3
⇒ B ≡ C0 PCP 0∠ = 60◦ a forgat´as miatt ⇒ PCP 04 0 B szab´alyos ⇒ PP = 3
P’
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
29 / 87
A
P
PP 0B4-ben PP 0 = 3, P 0B = 4 ´es PB = 5 ⇒ PP 0B∠ = 90◦ (Pitagoraszi B sz´amh´armas)
60◦
C P’ M 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
30 / 87
A
P
PP 0B4-ben PP 0 = 3, P 0B = 4 ´es PB = 5 ⇒ PP 0B∠ = 90◦ (Pitagoraszi B sz´amh´armas)
60◦
C P’ M 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
´ ´ıtsunk mer˝olegest All CP 0-re B-b˝ol ⇒ M
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
30 / 87
A
P 60◦
C
60◦
CP 0P∠ = 60◦ ´es PP 0B∠ = 90◦ ⇒ BP 0M∠ = 30◦ ⇒ BP 0M4 egy szab´alyos B 4 fele ⇒ BM = 2, √ 0 PM =2 3
30◦
P’ M 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
31 / 87
A
P 60◦
C
60◦
CP 0P∠ = 60◦ ´es PP 0B∠ = 90◦ ⇒ BP 0M∠ = 30◦ ⇒ BP 0M4 egy szab´alyos B 4 fele ⇒ BM = 2, √ 0 PM =2 3
30◦
P’
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
CMB4-ben alkalmazva M a Pitagorasz-t´etelt √ 2 2 CB = (3 + 2 3) + 22 Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
31 / 87
p √ CB = 25 + 12 3 = 6, 7664
A
P B 60◦
C
60◦
30◦
P’ M 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
32 / 87
p √ CB = 25 + 12 3 = 6, 7664
A
P
Ker = 3 · CB = B 3 · 6, 7664 = 20, 2992
60◦
C
60◦
30◦
P’ M 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
32 / 87
5. Feladat ABCD egy egys´eg oldal´u n´egyzet. P, Q, M ´es N pontok AB, BC , CD ´es DA oldalakon helyezkednek el u´gy, hogy AP + AN + CQ + CM = 2. Bizony´ıtsuk be, hogy PM⊥QN
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
33 / 87
Megold´as AP + AN + CQ + CM = 2 D
M
C
N
Q A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
P
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
34 / 87
A 90◦-os forgat´as ut´an. C0 M0
Q0
D
M
N
Q
P0 D0 N0
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
A
Geometriai transzform´ aci´ ok
P
B
2016. okt´ ober 6.
35 / 87
A feladat meghat´aroz´asa miatt tudjuk, hogy: AP + AN + CQ + CM = 2 AP + AN = 2 − CQ − CM Az ´abr´arol l´atszik, hogy: MQ 0 = 2 − C 0Q 0 − CM C0 M0
Q0
D
M
N
Q
P0 D0 N0 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
A
P
Geometriai transzform´ aci´ ok
B 2016. okt´ ober 6.
36 / 87
Teh´at AP + AN 0 = MQ 0 ´es p´arhuzamosak is. Vagyis Q 0MPN 0 egy paralelogramma,ez´ert Q 0N 0kMP C0 M0
Q0
D
M
N
Q
P0 D0 N0 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
A
P
Geometriai transzform´ aci´ ok
B 2016. okt´ ober 6.
37 / 87
Teh´at a 90◦-os forgat´as el˝ott: PM⊥QN C0 M0
Q0
D
M
C
N β = 90◦ α = 90◦ Q
P0 D0 N0
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
A
P F
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
38 / 87
6. Feladat ABC h´aromsz¨ogben, AB ≥ AC . BAC ∠ k¨uls˝o sz¨ogfelez˝oje E pontban metszi ABC k¨or¨ul´ırt k¨or´et. Legyen E -b˝ol AB-ra ´all´ıtott mer˝oleges talppontja F . Bizony´ıtsuk, hogy: 2AF = AB − AC
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
39 / 87
Megold´as 2AF = AB − AC E A F
B 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
C
2016. okt´ ober 6.
