DEFERENSIAL PARSIAL BAGIAN I

DEFERENSIAL PARSIAL BAGIAN I Diferensial parsial Volume V suatu silinder berjari-jari r dengan ketinggian h dinyatakan oleh

V  r 2 h Yakni V bergantung kepada dua besaran, yaitu r dan h. Jika r kita jaga tetap dan ketinggian h kita tambah, maka volume V akan bertambah. Dalam hal ini kita dapat mencari V h koefisien diferensial V terhadap h-tetapi hanya jika r dijaga konstan. V  dV  Yaitu   konstan dan dituliskan sebagai h  dh  r perhatikan symbol ‘delta’ yang baru. Kita telah mengetahui arti dy V V y r dan sekarang kita menjumpai yang baru, . Bentuk dx h h x ini disebut koefisien diferensial parsial V terhadap h dan dalam kaitannya dengan contoh di atas tersirat pengertian bahwa harga r dijaga……………….

konstan

V , kita diferensialkan persamaan yang diberikan h terhadap h dengan menganggap semua symbol, selain V dan h, konstan. V   r 2 .1  r 2 h Tentu saja kita dapat juga meninjau persoalan dengan h dijaga tetap perubahan r V akan menyebabkan juga perubahan V. di sini kita menjumpai yang berarti bahwa r sekarang kita mendiferensiasikan V  r 2 h terhadap r dengan menganggap semua symbol, selain V dan r, konstan. V    2rh  2rh r V   2h . Untuk memperoleh

Dalam pernyataan V  r 2 h , V dinyatakan sebagai fungsi dari dua variable, r dan h, karena itu kita mempunyai dua koefisien diferensial parsial yaitu satu terhadap…….dan satu yang lain terhadap….. Satu terhadap r; satu terhadap h

A

h

r

A  2rh

Contoh lain Tinjaulah luas permukaan selimut silinder. A  2rh A adalah fungsi r terhadap h, sehingga kita dapat mencari A A  r h A Untuk memperoleh , kita diferensialka fungsi A terhadap r r dengan menganggap semua symbol yang lain konstan. A Untuk memperoleh kita diferensialkan fungsi A terhadap h h dengan menganggap semua symbol yang lain konstan A A Jadi jika A  2rh , maka =………dan =……. r h

A  2h r

Dan

A hr

 2r

Tentu saja kita tidak harus terbatas hanya pada besaran silinder. Hal yang sama berlaku untuk sembarang fungsi degan dua variable bebas. Misalnya, sebagai contoh, tinjaulah z  x 2 y 2 z z Disini z merupakan fungsi dari x dan y, karena itu kita dapat mencari dan y x z (i) Untuk mencari , kita diferensiasikan z terhadap x, dengan menjaga y x z konstan.   2 xy 3  2 xy 3 x z (ii) Untuk mencari , kita diferensiasikan z terhadap y, dengan menjaga z x z konstan   x 2 3 y 2  3x 2 y 2 y Diferensiasi parsial tidaklah sukar! Kita menganggap setiap variable bebas sementara sebagai besaran……..; kecuali satu yang akan kita gunakan untuk mendiferensiasi. konstan

Marilah kita melihat beberapa contoh lagi : Contoh 1. u  x 2  xy  y 2 u (i) Untuk memperoleh , kita anggap y konstan x Diferensiasi parsial x2 terhadap x = 2x Diferensiasi parsial xy terhadap x = y (y adalah factor konstan) Diferensiasi parsial y2 terhadap x = 0 (y2 adalah suku konstan) u  2x  y x

(ii)

Untuk memperoleh

u , kita anggap x konstan y

Diferensiasi parsial x2 terhadap y = 0 (x2 adalah suku konstan) Diferensiasi parsial xy terhadap y =x (x adalah factor konstan) Diferensiasi parsial y2 terhadap y=2y u  x  2y y

Contoh 2. z  x 3  y 3  2x 2 y z  3x 2  0  4 xy  3x 2  4 xy x z  0  3y 2  2x 2  3y 2  2x 2 y

Contoh 3. z  2 x  y x  3 y 

Bentuk ini merupakan bentuk perkalian; aturan perkalian yang bias dapat z , y dijaga konstan, dan diterapkan di sini dengan mengingat bahwa dalam mencari x z , x dijaga konstan. dalam mencari y

z  2 x  y 1  0    x  3 y 2  0  x  2x  y  2x  6 y  4x  5 y z  2 x  y 0  3   x  3 y 0  1 y  6 x  3 y  x  3 y  5x  6 y

