Matematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök és más geometriai formák... G. Galilei, Il Saggiatore

A Természet nagy könyve mindig nyitva áll szemünk elött, és az igaz bölcselet van megírva benne ... De nem olvashatjuk azt másképp, csak ha elébb megtanuljuk a nyelvet s jeleket, mellyel íratott ... Matematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök és más geometriai formák ... G. Galilei, Il Saggiatore

Szimmetriák és csoportjaik Bántay Péter

ELTE Elméleti Fizika Tanszék

Cél: csoportelméleti alapfogalmak megismerése.

Tematika • Példák csoportokra • Az absztrakt csoportfogalom • Kombinatorikus csoportelmélet, permutációcsoportok • Szimmetriacsoportok a fizikában • Ábrázoláselmélet és invariánselmélet

Ajánlott irodalom 1

G. G. Hall: Alkalmazott csoportelmélet.

2

W. Magnus, Obertinger: Csoportok és gráfjaik.

3

H. Weyl: Szimmetria.

4

H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai.

5

Wigner Jenő: Csoportelméleti módszer a kvantummechanikában.

Az egyenlőoldalú háromszög Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk

Szerkesztés körzővel és vonalzóval. Kitüntetett elemek: • oldalak • csúcspontok

A szimmetriák algebrája

• oldalfelező merőlegesek

Szabályos sokszögek

• középpont (súlypont)

Szabályos testek és politopok

Háromszög = oldalak által határolt véges síkidom = csúcspontok konvex burka. Baricentrikus koordináták és alkalmazásaik (pl. fizikai kémia, ásványtan).

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk

A szimmetriák algebrája Szabályos sokszögek Szabályos testek és politopok

Belső szögek mind megegyeznek és összegük 180◦ .




Pons asinorum Ha nem lennének egyenlők a szögek, akkor pl. a legnagyobb kitüntetett lenne, így a vele szemben lévő oldal is, de az egyes oldalakat csak a hosszuk jellemzi, ami pedig azonos.



Pons asinorum Ha nem lennének egyenlők a szögek, akkor pl. a legnagyobb kitüntetett lenne, így a vele szemben lévő oldal is, de az egyes oldalakat csak a hosszuk jellemzi, ami pedig azonos.

A szimmetriák algebrája Szabályos sokszögek

Belső szögek egyenként 60◦ -osak!


Középpontból csúcspontokhoz húzott egyenesek szöge 120◦ . Jellemzők egyenlősége a szimmetria jele!

Elemi tulajdonságok

Szimmetria:

A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


a sík olyan mozgása (izometriája, távolságtartó leképezése), amely a háromszög pontjainak halmazát önmagába képezi.


Szimmetria:

A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk

a sík olyan mozgása (izometriája, távolságtartó leképezése), amely a háromszög pontjainak halmazát önmagába képezi.

A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Csúcspontok kitüntetett pontok (konvex halmaz extremális pontjai), így szimmetriák csúcspontot csúcspontba képeznek. Általában: kitüntetett elemek hasonló kitüntetett elemekbe képződnek. Középpont (súlypont) egyértelműen meghatározott, ezért minden szimmetriának fixpontja.



Izometriák • eltolások

(0 fixpont)




(0 fixpont)

• forgatások (1 fixpont)




(0 fixpont)

• forgatások (1 fixpont) • tükrözések (∞ fixpont)




(0 fixpont)

• forgatások (1 fixpont) • tükrözések (∞ fixpont) • fentiek kompozíciói



(0 fixpont)

• forgatások (1 fixpont) • tükrözések (∞ fixpont) • fentiek kompozíciói


Tükrözések fixpontjai egy egyenest alkotnak, a tükrözés tengelyét; a tengely két oldalán lévő pontokat a tükrözés páronként fölcseréli. Eszerint a szimmetriák a háromszög középpontja körüli forgatások és az oldalfelező merőlegesekre vonatkozó tükrözések.

3 Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái

σ_3

A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk

C



σ_1

σ_2

1

2


Szimmetriák halmaza n

D3 = 1, C , C 2 , σ1 , σ2 , σ3

o

A szimmetriák realizációi Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Szimmetria: háromszög pontjainak önmagába való leképezése. Más értelmezések ⇒ más realizációk. 1

Koordináta-transzformációk

2

Lineáris leképezések (mátrixok)

3

Permutációk

Koordináta-transzformációk Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái

Descartes KR: középpont az origóban, 1-es csúcspont az y -tengelyen.

A szimmetriák realizációi

y

A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések

1

A szimmetriák mint permutációk


x

Szabályos sokszögek Szabályos testek és politopok

2

3

Sík izometriája: x y

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái

!

7→

x ’(x , y ) y ’(x , y )

!

koordináta-transzformáció, amelyre (x ’) 2 + (y ’) 2 = x 2 + y 2 .

A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk

Például: x y

σ1 :



és C:

x y

!

7→

−x y

!

√

!

7→

−√12 x − 23 y 3 1 2 x − 2y

!