40 / 87
M´erj¨uk fel AC -t AB-re ⇒ D. E A F D
C
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
41 / 87
Teh´at tudjuk, hogy AC = BD ´es EBA∠ = ECA∠ valamint, EBC ∠ = EAT ∠ = EAB∠ = ECB∠ ⇒ EB = EC T E
A F D
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
C
2016. okt´ ober 6.
42 / 87
EDB4 ∼ = EAC 4 T E A F D
C
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
43 / 87
EA = ED ⇒ EAD4 egyenl˝osz´ar´u. Teh´at EF magass´ag felezi az alapot. Vagyis: 2AF = AB − AC E A F D
B 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
44 / 87
2. Megold´as E
A F D C
T¨ukr¨ozz¨uk A-t az F-re⇒D.Kellene, hogy BD = AC .
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
45 / 87
E
A F D C B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Ha EAC 4-t E k¨or¨ul elforgatjuk, akkor EDB4-t kellene kapnunk, mert akkor AC = DB.
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
46 / 87
E
A F D C B
Ha EAC 4-t E k¨or¨ul elforgatjuk, akkor EDB4-t kellene kapnunk, mert akkor AC = DB. Kellene, hogy BAC ∠ = BEC ∠ = DEA∠.
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
46 / 87
E
A D C
BAC ∠ = BEC ∠, mert BC-n l´ev˝o ker¨uleti sz¨ogek.
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
47 / 87
E
A D C B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
BAC ∠ = BEC ∠, mert BC-n l´ev˝o ker¨uleti sz¨ogek. DEA4 egyenl˝osz´ar´u ⇒ EDA∠ = EAD∠ ⇒ DEA∠ = 180◦ −2EAD∠ BAC ∠ = 180◦ − 2EAD∠ Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
47 / 87
7. Feladat Az O k¨oz´eppont´u k¨or ´athalad ABC 4 A ´es C cs´ucs´an ´es elmetszi AB ´es BC oldalakat K ´es N pontokban. ABC 4 ´es KBN4 k¨or¨ul ´ırt k¨orei B ´es M pontokban metszik egym´ast. Bizony´ıtsuk be, hogy OMB∠ = 90◦
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
48 / 87
A K O
C
B N
M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
49 / 87
Megold´as Legyen t egy O-n ´athalad´o BM-re ⊥ egyenes t A K
O C
B
N M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
50 / 87
Ha M pont a t egyenesre esik OMB∠ = 90◦ t A K O
C
B N
M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
51 / 87
C , K pontokat t¨ukr¨ozz¨uk t tengelyre → C 0, K 0 t C0 A K O
C
B
K0 N
M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
52 / 87
CC 0⊥t, KK 0⊥t, BM⊥t → CC 0kKK 0kBM t C0 A K O
C
B
K0 N
M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
53 / 87
Legyen α = KAC ∠ → CAB∠ = α mert K az AB egyenesen fekszik t C0 A α K
O
C
B
K0 N
M 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
54 / 87
KAC ∠ ´es KC 0C ∠ ker¨uleti sz¨ogek → KC 0C = α t C0 A K
O
C
B
K0 N
M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
55 / 87
CNK ∠ = 180◦ − α, BNK ∠ ´es BMK ∠ is ker¨uleti sz¨ogek, ez´ert BNK ∠ = BMK ∠ = α t C0 A K
O C
B
K0 N M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
56 / 87
CC 0kBM ´es BMK ∠ = CC 0K ∠ → CC 0K ∠ ´es BMK ∠ v´alt´osz¨ogek → C 0, K , M egy egyenesre esik t C0 A K
O C
B
K0 N M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
57 / 87
C 0K t¨uk¨ork´epe t-re CK 0 → CC 0K ∠ = C 0CK 0∠ t C0 A K
O
C
B
N K0 M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
58 / 87
BMC ∠ = 180◦ − α mivel ABMC h´urn´egysz¨og t C0 A K
O
C
B
N K0 M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
59 / 87
BMT ∠ = α, mert BMC ∠ = 180◦ − α t C0 A K
O
C
B
N K0 M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
T
2016. okt´ ober 6.