Yang stu berikut untuk anda Jika z  4 x  2 y 3x  5 y  , tentukanlah Hasilnya :

z  24 x  14 y x

z z dan y x

z  14 x  20 y y

Karena z  4 x  2 y 3x  5 y  yakni bentuk perkalian. z   4 x  2 y 3  0   3x  5 y 4  0  x  12 x  6 y  12 x  20 y  24 x  14 y z  4 x  2 y 0  5  3x  5 y 0  2  y  20 x  10 y  6 x  10 y  14 x  20 y Contoh 4 2x  y z z , tentukanlah dan x y y x Dengan menggunakan aturan pembagian, kita peroleh 3y z ( x  y )( 2  0)  (2 x  y )(1  0)   2 x ( x  y) ( x  y) 2 z ( x  y )( 0  1)  (2 x  y )( 0  1)  3x   Dan 2 y ( x  y) ( x  y) 2 Contoh 5. z z Jika z  sin(3x  2 y) , tentukanlah dan y x Jelas bahwa di sini kita berhadapan dengan ‘fungsi dari fungsi’, karena itu terapkan cara yang biasa dengan mengingat bahwa untuk mencari z (i) , kita perlakukan y sebagai besaran konstan, dan x

Jika z 

(ii)

z , kira perlakukan x sebagai besaran konstan. y

Inilah penyelesaiannya : z   cos(3x  2 y ). (3x  2 y ) x x  cos(3x  2 y ).3  3 cos(3x  2 y ) z   cos(3x  2 y ). (3x  2 y ) y x  cos(3x  2 y ).2  2 cos(3x  2 y )

Demikian hasilnya. Jadi kita lihat bhwa dalam mencari diferensiasi parsial kita boleh menggunakan semua aturan diferensiasi biasa, dengan tambahan bagwa semua variable, selain daripada yang sedang kita tinjau, sementara dianggap…….

Pertambahan kecil Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program; sekali lagi kita tuliskan V dengan h konstan, dan V  r 2 h . Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari r V dengan r konstan. h V V  2rh;  r 2 r h Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama. Jika r diubah menjadi r  r , dan h menjadi h  h , maka V akan berubah menjadi V  V . Volume yang baru ini diberikan oleh 2 V  V   r  r  h  h 

   r



  r 2  2r.r  r 2 h  h 



h  2rh.r  hr 2  r 2 h  2rrh  r 2  h Kurangi kedua ruas dengan V  r 2 h , maka diperoleh V   2rh.r  h.r 2  r 2 h  2rrh  r 2 .h  2

  2rhr  h.r 2  Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi. V   2rhr  h.r 2  V V V  r  h r h Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini. Contoh Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm, h = 10 cm. tentukanlah harga pendekatan pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 0,2 cm dan h berkurang dengan 0,1 cm.

Kita ketahui, V  r 2 h V  2rh r V  r 2 h Dalam hal ini, r = 5 cm, h = 10 cm, sehingga V  2 5.10  100 r V  r 2   5 2  25 h r  0,2 dan h  0,1 (minus karena h berkurang) V V  V  .r  .h r h  20  2,5  17,5

 V  54,96cm 3 Yakni volumenya bertambah dengan 54,96 sentimeter kubik. Nah, demikianlah!

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja, tetapi juga untuk sembarang fungsi dengan dua variable bebas. Contoh. Misalkan z adalah fungsi x dan y, yakni z=f(x,y); jika x dan y bertambah sedikit dengan x dan y , maka pertambahan z akan relative kecil juga. Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi, dengan A dan B adalah fungsi x dan y. Jika y dijaga tetap, maka y = 0, sehingga z z z  Ax  suku-suku  z  x  y yang berpangkat lebih tinggi x y z z   A, dan jika x  0 , hubungan ini menjadi A  x x z Serupa dengan itu, jika x konstan, dengan membuat y  0 , kita peroleh B  y z z  z  x  y + besaran-besaran kecil berpangkat tinggi yang dapat x y diabaikan z z  z  x  y x y z  f ( x, y) Jadi jika z z  z  x  y x y Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip berulang-ulang. Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan tiga variable bebas, yaitu : Jika z  f ( x, y, w)

z z z x  y  w x y w Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas, tidak sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan. Karena itu kita tuliskan sekali lagi: z z y z  f ( x, y) maka  z  x  x y

Maka  z 

V , dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm, tentukanlah R perubahan I jika V bertambah sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 0,5 ohm. I I I  f (V , R )  I  V  R V R I I I V  dan  2 V R R R I V  I  V  2 R R R Sehingga untuk R = 50, V = 250, V  1, danR  0,5 1 1  250 (0,5) I  50 2500 1 1   50 20  0,02  0,05  0,03 Yakni I turun sebesar 0,03 ampere Inilah sebuah contoh lain ws 3 Contoh 2. jika y  4 , tentukanlah persentasi pertambahan y, jika w bertambah 2 d persen, s berkurang 3 persen, dan d bertambah 1 persen Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable, w, s, dan d, sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah y y y y  w  s  d w s d y s 3 y 3ws 2 y 4ws 3  ;  4 ;  5 Kita dapatkan bahwa w d 4 s d d d 3 2 3 s 3ws  4ws y  4 w  s  d 4 d d d5 Nah, sekarang berapakah harga w, s, d ? 2 3 1 ; s  ; d  ? Benarkah bila kita katakana w  100 100 100 Contoh 1. jika I 