Számolásokra alkalmas, hasznos a szimmetriák szorzatainak meghatározásában. Nem egyértelmű, hiszen sokféle koordinátázás lehetséges.

Lineáris leképezések Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Koordináta-transzformációk lineárisak, azaz elsőfokúak x -ben és y -ban (konstans tag nélkül). Sík: kétdimenziós lineáris tér R felett, bázisa {e1 , e2 }. Lineáris transzformációk jellemzéséhez elegendő ismerni a bázisvektorok képét Ae1 = A11 e1 + A12 e2


Ae2 = A21 e1 + A22 e2 vagyis az A11 A12 A21 A22 valós elemű mátrixot!

!

Például: −1 0 0 1

σ1 = Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái

és C=

A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Általában A11 A12 A21 A22

1 − √2 3 2

!

=

!

√

− 23 − 12 ∂x ’ ∂x ∂y ’ ∂x

!

∂x ’ ∂y ∂y ’ ∂y

!

Lineáris leképezések kompozíciója: mátrixok szorzása.


Tömörebb, kevésbé redundáns jellemzés; szorzatok számolása egyszerűbb mint általános koordinátatranszformációk esetén. Nem egyértelmű, mert sok különféle bázis választható a lineáris térben.

Permutációk Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Szimmetria csúcspontot csúcspontba képez ⇒ csúcspontok halmazának önmagára történő egy-egyértelmű leképezése (bĳekciója, permutációja). Például: 1 7→ 1 1 7→ 2 σ1 : 2 7→ 3 és C : 2 7→ 3 3 7→ 2 3 7→ 1 Identikus leképezésnek az egységpermutáció felel meg.


A legtömörebb jellemzés: sok alkalmazás szempontjából a legalkalmasabb, de nem mindig elég informatív. Nem egyértelmű, hiszen többféleképpen jelölhetjük a csúcspontokat.

A szimmetriák algebrája Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések

Két szimmetria egymás utáni végrehajtása megint csak szimmetria ⇒ a szimmetriák halmazából nem vezet ki a kompozíció művelete! Szorzótábla (véges esetben)



◦ 1 C C2 σ1 σ2 σ3

1 1 C C2 σ1 σ2 σ3

C C C2 1 σ2 σ3 σ1

C2 C2 1 C σ3 σ1 σ2

σ1 σ1 σ3 σ2 1 C2 C

σ2 σ2 σ1 σ3 C 1 C2

σ3 σ3 σ2 σ1 C2 C 1


Az 1 identikus leképezés a kompozíció egységeleme, azaz bármely a leképezésre 1◦a =a◦1=a

A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések

Minden a szimmetriának létezik inverze, azaz egy olyan a-1 szimmetria, hogy


a ◦ a-1 = a-1 ◦ a = 1


a a-1

1 1

C C2

C2 C

σ1 σ1

σ2 σ2

σ3 σ3

Szimmetriák bĳektív (egy-egyértelmű) leképezések, és a-1 az a bĳekció inverz leképezése.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái

Leképezések kompozíciója asszociatív művelet, azaz bármely a, b, c leképezésekre (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések

Kompozíció általában nem kommutatív, azaz nem igaz feltétlenül minden a, b leképezésre, hogy


a◦b =b◦a


Például C ◦ σ1 = σ3 6= σ2 = σ1 ◦ C

és

σ1 ◦ σ2 = C 6= C 2 = σ2 ◦ σ1 .

1 Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Transzformációcsoport: leképezések olyan halmaza, amely tartalmazza az identikus leképezést, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz leképezését.

1


2

Mátrixcsoport: mátrixok olyan halmaza, amely tartalmazza az egységmátrixot, zárt a mátrixszorzás műveletére, és tartalmazza minden elemének inverzét.



1


2


3

Permutációcsoport: adott véges halmaz permutációinak egy olyan halmaza, amely tartalmazza az egységpermutációt, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz permutációját.



1


2


3

Permutációcsoport: adott véges halmaz permutációinak egy olyan halmaza, amely tartalmazza az egységpermutációt, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz permutációját.



Feladat: ezen fogalmak közös gyökerének absztrahálása. Lényeg: kétváltozós, asszociatív és egységelemes művelet, amelyre léteznek inverzek.

Sokszögek Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi

Szabályos sokszög: azonos hosszúságú oldalakkal rendelkező konvex síkidom (konvexitás fontos, pl. Salamon-csillag).

A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Gauss Szabályos sokszög akkor és csak akkor szerkeszthető, ha páratlan prímtényezői mind egyszeres Fermat-prímek: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17 igen, de 7, 9, 11, 13, 14 nem. n

Egy prímszám Fermat-prím, ha 22 + 1 alakba írható. Ismert Fermat-prímek: 3, 5, 17, 257, 65537.

Kitüntetett elemek: középpont, csúcspontok, oldalfelezők. Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái

Szimmetriák: a sík olyan mozgásai , amelyek a sokszög pontjainak halmazát önmagába képezik. Kitüntetett elemeket azonos típusú elemekbe képezik.