60 / 87
C 0CM∠ = α mert egy´all´as´u sz¨og BMT ∠-gel t C0 A K
O
C
B
N K0 M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
T
2016. okt´ ober 6.
61 / 87
C 0MC ∠ = 180◦ − 2α → C 0MC 4 egy egyenl˝osz´ar´u 4 M cs´uccsal ´es t szimmetriatengellyel, teh´at t ´atmegy M-en t C0 A K
O C
B
N K0 M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
62 / 87
t C0 A K
O
C
B
N K0 M
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
T
63 / 87
8. Feladat C
◦
◦
EAD∠ = 20 ,DAB∠ = 60 DBE ∠ = 30◦,EBA∠ = 50◦ EDA∠ =?
D E
A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
B
2016. okt´ ober 6.
64 / 87
Megold´as C
T¨ukr¨ozz¨uk D-t az ACB∠ sz¨ogfelez˝oj´ere F E
A
D G
M
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
65 / 87
Megold´as C
T¨ukr¨ozz¨uk D-t az ACB∠ sz¨ogfelez˝oj´ere F E
A
BGA4 ´es DGF 4 egyenl˝o oldal´u. Kellene, hogy FE = EG , mert akkor FED4 ≡ DEG 4.
D G
M
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
65 / 87
C
AG = AB = AE ⇒ EGA4 egyenl˝osz´ar´u ⇒ EGA∠ = 80◦.
F E
A
D G
M
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
66 / 87
C
AG = AB = AE ⇒ EGA4 egyenl˝osz´ar´u ⇒ EGA∠ = 80◦.
F E
A
EGF ∠ = FGA∠ − EGA∠ = 120◦ − 80◦ = 40◦. FEG ∠ = 180◦ − GEA∠ = 100◦.
D G
M
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
66 / 87
C
F E
A
GFE ∠ = 40◦ = FGE ∠ ⇒ EF = EG ⇒ ez kellett.
D G
M
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
67 / 87
C
GFE ∠ = 40◦ = FGE ∠ ⇒ EF = EG ⇒ ez kellett. EDA∠ =
F E
A
FDA∠ 2
= 30◦.
D G
M
B
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
67 / 87
9. Feladat Egy ABC h´aromsz¨ogben, CAB∠ = 60◦. O pont u´gy helyezkedik el, hogy AOB∠ = BOC ∠ = COA∠. E ´es F pontok AB ´es AC oldalak felez˝opontjai. Bizony´ıtsuk be, hogy A, E , O ´es F pontok egy k¨or¨on helyezkednek el.
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
68 / 87
B
E
120◦
O
C
F 60◦ A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
69 / 87
Megold´as ABO∠ = CAO∠ 60◦ − OAB∠ B
O
C
A 60◦ − OAB∠ 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
70 / 87
OBA4 ´es OAC 4 hasonl´o 60◦ − OAB∠ B
120◦
O
C
120◦
A 60◦ − OAB∠
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
71 / 87
A OBA4 -t nagy´ıtjuk/kicsiny´ıtj¨uk AC /BA ar´annyal B0 B
O
E0
A0 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
E
C
A Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
72 / 87
Az OA0 B 04 -t elforgatjuk +120∠ kal O pont k¨or¨ul ekkor OA0 B 0 4 = OAC 4 ´es E 0 = F B
O
C=A’
E
F=E’ A=B’ 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
73 / 87
EOF = 120◦, ´es mivel CAB = 60◦ k¨ovetkezik, hogy O,E ,A ´es F pontok egy k¨or¨on vannak. B
s
O
C=A’
E 120◦
t F=E’
60◦
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
A=B’ Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
74 / 87
EOF = 120◦, ´es mivel CAB = 60◦ k¨ovetkezik, hogy O,E ,A ´es F pontok egy k¨or¨on vannak. B
s
O
C=A’
E 120◦
t F=E’
60◦
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
A=B’ Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
75 / 87
10. Feladat ABC egy szab´alyos 4, AB ´es CB oldalakon u´gy helyezkednek el M ´es P pontok, hogy MP k AC -vel. MPB 4 s´ulypontja D ´es PA felez˝opontja E . Hat´arozzuk meg DEC 4 sz¨ogeit. 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
B
D P
M E A
Geometriai transzform´ aci´ ok
C
2016. okt´ ober 6.
