5. Geometriai transzformációk

Kató Zoltán: Digitális Képfeldolgozás (Tehetséggondozó program)

5. Geometriai transzformációk Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

2


Kép transzformációk típusai • Kép értékkészletének (radiometriai információ) átalakítása:

J (i, j )  f ( I , (i, j ))

• Kép értelmezési tartományának geometriai transzformációja (warping):

J (i, j )  I (ti (i, j ), t j (i, j )) • Mind az értékkészlet mind pedig az értelmezési tartomány átalakítása:

J (i, j )  f ( I , (ti (i, j ), t j (i, j )))

3


Egyszerű geometriai transzformációk

• Nagyítás / kicsinyítés  

Izotróp Anizotróp

• Forgatás

4


Forgatás • RxC kép forgatása 0° <   90° szöggel a középpont körül Új képméret:



   round D cosθ  θ  

R out  round D sinθ  θA  C out

A

 R out0  C out0 

Új középpont:



R 

out0

1 2

, C out0  

R out   1,  12 C out   1.

5


Forgatás • RxC kép forgatása 0° <   90° szöggel a középpont körül 

Forgatási mátrix

 cosθ sinθ   θ      sinθ cosθ  R in 0  C in 0  

Output koordináták előállítása

 rin  R in0   R out0 r  c   θ cin  C in0    R out0

6


Geometriai transzformációk • Adott koordináta transzformáció x’ = t(x) és I(x) kép esetén hogyan állítjuk elő a J(x’) = I(t(x)) képet? • J(x’) generálása tipikusan az inverz transzformáció alapján történik  J minden pixele garantáltan kitöltésre kerül • Mi történik, ha x’ őse (x=t-1(x’)) I–ben nem egész pixelkoordinátára mutat?

t(x) x

I(x)

x’

J(x’)

Szeliski

7


Újra mintavételezés • Emlékeztető: egy I(i,j) digitális kép az eredeti folytonos f(x,y) kép mintavételezésével és kvantálásával áll elő: 



I egy folytonos függvény diszkrét pontszerű mintáiból áll elő. Ha rekonstruálni tudnánk az eredeti f függvényt, akkor tetszőleg új felbontást elő tudnánk állítani

I (i, j )  quantize( f ( xd , yd )) I(i)

1

2

3

4

5

• Ha ismerjük egy f függvény értékeit diszkrét pontokban, akkor f közbülső értékeit interpolációval állíthatjuk elő

i

8


Geometriai transzformáció végrehajtása Input kép

Transzformáló függvény

Interpolációs függvény

Output kép


9

Egyszerű példa: Kép negyedére kicsinyítése

10



Minden 4. sor minden 4. pixelét vegyük ki és másoljuk a kicsinyített képbe.


11


Mi történt?


12

A MINTAVÉTELEZÉS KORLÁTAI

13


Méret és frekvencia közötti összefüggés • Ha ΔxΔy egy objektum kiterjedése a képtérben és ΔuΔv a Fourier térben, akkor közöttük az alábbi összefüggés áll fent:

1  x  y  u  v  16 2

space

frequency

FT

• Egy kis méretű képelem nagy kiterjedésű lesz a Fourier térben és fordítva.

space

frequency

FT

14


Képméret csökkentés - alulmintavételezés • Egy R×C méretű I kép n-ed részre kicsinyítése egy R/n × C/n méretű J kép. • Egy J kép diszkrét Fourier transzformáltja a J-vel megegyező méretű. • A képtér és FT jellemzők mérete fordítottan arányos  J-nek n R/n × n C/n = R × C méretűnek kellene lennie.

• A fentiek egyszerre csak úgy teljesülhetnek, ha DFT(J) átfed önmagával.


15

Kép és DFT tóruszon értelmezett


16

Felére kicsinyített kép

17


Ideális DFT - felezés • A felére kicsinyített kép ideális DFT-je a középső (alacsony frekvenciájú) régió lenne

18


Valós DFT - felezés • A valóságban az eredeti kép DFT-je 4 részre osztódik, amelyek az eredeti gyűrűn folytonosan helyezkednek el

19


Valós DFT - felezés • A kicsinyített képen a 4 rész átlapolódik

Alacsony frekvencia

Magas oszlop frekv.

Oszlopok és sorok

Alacsony sor frekv.

Magas frekvencia Alacsony oszlop frekv. Magas sor frekv. Oszlopok és sorok

20


Valós DFT - felezés • A 4 rész megfelel 1-1 tórusznak, amelyek átfednek

21


Spektrális átfedés • At eredeti és felezett kép közötti spektrális átfedés

átfedő frekvencia tér-beli jellemzők

eredeti

felezett, × 2 zoom

22


Egy kép mintavételezése • Egy kép mintavételezése a samp() mintavételező függvénnyel való szorzással történik 

A mintavételező függvény nem más, mint egy négyzetrács mentén elhelyezett impulzusfüggvények összessége 

samp N I r, c   I r, c   



 r  jN    c  kN 

j   k  

23


Impulzus függvény • A Dirac δ–függvény

 ha ( x, y )  (0,0)  ( x, y )   , 0 különben 



A Dirac függvény szeparálható:

A mérésben használt változata (impulzus függvény):

1 ha x  k  (x  k)   0 különben

 

   ( x, y) dxdy  1

  

 ( x, y)   ( x)   ( y) 1

0

k

x

24


A mintavételező függvény FT-ja • Maga is egy mintavételező függvény, de az impulzusok 1/N távolságra lesznek egymástól • A képtérben vett szorzás (mintavételezés) a Fourier térben konvolúció lesz!