A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések

Középpont fix, és csúcspont csúcspontba, valamint oldalfelező oldalfelezőbe képződik



• n darab középpont körüli forgatás ( 2π n egész számú

többszörösével) • n darab tükrözés (oldalfelezőkre, illetve a középpontot

valamely csúcsponttal összekötő egyenesekre).

Szabályos n-szög szimmetriacsoportja: Dn az n-edfokú diédercsoport, Cn a forgási szimmetriák alcsoportja.

Szabályos politop Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi

Hipersíkok által határolt konvex d dimenziós térrész, melynek az egyes határoló hipersíkokkal vett metszetei egymással egybevágó (d − 1) dimenziós szabályos politopok.

A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Kepler: végtelen d dimenziós politop (d-1) dimenziós szabályos csempézés (mozaik).


Véges politop f -vektora: fk = k dimenziós lapok száma. McMullen: fk ≤ Fk (d, n) Euler-tétel:

d−1 X

(-1)k fk = 1 + (-1)d−1

k=0


Duális (reciprok) politopok. Ha d = 2, akkor szabályos sokszögek. d = 3 esetén szabályos (platonikus) testek: világ építőelemei.



d =3 Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Név tetraéder kocka oktaéder dodekaéder ikozaéder négyzetrács háromszögrács hatszögrács

Schläfli-szimbólum {3, 3} {4, 3} {3, 4} {5, 3} {3, 5} {4, 4} {3, 6} {6, 3}

f -vektor (4, 6, 4) (8, 12, 6) (6, 12, 8) (20, 30, 12) (12, 30, 20) (1, 2, 1) ∞ (1, 3, 2) ∞ (2, 3, 1) ∞

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓

A hiperkocka Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


d =4 Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái A szimmetriák realizációi A szimmetriák mint koordinátatranszformációk A szimmetriák mint lineáris leképezések A szimmetriák mint permutációk


Név szimplex hiperkocka kereszt-politop 120-cella 600-cella 24-cella kockarács

Schläfli-szimbólum {3, 3, 3} {4, 3, 3} {3, 3, 4} {5, 3, 3} {3, 3, 5} {3, 4, 3} {4, 3, 4}

f -vektor (5, 10, 10, 5) (16, 32, 24, 8) (8, 24, 32, 16) (600, 1200, 720, 120) (120, 720, 1200, 600) (24, 96, 96, 24) (1, 3, 3, 1) ∞

d>4 Csak három szabályos politop: szimplex, hiperkocka és kereszt-politop.

↑ ↓ ↑ ↓

Gyűrűk Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok

Olyan kétműveletes struktúrák, amelyekben mindkét kétváltozós művelet (’összeadás’ és ’szorzás’) kommutatív, asszociatív és egységelemes (’nulla’ és ’egy’), az összeadásra nézve léteznek inverzek, és a szorzás disztributív a (b +c) = ab +ac Példák: • Z, Q, R, . . . számgyűrűk; • Mn (R) mátrixgyűrűk; • R [x1 , . . . , xn ] polinómgyűrűk.

Fontos szerepet játszanak az algebrai számelméletben és geometriában.

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek

Tetszőleges R gyűrű elemei az összeadás műveletével additív csoportot alkotnak. Példák:

Pauli-mátrixok

• egész számok additív csoportja (végtelen ciklikus csoport); • racionális számok additív csoportja (nagyon bonyolult

szerkezetű); • valós számok additív csoportja (egydimenziós eltolások).

R × = {x ∈ R|xy = 1 valamely y ∈ R-re} invertálható elemek a szorzás műveletével multiplikatív csoportot alkotnak. Például: R× = R \ {0} és Z× = {±1}.

Maradékosztályok Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok

Eukleidész: egész számok maradékos osztása.

Modulo n maradékosztály Egész számok olyan halmaza, amelyeknek az n-nel való osztási maradéka megegyezik. nZ + k = {nx + k|x ∈ Z}

Összesen n különböző maradékosztály (k = 0, 1, . . . n-1). Maradékosztályok összege és szorzata úgyszintén maradékosztály ⇒ Z/nZ maradékosztály-gyűrű.

Triviális maradékosztály: nZ. Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek

Összeadás kommutatív és asszociatív, egységelemes művelet, és minden maradékosztálynak létezik additív inverze (ellentetje): maradékosztályok Z/nZ additív csoportja (véges ciklikus).

Pauli-mátrixok

Szorzás kommutatív és asszociatív, egységelemes művelet, de nem minden maradékosztálynak létezik multiplikatív inverze, csak amelyekre k és n relatív prím (prímreziduumok). (Z/nZ)× : prímreziduumok multiplikatív csoportja. Számossága φ(n), az n-hez relatív prím pozitív egészek száma (Euler-féle φ-függvény). Fontos számelméleti alkalmazások (Galois-elmélet). Megjegyzés: szabályos n-szög akkor szerkeszthető, ha φ(n) a 2 valamely hatványa.

Kvaterniók Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok

számegyenes pontjai valós számok számsík pontjai komplex számok háromdimenziós tér pontjai ???