76 / 87
Megold´as B K D H
M
P
E A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
77 / 87
Megold´as B
Forgatva kicsiny´ıts¨uk BP szakaszt D k¨or¨ul
K D H
M
P
E A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
77 / 87
Megold´as B
Forgatva kicsiny´ıts¨uk BP szakaszt D k¨or¨ul
K D H
M
P
E A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
K , H ´es E egy egyenesre esik ⇒ BC BA KE BP = BM = KH
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
77 / 87
B
C -b˝ol → E −→ EDC ∠ = 60◦ & DE = 12 DC
K D H
M
P
E A
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
78 / 87
D
→ DEC 4 egy szab´alyos 4 fele
E C
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
79 / 87
D
→ DEC 4 egy szab´alyos 4 fele
E C
→ Szab´alyos 4
D0
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
79 / 87
11. Feladat Legyen ABCDEF egy konvex hatsz¨og, amiben teljes¨ul, hogy ∠B + ∠D + ∠F = 360◦ ´es AB CD EF BC · DE · FA = 1. AE FD Bizony´ıtsd be, hogy BC CA · EF · DB = 1?
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
80 / 87
F
AB CD EF · · =1 BC DE FA
E
A
K´ene: BC AE FD · · =1 CA EF DB
10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
D
B
Geometriai transzform´ aci´ ok
C
2016. okt´ ober 6.
81 / 87
Mivel ∠B + ∠D + ∠F = 360◦ ez´ert, hogyha megcsin´aljuk a k¨ovetkez˝o k´et forgat´ast: S(E , FED∠, ED/EF ) ´es S(C , BCD∠, CD/CB) akkor D, A0 ´es A00 egy egyenesre esnek. F
E
A
D B 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
A0 A00
C Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
82 / 87
A forgat´as miatt DA0 = FA · ED EF 00 DA = AB · CD CB F
E
A
D A0 A00 B 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
83 / 87
Ha ezt a kett˝ot egyenl˝ov´e teszem, ´es leosztok CD EF FA · ED on, hogy AB EF -fell, akkor kij¨ FA · CB · ED = 1 amir˝ol tudjuk, hogy igaz. Teh´at A0 ≡ A00 F
E
A
D A0 B 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
84 / 87
Hasonl´os´agok miatt: AEF ∠ = A0ED∠ → DEF ∠ = A0EA∠; DE /FE = A0E /AE ⇒ DEF 4 ∼ A0EA4 F
E
A
D A0 B 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
85 / 87
Ugyan´ıgy BCD4 ∼ BAA04 AC Teh´at AA0 = BD · BC = FD · AE EF BC AE FD Ebb˝ol az k¨ovetkezik, hogy CA · EF · DB = 1 F
E
A
D A0 B 10. B ´ es C ( BDG Matekt´ abor)
C
Geometriai transzform´ aci´ ok
2016. okt´ ober 6.
86 / 87
K¨osz¨onj¨uk a figyelmet! Barta Gergely, Formanek Bal´azs, G´all P´eter, Horv´ath Andor, Kiss M´aria, Kov´acs M´at´e, ´ Szendi Agoston, Telek Benj´amin Felk´esz´ıtett: Groma Tan´arn˝o Forr´as: Mathematical Excalibur 13/2 2016. okt´ober 6.
