Matematika Teknik Dasar-2 8 Definisi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri

Matematika Teknik Dasar-2 8 – Definisi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Turunan Parsial Volume V dari sebuah silinder dengan radius r dan tinggi h diberikan dari rumus: V = r2h h

Jika dipertahankan nilai r konstan dan menaikkan tinggi h, volume V akan naik. Maka dalam keadaan ini dapat ditinjau turunan V terhadap h dengan nilai r dipertahankan. Maka; 𝑑𝑉 𝛿𝑉 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑑ℎ 𝑟 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 𝛿𝑥

r

Turunan Parsial 𝑑𝑉 𝑑ℎ

𝜕𝑉 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝜕𝑥 𝑟 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

Perhatikan nilai ‘delta’.

▪ Diketahui arti dari 𝜕𝑉 , 𝜕𝑥

𝛿𝑉 𝛿𝑥

dan

𝑑𝑦 . 𝑑𝑥

▪ Diperhatikan ini disebut sebagai turunan parsial V terhadap h dan menyiratkan bahwa untuk keperluan sekarang, nilai r dianggap sebagai yang konstan V = r2h

Turunan Parsial

Untuk mendiferensiasi sebagai konstanta 𝛿𝑉  𝛿ℎ

𝛿𝑉 , 𝛿ℎ

dianggap bahwa semua simbol kecuali V dan h

= 𝜋𝑟 2 . 1 = 𝜋𝑟 2

Kemudian jika mendiferensiasi sedangkan h adalah konstan. 𝛿𝑉  𝛿𝑟

𝛿𝑉 , 𝛿𝑟

maka r menyebabkan perubahan pada V

= 𝜋2𝑟ℎ = 2𝜋𝑟ℎ

Hal ini karena V = 𝜋𝑟 2 ℎ, dinyatakan sebagai fungsi dua variabel r dan h.

Turunan Parsial Contoh berikutnya: Dilihat luas permukaan selimut silinder A=2rh A adalah fungsi r dan h, jadi dapat dicari

𝜕𝐴 𝜕𝑟

dan

𝜕𝐴 𝜕ℎ

h

A

𝜕𝐴 𝜕𝑟

▪ Untuk mencari dapat diferensiasi pernyataan untuk A terhadap r, dengan simbol lain adalah konstan 𝜕𝐴 𝜕ℎ

▪ Untuk mencari dapat diferensiasi pernyataan untuk A terhadap h, dengan simbol lain adalah konstan

r

Turunan Parsial

Maka jika A = 2rh, maka

𝜕𝐴 𝜕𝑟

= 2𝜋ℎ dan

𝜕𝐴 𝜕ℎ

= 2𝜋𝑟

Contoh lain: Sebuah fungsi

z=x2y3

a. Untuk mencari

dicari

𝜕𝑧 , 𝜕𝑥

adalah konstanta. b. Untuk mencari

𝜕𝑧 , 𝜕𝑦

adalah konstanta.

𝜕𝑧 𝜕𝑥

dan

𝜕𝑧 𝜕𝑦

diferensiasikanlah terhadap x, dengan menganggap y 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 2𝑥𝑦 3

diferensiasikanlah terhadap y, dengan menganggap x 𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 𝑥 2 3𝑦 2 = 3𝑥 2 𝑦 2

Turunan Parsial Catatan: Pada turunan parsial dianggap setiap variabel adalah independen, kecuali variabel yang terhadapnya dilakukan diferensiasi, untuk sementara dianggap sebagai konstanta

Contoh - 1 u = x2 + xy + y2 𝜕𝑢 mencari , 𝜕𝑥

a. Untuk dianggap y sebagai konstanta Diferensiasi parsial x terhadap x2 = 2x Diferensiasi parsial x terhadap xy = y (y adalah faktor konstanta) Diferensiasi parsial x terhadap y2 = 0 (y2 adalah faktor konstanta) 𝜕𝑢 = 2𝑥 + 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑢 b. Untuk mencari , dianggap x sebagai konstanta 𝜕𝑦 Diferensiasi parsial y terhadap x2 = 0 (x2 adalah faktor konstanta) Diferensiasi parsial y terhadap xy = x (x adalah faktor konstanta) Diferensiasi parsial y terhadap y2 = 2y 𝜕𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 𝜕𝑦