25


Konvolúció az impulzusfüggvénnyel • Az eredmény az eredeti függvény eltolása lesz az impulzusfüggvény pozíciójába

26


Egy mintavételezett kép FT-ja • A kép FT-ja ismétlődik 1/N intervallumonként 

Ha a Fourier tartomány rádiusza ≥1/(2N), akkor átfedés lesz  spektrum átfedés, Moiré hatás 



 u  j    v  k     F I u , v        

j   k  



N



N

27


Nyquist frekvencia

T.f.h. az f(x) függvény sávhatárolt, vagyis a Fourier transzformáltja F(X) nem tartalmaz w-nél nagyobb frekvenciákat, azaz:

F(X)=0, ha |X|>w . A w-t ekkor Nyquist-frekvenciának nevezzük, ha

F(-w) ≠ 0 vagy F(w) ≠ 0 .

28


Sávhatárolt függvény • Mintavételezés előtt biztosítani kell, hogy a kép nem tartalmaz 1/2N-nél nagyobb frekvenciákat: 

Szorzás az alábbi dobozfüggvénnyel:

FT

 

1 1 H u, v   0 ahol u  vagy v  2N 2N

Ez ekvivalens a képtérben egy 2N nagyságú szűrővel Tehát ha felezni akarjuk a képet, akkor N=2 és így egy legalább 4x4 méretű simításra van szükség (pl. 5x5 méretű konvolúciós maszkkal simítjuk).

29


A sinc és a doboz függvény kapcsolata

sinc(x)

П1/2(x) Fourier

x

u



F [1/ 2 ( x)](k )   e 

 2ikx

 1/ 2 ( x) dx  sinc( k   )

30


A sinc függvény

1 , ha x  0     x  sinc( x)   sin x   cos k  , ha x  0 k 1 2    x

31


A sinc és a doboz függvény kapcsolata

Fourier

2D doboz függvény

2D sinc függvény

32


Whittaker-Shannon interpolációs formulája

Ha az f(x) függvény sávhatárolt (a Fourier transzformáltja nem tartalmaz w-nél nagyobb frekvenciákat), akkor:

f ( x) 





n  

1 sin( (2wx  n)) f (n  )  2w  (2wx  n)

diszkrét pontok

33


Whittaker-Shannon mintavételezési tétele

A 2D folytonos, w-nél nagyobb frekvenciákat nem tartalmazó (sávhatárolt) képfüggvény akkor és csakis akkor állítható vissza a mintavételezettjéből, ha a Δx és a Δy mintavételezési léptékekre teljesül:

1 1 x  , y  . 2w 2w


34

INTERPOLÁCIÓS TECHNIKÁK

35


Geometriai transzformáció végrehajtása Input kép

Transzformáló függvény

Interpolációs függvény

Output kép


36

Interpolációs technikák

37


Legközelebbi szomszéd (NN) • A legközelebbi szomszéd (Nearest Neighbor – NN) interpoláció nem más, mint a subpixeles koordináták kerekítése: 

J(r,c) = I(ri ,ci ) ahol (ri ,ci ) = round(rf ,cf )

(ri ,ci ) (rf ,cf )

38


Bilineáris • A bilineáris interpoláció nem más, mint a subpixeles (rf ,cf ) koordinátához legközelebb eső 4 szomszédos pixelérték súlyozott átlaga: r, c r, c  1

J r, c   I r , c  1  r   1  c   I r   1, c  r  1  c   I r , c  1  1  r   c  I r   1, c  1  r  c. 

Ahol

r   rf  ; c  c f  

és

r  rf  r ; c  c f  c

c

r

1  r  r  1, c

1  c  r,f c,c f r r  1, c  1

39


Bicubic • A bicubic interpoláció a subpixeles (rf ,cf ) koordinátához legközelebb eső 4 szomszédos pixelértéket illetve azok parciális deriváltjait is használja  Ezért 4x4 szomszédság szükséges r, c    rf  , c f  

 c Ir   i, c  j ,  r   cr 

Ir   i, c  j , Ir   i, c  j  j 0 1



1

i 0

40


Bicubic • N(r´,c´ ) az (r´,c´ ) 8-pixeles szomszédsága  r 

Ir , c  r , c diff. átlaga

Ir   1, c  Ir , c  Ir , c  Ir   1, c  12 Ir   1, c  Ir   1, c 

1 2

 r   c   r c 

Nr, c

Nr, c  1

Nr  1, c

Nr  1, c  1

Ir , c 

Ir, c 

Ir, c 

41


Bicubic • A parciális deriváltak az alábbi harmadfokú polinomok szorzatának összegében kombinálódnak

J r , c  

2

2

  I r  m , c  n Pr  m Pn  c 

m  1 n  1 

ahol

Px  

1 6

Q  x  2 

3

 4Q  x  1 

6Q  x   4Q  x  1 3



és

3

3



r, c    rf  , c f   r, c    rf  r , c f  c   x for x  0 Q x    0 for x  0

nearest neighbor bilinear


42

Példa: Kicsinyítés 3/7 arányban

bicubic

eredeti


43

Példa: Kicsinyítés 3/7 arányban - eredeti

eredeti


44

Példa: Kicsinyítés 3/7 arányban - NN

nearest neighbor


45

Példa: Kicsinyítés 3/7 arányban - bilinear

bilinear


46

Példa: Kicsinyítés 3/7 arányban - bicubic

bicubic


47

Példa: Kicsinyítés 3/7 arányban - eredeti

eredeti

48


Felhasznált anyagok • Palágyi Kálmán: Digitális Képfeldolgozás /pub/Digitalis_kepfeldolgozas

• Trevor Darrell: C280, Computer Vision http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15385s06/lectures/ppts/

• Richard Alan Peters: EECE/CS 253 Image Processing http://www.archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing

• További források az egyes diákon megjelölve

5. Geometriai transzformációk

Recommend Documents