DEFERENSIAL
Laju perubahan nilai f : x
Bab 13
f(x) pada x = a atau turunan f pada x = a adalah lim it h
f (a
h)
f (a )
h
0
Limit ini disebut derivatif atau turunan f pada x = a dan dinyatakan dengan f ‘ (a) f (a
f ‘ (a) = lim it h
h)
f (a )
secara umum f ‘ (x) = lim it
h
0
h
* y * y
eu
y ‘ = U’
V
u
uv '
1 .u ' u ln a
a log u
* y
ln u
* y
sin u
1 u u' y ' cos u .u '
* y
cos u
y'
* y
tgu
* y
y' y'
sin u .u '
y ' sec 2 u .u '
* y
2
v sec u
* y
V’
u'v
y'
h
* y
y’ = U’V+V’U
* y = U.V * y
y ' n ( f ( x ) n 1. f ' ( x ) a u ln a .u '
y ' eu u '
*y=U
f ( x)
dx
Rumus-rumus penting : y ' nx n 1 y xn
( f ( x )) n au y'
h)
dy
Turunan f(x) dilambangkan dengan f’(x) atau
* y
f (x
0
cot gu
cos ecu
y'
cos ec 2 u .u '
y'
cos ecu . cot gu .u '
v sec u .tgu .u '
y'
Contoh : 3x
Jika f ( x )
, m ak a f '( x ) 1 u ' v uv '
x
u
f (x)
2
y'
v
u v
3x x
v
2
u'
1
f ( x)
2
3
v' 3( x
f '( x )
cara cerdik:
...
ax
b
cx
d
f '( x ) f '( x )
ad
bc
( cx
d)
3.1 1.2 (x
1 1)
(3 x
(x
2
1)
2)1
2
1)
2
1 (x
1)
2
1 (x
1)
2
Rumus trigono yang perlu diingat :
cos( a
b)
cos a cos b sin a sin b
sin( a
b)
sin a cos b
tan( a
b)
sin a sin a
tan a
cos a sin b
tan b
1 tan a tan b
sin b sin b
cos a
cos b
cos a
cos b
2 sin
1 2
2 cos
1 2
2 cos 2 sin
(a (a 1 2
(a 1 2
(a
Matemtikat SMA by Drs. Pundjul Prijono
b ) cos
1 2
b ) sin
1 2
(a
b)
(a
b)
1
b ) cos ( a b ) sin
1
(a
b) b)
66
Penggunaan Turunan : 1. Gradien garis singgung kurva Gradien garis singgung di (a,b) adalah m= f’(a) Y
g y = f(x) (a,b) X
2. Fungsi naik / turun Diketahui y = f(x) Jika f’(x) < 0 maka f(x) turun Jika f’(x) > 0 maka f(x) naik 3. Titik Stationer Jika y = f(x) Bila f’(a) = 0 , maka (a,f(a)) merupakan titik Stationer (a,f(a)) titik minimum jika f “ (a) > 0 (a,f(a)) titik maksimum jika f “ (a) < 0 (a,f(a)) titik belok jika f “ (a) = 0 Contoh : Nilai minimum dari kuadrat jarak titik P(0,3) ke titik Q yang terletak pada parabola y adalah … 17
a.
7
b.
8
c.
4
3
5
d.
2
e.
4
x
2
1
9 8
Jawab : PQ
(x
0)
Misal y
x
P Q m ax
y
'
4x
(x
3x
y m ax
4x 3
4
2
3
6x
4
'
0
2
x
4
3x
2
cara cerdik :
4
Nilai min dari kuadrat jarak ttk P(0,q) thd parabola y x 2 c
0
x
2
3 2
3 2
x
4
2
(PQ )
1 3)
2
y
6x
2
R
2
q
R
2
3 1
1 4
c
1 4
(
)
7 4
2
3 2
3.
3 2
4
7 4
Contoh : Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi oleh x 2 = 4 adalah : 2 x 6y 32 3 a. Y=4 b.