Contoh - 2 z = x3 + y3 – 2x2y

𝜕𝑧 = 3𝑥 2 + 0 − 4𝑥𝑦 = 3𝑥 2 − 4𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = 0 + 3𝑦 2 − 2𝑥 2 = 3𝑦 2 − 2𝑥 2 𝜕𝑦

Contoh - 3 z = (2x – y) (x + 3y) Dimana contoh di atas adalah bentuk hasil kali, maka aturan hasil kali biasa akan berlaku pada persamaan di atas 𝜕𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 1 + 0 + 𝑥 + 3𝑦 2 − 0 = 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑥 + 6𝑦 𝜕𝑥 = 4𝑥 + 5𝑦 𝜕𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 0 + 3 + 𝑥 + 3𝑦 0 − 1 = 6𝑥 − 3𝑦 − 𝑥 − 3𝑦 𝜕𝑦 = 5𝑥 − 6𝑦

Contoh - 4

Persamaan 𝑧 =

2𝑥−𝑦 𝑥+𝑦′

carilah

𝜕𝑧 𝜕𝑥

dan

𝜕𝑧 𝜕𝑦

Maka dengan menggunakan aturan hasil bagi, dapat dihasilkan: 𝜕𝑧 𝑥 + 𝑦 2 − 0 − 2𝑥 − 𝑦 1 + 0 3𝑦 = = 2 𝜕𝑥 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 2 𝜕𝑧 𝑥 + 𝑦 0 − 1 − 2𝑥 − 𝑦 0 + 1 −3𝑦 = = 2 𝜕𝑦 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 2

Contoh - 5

Persamaan z=sin(3x+2y) carilah

𝜕𝑧 𝜕𝑥

dan

𝜕𝑧 𝜕𝑦

Dalam contoh ini diselesaikan apa yang disebut ‘fungsi dari suatu fungsi’. 𝜕𝑧 𝜕 = cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥 3𝑥 + 2𝑦 = cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥3 = 3cos(3𝑥 + 2𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕 = cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥 3𝑥 + 2𝑦 = cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥2 = 2cos(3𝑥 + 2𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Turunan Parsial Diperhatikan persamaan z=3x2 + 4xy – 5y2 Kemudian bisa diselesaikan Pernyataan

𝜕𝑧 𝜕𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 6𝑥 + 4𝑦 dan

𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 4𝑥 − 10𝑦

= 6𝑥 + 4𝑦 adalah suatu fungsi x dan y.

Maka bisa dicari turunan parsialnya terhadap x atau y a. Dideferensiasi secara parsial terhadap x, diperoleh: 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑥

dan ditulis sebagai , dimana ini mirip dengan turunan kedua biasa, tetapi dengan 𝜕 parsial

Turunan Parsial a. Dideferensiasi secara parsial terhadap x, diperoleh: 𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑥

𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥

dan ditulis sebagai , dimana ini mirip dengan turunan kedua biasa, tetapi dengan 𝜕 parsial 𝜕2 𝑧  2 𝜕 𝑥

𝜕 𝜕𝑥 2

= terhadap x

6𝑥 + 4𝑦 = 6; ini disebut turunan parsial kedua z

b. Dideferensiasi secara parsial terhadap y, diperoleh: 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥

dan ditulis sebagai

𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

Turunan Parsial b. Dideferensiasi secara parsial terhadap y, diperoleh: 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥

dan ditulis sebagai

𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

diperhatikan bahwa operasi yang ini dilakukan dengan memberikan simbol sebelah kiri dari kedua simbol pada penyebutnya. 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑦

6𝑥 + 4𝑦 = 4

Turunan Parsial Jadi bisa didapatkan z=3x2 + 4xy – 5y2 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 6𝑥 + 4𝑦

𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑥

=6

𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

=4

𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 4𝑥 − 10𝑦

Turunan Parsial

Dilakukan cara yang sama untuk pernyataan 𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑦

maka bisa didapatkan

= -10

𝜕2 𝑧 𝜕𝑥.𝜕𝑦

=4

Dari hasil pernyataan bisa didapatkan bahwa 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

berarti

𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥

sehingga

𝜕2 𝑧 𝜕𝑥.𝜕𝑦

berarti

𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Turunan Parsial Dengan mengumpulkan hasil-hasil yang diperoleh sebelumnya bisa dikumpulkan pernyataan dari z=3x2 + 4xy – 5y2 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 6𝑥 + 4𝑦

𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑥

=6

𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

=4

𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑦

= 4𝑥 − 10𝑦 = -10

𝜕2 𝑧 𝜕𝑥.𝜕𝑦

=4

Turunan Parsial

Kita lihat dalam kasus ini bahwa

𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

=

𝜕2 𝑧 𝜕𝑥.𝜕𝑦

Dengan demikian terdapat dua turunan pertama dan empat turunan kedua, walaupun dua turunan memiliki nilai yang sama.

