selisih = U 2 U 1 = U 3 U 2

BARISAN DAN DERET A. Barisan Barisan adalah urutan bilangan yang memiliki aturan tertentu. Setiap bilangan pada barisan disebut “suku barisan” yang dipisahkan dengan lambang “,” (koma). Bentuk umum barisan: U1, U2, U3, … ,Un dengan: U1 = suku pertama U2 = suku kedua U3 = suku ketiga … Un = suku ke-n B. Deret Deret adalah bentuk penjumlahan barisan. Bentuk umum deret: U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un

C. Barisan Aritmatika Barisan aritmatika adalah barisan yang selisih suku yang berdekatan selalu tetap (konstan). Selisih dua suku yang berdekatan disebut beda. Syarat barisan aritmatika: Jika terdapat tiga suku U1, U2, U3 Maka : 2U2 = U1 + U3 Bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika Un = a + (n – 1)b dengan Un = suku ke-n a = suku pertama (U1) n = banyaknya suku b = beda/selisih = U2 – U1 = U3 – U2 Suku tengah barisan aritmatika 1 Ut = (U1 + Un) 2 Jumlah n suku pertama barisan aritmatika n Sn = (a + Un) …. jika diketahui a dan Un 2 n Sn = (2a + (n – 1)b) …. Jika diketahui a dan b 2

D. Barisan geometri Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan (rasio) dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio atau pembanding dan biasanya dilambangkan dengan “r”. Syarat barisan geometri: o Jika banyak suku ganjil Maka : Ut2 = U1 . Un o Jika banyak suku genap Maka : Ut-0,5 . Ut+0,5 = U1 . Un Bentuk umum suku ke-n barisan geometri Un = a.rn – 1 dengan Un = suku ke-n a = suku pertama (U1) n = banyaknya suku U U r = rasio = 2  3 U1 U 2 Suku tengah barisan geometri Ut = U 1 .U n Jumlah n suku pertama barisan geometri a(1  r n ) Sn  , jika r < 1 dan r  1 1 r a(r n  1) Sn  , jika r > 1 dan r  1 r 1 E. Deret Geometri Tak Hingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak sukunya tidak terbatas. Jika  1  r  1 , maka rumus jumlah deret geometri tak hingga: a S  1 r

Contoh: 1. Jika suku ke-8 adalah 23 dan suku ke-20 adalah 59 dari suatu barisan aritmatika, maka suku ke-10 adalah .... A. 17 B. 25 C. 27 D. 29 (kunci) E. 31 Pembahasan: Suku ke-n barisan aritmatika adalah U n  a  (n  1)b Sehingga:

U 8  23 → a  7b  23 U 20  59 → a  19b  59  12b  36 b3 a  7b  23 a  7(3)  23 a  21  23 a  23  21 a2 U10  a  9b U10  (2)  9(3) U10  29 2. Suku keenam suatu deret aritmatika diketahui adalah 17 dan suku kesepuluhnya adalah 33. Jumlah tiga puluh suku pertamanya adalah .... A. 1.650 (kunci) B. 1.710 C. 3.300 D. 4.280 E. 5.300 Pembahasan: Suku ke-n deret aritmatika adalah U n  a  (n  1)b Sehingga: U 6  17 → a  5b  17 U10  33 → a  9b  33  4b  16 b4 a  5b  17 a  5(4)  17 a  20  17 a  17  20 a  3

Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n =

n (2a  (n  1)b) 2

Sehingga: 30 2(3)  (30  1)(4)  2 = 15. 6  29.4 

S30 =

S30 S30 = 15. 6  116 S30 = 15.110  S30 = 1.650

3. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-1 adalah 80 dan suku ke-5 adalah 5. Suku ke-3 barisan tersebut adalah .... A. 6 B. 9 C. 15 D. 20 (kunci)

E. 27 Pembahasan: Suku ke-n barisan geometri adalah U n  a.r n1 a  80 U5  5 U 5  a.r 4

5  80.r 4 80.r 4  5 5 r4  80 1 r4  16 1 r  4 16 1 r 2 1 (kita pakai r = karena pada barisan ini setiap suku nilainya bertambah besar) 2 U 3  a.r 2 2

1 U 3  80.  2  12  U 3  80. 2  2 

1 U 3  80.   4 U 3  20 4. Diketahui suatu deret geometri dengan suku ke-1 adalah Jumlah empat suku pertama barisan tersebut adalah .... 81 A. 82 80 B. (kunci) 81 60 C. 81 20 D. 81 4 E. 81 Pembahasan: Suku ke-n deret geometri adalah U n  a.r n1 2 a 3

2 2 dan suku ke-3 adalah . 3 27

U3 

2 27

U 3  a.r 2 2 2 2  .r 27 3 2 2 2 .r  3 27 2 3 r2  . 27 2 3 r2  27 1 r2  9 1 r 9 1 r 3

Karena suku-sukunya positif, maka r  Sehingga: Sn =

S4 =

S4 =

S4 =

S4 =

S4 =

a.(1  r n ) 1 r 4 2   1   . 1   3   3   1 1 3 2  14  .1   3  34  3 1  3 3 2 1 .1   3  81  2 3 2  81 1  .   3  81 81  2 3 2  80  .  3  81  2 3

1 dan r  1 . 3

160 S 4 = 243 2 3 160 3 S4 = . 243 2 80 S4 = 81 5. Jumlah deret geometri tak hingga dari 1 

1 1 1    ... adalah .... 2 4 8

A. 2 (kunci) 31 B. 16 30 C. 16 31 D. 32 30 E. 32 Pembahasan: a 1

U2 U1 1 = 2 1 1 = 2

Pembanding/rasio (r) =

Jumlah deret geometri tak hingga:

S

= =

=

=

=

S

=

a 1 r 1 1 1 2 1 2 1  2 2 1 1 2 2 1. 1 2

6. Seorang karyawan mempunyai gaji pertama Rp500.000,00 dan setiap bulan naik sebesar Rp25.000,00. Jika gaji tersebut tidak pernah diambil, maka jumlah gaji yang terkumpul selama 2 tahun adalah .... A. Rp18.900.000,00 (kunci) B. Rp15.750.000,00

C. Rp14.500.000,00 D. Rp12.000.000,00 E. Rp11.100.000,00 Pembahasan: Gajinya selalu naik setiap bulan sebesar Rp25.000,00 dari gaji bulan sebelumnya, maka termasuk deret aritmatika dengan beda Rp25.000,00. n Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = (2a  (n  1)b) 2 2 tahun = 24 bulan Sehingga: 24 S 24 = 2(500.000)  (24  1)(25.000) 2 = 121.000.000)  23(25.000)  = 121.000.000)  575.000  = 121.575.000 = 18.900.000

Pembahasan tipe soal UN: 1. Diketahui barisan arimatika dengan suku keempat adalah 41 dan suku kesembilan adalah 26. Suku kesepuluh barisan tersebut adalah .... A. 77 B. 50 C. 23 (kunci) D. 20 E. 15 Pembahasan: U 4  41 → a  3b  41 U 9  26 → a  8b  26  5b  15 15 b 5 b  3 a  3b  41 a  3(3)  41 a  9  41 a  41  9 a  50 U10  a  9b U10  50  9(3) U10  50  27 U10  23 2. Diketahui deret aritmatika dengan suku kelima adalah 12 dan suku kesepuluh adalah 27. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah .... A. 530 B. 570 (kunci) C. 600 D. 630 E. 660

Pembahasan: Suku ke-n deret aritmatika adalah U n  a  (n  1)b Sehingga: U 5  12 → a  4b  12 U10  27 → a  9b  27  5b  15 b3 a  4b  12 a  4(3)  12 a  12  12 a  12  12 a0 Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n =

n (2a  (n  1)b) 2

Sehingga: 20 2(0)  (20  1)(3) 2 = 100  19(3) 

S 20 =

S 20 S 20 = 1057  S 20 =570

3. Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 54. Suku ke4 barisan tersebut adalah .... A. 9 B. 18 (kunci) C. 24 D. 27 E. 36 Pembahasan: Suku ke-n barisan geometri adalah U n  a.r n1 U 5 54  U2 2

a.r 4  27 a.r1 r 4 1  27 r 3  27 r  3 27 r  3 , karena 33  27 U2  2 a.r1  2 a.(3)  2 2 a 3 U 4  a.r 3 2 U 4   .(3)3 3

2 U 4  .27 3 U 4  18 4. Suku ke-2 dan suku ke-5 deret geometri berturut-turut adalah 24 dan 192. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah …. A. 1.536 B. 3.060 (kunci) C. 3.072 D. 3.164 E. 4.212 Pembahasan: Suku ke-n barisan geometri adalah U n  a.r n1 U 5 192  U 2 24

a.r 4 8 a.r1 r 4 1  8 r3  8 r3 8 r  2 , karena 23  8 U 2  24 a.r1  24 a.(2)  24 24 a 2 a  12 U 4  a.r 3 2 U 4   .(3)3 3 2 U 4  .27 3 U 4  18 Karena suku-sukunya positif, maka r  2 dan r  1 . Sehingga: a.(r n  1) Sn = r 1 12.(28  1) S8 = 2 1 = 12.(256  1) = 12.(255) = 3.060 8 8 8 5. Jumlah deret geometri tak hingga 8 – + – + ... adalah .... 3 9 27 2 A. 5 9 B. 6 (kunci)

2 9 D. 12 E. 24 Pembahasan:

C. 6

a 8

U2 U1 8  3 = 8 8 1 =  . 3 8 1 =  3

Pembanding/rasio (r) =

Jumlah deret geometri tak hingga:

S

= =

=

=

=

S

=

a 1 r 8  1 1    3 8 3 1  3 3 8 4 3 3 8. 4 6

6. Seorang ayah akan membagikan 78 sapi kepada keenam anaknya yang banyaknya setiap bagian merupakan barisan aritmatika. Anak termuda mendapat bagian paling sedikit, yaitu 3 sapi dan anak tertua mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga mendapat bagian sebanyak …. sapi. A. 11 (kunci) B. 15 C. 16 D. 18 E. 19 Pembahasan: S 6  78 a3 n S n = (2a  (n  1)b) 2 6 S 6  (2(3)  (6  1)b) 2 78 = 3(6  5b) 78 = 18  15b

78  18  15b 60  15b 60 b 15 b4

U 3 = a  2b = 3  2(4) = 38 U 3 = 11 7. Pada tahun pertama, sebuah perusahaan memproduksi barang sebanyak 2.000 unit. 3 Pada tahun-tahun berikutnya produksinya naik dari jumlah produksi sebelumnya. 4 Jumlah hasil produksi selama 3 tahun adalah .... unit. A. 4525 B. 4625 (kunci) C. 4725 D. 4825 E. 4925 Pembahasan: 3 Produksinya naik dari jumlah produksi sebelumnya, berarti barisan geometri. 4 a  2.000 3 r 4 Karena r < 1, maka: a(1  r n ) Sn  1 r   3 3  2000.1      4    S3  3 1 4  33  2000.1  3   4  S3  4 3  4 4  64 27  2000.    64 64  S3  1 4 37   2000.   64  S3  1 4 2000.37 4 S3  . 64 1 2000.37 S3  16

74000 16 S3  4625 S3 