Hamilton (kanonikus formalizmus, Hamilton-elv, stb.), 1843. ???= képzetes kvaterniók! Négydimenziós asszociatív, de nem kommutatív divizióalgebra. Frobenius: valós számok felett nincs több asszociatív hiperkomplex rendszer (de léteznek az oktoniók!).

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok

Képzetes kvaterniók háromdimenziós vektorok. (

Szorzat

valós képzetes

(

része =

skaláris vektoriális

Kvaternió-egységek szorzótáblája

i j k

i -1 -k j

j k -1 -i

k -j i -1

Kvaterniócsoport: Q = {±1, ±i, ±j, ±k}.

szorzat!

Pauli-mátrixok Maradékosztályok

Elektronspin komponensei (Pauli)

Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok

σ1 =

0 1 1 0

!

σ2 =

0 -i i 0

!

σ3 =

1 0 0 -1

!

Spúrjuk zérus, és minden sajátértékük valós (az egyik +1, a másik -1), vagyis hermitikusak (önadjungáltak).

Felbontási tétel Bármely 2x2-es, spúrtalan hermitikus mátrix előáll Pauli-mátrixok valós együtthatós kombinációjaként. Megjegyzés: minden Pauli-mátrix involutív (másodrendű), azaz négyzete az egységmátrix.

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok

Két különböző Pauli-mátrix szorzata a harmadik Pauli-mátrix ±i-szerese: σ i σ j = iĳk σ k A szorzás antikommutatív, azaz (i 6= j) σ i σ j = −σ j σ i 2x2-es egységmátrix σ0 =

1 0 0 1

!

Bármely 2x2-es hermitikus mátrix előáll a σ i -k valós lineárkombinációjaként (i = 0, 1, 2, 3).

Szorzótábla Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek

σ1 σ2 σ3

Pauli-mátrixok

σ1 σ0 -iσ 3 iσ 2

σ2 iσ 3 σ0 -iσ 1

σ3 -iσ 2 iσ 1 σ0

Kapcsolat kvaterniókkal: i = iσ 1

j = -iσ 2

k = iσ 3

a képzetes kvaternió-egységek. Kvaterniók 2x2-es hermitikus mátrixok (valós rész = spúr fele).

Csoportaxiómák A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat

Elemek G halmaza és mult : G ×G → G kétváltozós művelet (’szorzás’): mult(x , y ) = x ?y , vagy csak xy (infix jelölés).

Csoportaxiómák A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok

Elemek G halmaza és mult : G ×G → G kétváltozós művelet (’szorzás’): mult(x , y ) = x ?y , vagy csak xy (infix jelölés). 1

A művelet asszociatív, azaz bármely x , y , z ∈ G-re

Faktorcsoport Direkt szorzat

x ? (y ? z) = (x ? y ) ? z




Faktorcsoport

x ? (y ? z) = (x ? y ) ? z

Direkt szorzat

2

Létezik egységelem, azaz olyan 1G ∈ G, hogy 1G ? x = x ? 1G = x minden x ∈ G-re;




Faktorcsoport

x ? (y ? z) = (x ? y ) ? z

Direkt szorzat

2

Létezik egységelem, azaz olyan 1G ∈ G, hogy 1G ? x = x ? 1G = x minden x ∈ G-re;

3

Minden x ∈ G-nek létezik x -1 ∈ G inverz eleme, amelyre x ? x -1 = x -1 ? x = 1G

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok

Általánosítások Félcsoportok, kvázicsoportok, kvantum-csoportok, szupercsoportok, .... kétdimenziós csoportok.


Csoport rendje = elemeinek számossága. Véges és végtelen csoportok. Abel-csoport: művelet kommutatív, azaz x ?y =y ?x minden x , y ∈ G-re.

Homomorfizmusok A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport

Matematikai struktúrák összehasonlítása speciális leképezések segítségével. Például a geometriában folytonos, differenciálható, távolságtartó, stb. leképezések.

Direkt szorzat

Homomorfizmus Két csoport közötti művelettartó leképezés. φ : G1 → G2 leképezés a G1 csoportból a G2 csoportba akkor homomorfizmus, ha φ(xy ) = φ(x ) φ(y ) minden x , y ∈ G1 -re. Izomorfizmus: bĳektív homomorfizmus.

A csoportaxiómák

G1 és G2 izomorf, jelben G1 ∼ = G2 , ha létezik φ : G1 → G2 izomorfizmus (szükséges, hogy |G1 | = |G2 | legyen).

Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat

Izomorfizmus-elv (Steinitz) Izomorf csoportok absztrakt csoportelméleti szempontból azonosnak tekintendők. Automorfizmus: egy csoportnak önmagával való izomorfizmusa. Automorfizmusok kompozíciója szintén automorfizmus ⇒ G csoport automorfizmusai egyAut(G) csoportot alkotnak! Egyes számolások különösen egyszerűek lehetnek bizonyos speciális típusu csoportokban ⇒ csoport-reprezentációk.

Részcsoport A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus

Csoportelemek olyan részhalmaza, amely maga is csoportot alkot (zárt a csoportműveletre és az inverzképzésre).

Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport

H < G, ha minden x , y ∈ H-ra xy -1 ∈ H.