Turunan Parsial Coba selesaikan persamaan berikut: z = x cos y – y cos x ▪ Ketika mendiferensiasikan terhadap x, y adalah konstanta (sehingga cos y konstanta) ▪ Ketika mendiferensiasikan terhadap y, x adalah konstanta (sehingga cos x konstanta)

Turunan Parsial Maka persamaan z = x cos y – y cos x bisa diperoleh 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= cos 𝑦 + 𝑦. sin 𝑥

𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑥

= 𝑦. cos 𝑥

𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

= − sin 𝑦 + sin 𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑦

= −𝑥. sin 𝑦 − cos 𝑥 = −𝑥. cos 𝑦

𝜕2 𝑧 𝜕𝑥.𝜕𝑦

= − sin 𝑦 + sin 𝑥

Kita lihat dalam kasus ini bahwa

𝜕2 𝑧 𝜕𝑦.𝜕𝑥

=

𝜕2 𝑧 𝜕𝑥.𝜕𝑦

Turunan Parsial

Sekarang jika V=ln(x2 + y2) buktikanlah bahwa

𝜕2 𝑉 𝜕𝑥 2

𝜕2 𝑉 + 2 𝜕𝑦

=0

Berarti penyelesaian di atas adalah dengan mencari dua buah turunan parsial kedua dari fungsi tersebut dan menyubstitusikan keduanya ke sisi kiri pernyataannya. V=ln(x2 + y2) 𝜕𝑉 1 = 2 2𝑥 2 𝜕𝑥 𝑥 +𝑦 𝜕𝑉 2𝑥 = 2 𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦 2

Turunan Parsial 𝜕2𝑉 𝑥 2 + 𝑦 2 2 − 2𝑥. 2𝑥 = 2 𝜕𝑥 𝑥2 + 𝑦2 2 𝜕 2 𝑉 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 2 2𝑦 2 − 2𝑥 2 = = 2 2 2 2 2 𝜕𝑥 𝑥 +𝑦 𝑥 + 𝑦2 2 Kemudian bisa dicari

𝜕2 𝑉 𝜕𝑦 2

dengan cara yang sama

Sehingga bisa didaptkan bahwa

𝜕2 𝑉 𝜕𝑦 2

=

2𝑥 2 −2𝑦 2 𝑥 2 +𝑦 2 2

Turunan Parsial Dengan dicari lagi untuk V=ln(x2 + y2) diperoleh: 𝜕𝑉 1 2𝑦 = 2 2𝑦 = 2 2 𝜕𝑦 𝑥 +𝑦 𝑥 + 𝑦2 𝜕2𝑉 𝑥 2 + 𝑦 2 2 − 2𝑦. 2𝑦 = 2 𝜕𝑦 𝑥2 + 𝑦2 2 𝜕 2 𝑉 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑦 2 2𝑥 2 − 2𝑦 2 = = 2 2 2 2 2 𝜕𝑦 𝑥 +𝑦 𝑥 + 𝑦2 2

Turunan Parsial Kemudian disubstitusikan kedua hasil di atas ke identitas tersebut maka diperoleh: 𝜕 2 𝑉 𝜕 2 𝑉 2𝑦 2 − 2𝑥 2 2𝑥 2 − 2𝑦 2 + 2= 2 + 2 2 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑥 +𝑦 𝑥 + 𝑦2 2 𝜕 2 𝑉 𝜕 2 𝑉 2𝑦 2 − 2𝑥 2 + 2𝑥 2 − 2𝑦 2 + 2= =0 2 2 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑥 +𝑦

Contoh - 6

Jika V = f

(x2

+

y2)

tunjukkanlah bahwa

𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑦

−

𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑥

=0

Dari soal didapatkan bahwa V merupakan fungsi (x2 + y2) tetapi bentuk tepat dari fungsi ini tidak diketahui.