32
6y
dan y
2
2
c. 8 2 d. 8 e. 32 Jawab : L'
1 6
2 x (4
2
x )
8x
1 3
x
3
Luas maksimum L’= 0 L'
8
x
2
0
x
cara cerdik : l parabola
L m aks
2 2
Matemtikat SMA by Drs. Pundjul Prijono
L
2 3
a .b
3 2 3
3
.4 6 .4
32
3
3
2
67
Untuk x 2 2 , maka L = 322 2 4. Kecepatan dan Percepatan Jika jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu t , S = S(t) Maka : *) Kecepatan/V = S ‘ (t) *) Percepatan/ a = S “ (t) SOAL LATIHAN : 3 1. Fungsi f ( x ) 2 x 24 x 23 dalam interval 3 x 1 memiliki nilai maksimum sama dengan …(E.98) A. 1 B. 9 C. 39 D. 41 E. 55 2 2. F ( x ) sin ( 2 x 3 ) , turunan pertama F(x) adalah …(E.98) A. 4 sin (2x + 3) cos(2x + 3) B. 2 sin(2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2sin(2x + 3) cos(2x + 3) E. –4 sin (2x +3) cos (2x + 3) 3. Jika y
3x
4
sin 2 x
6.
7. 8.
ad alah ...
x
A. 2 cos 3x – 3 sin 2x C. 2 cos 3x + 3 sin 2x E. -6 cos 3x – 3 sin 2x 4. Turunan pertama dari F ( x )
5.
f ( x)
co s 3 x , m ak a
B. 6 cos 3x + 3 sin 2x D. 6 cos 3x + 3 sin 2x 5
cos ( 4 x
2 ) adalah F’(x)=…(E.97)
A. 5 cos 4 ( 4 x 2 ) sin( 4 x 2 ) B. 5 cos 4 ( 4 x 2 ) sin( 4 x 2 ) C. 20 cos 4 ( 4 x 2 ) sin( 2 x 2 ) D. 10 cos 3 ( 4 x 2 ) sin( 8 x 4 ) E. 10 cos 3 ( 4 x 2 ) sin( 8 x 4 ) Turunan pertama F(x)= 5 sin x cos x adalah F’(x )=… (E.96) 2 2 A. 5 sin 2x B. 5 cos 2x C. 5 sin x cos x D. 5 sin x cos x E. sin 2x cos x 2 Turunan pertama dari F(x) = (3x+4) sin 2x adalah F’(x)= …(E.96) A. 6 ( 3x + 4) + 2 cos 2x B. 2 (3x + 4) + 2 cos 2x C. ( 3x + 4) sin 2x + (3x + 4 ) cos 2x D. ( 3x + 4) 3sin 2x + (3x + 4 ) cos 2x E. (6x + 8 )(3 sin 2x + (3x + 4) cos 2x) 3 2 6x 9 x pada interval 1 x 3 adalah …(E.00) Nilai mksimum dari f(x)= x A. 16 B. 4 C. 3 D. 1 E. 0 3 Turunan pertama fungsi f(x) = cos ( 5 4 x ) adalah f ‘(x) = ….(E.00) A.
2
12 cos ( 5
D.
4 x ) sin( 5
6 sin( 5
E. 6 cos( 5 4 x ) sin( 10
B. 12 cos( 5 4 x ) sin( 5 4 x ) C. 12 sin 2 ( 5 4 x ) sin( 5 4 x )
4 x)
4 x ) sin( 10
8 x)
8 x)
9. Diketahui fungsi F(x) =
2x
2
1
, turunan pertama F(x) adalah F ‘(x) = …(E.99)
x
A. 3 x
x 2x
2
x
B. 5 x
2x
2
C. 3 x
2 x
2
x
D. 5 x
2 2x
2
x
E. 3 x
3x
2
x
2
2
10. Fungsi F(x) = ( x + 5)(x-1) turun pada interval ….…(E.99) 1 atau x 3 3 atau x 1 C. 0 x 1 A. x B. x D. 1 x 3 E. 3 x 1 3 1 11. Nilai maksimum dari f ( x ) x 9 x 2 dalam interval 3 A. 16
2 3
B. 18
C. 20
D. 25
1
x
4 adalah…(E.99)
E. 38
3
12. Turunan pertama dari F(x)= 2 cos ( 3 5 x ) adalah F’(x) = …(E.99) A. – 15 sin(6-10x)cos(3-5x) B. 15 sin (6 –10x) cos (3 – 5x) 2 2 C. 15 cos (3 – 5x) sin (3 – 5x ) D. 18 cos (3 – 5x) sin (3 – 5x) Matemtikat SMA by Drs. Pundjul Prijono
68
E. – 18 cos (3 – 5x) sin ( 3 – 5x) 3 2 3x 3 dalam interval 2 x 1 adalah … 13. Nilai minimum fungsi f(x) = 2 x A. –6 B. –1 C. 3 D. 6 E. 8 14. Nilai minimum dari kuadrat jarak titik P (0,3) ke titik Q yang terletak pada parabola 2 y x 1 adalah … 2
A.
17
B.