Direkt szorzat

Példák: maga G, valamint az 1G triviális részcsoport. X ⊆ G részhalmaz esetén hX i a lekisebb olyan részcsoport, amely tartalmazza X -et (generátor-rendszer). hX i =

\

H

X ⊆H
Ha G-t generálja az X részhalmaz, akkor bármely φ : G → H homomorfizmust egyértelműen meghatároz az X -re való leszűkítése.

Ciklikus részcsoportok A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok

Egy (rész-)csoport ciklikus, ha egyelemű halmaz generálja. Csoportelem rendje: generált ciklikus részcsoport számossága.


Struktúra-tétel Minden végtelen ciklikus csoport izomorf az egész számok additív csoportjával. Egy véges N-edrendű ciklikus csoport izomorf a modulo N maradékosztályok additív csoportjával. Következmény: ha ox ∈ G egy n < ∞ rendű csoportelem, akkor n 2 n−1 1, x , x , . . . , x az x egymástól különböző hatványai, egyben az x által generált hx i ciklikus részcsoport elemei.

Részcsoportháló A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok

Részcsoportok metszete maga is részcsoport ⇒ részcsoportok hálót alkotnak. Grafikus ábrázolás: Hasse-diagramm

Faktorcsoport

D_3

Direkt szorzat

<σ_1>

<σ_2>

<σ_3>

1

Mellékosztályok A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus

Komplexus: csoportelemekből álló halmaz.

Részcsoportok és mellékosztályok

Komplexus-szorzás: XY = {xy |x ∈ X , y ∈ Y }.


Asszociatív, egységelemes művelet, de nincsenek inverzek.

Részcsoport szerinti mellékosztály

xH = xy |y ∈ H alakú részhalmaz valamely x ∈ G és H < G-re. Triviális mellékosztály: maga H.

Homo-, izo- és automorfizmus

Mellékosztályok particionálják a csoportot: vagy diszjunktak, vagy megegyeznek, és uniójuk az egész csoport ⇒ egyazon mellékosztályba tartozni egy ekvivalenciareláció.

Részcsoportok és mellékosztályok

Bal- és jobboldali mellékosztályok: xH és Hx .

A csoportaxiómák


Részcsoport indexe: különböző (baloldali) mellékosztályainak száma.

Lagrange-tétel Bármely H < G részcsoportra |G| = [G : H] |H|. Következmény: minden prímrendű csoport ciklikus.

Normális részcsoport A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok

N < G normális részcsoport, ha xN = Nx minden x ∈ G-re. Alternatív elnevezések: invariáns részcsoport, normálosztó; jelölése N / G.


Kongruenciareláció: olyan ekvivalenciareláció a csoportelemek halmazán, amely kompatibilis a csoportművelettel: x1 ≡ y1 x2 ≡ y2

)

⇒ x1 x2 ≡ y1 y2

Minden kongruenciareláció ekvivalencia-osztályai valamely normális részcsoport mellékosztályai, és fordítva. Egyszerű csoport: csak két normális részcsoportja van (önmaga és a triviális).

Faktorcsoport A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport

Mellékosztályok komplexus-szorzata szintén mellékosztály! (xN) (yN) = x (Ny ) N = (xy ) N Inverz mellékosztály: (xN)-1 = x -1 N.

Direkt szorzat

Normális részcsoport szerinti mellékosztályok csoportot alkotnak: G/N faktorcsoport.

C3 = {1, C , C 2 } / D3 D3 /C3 C3 σ1 C3

és σ1 C3 = {σ1 , σ2 , σ3 } C3 C3 σ 1 C3

σ1 C3 σ1 C3 C3

(

φ : G → H homomorfizmus A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat

képe magja

φ(G) = {φ(x ) |x ∈ G} ker φ = {x ∈ G|φ(x ) = 1H }

Homomorfizmus-tétel Minden φ : G → H homomorfizmusra φ(G) < H és ker φ / G, továbbá φ(G) ∼ = G/ ker φ

homomorf képek ←→ faktorcsoportok Korrespondencia-tétel: egy-egyértelmű kapcsolat φ(G) részcsoportjai és G azon részcsoportjai között, amelyek tartalmazzák ker φ-t.

Direkt szorzatok A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat

G1 ×G2 direkt szorzat elemei: (x1 , x2 ) rendezett párok (Descartes-szorzat). Művelet: (x1 , x2 ) ? (y1 , y2 ) = (x1 ? y1 , x2 ? y2 ) Kommutatív, asszociatív és egységelemes ’művelet’ csoportok izomorfizmus-osztályain.

Frobenius–Stickelberger-tétel Minden véges Abel-csoport előáll prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzataként, sorrendtől eltekintve egyértelműen. Számelmélet alaptétele.

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat

Kombinatorikus csoportelmélet Szabad csoportok Generátorok és relációk

Csoportok algoritmikus vizsgálata.