Maka dapat diperlakukan fungsi ini sebagai ‘fungsi dari fungsi’ dan menulis f’ (x2 + y2) untuk menyatakan fungsi ini terhadap variabel gabungan (x2 + y2) 𝜕𝑉  𝜕𝑥

=𝑓

𝜕𝑉 𝜕𝑦

2 +𝑦 2 ′ 𝑥 𝑓

=

′ 𝑥 2 +𝑦 2

𝑥

𝜕 . 𝜕𝑦

𝜕 𝜕𝑥

𝑥2

2

𝑥 +𝑦 +

𝑦2

2

=

=𝑓

′ 𝑥 2 +𝑦 2

2 +𝑦 2 ′ 𝑥 𝑓

. 2𝑦

. 2𝑥

Contoh - 6 𝜕𝑉 x 𝜕𝑦

−

𝜕𝑉 x 𝜕𝑦

−

𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑥

=

−

𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑥

=0

𝜕𝑉 x 𝜕𝑦

𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑥

=

2 +𝑦 2 ′ 𝑥 𝑥. 𝑓

2 +𝑦 2 ′ 𝑥 2𝑥𝑦. 𝑓

. 2𝑦 − 𝑦. 𝑓 ′ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦. 𝑓 ′ 𝑥 2 + 𝑦 2

Contoh - 7

Jika V = f (ax + by), tunjukkanlah bahwa 𝜕𝑉  𝜕𝑥 𝜕𝑉 𝜕𝑥

=

𝑓′

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝜕 . (𝑎𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑦

=

𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 𝑓 ′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 . 𝑏 = 𝑏. 𝑓′ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝜕 . (𝑎𝑥 𝜕𝑦

−

𝜕𝑉 𝑎 𝜕𝑦

+ 𝑏𝑦)

= 𝑓 ′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 . 𝑎 = 𝑎. 𝑓′ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) 𝑓′

𝜕𝑉 𝑏 𝜕𝑥

(a)

+ 𝑏𝑦)

(b)

=0

Contoh - 7 𝜕𝑉 b 𝜕𝑥

−

𝜕𝑉 a 𝜕𝑦

= 𝑎𝑏. 𝑓 ′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑏. 𝑓 ′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0

Pertambahan Kecil ▪ Pada materi sebelumnya dibahas sebuah silinder dengan h konstan dan r konstan. ▪ Pada kasus berikut dilihat apa yang diperoleh jika r dan h berubah secara simultan. ▪ Jika r menjadi 𝑟 + 𝛿𝑟, dan h menjadi ℎ + 𝛿ℎ, misalkan V menjadi 𝑉 + 𝛿𝑉. Maka volume yang baru diberikan sebagai: 𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟 + 𝛿𝑟 2 ℎ + 𝛿ℎ 𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟 2 + 2𝑟𝛿𝑟 + 𝛿𝑟 2 ℎ + 𝛿ℎ 𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟 2 + 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + ℎ 𝛿𝑟 2 + 𝑟 2 𝛿ℎ + 2𝑟𝛿𝑟𝛿ℎ + 𝛿𝑟 2 𝛿ℎ

Pertambahan Kecil Kurangkan V=r2h dari kedua sisinya, maka akan diperoleh: 𝛿𝑉 = 𝜋 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + ℎ 𝛿𝑟 2 + 𝑟 2 𝛿ℎ + 2𝑟𝛿𝑟𝛿ℎ + 𝛿𝑟 2 𝛿ℎ 𝛿𝑉 ≈ 𝜋 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + 𝑟 2 𝛿ℎℎ Karena 𝛿𝑟 dan 𝛿ℎ adalah kecil dan semua sukusuku selebihnya akan jauh lebih kecil lagi. Oleh karena itu 𝛿𝑉 ≈ 2𝜋𝑟ℎ𝛿𝑟 + 𝜋𝑟 2 𝛿ℎ, dengan kata lain 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝛿𝑉 ≈ 𝛿𝑟 + 𝛿ℎ 𝜕𝑟 𝜕ℎ

Pertambahan Kecil Sebuah silinder memiliki dimensi r = 5cm, h = 10cm. Carilah kira-kira kenaikan volumenya jika r bertambah sebesar 0,2cm dan h berkurang sebesar 0,1cm. Maka sekarang 2

𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ jadi

𝜕𝑉 𝜕𝑟

= 2𝜋𝑟ℎ

𝜕𝑉 𝜕ℎ

= 𝜋𝑟 2

Dalam hal ini, apabila r = 5cm, h = 10cm jadi 𝜕𝑉 𝜕𝑟

= 2𝜋5.10 = 100𝜋

𝜕𝑉 𝜕ℎ

= 𝜋𝑟 2 = 𝜋52 = 25𝜋

Pertambahan Kecil 𝛿𝑟 = 0,2 dan 𝛿ℎ = −0,1 𝛿𝑉 ≈

𝜕𝑉 . 𝛿𝑟 𝜕𝑟

+

(minus karena h mengecil)

𝜕𝑉 . 𝛿ℎ 𝜕ℎ

𝛿𝑉 = 100𝜋 0,2 + 25𝜋(−0,1) 𝛿𝑉 = 20𝜋 − 2,5𝜋 = 17,5𝜋 𝛿𝑉 ≈54,98 cm3 Maka artinya adalah volume bertambah sebesar 54,98 cm3

Pertambahan Kecil Hasil ini tidak hanya berlaku pada volume silinder tetapi juga untuk semua fungsi dengan dua variabel independen. Contoh: Jika z adalah fungsi x dan y, z=f (x,y) dan jika x dan y naik sekecil x dan y, kenaikan x juga akan relatif kecil. Jika diuraikan z dalam pangkat x dan y, diperoleh: 𝛿𝑧 = 𝐴𝛿𝑥 + 𝐵𝛿𝑦 + pangkat x dan y yang lebih tinggi Dimana A dan B merupakan fungsi x dan y

Pertambahan Kecil Jika y tetap konstan, sehingga y=0 maka: 𝛿𝑧 = 𝐴𝛿𝑥 + 𝛿𝑥 pangkat yang lebih tinggi 𝜕𝑧  𝜕𝑥

= 𝐴. Sehingga jika x  0, persamaan ini menjadi 𝐴 =

𝜕𝑧 𝜕𝑥

Serupa dengan itu, jika x tetap konstan, dengan membuat 𝛿𝑦  0 akan diperoleh 𝐵 =

δ𝑧 =

𝜕𝑧 𝛿𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝜕𝑧 + 𝛿𝑦+ 𝜕𝑦

kuantitas yang sangat kecil berpangkat yang lebih

tinggi yang dapat diabaikan

Pertambahan Kecil 𝜕𝑧 𝛿𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑧 + 𝛿𝑦+ 𝜕𝑦

δ𝑧 = kuantitas yang sangat kecil berpangkat yang lebih tinggi yang dapat diabaikan 𝜕𝑧 𝜕𝑧 δ𝑧 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Jadi jika, z=f(x,y) δ𝑧 =

𝜕𝑧 𝛿𝑥 𝜕𝑥

+

𝜕𝑧 𝛿𝑦 𝜕𝑦

Serupa pula untuk fungsi dengan tiga variabel z=f(x,y,w)

δ𝑧 =

𝜕𝑧 𝛿𝑥 𝜕𝑥

+

𝜕𝑧 𝛿𝑦 𝜕𝑦

+

𝜕𝑧 𝛿𝑤 𝜕𝑤

Contoh - 8 𝑉 , 𝑅

Jika 𝐼 = dan V = 250 volt dan R = 50 ohm, carilah perubahan I yang terjadi akibat kenaikan V sebesar 1 volt dan kenaikan R sebesar 0,5 ohm Jawaban:

𝛿𝐼 =

I=f(V,R)

𝛿𝐼 =

𝐼 𝛿𝑉 𝑅

−

𝜕𝐼 𝛿𝑉 𝜕𝑉

𝑉 𝛿𝑅 2 𝑅

𝜕𝐼 𝛿𝑅 𝜕𝑅

+ 𝜕𝐼 1 𝜕𝐼 𝑉 = 𝑑𝑎𝑛 =− 2 𝜕𝑉 𝑅 𝜕𝑉 𝑅

Contoh - 8 Jadi jika R = 50, V = 250, V = 1, dan R = 0,5 1 250 𝛿𝐼 = 1 − (0,5) 50 2500 1 1 𝛿𝐼 = − 50 20 𝛿𝐼 = 0,02 − 0,05 = −0,03 Artinya I turun sebesar 0,03 ampere