7
3
C.
D.
5
E.
3
8 4 2 4 8 2 15. Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi oleh x y = 4 adalah … 32 2 A. 32 3 B. C. 8 2 D. 8 E. 32 2 3x 2 16. Jika f(x) = , maka f’ (x) = … x 1 1 3x 2 3x 2 2 3x 1 A. B. C. D. E. 2 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
6 y dan
2
17. Koordinat titik pada parabol y x 4 x 1 yang garis singgungnya sejajar sumbu x adalah … A. (3,-2) B. (3,2) C. (-2,3) D. (2,3) E. (2,-3) 18. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari x ( 3 x
120
900
)
x
ratus ribu rupiah. Agar proyek minimum maka proyek
tersebut diselesaiakn dalam waktu … hari A. 40 B. 60 C. 90 19. Turunan fungsi y x
A. 4
D.
2x 4
(2 x
2
3x 2x
2
E. 3 x 4 2 x 2
3
1
1 10
B.
1
1 5
C.
1
3 10
16 x
C. 4
3
3 2x
2
3
3
20. Garis singgung di titik (2,8) pada kurva f ( x ) y di titik (a,0) dan (0,b). Nilai a + b = … A.
E. 150
3 ) adalah … 4
3
D. 120
3
B.
2
3x 2 x
4
2
D.
1
2x x 2 5
E.
2 memotong sumbu x dan sumbu 1
3 5
x p 2 x adalah 4, maka p = …. 21. Jika nilai maksimum fungsi y A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 8 2 22. Garis singgung pada kurva y x 5 yang sejajar dengan 12x – y = 17 , menyinggung kurva dititik : A. ( 6 , 41 ) B. ( 5 , 30 ) C. ( 7, 40 ) D. ( 3 , 45 ) E. ( 2 , 26 ) 3 2 23. Grafik fungsi f ( x ) 2 x 9 x 12 x naik pada interval : A. x < -1 atau x > 2 B. –1 < x < 2 C. x > 1 atau x > 2 D. x < 1 atau x > 2 E. x < -2 atau x > 1 24. Nilai ekstrim fungsi f ( x ) ( x 2)( x 1) 2 dicapai jika : A. x = -1 dan x = -2 B. x = 1 dan x = 2 C. x = -1 dan x = 53 D. x = 1 dan x = 53 E. x = -1 dan x = - 53 25. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaiakn dalam x hari dengan biaya proyek per hari ( 3x – 900 ) + 120/x) ratus ribu rupiah . Agar biaya proyek minimum, maka proyek tersebut harus diselesaiakan dalam waktu : A. 40 hari B. 60 hari C. 90 hari D. 120 hari E. 150 hari
Matemtikat SMA by Drs. Pundjul Prijono
69
Kasih itu murah hati Sabar sederhana
Soal – soal Turunan Ujian Nasional Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai 1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f′(0) = …. a. 2√3
b.2
c.√3
d.´√3
e.´√2
2. Turunan pertama dari f(x) = sin ( 3x² – 2 ) adalah f’(x) = …. a. 2 sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) b. 12x sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) c. 12x sin² ( 3x² – 2 ) cos ( 6x² – 4 ) d. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos² ( 3x² – 2 ) e. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos ( 3x² – 2 ) 3. Turunan dari f(x) = a.
3
3
2
cos ( 3 x
5 x ) adalah f’(x) = ….
2
1
cos
3
(3 x
2
5 x ). sin( 3 x
2
5 x)
2
b.
3
1
(6 x
5 ). cos
3
(3 x
2
5 x)
2 2
c.
1
cos 3 ( 3 x
2
5 x ). sin( 3 x
2
5 x)
3 2
d. e.
(6 x
5 ) tan( 3 x
2
5 x)
3
2
cos ( 3 x
2
5 x)
3 2
(6 x
5 ) tan( 3 x
2
5x)
3
2
cos ( 3 x
2
5 x)
3
4. Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah …. a.
f '(x)
b.
f '( x)
c.
f ' ( x)
d.
f ' ( x)
e.
f '( x)
3
cos x sin 2 x
2 3
cos x sin 2 x
2
3 sin x cos x 3 sin x cos x 3 cos
2
x
5. Jika f(x) = ( 2x – 1 )² ( x + 2 ), maka f’(x) = …. a. 4 ( 2x – 1 ) ( x + 3 ) b. 2 ( 2x – 1 ) ( 5x + 6 ) c. ( 2x – 1 ) ( 6x + 5 ) d. ( 2x – 1 ) ( 6x + 11 ) e. ( 2x – 1 ) ( 6x + 7 ) Matemtikat SMA by Drs. Pundjul Prijono
70
6. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = 3x
a.