Algoritmikus kérdések GAP

Kombinatorikus (algebrai) topológia: sokaságok jellemzése algebrai struktúrákkal Szimpliciális felbontás, homológia- és homotópia-csoportok, Betti-számok, Euler–Poincaré-formula. Homológia-csoportok általában végtelen (Abel-)csoportok. Hogyan jellemezhető effektíven végtelen csoportok szerkezete? ”Szabad” csoportok homomorf képeiként!

Szabad csoportok Szabad csoportok

Konstruktív vagy axiomatikus jellemzés.

Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések

Univerzalitás

GAP

Az F csoport szabad az X halmaz felett, ha bármely G csoport esetén minden φ : X → G leképezés egyértelműen kiterjeszthető egy φˆ : F → G homomorfizmussá. Következmények: 1

az X feletti bármely két szabad csoport egymással izomorf (FX szabad csoport);

2

az X és Y feletti szabad csoportok akkor és csak akkor izomorfak, ha |X | = |Y |.

Szabad csoport rangja: rank FX = |X |. Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP

Végtelen nem-kommutatív csoportok, kivéve F1 ∼ = Z. Konstruktív jellemzés (redukált szavak csoportja): kapcsolat matematikai nyelvészettel. Legyen a G csoport egy generátor-rendszere X ⊂ G, és φ : X → G a beágyazás.Ekkor a φˆ : FX → G homomorfizmus képe G. ˆ Homomorfizmus-tétel miatt G ∼ = FX / ker φ.

Nielsen–Schreier-tétel Szabad csoport minden részcsoportja szabad. H < F esetén rank H − 1 = [F : H] (rank F − 1)

Prezentációk Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések

X ⊂ G generátor-rendszer, φˆ : FX → G homomorfizmus a φ : X → G beágyazás kiterjesztése, RX = ker φˆ a relátor-részcsoport (Nielsen-Schreier miatt RX is szabad csoport, de általában végtelen a rangja, kivéve ha G véges).

GAP

G csoport prezentációja Olyan hX |Ri pár, ahol X ⊂ G generálja G-t, és a legkisebb olyan normális részcsoportja FX -nek, amely még tartalmazza R minden elemét, megegyezik az RX relátor-részcsoporttal. Egyazon csoportnak sok különböző prezentációja van! Ekvivalens prezentációk között a Tietze-transzformációk teremtenek kapcsolatot.

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések

Véges prezentáció: mind X (generátorok halmaza), mind R (relátorok halmaza) véges. Végesen prezentált csoportok kezelhetők algoritmikusan.

GAP

Példák: 1

hx | x n i a Zn ciklikus csoport egy prezentációja;

2

ha, b | an , babai a Dn diéder-csoport egy prezentációja;

3

4

D

E

s, t | s 2 , t 3 , (st)3 a D3 diéder-csoport másik prezentációja;

a, b | a-1 b -1 ab a Z × Z csoport egy prezentációja.

Algoritmikus kérdések Szabad csoportok Generátorok és relációk

Feladat: G csoport egy hX |Ri prezentációjának ismeretében határozzuk meg G tulajdonságait (elemek száma, kommutativitás, ciklicitás, ....).

Algoritmikus kérdések GAP

Dehn-problémák Adott hX |Ri prezentáció esetén adjunk véges algoritmust a következő kérdések eldöntéséhez. 1

Szóprobléma: adott w ∈ FX beletartozik-e az RX relátor-részcsoportba?

2

Konjugációs probléma: adott w1 , w2 ∈ FX elemek esetén létezik-e olyan u ∈ FX , hogy w1 u ∈ uw2 RX ?

3

Izomorfia-probléma: az hY |Qi prezentáció ekvivalens-e hX |Ri-rel?

Szabad csoportok

Novikov-Boone

Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések

Általában eldönthetetlen kérdések, azaz nem létezik ilyen algoritmus!

GAP

Fentiek alapján a prezentáció ismeretében eldönthetetlen a csoport • trivialitása • végessége • kommutativitása • stb.

Algoritmusok Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések

De! Futásidő szempontjából 1 év ≈ 106 év ≈ ∞. Pragmatikus hozzáállás: addig fusson, amíg van hozzá türelmünk.

GAP

Legfontosabb algoritmusok Knuth-Bendix: a szóprobléma (és egyben a konjugációs probléma) megoldását szolgáltatja, amennyiben az létezik; Todd-Coxeter: az FX egy adott részhalmaza által generált részcsoport (baloldali) mellékosztályait sorolja fel (ha véges sok van); Reidemeister-Schreier: részcsoport mellékosztályainak ismeretében meghatározza a részcsoport egy prezentációját.

A GAP szoftver Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP

http://www.gap-system.org Diszkrét matematikai (főleg csoportelméleti) számolásokra alkalmas interpretált nyelv (de létezik hozzá compiler is).

Csoportok megadása • prezentációval; • generáló permutációkkal; • generáló mátrixokkal; • csoportelméleti konstrukciókkal.

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

Ábrázolás- és invariánselmélet

Mátrixcsoportok Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

Mátrixok • egyszerű numerikus jellemzés • hatékonyan algoritmizálható műveletek

(Karatsuba-szorzás) • lineáris algebrai módszerek

Adott gyűrű feletti invertálható mátrixok csoportot alkotnak. Invertálhatóság feltétele: determináns invertálhatósága! Kapcsolat lineáris operátorokkal.

