KRISTÁLYOK GEOMETRIAI LEÍRÁSA
Kristály
Bázis
Pontrács
Ideális Kristály: hosszútávúan rendezett hibamentes, végtelen szilárd test Kristály Bázis: a kristály legkisebb, ismétlŒdŒ atomcsoportja Rácspont: a kristálybázisokban azonos módon kiválasztott, azt reprezentáló geometriai pont Direkt Pontrács: az ekvivalens rácspontok együttese.
A kristályokat a pontrácsuk, és a rácspontba helyezendŒ bázisok geometriai leírásával adjuk meg.
A pontrács leírása a2
a1 a2 a1 a2 a1 Elemi cella: olyan, a rácspontok geometriája által meghatározott mértani idom, amelynek hézag- és átfedésmentes ismétlésével a pontrács felépíthetŒ. Primitív elemi cella: olyan parallelepipedon alakú elemi cella amely csak a csúcsain tartalmaz rácspontokat. Ezek cellába esŒ részének összege 1. Centrált elemi cella: olyan elemi cella, ami a (lap-, vagy tér-) középpontjában is tartalmaz rácspontot Konvencionális cella: olyan (primitív, vagy centrált) elemi cella, ami a rács minden forgás-tükrözési (un. pontcsoport) szimmetriáját megmutatja. Wigner-Seitz cella: azon pontok mértani helye, amelyek egy kiválasztott rácsponthoz közelebb vannak, mint bármelyik másikhoz. (Szerkesztés: a legközelebbi szomszédokhoz húzott szakaszok felezŒsíkjai által határolt idom. A felületekre esŒ pontoknak csak a fele tartozik a cellához.)
A PONTRÁCS MEGADÁSA : A pontrács megadható a primitív cellájával. A primitív cellát az élvektorai: a1 = a1xe x + a1ye y + a1ze z = [a 1x , a 1y , a 1z] a2 = a2xe x + a2ye y + a2ze z = [a2x , a2y , a2z] a3 = a3xe x + a3ye y + a3ze z = [a3x , a3y , a3z] az un. primitív bázis vektorok írják le. TetszŒleges rácspont megadható az ezek egészszámú lineárkombinációjával elŒállított rácsvektorok segítségével: 3
R l = l1a1 + l2 a2 + l3a 3 = ∑ lia i A BÁZIS MEGADÁSA :
i=1
A bázis tetszŒleges primitív cellában megadható a primitív vektorok koordinátarendszerén: r j = ua1 + va 2 + wa 3
; u, v, w < 1
TetszŒleges ATOM MEGADÁSA A KRISTÁLYBAN : R l, j = (l1 + u )a1 + ( l2 + v)a 2 + (l3 + w)a 3
R(3,2),2 = (3+1/3)a1 + (2+1/3)a2
A primitív cella térfogata: V p = a1 (a2 × a 3 ) =
V N
megegyezik a Wigner-Seitz cella térfogatával. A primitív cellát úgy választjuk meg, hogy a bázisvektorok hoszsza a legközelebb legyen egymáshoz, és bezárt szögeik legközelebb legyenek 90°-hoz.
IRÁNYOK ÉS HÁLÓZATI SÍKOK A PONTRÁCSBAN Irányok megadása rácsban : a legrövidebb párhuzamos rácsvektorral (l1 = h, l2 = k, l3 = l, közös osztó nélküli egész számok): r hkl = ha1 + ka 2 + la 3 . Röviden ezt az irányt [ hkl ] iránynak nevezzük. A negatív együtthatót felülvonással jelöljük (pl. [ h kl ] ). A szimmetriában ekvivalens irányok jelölése hkl . Hálózati síkok : a pontrácson számos különbözŒ irányú, párhuzamos síksereg fektethetŒ át, úgy, hogy - minden rácsponton átmegy legalább egy sík - minden sík átmegy legalább egy ponton. Ezek a síkok jellemezhetŒk az origóhoz legközelebbi de azon át nem menŒ sík és a konvencionális cella vektorainak metszetével. Ha ez a sík a vektorokat sorra 1/h, 1/k, 1/l -ben metszi (h,k, l, közös osztó nélküli egész számok), akkor a síksereget ( hkl ) -lel jelöljük. A szimmetriában ekvivalens síkok jelölése {hkl }. Az ilyen síkseregek szomszédos síkjainak távolsága állandó, d hkl !
Pontrácsok szimmetria szerinti osztályozása Kristályrend- Bravais-rácstípus Konvencionális cella szer alakja háromhajlású P ált. paralel-epipedon: a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90 o (triklin) egyhajlású P paralelogramma alapú de(monoklin) C rékszögı hasáb: a≠b≠c α = β = 90 o γ ≠ 90 o derékszögı P téglalap alapú derékszögı (ortorombos) C hasáb: a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90 o F I négyzetes P négyzet alapú derékszögı (tetragonális) I hasáb: a = b ≠ c α = β = γ = 90 o köbös P kocka: a = b = c α = β = γ = 90 o (köbös) F (fcc) I (bcc) romboéderes P (R) romboéder: a = b = c α = β = γ ≠ 90,109.5,120 o (trigonális) hatszöges (hexagonális)
H=3xP
hatszög alapú derékszögı hasáb: a = b ≠ c α = β = 90 o γ = 120 o
6 trigonális P c α
1
β
γ
b
triklin P
a
7 hexagonális H
2
monoklin P
ortorombos P
monoklin C
ortorombos C
3
ortorombos F
ortorombos I
4 tetragonális P
5
köbös P
tetragonális I
köbös I (bcc)
köbös F (fcc)
A leggyakoribb kristályszerkezetek Fémek
Al fcc
Ca
Ni
Cu
fcc
fcc
fcc
Sr
Rh Pd Ag
fcc
fcc
fcc
fcc
Ir
Pt
Au
fcc
fcc
fcc
A leggyakoribb kristályszerkezetek Fémek Li bcc
Na bcc
K
V
Cr
Fe
bcc
bcc
bcc
bcc
Rb
Nb Mo
bcc
bcc
bcc
Cs Ba
Ta
W
bcc
bcc
bcc
bcc
A leggyakoribb kristályszerkezetek Fémek Be hcp
Mg hcp
Sc
Ti
Co
Zn
hcp
hcp
hcp
hcp
Y
Zr
Tc Ru
Cd
hcp
hcp
hcp
hcp
Hf
Re Os
Tl
hcp
hcp
hcp
hcp hcp
FCC
a 2 2 n2 = 6 d2 = a n1 = 12
d1 =
30 %
BCC a 3 2 n2 = 6 d2 = a n1 = 8 d1 =
15 %