2
3x
5
3x
x
d. 3x
2
5
3x
4x
a. 0,1
2
2x
4
1
x
a. 1/3
x , maka 2
sin x sin
x
5
1
d.5,0
e.7,0
d.1
e.4
, Nilai f’(4) = …. c.3/5 d
( f (sin x ))
....
dx cos x
b. 2
2
5
c.2,5
b.3/7
9. Jika f(x) = 1
3x
9 , Jika f’(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai f’(2) = ….
b.1,6
8. Diketahui f ( x )
1
2
5
5 adalah f ’, maka f’(x) = ….
6
c.
2
2
6x
e.
7. Diketahui f(x) =
a.
3
b.
3x
sin
sin x
c. 2
x
2 1
sin
d. 2
x
sin 2x 1
sin
e. 2
sin x.cos x
x
1
sin
2
x
10. Turunan pertama fungsi f9x) = (6x – 3)³ (2x – 1) adalah f’(x). Nilai dari f’(1) = …. a. 18
b.24
c.54
d.162
e.216
11. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f’(x) = …. a. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) b. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) c. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) d. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x) e. –3 sin² (3 – 2x) sin (6 – 4x) Materi Pokok : Aplikasi Turunan 12. Perhatikan gambar !
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah …. a. ( 2,5 )
b.( 2,5/2 )
c.( 2,2/5 )
d.( 5/2,2 )
e.( 2/5,2 )
13. Persamaan garis singgung kurva y = ³√( 5 + x ) di titik dengan absis 3 adalah …. a. x – 12y + 21 = 0
b.x – 12y + 23 = 0
i. x – 12y + 34 = 0
e.x – 12y + 38 = 0
c.x – 12y + 27 = 0
14. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya ( 4x – 160 + 2000/x )ribu rupiah per hari. Biaya minmum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …. a. Rp. 200.000,00 b.Rp. 400.000,00
c.Rp. 560.000,00
d.Rp. 600.000,00 e.Rp. 800.000,00
15. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam ( 4x – 800 + 120/x ) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam. a. 40
b. 60
Matemtikat SMA by Drs. Pundjul Prijono
c.100
d.120
e.150 71
16. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) =
3t
1 ( s dalam meter dan t dalam detikk ).
Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det. a. 3/10
b.3/5
c.3/2
d.3
e.5
17. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan ( 225x – x² ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …. a. 120
b.130
c.140
d.150
e.160
18. Persamaan garis inggung pada kurva y = –2x + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0 adalah …. a. 2x + y + 15 = 0
b.2x + y – 15 = 0 c.2x – y – 15 = 0 d.4x – 2y + 29 = 0
e.4x + 2y + 29 = 0
19. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persgi adalah … cm. a. 6
b.8
c.10
d.12
e.16
20. Garis singgung pada kurva y = x² – 4x + 3 di titik ( 1,0 ) adalah …. a. y = x – 1
b.y = –x + 1
c.y = 2x – 2
d.y = –2x + 1
e.y = 3x – 3
21. Grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx +c hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = …. a. – 21
b. – 9
c.9
d.21
e.24
22. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 512 cm³. Luas tabung akan minimum jika jari – jari tabung adalah … cm. 8
a.
b.
2
3
4
c.
2
3
16
3
2
d.
8
3
2
e.
8
3
3
2
23. Garis l tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan menyinggung kurva y = x² – x – 6. Ordinat titik singgung garis l pada kurva tersebut adalah …. a. – 12
b.– 4
c.– 2
d.2
e.4
24. Persamaan garis singgung kurva y = x 2 x di titik pada kurva dengan absis 2 adalah …. a. y = 3x – 2
b.y = 3x + 2
c.y = 3x – 1
d.y = –3x + 2
e.y = –3x + 1
25. Fungsi y = 4x³ – 6x² + 2 naik pada interval …. a. x < 0 atau x > 1 b.x > 1
c.x < 1
d.x < 0
e.0 < x < 1
26. Nilai maksimum fungsi f(x) = x³ + 3x² – 9x dalam interval –3 ≤ x ≤ 2 adalah …. a. 25
b.27
27. Nilai maksimum dari y a.
164
c.29 100
d.31
e.33
x pada interval –6 ≤ x ≤ 8 adalah …. 2
b. 136
Matemtikat SMA by Drs. Pundjul Prijono
c.10
d.8
e.6
72