A lineáris csoportok Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

GLn (R): R feletti n × n-es invertálható mátrixok csoportja. Végtelen ha R is az, és csak n = 1 esetén kommutatív. SLn (R): egységnyi determinánsú mátrixok részcsoportja. Ha V egy lineáris tér az F test felett, akkor GL(V ) az invertálható lineáris operátorok összesége, a V feletti általános lineáris csoport. GL(V ) ∼ = GLdim V (F) SL(V ) a speciális lineáris csoport, a térfogatörző operátorok csoportja. dim GLn (R) = n2

Az unitér csoportok Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

Egy U mátrix unitér, ha adjungáltja megegyezik az inverzével (csak C felett értelmes) U † = U -1 Unitér mátrixok szorzata is unitér ⇒ U(n) unitér csoport. dim U(n) = n2 Az 1 determinánsú unitér mátrixok alkotják az SU(n) speciális unitér csoportot, amely egyszerű (nincs nemtriviális homomorf képe).

Unitér csoportok a fizikában Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

Fontos szerepet játszanak az elemi részecskék osztályozásában (’nyolcas út’, kvarkmodell) és az alapvető kölcsönhatások leírásában (elektrogyenge elmélet, QCD). Kvantumelméleti állapotleírás lineáris (szuperpozíció elve) + a valószínűségi amplitúdok megörződnek ⇒

Wigner tétele Egy kvantumrendszer szimmetriái unitér vagy antiunitér operátoroknak felelnek meg. Antiunitér operátorok: időtükrözés!

Az ortogonális csoportok Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

Bilineáris forma Skalárértékű kétváltozós függvény egy lineáris téren, amely mindkét változójában lineáris. Skalárszorzat: valós lineáris téren értelmezett szimmetrikus bilineáris forma. Megfelelő bázis választása esetén minden skalárszorzat felírható (x , y ) =

p X i=1

xi yi −

n X

xi yi

i=p+1

normálalakban, ahol 0 ≤ p ≤ n (szignatúra).


O(p, n − p) ortogonális csoport: (Ax , Ay ) = (x , y ) feltételnek eleget tevő invertálható A operátorok összesége. Egységnyi determinánsú mátrixok írják le az irányítástartó transzformációkat (forgatások) ⇒ SO(p, n − p) speciális ortogonális csoport. dim SO(p, n − p) =

n 2

!

=

n (n − 1) 2

Euklidészi tér szignatúrája (3, 0), míg Minkowski-tér szignatúrája (1, 3), ezért

forgáscsoport = SO(3), Lorentz-csoport = SO(3, 1)

A szimplektikus csoport Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

Szimplektikus forma: valós lineáris téren értelmezett antiszimmetrikus (’alternáló’) bilineáris forma. Nemdegenerált szimplektikus forma csak páros dimenzióban létezhet.

Darboux tétele Megfelelő bázis választása esetén minden 2n dimenziós szimplektikus forma hx , y i =

n X i=1

normálalakban írható fel.

(xi yi+n − xi+n yi )


Az Sp(2n) szimplektikus csoportot olyan A invertálható leképezések alkotják, amelyekre hAx , Ay i = hx , y i (szimplektikus leképezés, ’kanonikus transzformáció’). dim Sp(2n) = n (2n + 1) Klasszikus mechanika Hamilton-formalizmusában a kanonikus egyenletek szimmetriái szimplektikus leképezések (fázistér szimplektikus struktúrája). Általában: sokaságok koérintőnyalábjának szimplektikus struktúrája.

Tenzorok Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

Fizikai tér szimmetriái lineáris koordináta-transzformációkként realizálódnak ⇒ fizikai mennyiségek komponensei lineárisan keverednek KR-váltáskor (skalár, vektor, tenzor, ...) 0

Ai = Tĳ Aj Igaz Minkowski-térre is (relativitáselmélet), de nem igaz görbült téridőre. Kovariancia elve: természeti törvényt kifejező egyenlőség minkét oldala azonos tenzori rangú. Curie-elv (irreverzibilis termodinamika): kereszteffektusok csak azonos tenzori rangú mennyiségek között.


Egyváltozós polinomok gyökei Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok

Algebra alaptétele Minden n-edfokú egyváltozós polinomnak pontosan n gyöke van a komplex számtest felett.

Syzygyk Molien-képlet

Ha f (x ) gyökei α1 , ..., αn , akkor f (x ) = A (x − α1 ) ... (x − αn ) valamely A komplex számra. f (x ) = A

n X k=0

(-1)k sk (α1 , ..., αn ) x n−k

s0 = 1 Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet

s1 = α1 + ... + αn .. . sn = α1 ...αn Együtthatók a gyökök többváltozós homogén polinomjai sk (λα1 , ..., λαn ) = λk sk (α1 , ..., αn ) Gyökök sorrendje nincs rögzítve ⇒ együtthatók a gyökök szimmetrikus polinomjai! sk (απ1 , ..., απn ) = sk (α1 , ..., αn ) minden π ∈ Sn permutációra. Elemi szimmetrikus polinomok: sk (x1 , ..., xn ) =

X 1≤i1
xi1 xi2 ...xik

Hatványösszegek: Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok

pk (x1 , ..., xn ) =

n X

xik

i=1

Szimmetrikus polinomok tetszőleges polinomja is szimmetrikus ⇒ gyűrűt alkotnak!


