KOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta
Kombinasi Linear (linear (linear combination) combination)
Andaikan ruang vektor V melalui field F, dengan vektor-vektor u1, u2, …, un ∈ V. Sembarang vektor di dalam V (misal v ∈ V) yang dapat dinyatakan dlm bentuk : v = a1 u1 + a2 u2 + … + an un; dng ai ∈ F dinamakan kombinasi linear dari vektor vektorvektor u1, u2, …, un.
Contoh : A d ik s, u, v, w ∈ V; Andaikan V d dengan u=
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜−1⎟, ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠
v
⎛−1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
,w
⎛2⎞ ⎜ ⎟ =⎜ 1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ , dan s = ⎜−3⎟ . ⎜6⎟ ⎝ ⎠
Jika mungkin nyatakan v sbg kombinasi linear dari u, u s, dan w ! Diperoleh persamaan: Solusi : x – y + 2z = -1 v = xu + yys + zw -xx – 3y + z = 0 2x + 6y – z = 1 −1 ⎛ ⎞ ⎛2⎞ ⎛−1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Diperoleh nilai nilai-nilai nilai 1 − 3 − 1 0 ⎟ ⎜ = x + y + z ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ x = -2, y = 1, dan z = 1 ⎜6⎟ ⎜1⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Jadi v kombinasi linear dri u, s, dan w dengan v = -2u + s + w
Sistem Pembentuk Himpunan vektor { u1, u2, …, um} disebut sistem pembentuk dari ruang vektor V; ditulis V = L{u1, u2, …, um} jik semua vektor jika kt v ∈ V d dapatt dinyatakan d yata a sebaga sebagai kombinasi o b as linear ea dari {u1, u2, …, um}.
Contoh :
⎛−2⎞ ⎛ 0⎞ 1 ⎛ ⎞ Andaikan V = R2, dengan g u1 = ⎜ ⎟ , u2 =⎜⎜ ⎟⎟ , u3 =⎜⎜ ⎟⎟ ⎜0⎟ 1⎠ ⎝3⎠ ⎝−1 ⎝ ⎠ Dapat ditunjukkan bahwa u1, u2, dan u3 tersebut adalah sistem pembentuk bagi R2; sebab semua v ∈ V dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u1, u2 dan u 3.
⎛4⎞ Misalnya v = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠
v = 2u1 – u2 – 3u3
⎛−5⎞ Misalnya v = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠
v = -3u 3u1 + u2 + 2u3 ; dsb. dsb
Contoh : ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 Andaikan V = R , dengan g u1 = ⎜ 0 ⎟, u2 = ⎜ −1⎟, u3 = ⎜ −1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dapat ditunjukkan bahwa u1, u2, dan u3 tersebut adalah sistem pembentuk bagi R3; sebab semua v ∈ V dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u1, u2 dan u 3. ⎛ − 2⎞
⎜ ⎟ Misalnya v = ⎜ −1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠
Misalnya v =
⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠
v = u1 – u2 + 2u3
v = 3u1 + 2u2 + u3 ; dsb. dsb
Ruang Baris & Ruang Kolom ⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 A = ⎜ ... ... ⎜ ⎜a ⎝ m1 am 2
... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... amn ⎟⎠
Ruang g Baris = Rn = {
⎛ a11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a12 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 1n ⎠
Ruang Kolom = Rm = {
,
⎛ a21 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a22 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜a ⎟ ⎝ 2n ⎠
⎛ a 11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 ⎟ , ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m1 ⎠
,
⎛ am1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜am2 ⎟ …,, ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ mn⎠
}
⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a22 ⎟ ⎜ a2n ⎟ ⎜ ... ⎟ , …, ⎜ ... ⎟ } ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m2 ⎠ ⎝ mn ⎠
Latihan
Bergantung Linear (linearly dependence) dan dan Bebas ebas Linear ea ((Linearly ea y Independence). depe de ce) ¾ Andaikan
ruang vektor V melalui field F F. Vektor--vektor u1, u2, u3, …, un ∈ V disebut Vektor bergantung b t linear li atau t dependen d d jika jik ada d skalar a1, a2, a3, …, an ∈ F yang tidak semuanya nol sedemikian hingga berlaku : a1 u1 + a2 u2 + … + an un = 0
¾ Dari
hubungan a1 u1 + a2 u2 + … + an un = 0 jika hanya berlaku untuk semua skalar ), maka vektorvektorai = 0 ((a1 = a2 = … = an = 0), vektor u1, u2, u3, …, un ∈ V disebut bebas linear atau independen. independen.