Szimmetrikus polinomok alaptétele Bármely n-változós szimmetrikus polinom előáll egyértelműen akár az s1 , ..., sn elemi szimmetrikus polinomok, akár a p1 , ..., pn hatványösszegek n-változós polinomjaként.

f (x1 , ..., xn ) = Sf (s1 , ..., sn ) = Pf (p1 , ..., pn )

Newton-formulák Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok

Elemi szimmetrikus polinomok kifejezése hatványösszegek segítségével (és fordítva). s 1 = p1

Fundamentális invariánsok

s2 = (p12 − p2 )/2

Syzygyk

s3 = (p13 − 3p1 p2 + 2p3 )/6 .. .

Molien-képlet

Általában

n X k=1

(-1)k sk pn−k = 0

Invariáns polinomok Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk

A ∈ GLn (C) invertálható n × n-es mátrix x10  ..    .  = A xn0 





x1 ..  .  

xn

Molien-képlet

f ∈ C [x1 , ..., xn ] transzformáltja f A (x1 , ..., xn ) = f x10 , ..., xn0

f invariáns polinom ha azonosan teljesűl f A (x1 , ..., xn ) = f (x1 , ..., xn ) Invariánsok összege és szorzata is invariáns ⇒ invariánsgyűrű.

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet

G mátrixcsoport R G invariánsgyűrűje = elemek invariánsgyűrűinek metszete. Permutációs mátrixok: adott α ∈ Sn permutációra Π(α)ĳ = δiαj Permutációs mátrixok Πn csoportja a Π : Sn → GLn (C) homomorfizmus képe. f ∈ C [x1 , ..., xn ] és α ∈ Sn esetén f Π(α) (x1 , ..., xn ) = f (xα-1 1 , ..., xα-1 n )

Szimmetrikus polinomok = Πn invariánsai!

Kovariánsok Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok

n darab n-változós P1 , ..., Pn ∈ C [x1 , ..., xn ] polinom olyan rendszere, hogy P1A (x1 , ..., xn ) P1 (x1 , ..., xn )     .. ..   = A  . . A Pn (x1 , ..., xn ) Pn (x1 , ..., xn ) 

Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet







Triviális kovariáns: Pi = xi . Kovariánsok összege is kovariáns, és kovariáns szorzata invariánssal szintén ⇒ kovariánsok modulust alkotnak az invariánsgyűrű felett. Kovariánsok kompozíciója is kovariáns, és invariáns kompozíciója kovariánssal egy új invariáns.

Fundamentális invariánsok Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok

Invariáns polinomok olyan halmaza, hogy minden invariáns előáll ezek polinomiális kifejezéseként (választhatók homogén polinomoknak).


Bázis-tétel (Hilbert) Véges (reduktív, stb.) komplex mátrixcsoportra létezik fundamentális invariánsok véges halmaza. Véges G mátrixcsoport esetén létezik fundamentális invariánsoknak olyan rendszere, amelynek egyetlen tagjának foka sem haladja meg G rendjét (Noether tétele).

Szimmetrikus polinomok

Ha I1 , ..., Ir jelöli a fundamentális invariánsokat, akkor minden f invariáns polinom előáll f (x1 , ..., xn ) = Pf (I1 , ..., Ir )

Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet

alakban, ahol Pf ∈ C[x1 , ..., xr ], de általában Pf nem egyértelmű! Syzygyk: olyan Q ∈ C[x1 , ..., xr ] polinomok, hogy Q(I1 , ..., Ir ) = 0 azonosan teljesűl.

Syzygy-tétel (Hilbert) Legfeljebb n-edrendű syzygyk fordulhatnak elő.

A Hilbert–Poincaré-sor Szimmetrikus polinomok Newtonformulák

HG (z) =

Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok

∞ X

hk z k

k=0

hk a lineárisan független k-adfokú homogén invariánsok száma.


Véges (reduktív, stb.) mátrixcsoportokra mindig racionális törtkifejezés (polinomok hányadosa). Ha d1 , ..., dr jelöli a (homogén) fundamentális invariánsok fokszámait, akkor HG (z) =

(1 −

z d1 ) (1

P(z) − z d2 ) · · · (1 − z dn )

ahol P(z) egy egész együtthatós polinom (syzygyket jellemzi).

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok

Πn Hilbert–Poincaré-sora 1 = 1 + z + 2z 2 + 3z 3 + . . . (1 − z) (1 − z 2 ) · · · (1 − z n )


Molien-formula

HG (z) =

1 X 1 |G| g∈G det(1 − zg)

Matematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök és más geometriai formák... G. Galilei, Il Saggiatore

Recommend Documents