¾ Vektor
u, v, w ∈ R3, dng : ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
u=
,v=
⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −,2⎟dan ⎜1⎟ ⎝ ⎠
w=
⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −. 6⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
Selidiki vektorvektor-vektor tsb dependen atau independen ?. ¾ Solusi
:
xu+yv+zw=0
-x + 3y + 5z = 0 2x – 2y – 6z = 0 x+y–z=0
Diperoleh Di l h nilai il i : x = -2, y = 1, dan z = -1 J di : Jadi - 2u + v – w = 0 Karena ada skalar yang tidak nol, maka vektor-vektor u, v, dan w adalah dependen atau bergantung linear.
¾ Solusi
: (dng menggunakan matriks)
=
⎛ −1 2 ⎜ ⎜ 3 −2 ⎜ 5 −6 ⎝
⎛ u ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ v + 3u ⎟ ⎜ w + 5u ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1 2 ⎜ ⎜ 0 4 ⎜ 0 4 ⎝
⎛u⎞ ⎜ ⎟ ⎜v⎟ ⎜ w⎟ ⎝ ⎠
=
u ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ v + 3u ⎜ ⎟= ⎜ (w + 5u) − (v + 3u) ⎟ ⎝ ⎠
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ − 1 ⎟⎠ 1⎞ ⎟ 4⎟ 4 ⎟⎠ ⎛−1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 4 4⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
Telah menjadi matriks eselon, Baris terakhir dapat dibaca : (w + 5u) – (v + 3u) = 0 atau : 2 –v+w=0 2u Karena ada skalar yang tidak nol, maka vektor-vektor u, v, dan w adalah dependen atau bergantung linear.
Amati bahwa matriks eselon punya baris nol.
¾ Vektor
u, v, w ∈ R3, dng : ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
u=
,v=
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2, ⎟dan ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
w=
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ .1 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
Selidiki vektorvektor-vektor tsb dependen atau independen ?. ¾ Solusi
:
xu+yv+zw=0
x + 2y – z = 0 -2x 2x + 2y + z = 0 x–y–z=0
Hanya di H diperoleh l h nilai il i : x = 0, y = 0, dan z = 0 J di : Jadi 0u + 0v + 0w = 0 Karena hanya ada skalar nol, maka vektor-vektor u, v, dan w adalah independen atau bebas linear.
¾ Solusi ⎛u⎞ ⎜ ⎟ ⎜v⎟ ⎜ w⎟ ⎝ ⎠
=
⎛ u ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ v − 2u ⎟ ⎜ w +u ⎟ ⎝ ⎠
: (dng menggunakan matriks)
⎛ 1 −2 ⎜ 2 ⎜ 2 ⎜ −1 1 ⎝
1 ⎞ ⎟ − 1⎟ − 1 ⎟⎠
−2
1 ⎞ ⎟ − 3⎟ 0 ⎟⎠
=
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
6 −1
⎛ ⎞ u ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ v − 2u = ⎜ ⎟ 1 ⎜ (w + u) + (v − 2u) ⎟ 6 ⎝ ⎠
⎛ ⎞ − 1 2 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 6 −3 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜0 0 − ⎟ 2⎠ ⎝
Telah menjadi matriks eselon, Tetapi tidak mempunyai baris nol. Karenanya vektor-vektor vektor vektor u, v, dan w adalah i d independen d atau t b bebas b linear.
Amatiti b A bahwa h matriks t ik eselon l tidak punya baris nol.
Teorema ¾ Baris Baris--baris
yg tidak nol dari matriks eselon adalah bebas linear (Independen)
Teorema u1, u2, u3, …, un ∈ V disebut bergantung linear (dependen) jika salah satu vektorvektor-vektor tersebut d dapat t dinyatakan di t k sbg b kkombinasi bi i linear ea da dari vektorvektor e to -vektor e to ya yang g lainnya. a ya
¾ Vektor Vektor--vektor
Catatan : ¾ ¾ ¾ ¾
¾ ¾ ¾
jika u = 0, maka u pasti dependen. Jik u ≠ 0, Jika 0 maka k u pasti ti iindependen. d d Himpunan vektor yang memuat vektor nol pasti d dependen. d Himpunan vektor yang memuat dua vektor yang sama atau t dua d vektor kt yang berkelipatan, b k li t pasti ti dependen. A d ik U ⊂ V. Andaikan V jik jika U d dependen, d maka k V jjuga dependen. A d ik W ⊂ V. Andaikan V Jik Jika V iindependen, d d maka k W jjuga independen. S Secara geometris, t i dua d vektor kt yg dependen d d tterletak l t k pd garis (bidang) yang sama.
